Instituto Tecnol´ ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica Curso de Taller de Software de Aplicaciones Profesor Marco Gutierrez Montenegro Grupo 1
Tarea 6 Solucionario del Examen de Funciones en LATEX Randall Garc´ıa Murillo Carne: 201053637
II Semestre, 2013
´ I Parte Selecci´ on Unica 1) Sea la funci´ on f : {4, 8, 9} → {2, 3, 5}, ¿cu´al de los siguientes conjuntos pueden corresponde a un grafico de f ?. Soluci´ on: Se sabe que en el eje x = {4, 8, 9} y el eje y = {2, 3, 5}, los conjuntos formados se da convinando extremos por estremos y medios por medios, los conjuntos formados son {(4, 2), (8, 5), (9, 3)}.
2) Para la funci´ on f dada por f (x) = 1 −
2−x 2 ,
la imagen de −1 es
Soluci´ on: Se sustituye la x por −1, f (−1) = 1 −
2 − (−1) 1 =− . 2 2
3) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4
2
-5
4
-3
x
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el ´ambito de f es Soluci´ on: Seg´ un la gr´ afica se cumple que el ambito de f es ] − ∞, 4].
4) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4
2
3
-3 -2
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el domino de f es
x
Soluci´ on: Como se extresa en la grafica la recta es creciente apartir de −2, por cual el dominio de f es igual a [−2, +∞[.
5) Considere la gr´ afica de la funci´ on f .
De acuerdo con los datos de la gr´ afica de la funci´on, ¿cu´al es la imagen de 1? Soluci´ on: Si consideramos la grafica anterior la preimagen que es 1 esta unico con una recta de ounto abierto en 0 que es la imagen.
6) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4
-4 3
-5
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el ´ambito de f es Soluci´ on Seg´ un la gr´ afica se cumple que el ambito de f es ] − 5, 4].
4
x
7) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2
1
-1
2
x
3
-1
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, el dominio de f es Soluci´ on: Como se extresa en la grafica el dominio de f es igual a [0, +∞[.
8) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2
-1
1
2
3
4
x
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, considere las siguientes proposiciones: I. El ´ ambito de f es {2} II. La imagen de 2 es 2 De ellas, ¿cu´ al o cu´ ales son verdaderas? Soluci´ on: Como observamos en la gr´ afica anterior el ´ambito de f es {2} porque es una constante, por lo cual la imagen de 2 es 2, por lo cual ambas opciones son verdaderas.
9) Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 3 2 1 -2
x
-1
1
2
-1 -2
De acuerdo con los datos de la gr´ afica, la imagen de 2 es Soluci´ on En la gr´ afica la imagen de 2 es 2.
10) El dominio m´ aximo de la funci´ on f dada por f (x) =
4−x 1− x 5
es
Soluci´ on: Depejamos el valor de x del denominador de la fracci´on: 1− −
x =0 5
x = −1 5
−x = −1 · 5 −x = −5 x=5 ∴ El dominio m´ aximimo de la funci´ on es R − {5}.
11) Sean f y g dos funciones dadas por f (x) =
2x2 x
y g(x) =
x x2 +1 .
¿Cu´al de ellas tienen por dominio m´ aximo R?
Soluci´ on: Si vemos en los denmonidores f es un monomio por lo cual solo posee una soluci´on, en g es un polinomio de segundo grado y se puede deteminar dos soluciones y tiene factores numerales iguales, por lo cual solo g tiene como dominio maximo en R.
13) Considere las funciones f , g y h dadas respectivamente por f (x) = ¿Cu´ ales de ellas tienen el mismo dominio m´aximo?
x−1 x−1 ,
g(x) =
1−x x
y h(x) =
x2 x2 .
Soluci´ on: En g y h tienen mismo valor literal en el denominador, por lo cual si se despeja x su soluci´on sera igual, entonces g y h tienen mismo dominio maximo.
14) Para la funci´ on f dada por f (x) =
√
1 − x, el dominio m´aximo corresponde a
Soluci´ on: Calculamos el valor de x con una inecuaci´on: 1−x>0 −x > −1 x61 ∴ Por lo tanto el dominio m´ aximo es ] − ∞, 1].
15) El dominio m´ aximo de la funci´ on f dada por f (x) =
2x−3 √ x+1
Soluci´ on: Calculamos el valor de x con una inecuaci´on: x+1>0 x > −1 ∴ Por lo tanto el dominio m´ aximo es [−1, +∞[.
II Parte Respuesta Corta 1) Considere la funci´ on f , tal que f : [−2, 2[→ R, con f (x) = 3x − 1. Determine Df (dominio), Af (´ ambito), imagen y preimagen: Df = [−2, 2[→ R Af = [−7, 5[ (Sutituye −2, 2) La imagen de 0 : −1(Sutituye x por 0) La preimagen de 5 : 2 (Igualamos 5 = 3x − 1)
2) Considere la funci´ on f , tal que f : R+ → R, con f (x) = −x − 1. Determine Df (dominio), Af (´ambito), imagen y preimagen: Df = [1, +∞[ Af [−1, −∞[ La imagen de 1 : −2 La preimagen de −4 : 3
3) Con base a la definic´ on de la funci´ on lineal, determine en cada caso: si la funci´on es creciente, creciente (identidad), decreciente o constante. f (x) = 2x + 3 : m > 0 ⇒ Creciente y = −x + 8 : m < 0 ⇒ Decreciente y = 9 : m = 9 ⇒ Constante f (x) = x : m = x ⇒ Constante
4) Considere la siguiente gr´ afica de la funci´on f .
(4 pts) y 3 2 1
-2
x
-1
1
2
-1 -2
Determine f es constante en:[2, 2[ f es decreciente en:[−1, −1]
La preimagen de −1 : 0 f es estrictamente creciente en:]1, −1]
5) Considere la siguiente gr´ afica de la funci´on f .
6 4
Determine El dominio de f :[−6, −∞[ f es creciente en:[−4, 4]
2
La preimagen de 0 : 4 f es estrictamente decreciente en:[−2, −∞[
III Parte Desarrollo Considere la gr´ afica de la funci´ on f . y 4
2
3
-3
x
-2
De acuerdo con los datos de la gr´ afica determine:
1. El dominio de f : [−3, +∞[ 2. El ´ ambito de f : [−2, +∞[
(7 pts)
5. La preimagen de 0: −3 6. La imagen de 0: −2
3. f es creciente en: [−2, 3] 4. f es decreciente en: [−3, −2]
7. La imagen de −3: 0
Use el criterio de la funci´ on f (x) = 2x2 − 8, f : R → R para hallar la gr´afica Tabla de Valores x −2 −1 f (x) 0 −6
0 −8
1 −6
2 0
Pares ordenados encontrados: (−2, 0)(−1, −6)(0, −8)(1, −6)(2, 0) Gr´ afica:
(8 pts)