Solucón de Examen de Circunferencias, 5to. año

Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica Curso de Taller de Software de Aplicaciones Profesor Marco Gutierrez Montenegro Grupo 1

Tarea 5 Solucionario del Examen de Geometr´ıa en LATEX Randall Garc´ıa Murillo Carne: 201053637

II Semestre, 2013

´ UNICA ´ I PARTE SELECCION 1) Sean C1 y C2 dos circunferencias, una de ellas con radio R y cenro O y otra con radio r y centro P , si 13 R = 25 2 cm, r = 2 cm y la distancia entre los centros O y P es de 6cm, entonces las circunferencias C1 y C2 se clasifican como Soluci´ on: Se sabe que el OP = 6 cm, si las circunferencias C1 y C2 fueran tangentes exteriores se cumple que OP = R + r, en el caso que las circunferencias C1 y C2 fueran tangentes interiores se cumple que OP = R − r. a) Si C1 y C2 son tengentes exteriores: 6=R+r 25 13 + 2 2

38

6= = 19 2 6 6= 19

6=

b) Si C1 y C2 son tengentes interiores: 6=R−r 25 13 − 2 2 1 2

6= =6 2 6=6

6=

∴ Las circunferencias C1 y C2 son tangentes interiores porque se cumple d = R − r.

2) Sean C1 y C2 dos circunferencias tangentes exteriores, si el diametro de C1 mide 14cm y la distancia entre sus centros es igual a 12cm, entonces el diametro de la circunferencia C2 corresponde a Soluci´ on: Se sabe que el OP = 12 cm, donde la circunferencia C1 posee un diametro de 14 cm por lo tanto su radio es de 7 cm, las dos circunferencias son tangentes exteriores; por lo tanto OP = R + r.

12 = 7 + r 12 − 7 = r 5=r ∴ El diametro de la circunferencia C2 es igual a 10 cm.

3) De acuerdo con los datos de la figura, si R > r, sea dOP la distancia del centro O al centro P , entonces con certeza se cumple que Soluci´ on: Se sabe que las circunferencias C1 y C2 son tangentes interiores, por lo cual dOP 6= R + r, si R > r y dOP = R − r, entonces se cumple que dOP < R + r.

4) Dos circunferencias de radios 15cm y 7cm son secantes, si la menor pasa por el centro de la mayor, entonces la distancia entre sus centros correspondientes corresponde a

Soluci´ on: Se sabe que el radio de la circunferencia menor es igual a 7 cm, adem´as la circunferencia menor toca el centro de la circunferncia mayor, por ende la distancia del centro de la circuferencia mayor a la circunferencia menor es igual a radio de la circuferencia menor, osea 7 cm.

5) De acuerdo con los datos de la figura, si las circunferencias de centro O y P son tangentes interiormente, P Q = 7cm y OR = 16cm, entonces la distancia de O y P corresponde a Soluci´ on:

dOP = 16 − 7 = 9 cm ∴ La distancia de OP es igual a 9 cm.

6) De acuerdo con los datos de la figura, si AB = 16 y OC = 10, entonces la longitud de M N corresponde a

Soluci´ on: Para averiguar la longitud entre M N en el cual podemos decir que es una parte del radio del circulo, nos seria facil formar un triangulo recto con los puntos 4N OB, donde N B = 8 y BO = r = 10, con eso podemos sacar la medida del cateto N O utilizando el teorema de pitagoras.

(N O)2 = 102 − 82 (N O)2 = √ 36 N O = 36 NO = 6 ⇒ M N = 10 − 6 = 4 ∴ La distancia de M N es igual a 4 cm.

7) De acuerdo con la figura, si m^AOB = 72◦ entonces la m^AP B, corresponde a

_

Soluci´ on: Sabemos que el ^AOB = 72◦ , por lo tanto el AB = 72◦ , entonces podemos dedicir que la medida ◦ del ^AP B = 72 2 = 36 .

8) De acuerdo con los datos de la figura en la que HK es tangente a la circunferencia en H, entonces el valor del ^α corresponde a

Soluci´ on: La medida del arco opuesto al angulo de 60◦ mide igual a 60◦ ∗ 2 = 120◦ , sabemos que un circulo en una figura de 360◦ donde podemos ver esta circunferencia dividida en tres partes en el cual tenemos la medida de dos arcos, es solo averiguar la diferencia que de la suma de los dos arcos y 360◦ , por lo tanto el arco contrario al ^α, su medida seria 360 − 140 − 120 = 100◦ , por lo tanto el ^α = 50◦ .

_

9) De acuerdo con los datos de la figura, si la m HF = 86◦ , entonces la medida del KG corresponde a

Soluci´ on: _

KG + 86 α= 2 _ 60 · 2 − 86 = KG _ 120 − 86 = KG _ ∴ 34 = KG _

_

_

10) En la figura P R = 150◦ , P Q = 75◦ y RS = 55◦ , entonces la m ^P T R corresponde a

_

Soluci´ on: El QS = 360 − 150 + 75 + 55 = 80◦ por lo tanto: 150 + 80 2 ∴ ^P T R = 115◦

^P T R = _

_

_

11) De acuerdo con los datos de la figura en donde AB ∼ = DE, si m AB = 103◦ entonces la m ^BCE corresponde a

_

Soluci´ on: El BE = 360 − 103 − 103 − 28 = 126◦ , por lo tanto: 126 − 28 2 ∴ ^BCE = 49◦

^BCE =

_

12) En la siguiente figura la m ^M N K = 46◦ , entonces la medida del M HN corresponde a _

Soluci´ on: El M HN = 360 − (46 · 2) = 268◦ _

13) De acuerdo con los datos de la figura si AC y BD son congruentes y la medida de BD es 70◦ , entonces la m ^ABD corresponde a Soluci´ on: Seg´ un la figura el ^BAC = 64◦ , entonces el ^ABD = 92 = 46◦ 2

(360 − (70 · 2) − (64 · 2)) 360 − 140 − 128 = = 2 2

14) En la figura siguiente, O es el centro de la circunferencia, F G = 48cm y OF = 26cm; entonces la distancia del centro a la cuerda F G corresponde a

Soluci´ on: Sabemos que OF es un radio del circulo, podemos partir el segmento F G en dos partes iguales con el fin de evaluar con el teorema de pitagoras un cateto de un triangulo rectangulo que es igual a la distancia de la cuerda al punto O, por lo tanto: x2 = 262 − 242 x2 √ = 100 ∴ x = 100 = 10 15) En una circunferencia la longitud de una cuerda es 10. Si la distancia de la cuerda al centro del circulo es 4, entonces ¿Cu´ al es la longitud del radio?

Soluci´ on: r2 = 52 + 42 r2 = √ 41 ∴ r = 41 16) En una circunferencia el ´ area de un circulo es 144 π cm2 , entonces la longitud de un arco subtendido por un ◦ angula de 15 corresponde a ´ Soluci´ on: Sabemos que la formula para evaluar la longitud de un arco es L_ = tonces evaluaremos el valor del radio:

α·r·π , si α = 15◦ , en180

πr2 =√114 π

r = 114 Ahora evaluaremos la longitud del arco: L_ = ∴ Se tiene que

π 2

15 ·

√

114 · π = 2.8 180

< 2.8 < π, por lo tanto la longitud del arco es aproximada a π.

17) Si la longitud de una circunferencia es de 24 π cm, entonces, el ´area del sector circular cuyo ´angula central mide 45◦ corresponde a Soluci´ on: Averiguaremos el radio del circulo igualandolo por la formula de la longitud de la circunferencia: 2 πr = 24 π r = 24 = 12 2 Calculamos el ´ area del sector circular: ASect =

ASect =

45 · 122 · π 360 45 · 144π 360

ASect =

6480 π

360

∴ ASect = 18π

18) Con base en los datos de la figura si O es el centro de la circunferencia y si AB = 10 cm entonces el ´ area de la regi´ on sombreada corresponde a Soluci´ on: Si el diametro es de 10cm, el radio sera de 5cm, y α = 180 − 135 = 45◦ , aplicamos la formula del ´ area del sector circular: ASect =

45 · 52 · π 360

ASect =

ASect =

45 · 25 π 360

1125 π 360

∴ ASect =

25 π 8

II PARTE RESPUESTA BREVE 1) De acuerdo con la figura de centro O, determine los elementos de la circunferencia que se le solicita en cada caso.

a) Una Secante

←→ DC

b) Un Di´ ametro

DF

c) Una Cuerda

DE

d) Una Tangente

←→ AC

2) Escriba sobre el espacio delineado, la clasificaci´on de las circunferencias seg´ un sean conc´entricas, tangentes exteriormente, secantes o disjuntas.

a) r = 9 cm, R = 14 cm, d = 23 cm.

Tangentes Esteriores⇒ 23 = 14 + 9 = 23

b) r = 9 cm, R = 14 cm, d = 23 cm.

Disjuntas⇒ 16 > 8 + 7 = 15

c) r = 9 cm, R = 14 cm, d = 23 cm.

Secantes⇒ 19 > 15 − 11 ∧ 19 < 15 + 11

d) r = 9 cm, R = 14 cm, d = 23 cm.

Tangentes Interiores⇒ 3 =

17 3

−

8 3

III PARTE DESARROLLO 1) De acuerdo con la figura de centro O, la m ^M AO = 71◦ , si AB⊥ON , determine:

a) m ^AM B = 90◦ _

b) m AM = 38◦ c) m ^M ON = 128◦ _

d) m M B = 142◦ e) m ^M N O = 26◦

_

_

2) De acuerdo con los datos de la siguiente figura si la m ^BDE = 32◦ , m BE = 88◦ y m EF = 142◦ entonces determine:

_

a) m BA =

106◦

_

e) m EBA =

12◦

f) m ∠BEF =

c) m AF =

24◦

g) m BAF =

d) m ∠BCE =

56◦

h) m ∠ABE =

b) m ∠ABC = _

_

194◦ 65◦ 130◦ 83◦

3) De acuerdo con los datos de la siguiente figura, √ en donde O es el centro de la circunferencia y adem´as AC y BD equidistan del centro; si AB = 12 y AC = 4 5. Entonces determine la distancia de la cuerda BD al centro O del c´ırculo.

Soluci´ on: Si el diametro AB = 12, entonces el radio sera igual a 6, partimos la cuerda DB a la mitad con el fin de evaluar un cateto de un triangulo ractangulo: √ x2 = (6)2 − (2 5)2 x=

√

16

x=4 ∴ La distancia entre el centro O y la cuerda DB es igual a 4.

4) De acuerdo con los datos de la figura, si QP es tangente a la circunferencia en Q y O es el centro de la circunferencia, adem´ as ON = 8 cm y P Q = 15 cm; entonces determine:

a) m ^QON = 67◦ b) m ^SON = 113◦ c) m OP = x2 = 82 + 152 = 17 cm d) m ^M OS = 67◦ _

e) m M Q = 113◦

√ ←→ 5) De acuerdo con los datos de la figura de centro O, si el diametro de la circunferencia mide 16 3 cm, P Q es tangente a la circunferencia en B y la medida del ^DOB = 120◦ , entonces determine: Soluci´ on: Si el angulo ^DOB = 120◦ entonces ^DOC = 180 − 120 = 60◦ , el radio del circulo sera √ 8 3.

El ´ area de la regi´ on sombreada: √ 60 · (8 3)2 · π ASect = = 32π 360 _

La longitud del arco BD: √ 120 · 8 3 · π = 29, 02cm L_ = BD 180