Solución de Examén de Funciones Lineales (10mo. Año)

Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica Curso de Taller de Software de Aplicaciones Profesor Marco Gutierrez Montenegro Grupo 1

Tarea 6 Solucionario del Examen de Funciones en LATEX Randall Garc´ıa Murillo Carne: 201053637

II Semestre, 2013

´ I Parte Selecci´ on Unica 1) Sea la funci´ on f : {4, 8, 9} → {2, 3, 5}, ¿cu´al de los siguientes conjuntos pueden corresponde a un grafico de f ?.

Soluci´ on: Se sabe que en el eje x = {4, 8, 9} y el eje y = {2, 3, 5}, los conjuntos formados se da convinando extremos por estremos y medios por medios, los conjuntos formados son {(4, 2), (8, 5), (9, 3)}.

2) Para la funci´ on f dada por f (x) = 1 −

2−x 2 ,

la imagen de −1 es

Soluci´ on: Se sustituye la x por −1, f (−1) = 1 −

2 − (−1) 1 =− .

2 2

3) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4

2

-5

4

-3

x

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el ´ambito de f es Soluci´ on: Seg´ un la gr´ afica se cumple que el ambito de f es ] − ∞, 4].

4) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4

2

3

-3 -2

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el domino de f es

x

Soluci´ on: Como se extresa en la grafica la recta es creciente apartir de −2, por cual el dominio de f es igual a [−2, +∞[.

5) Considere la gr´ afica de la funci´ on f .

De acuerdo con los datos de la gr´ afica de la funci´on, ¿cu´al es la imagen de 1?

Soluci´ on: Si consideramos la grafica anterior la preimagen que es 1 esta unico con una recta de ounto abierto en 0 que es la imagen.

6) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4

-4 3

-5

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el ´ambito de f es Soluci´ on Seg´ un la gr´ afica se cumple que el ambito de f es ] − 5, 4].

4

x

7) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2

1

-1

2

x

3

-1

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el dominio de f es Soluci´ on: Como se extresa en la grafica el dominio de f es igual a [0, +∞[.

8) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2

-1

1

2

3

4

x

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, considere las siguientes proposiciones: I. El ´ ambito de f es {2} II. La imagen de 2 es 2 De ellas, ¿cu´ al o cu´ ales son verdaderas?

Soluci´ on: Como observamos en la gr´ afica anterior el ´ambito de f es {2} porque es una constante, por lo cual la imagen de 2 es 2, por lo cual ambas opciones son verdaderas.

9) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2

x

-1

1

2

-1 -2

De acuerdo con los datos de la gr´ afica, la imagen de 2 es Soluci´ on En la gr´ afica la imagen de 2 es 2.

10) El dominio m´ aximo de la funci´ on f dada por f (x) =

4−x 1− x 5

es

Soluci´ on: Depejamos el valor de x del denominador de la fracci´on: 1− −

x =0 5

x = −1 5

−x = −1 · 5 −x = −5 x=5 ∴ El dominio m´ aximimo de la funci´ on es R − {5}.

11) Sean f y g dos funciones dadas por f (x) =

2x2 x

y g(x) =

x x2 +1 .

¿Cu´al de ellas tienen por dominio m´ aximo R?

Soluci´ on: Si vemos en los denmonidores f es un monomio por lo cual solo posee una soluci´on, en g es un polinomio de segundo grado y se puede deteminar dos soluciones y tiene factores numerales iguales, por lo cual solo g tiene como dominio maximo en R.

13) Considere las funciones f , g y h dadas respectivamente por f (x) = ¿Cu´ ales de ellas tienen el mismo dominio m´aximo?

x−1 x−1 ,

g(x) =

1−x x

y h(x) =

x2 x2 .

Soluci´ on: En g y h tienen mismo valor literal en el denominador, por lo cual si se despeja x su soluci´on sera igual, entonces g y h tienen mismo dominio maximo.

14) Para la funci´ on f dada por f (x) =

√

1 − x, el dominio m´aximo corresponde a

Soluci´ on: Calculamos el valor de x con una inecuaci´on: 1−x>0 −x > −1 x61 ∴ Por lo tanto el dominio m´ aximo es ] − ∞, 1].

15) El dominio m´ aximo de la funci´ on f dada por f (x) =

2x−3 √ x+1

Soluci´ on: Calculamos el valor de x con una inecuaci´on: x+1>0 x > −1 ∴ Por lo tanto el dominio m´ aximo es [−1, +∞[.

II Parte Respuesta Corta 1) Considere la funci´ on f , tal que f : [−2, 2[→ R, con f (x) = 3x − 1. Determine Df (dominio), Af (´ ambito), imagen y preimagen: Df = [−2, 2[→ R Af = [−7, 5[ (Sutituye −2, 2) La imagen de 0 : −1(Sutituye x por 0) La preimagen de 5 : 2 (Igualamos 5 = 3x − 1)

2) Considere la funci´ on f , tal que f : R+ → R, con f (x) = −x − 1. Determine Df (dominio), Af (´ambito), imagen y preimagen: Df = [1, +∞[ Af [−1, −∞[ La imagen de 1 : −2 La preimagen de −4 : 3

3) Con base a la definic´ on de la funci´ on lineal, determine en cada caso: si la funci´on es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante. f (x) = 2x + 3 : m > 0 ⇒ Creciente y = −x + 8 : m < 0 ⇒ Decreciente y = 9 : m = 9 ⇒ Constante f (x) = x : m = x ⇒ Constante

4) Considere la siguiente gr´ afica de la funci´on f .

(4 pts) y 3 2 1

-2

x

-1

1

2

-1 -2

Determine f es constante en:[2, 2[ f es decreciente en:[−1, −1]

La preimagen de −1 : 0 f es estrictamente creciente en:]1, −1]

5) Considere la siguiente gr´ afica de la funci´on f .

6 4

Determine El dominio de f :[−6, −∞[ f es creciente en:[−4, 4]

2

La preimagen de 0 : 4 f es estrictamente decreciente en:[−2, −∞[

III Parte Desarrollo Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4

2

3

-3

x

-2

De acuerdo con los datos de la gr´ afica determine:

1. El dominio de f : [−3, +∞[ 2. El ´ ambito de f : [−2, +∞[

(7 pts)

5. La preimagen de 0: −3 6. La imagen de 0: −2

3. f es creciente en: [−2, 3] 4. f es decreciente en: [−3, −2]

7. La imagen de −3: 0

Use el criterio de la funci´ on f (x) = 2x2 − 8, f : R → R para hallar la gr´afica Tabla de Valores x −2 −1 f (x) 0 −6

0 −8

1 −6

2 0

Pares ordenados encontrados: (−2, 0)(−1, −6)(0, −8)(1, −6)(2, 0) Gr´ afica:

(8 pts)