Estadístca Básica by Raúl Alfonso Bonilla Ceballos

ESTADÍSTICA BÁSICA RAÚL ALFONSO BONILLA CEBALLOS

Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020

ESTADÍSTICA BÁSICA Raúl Alfonso Bonilla Ceballos Primera edición: 2020. Impreso en la República Bolivariana de Venezuela. Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela. Diagramación y diseño de la portada: Raúl Alfonso Bonilla Ceballos. Impresión: Raúl Alfonso Bonilla Ceballos. Editor: Raúl Alfonso Bonilla Ceballos. Todos los derechos están reservados: Este libro no puede ser reproducido de manera parcial o total, mediante ningún medio mecánico, electrónico ni digital sin el permiso escrito del autor. Otras publicaciones del autor: Manual de cuatro (2011). La Biblia, fe y la Iglesia, segunda edición (2020). Religiones, Iglesia, sectas y algo más (2020). Experiencias cercanas a la muerte, y otros eventos paranormales (2020). Ateísmo, Agnosticismo, Materialismo y Relativismo (2020). Decisiones basadas en las evidencias en Religión (2020). ¿Por qué los hermanos separados no creen en toda la doctrina de fe que enseña la Iglesia Católica? (2020). Devocionario de las Almas del Purgatorio (2020). El Santo Rosario (2020).

Manual digital de primeros auxilios dirigido a estudiantes de biología de la UPEL-IPB (2010), disponible como sitio Web en: https://raulbonilla-05.wixsite.com/misitio?fbclid=IwAR2XqZBSsmWWE8TTGKc0c4QRadRyqnCXmWV1SjTBT2RgjA7Zhh0wYHTChw

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DEDICATORIA

Esta obra está dedicada especialmente a mi hija Alexandra Verónica Bonilla Briceño, como también, a mis familiares, amigos y colegas.

AGRADECIMIENTOS

El agradecimiento va dirigido a Dios Padre, Hijo y Espíritu Santo, a la Santa Madre Virgen María y a todo aquellos que de una u otra forma tuvieron que ver con motivarme a realizar la presente obra.

ÍNDICE pp DEDICATORIA ............................................................................................................. iv AGRADECIMIENTOS .................................................................................................. v Introducción .................................................................................................................. 01 Capítulo I ..................................................................................................................... 02 Generalidades de la Estadística................................................................................. 02 Definición de Estadística ..................................................................................... 02 Clasificación de la Estadística.............................................................................. 03 Disciplinas que usan la Estadística ...................................................................... 03 Estadística y Método Científico ................................................................................ 03 Variable Estadística................................................................................................... 03 Escala de Medición................................................................................................... 04 Población y Muestra ................................................................................................. 07 Muestra Probabilística............................................................................................... 08 Muestreo aleatorio simple .................................................................................. 08 Muestreo aleatorio estratificado......................................................................... 08 Muestreo por conglomerado .............................................................................. 09 Muestreo polietápicas ........................................................................................ 09 Técnica de Azar................................................................................................. 09 Muestra no Probabilística.......................................................................................... 11 Tamaño de la Muestra .............................................................................................. 11 Error Muestral........................................................................................................... 17 Parámetro, estadístico, serie estadística, dato y caso ............................................... 17 Capítulo II .................................................................................................................... 18 Distribución y procesamiento de Datos .................................................................. 18 Cuadros estadísticos ................................................................................................. 19 Gráficos.................................................................................................................... 22 Gráficos con Excel................................................................................................... 29 Gráficos con Word .................................................................................................. 32 Cuadros y gráficos de distribución de frecuencia .................................................... 34 Cuadros y gráficos de asociación de dos o más variables ....................................... 43 Cuadros y gráficos de series cronológicas ............................................................... 45 Histograma ............................................................................................................... 47 Polígono de frecuencias ........................................................................................... 50 Curva Endémica ....................................................................................................... 51 Curva de distribución de frecuencia normal ............................................................ 57 Pirámide de población ............................................................................................. 60 Programa estadístico EPIDAT ................................................................................ 61 Diagrama de caja..................................................................................................... 70 Diagrama de dispersión de puntos........................................................................... 72 Gráfico de Ojiva ...................................................................................................... 73 Tabla matriz o sabana.............................................................................................. 74 Programa estadístico SPSS ..................................................................................... 77 Capítulo III ................................................................................................................... 89 Medidas Estadísticas ................................................................................................ 89 Medidas de tendencia central ............................................................................ 89

Media aritmética ................................................................................................ 89 Media geométrica............................................................................................... 93 Media armónica ................................................................................................. 93 Media ponderada ............................................................................................... 94 Mediana ............................................................................................................. 94 Moda ................................................................................................................. 98 Medidas de dispersión o variabilidad ...................................................................... 102 Rango................................................................................................................. 102 Desviación media .............................................................................................. 102 Desviación estándar........................................................................................... 103 Varianza ............................................................................................................. 105 Coeficiente de variación o de variabilidad relativa............................................ 106 Momentos ......................................................................................................... 106 Medidas de posición ................................................................................................ 107 Deciles ............................................................................................................... 107 Percentiles .......................................................................................................... 107 Cuartiles ............................................................................................................. 108 Terciles............................................................................................................... 108 Medidas de asociación ............................................................................................. 112 Correlaciones ..................................................................................................... 112 Método de Pearson....................................................................................... 115 Método Spearman......................................................................................... 116 Prueba de Chi cuadrado .................................................................................... 124 Capítulo IV................................................................................................................... 130 Curva normal ................................................................................................................ 130 Puntuaciones Z............................................................................................................. 131 Puntajes T..................................................................................................................... 131 Procedimiento para la prueba de hipótesis.................................................................... 133 Prueba T ....................................................................................................................... 133 Anova ........................................................................................................................... 137 Probabilidad .................................................................................................................. 144 Medidas de forma de distribución................................................................................. 152 Asimétrica .............................................................................................................. 152 Cúrtosis .................................................................................................................. 154 Coeficiente Alfa de Cronbach ............................................................................... 158 Capítulo V .................................................................................................................... 162 Tasa y otras .................................................................................................................. 162 Bibliografía ................................................................................................................... 167 Curriculum del autor .................................................................................................... 169

INTRODUCCIÓN Este texto nació como una necesidad de facilitar la comprensión y el estudio de la Estadística, al presentar su contenido de la manera más didáctica y pedagógica posible, porque el arte y la ciencia de la enseñanza contempla el proporcionar un aprendizaje accesible, donde el educando pueda construir sus conocimientos apoyados en su cognic ió n previa y aprender a través de las estrategias pedagógicas más adecuadas. Del mismo modo, la obra se estructuró en cinco capítulos: El capítulo I trata sobre generalidades de la estadística, su definición, clasificación, entre otras cosas, le sigue el capítulo II, que se refiere a la distribución y procesamiento de datos, cuadros y gráficos estadísticos, continua el capítulo III que contempla las medidas estadísticas de tendencia central, dispersión, posición y de asociación, posteriormente, el capítulo IV con la curva normal, puntuaciones Z, puntajes T, entre otras, prosigue el capítulo V, denominado tasas y otras, finalmente, se encuentran la bibliografía de esta obra y el curriculum del autor.

CAPÍTULO I

GENERALIDADES DE LA ESTADÍSTICA

Definición de Estadística La palabra estadística deriva del vocablo latín “status” que significa estado o gobierno y es una rama de la matemática, por ende, es cuantitativa. En ese orden de ideas, la estadística se define como la ciencia o método que se encarga de procesar los datos que se obtiene del estudio de una población o muestra de sujetos, objetos, situaciones o fenómenos de la realidad, para analizarlos, presentarlo en cuadros y gráficos, con sus parámetros para la población y estadísticos en las muestras y de ello sacar de las conclusiones y recomendaciones más pertinentes para la toma de decisiones. Referido de otro modo, la estadística recoge, organiza, elabora, presenta, examina, explica, analiza e infiere de los datos, tanto las conclusiones como las recomendaciones lógicas, para ser estas aplicadas en la toma de decisiones y predicciones con respecto a las situacione s investigadas. A lo anterior agrega Velasco (2005) que: La estadística es una ciencia exacta gracias al concurso de la teoría de las probabilidades, que permite no sólo conocer y cuantificar los errores, sino, además, saber cómo se distribuyen éstos en diferentes circunstancias. Su tema medular y central es la distribución, es decir, la forma matemática como se distribuyen los datos o las observaciones en una población finita o infinita. En resumen; la estadística es un área de la ciencia que se ocupa del análisis de datos y de realizar inferencias acerca de una población, de mediciones, a partir de la información contenida en una muestra y del conocimiento de las leyes probabilísticas sobre la forma como se distribuyen los datos en una población específica (pág. 15). Clasificación de la Estadística

La estadística se divide en descriptiva (o deductiva), e inferencial, está última también denominada inductiva o muestral. La estadística descriptiva, se encarga de sintetizar y detallar ciertas características de los datos que se obtiene de la realidad 2

estudiada. Por otro lado, la estadística inferencial usa una muestra de la población para aplicar y generalizar las conclusiones a esta última, como también, para probar hipótesis de investigación.

Disciplinas que usan la Estadística

La estadística es una herramienta fundamental que se usa en áreas como: Docencia, salud, psicología, sociología, economía e investigación científica entre otras más y toma parte del nombre de la especialidad que auxilia, por ejemplo, existe una bioestadística que analiza los fenómenos que varían en los seres vivos, asimismo, la estadística vital que se refiere a los sucesos del nacimiento y muerte, la estadística de salud que se encarga de los procesos de natalidad, morbilidad (enfermedades), y mortalidad.

Estadística y Método Científico

La estadística se usa en las diferentes etapas del método científico, pero su rol es fundamental durante la observación de los sujetos, fenómenos o situaciones en estudio y cuando se verifica las hipótesis de las investigaciones, puesto que esa disciplina facilita el análisis de los resultados al sintetizar los datos en parámetros de la población o estadísticos de las muestras y los presenta tanto en cuadro como gráficos estadísticos.

Variable Estadística

La variable es una característica que puede tomar diferentes valores en un sujeto, objeto, situación o fenómeno y puede ser susceptible de medición, es decir, que ella varia. Las variables pueden clasificarse en cuantitativa y cualitativa. Las variables cualitativa s comprenden atributos o categorías como por ejemplo color, peso, talla, temperatura y edad. Por otro lado, las variables cuantitativas se refieren a magnitudes medibles a través de los Números Reales de la Matemática. En este orden de ideas, las variables cuantitativas se dividen en continua y discreta. En las variables continua, los valores de la 3

variable no se interrumpen, puesto que puede tomar cifras fraccionables, es decir, con decimales. Por otra parte, la variable discreta o discontinua solo admite valores enteros. Desde ese contexto, variable independiente, es aquella que es manipulada por el investigador, clasifica a los datos observados y afecta o influye a las demás variables, su aparición no depende de otra variable. Igualmente, variable dependiente, es la que es afectada o influida

por la variable independiente.

Del mismo

modo, variables

intervinientes o extrañas, son otras variables extrañas al estudio, en cierta forma no controlables y sin manipulación por parte del investigador, dicha variables pueden indirectamente modificar las relaciones entre la variable independiente y la variable dependiente. En este entorno, variables aleatorias, son aquella donde se determinan sus relaciones de ocurrencias mediante las leyes de la probabilidad, determinando la frecuencia máxima relativa de los datos obtenidos mediante la probabilidad teórica de éxito. Para finalizar una constante es, aquella cuyo valor nunca cambia.

Escala de Medición

Existen cuatro niveles de medición a saber: Nominal, ordinal, de intervalo y de razón, como también sus respectivas escalas de medidas (cuadro 1), que toman igual denominación que su respectivo nivel. La escala nominal es la primera y más baja de la escala de medición, en ella se usa el nombre del objeto, sujeto, fenómeno, realidad o situación estudiada para diferenciarlos entre sí, un ejemplo de ella son los colores primarios que son: amarillo, azul y rojo. Le sigue la escala ordinal, donde se ubica los datos de acuerdo a un orden o jerarquía, formando un rango creciente o decreciente, por lo demás, implica secuencia de intervalos no iguales entre los rangos, es decir, la distancia entre las observaciones no es la misma; desde ese entorno, en la mencionada escala se puede señalar como ejemplo, la tensión arterial dividida en hipertensión arterial, normotensión arterial e hipotensión arterial. Prosigue la escala de intervalo, que presenta un cero “0” relativo como punto de referencia, pero, este cero no indica la ausencia de la característica observada. No obstante, presenta distancias iguales en lo que se mide, al respecto se puede mencionar como ejemplo, la temperatura ambiental medida en grado Celsius que algunos llaman grados 4

centígrados, donde “cero” grado no indica la ausencia de temperatura, debido a que existen grados por debajo de “cero”. Sin embargo, entre cero y uno grado existen 10 mm (1 cm), de separación y entre veinte y veintiuno grados también hay 10 mm de distancia, como en el resto de la escala, es decir, que los intervalos de distancia son iguales o con un mismo rango. Continua la escala de razón, esta posee un cero “0” absoluto, que significa la ausencia de la característica estudiada, ella se puede ejemplificar con la frecuenc ia cardíaca debido a que la ausencia o “cero” latidos del corazón indicaría la no existenc ia de este fenómeno. En esta escala se pueden aplicar todas las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. Del mismo modo, cada escala superior incluye a la anterior.

Cuadro 1. Tipos de escalas de medición. Escala

Incluye a escala Nominal --------------

Ordinal

Escala nominal

Se clasifica por Nombre

Es para variables Estadísticos y pruebas estadística que pueden aplicarse en ella Cualitativas Porcentajes, moda, frecuencia s, proporciones, coeficiente de contingencia, Chi cuadrado, coeficiente Phi, coeficiente de contingencia, prueba del signo, prueba binomial.

Nombre y orden, unidad de medidas desiguales

Cualitativas

Intervalo Escala nomina l Nombre y orden, y ordinal unidad de medida iguales, posee “cero” relativo Razón Escala Nombre y orden, nominal, Unidad de medida ordinal y iguales, posee de intervalo. “cero” absoluto Fuente: Autor 2020.

Cuantitativas

Cuantitativa Posee “Cero” absoluto

Moda, mediana, cuartile s, percentiles, coeficiente de correlación de Spearman, coeficiente tau de Kendall, prueba de la mediana.

Todos los de la escala ordinal, media, desviación estándar, Coeficiente de correlación de Pearson, T de Student, análisis de regresión, análisis factorial, análisis discriminante.

Para concluir este punto, se va ejemplificar como la escala de razón contiene a las demás escalas a través de la variable tensión arterial. Primero, la escala nominal con las diferentes denominaciones o nombres en que divide la variable de la tensión arterial en: hipertensión, normotensión (tensión normal), e hipotensión, asimismo, posee a la escala ordinal, con su jerarquía u orden expresada en su sucesión de mayor a menor: Hipertensión, normotensión e hipotensión, también, contiene la escala de intervalo que corresponde a hipertensión con valores de más de 80 milímetros de mercurio (mm Hg), para la tensión diastólica y mayor a 120 mm Hg en la presión sistólica, normotensión de 60 a 80 mm Hg en la diastólica y de 100 a 120 mm Hg en la sistólica e hipotensión que tiene valores menor de 60 mm Hg para la diastólica y menos de 100 en la sistólica, finalmente, se llega a la escala de razón, donde “cero” indica la ausencia de tensión arterial. Para concluir, las escalas pueden usar los Números Reales (fig. 1), y en ese caso el valor real (VR), de un número entero es obtenido de su valor aparente (VA), al restar y sumar respectivamente 0,5 (media unidad o cinco décimas de unidad), con el siguie nte ejemplo se aclarará lo antes dicho, al buscar el valor real por ejemplo de 15. Los resultados son: 14,50 y 15,50, es decir, que 15 es un valor comprendido entre 14,50 y 15,50, los cuales son sus límites verdaderos inferior y superior respectivamente. Asimismo, a los resultados de 14,5 y 15,5 se le puede agregar un cero “0” a la derecha y tendría cuatro cifras significativas, dando 14,50 y sus cifras significativas son: 1, 4, 5 y 0, además,15,50 cifras significativas 1, 5, 5 y 0. VR= VA + 0,50

VR = 15 + 0,50 = 14,5 y 15,5.

De esta forma el límite inferior (Li), está dado por la formula Li = VA – 0,5 y sería 14,5, por lo demás, el límite superior (Ls), Li = VA + 0,5 y da 15,5. Li =15 – 0,5 = 14,5

Ls = 15 +0,5 = 15,5.

Figura 1. Números reales. Tomado de Baldor, A. (1984). Algebra. Caracas, Venezuela : Cultural. Págs. 14 y 31. Población y Muestra

La Población o Universo se define como un conjunto finito o infinitos de sujetos, elementos, objetos, fenómenos u otros datos, que poseen una característica común entre sí, la cual es observable. En este sentido, todos los estudiantes de las universidade s UPEL-IPB o de la UCLA sería una población finita, a los que se puede agregar que las poblaciones finitas se pueden considerar como cautivas, debido a que son fácilme nte ubicables y asequibles. Por otra parte, todos los planetas del espacio, es un ejemplo de una población infinita. De igual forma, a la población le expresa con la letra “N”. Desde ese ángulo, la muestra es la parte más pequeña o menor conjunto de número de unidades muéstrales, obtenida de una población, la misma debe ser representativa de su población de origen y se le asigna con la letra “n”, del igual modo, los estudiantes del quinto (5to), semestre de Biología de la UPEL-IPB o de Medicina de la UCLA sería una muestra de las poblaciones de las referidas universidades. También, se puede definir muestra como un subconjunto cualquiera de la población. Igualmente, de la población o muestra es de donde se obtiene los datos de las variables a investigar. Para finalizar esta parte, cuando la 7

población es pequeña se puede estudiar su totalidad, pero al ser grande, es más práctico trabajar con una muestra de la misma. Recapitulando, lo más común al realizar una investigación o estudio, es efectuarlo sobre una muestra (n), la cual debe ser representativa de la población (N), de donde se extrajo. Las muestras pueden ser de dos tipos, a saber: probabilística y no probabilística. En las probabilísticas, los sujetos, individuos u elementos se escogen al azar, es decir, de manera aleatoria, este tipo de muestra es más representativo de la población de origen, además, sus resultados y conclusiones puede extrapolarse o aplicarse a la población de la que proviene. En las muestras no probabilística no interviene el azar, en ellas los resultados y conclusiones no pueden aplicarse a la población de procedencia.

Muestra Probabilística

En este tipo muestra los datos se obtiene al seleccionar a los elementos que integraran la muestra mediante uno de los cuatro procedimientos siguientes: Muestreo aleatorio simple, aleatorio estratificado, por conglomerado y polietápica. Muestreo aleatorio simple. En él se elige al azar a “n” elementos de una población “N”, de forma que cada elemento tenga igual probabilidad de ser seleccionado, para pertenecer a la referida muestra. Para ello hay que tener una lista de los elementos que conforman la población, estos se enumeran y con procedimientos aleatorios se extrae de la población uno por uno, cada elemento hasta obtener la muestra. Este proceso se puede efectuar con reemplazamiento o sin reemplazamiento, en el primer caso, cada uno de los elementos seleccionados vuelve a ser introducido a la población, en el segundo caso esto no se hace esto y cada elemento se selecciona una única vez. Muestreo aleatorio estratificado. Primero se clasifica a los elementos de la población en estratos o clases, posteriormente de cada estrato por azar simple se selecciona una muestra. Aquí, basta con que los elementos de la población tengan alguna posibilidad diferente de cero de pertenecer a la muestra y se puede elegir por afijación proporcional, cuando de cada estrato se extrae un mismo porcentaje o proporción. De igual manera, se puede elegir por afijación óptima, en este caso, la cantidad de cada estrato debe ser proporcional al número de elemento que la constituye. 8

Muestreo por conglomerados. Para realizarlo se eligen conjunto de elementos que forman conglomerados, los cuales tienen que estar internamente heterogéneos con respecto a la variable en estudio, pero lo más homogéneo entre ellos. Muestreo polietápicas. Se hace cuando la población es grande el muestreo se realiza por etapas, formando muestras sucesivas, con técnicas diferentes.

Técnicas de Azar

Comprende tres técnicas y estas son: Azar simple, azar sistemático y por tablas de números aleatorios. En el azar simple, se hace una lista de los elementos de la población numerándolos desde el “uno” hasta el último, luego se selecciona por sorteo con alguno de los siguientes métodos: De loterías, bingo, tómbola, ello sacando su número escrito en un papelito de un recipiente o bolsa, hasta llegar al tamaño de la muestra que se desea. Del mismo, modo en el azar sistemático, también se necesita una lista, se calcula la constante “K”, al dividirla población “N” entre el número de elemento

de la muestra.

Posteriormente se elige al azar el primer elemento de la muestra menor o mayor a “K”, seguidamente, se le suma al primer elemento el valor de la constante “K” y se consigue el segundo y así sucesivamente hasta completar la muestra. 𝑁

K=𝑛 N = Número de la Población. n = Número de elementos de la muestra. K = Constante. Tabla de números aleatorio o de azar. Se usa para seleccionar muestras pequeñas, esas tablas tienen números en sus filas y columnas distribuidos al azar (cuadro 2), ahora se explicará cómo usarla. Primero se enumeras los datos, desde el número uno “1” en adelante, posteriormente se extrae tantos individuo s como requiera la muestra, se escoge por azar la columna y la fila. El siguiente ejemplo sacado de Camel (1982). Estadística médica. (Tomo I), páginas 48 y 49, aclarará la forma de trabajar con las tablas aleatoria. De una población de 5000 individuos, numerados del 1 al 5000, se quiere extraer una muestra de 500, como 5000 tiene 4 dígitos se utilizará 4 columnas de la tabla sin importar cuales sean, por azar se decidió comenzar en la columna 7 y fila 3, 9

entonces, el primer individuo estará ubicado en la intercesión entre la columna 7 y fila tres, es el número 1954, el segundo el 4321, pero tercero 9132 y el cuarto 6956, no se toman en cuenta por estar por encima de 5000, posteriormente, se encuentra el 0139 y este si es escogido. No obstante, al terminarse esa columna se pasa a la siguiente en su parte superior, y se consigue el número 4813 y así sucesivamente hasta formar la muestra en su totalidad.

Cuadro 2. Tabla de números de azar, aleatorios o random. Fila 1-5

6-10

Columnas 11-15

16-20

21-25

1 2 3 4 5

28596 95504 70426 25757 00076

75255 73814 01954 44321 39183

24813 28355 86694 02621 92696

25171 99264 53918 03392 62103

00935 20928 47721 19773 88027

6 7 8 9 10 11

05428 71540 66292 78168 68603 42641

36956 80139 79184 15727 72198 60859

09005 17632 81386 03388 93952 17445

81983 61177 82260 16789 80082 45157

53470 77333 29281 27661 56210 00820

12 13 14 15 16 17

25205 55563 11495 21729 68598 76384

33559 62108 13819 72882 46869 54351

52323 98633 86358 07456 37573 43621

08309 31743 59582 22912 24965 64510

53669 08343 87793 43280 75327 90654

18 19 20 21 22

17648 46105 81383 10395 35258

75770 03781 22762 09373 90303

89043 01384 60794 42604 15371

69826 80785 63630 35861 13264

94302 99901 30169 80689 28390

23 24 25

75014 20562 41987

35713 64270 61152

15138 51580 98447

81415 76136 93635

78187 74954 33871

26 27 28 29 30

15993 74230 57667 40917 70585

08117 97335 28151 21639 73790

66623 35355 44889 65973 74377

83885 21799 28879 30401 49114

12276 90237 58905 79692 53832

Fuente: Tomado de Camel, F. (1982). Estadística médica. (Tomo I). Mérida, Venezuela : ULA. Página 49. 10

Muestra no Probabilística Las muestras no probabilísticas pueden ser opinática, circunstanciales y de voluntarios. En la primera, denominada opinática o de conveniencia, se toma en cuenta la opinión de un experto que indica cuales elementos de la población son típicos de ella y tienen la variable que desea estudiar, por lo tanto, se consideran representativas de su población de origen. En la Circunstanciales se toman elementos que están al alcance del investigador. Finalmente, está la de voluntarios, donde los sujetos objeto de la investigación participan en ella voluntariamente al saber de qué trata el estudio.

Tamaño de la Muestra

Hay autores que recomiendan que la muestra debe estar entre el 10% al 30% de la población, pero esto es algo arbitrario. Desde ese ángulo, Velasco (2005), afirma que: Una muestra se considera grande si tiene más de 25 elementos (algunos autores prefieren usar la cifra de 30); en caso contrario, se considera como muestra pequeña. (pág. 39). Al respecto, el tamaño de la muestra “n” debe ser proporcional a la población “N” y cuando el tamaño de la población se conoce y es finita se puede aplicar las fórmula s siguientes: n=[

𝑁 . (𝑍) 2. (𝑆) 2 ] ( ( 𝑁−1) . (𝑒) 2+ (𝑍) 2. (𝑆) 2 )

. 100

n=[

𝑁 . (𝑍) 2 . 𝑝 .𝑞 ] ( ( 𝑁−1) . (𝑒) 2+ (𝑍) 2 . 𝑝.𝑞 )

. 100

𝑁 . (𝐾) 2 . 𝑝 .𝑞

n = [ ((𝑁−1) . (𝑒)2+ (𝐾)2 . 𝑝.𝑞 )] . 100 No obstante, cuando el tamaño de la población es desconocido y ella infinita se usan las siguientes fórmulas: n=

(𝑍𝑐) 2 . 𝑆2 (𝑒) 2

(𝑍𝑐) 2 . (𝑝 .𝑞) (𝑒) 2

(𝐾) 2 . (𝑝 .𝑞)

n = Tamaño de la muestra. N = Tamaño de la población.

(𝑒) 2

Zc (K o T) = Zeta crítico, para un nivel de confiablidad o confianza de 95% (0,95), es de “1,96” y para el nivel de 99% (0,99%), es “2,58”. S= Desviación estándar. e = Error muestral que va desde 1% al 10% (0,01 a 0,1). P = Proporción con la característica a estudiar, donde p + q = 1 o p + q = 100, p puede tomar valores desde 1 a 99. q = Proporción sin la característica a estudiar, y donde q = 1 – p o q = 100 – p.

En el siguiente ejemplo, se desea conocer el tamaño de una muestra de una población de 500 estudiantes de matemática de la UCLA, con un nivel de confiabilidad del 95%, Zc = 1,96; p = 60% y un e = 10%. n=[

𝑁 . (𝐾) 2 . 𝑝 .𝑞 ] ( ( 𝑁−1) . (𝑒) 2+ (𝐾) 2 . 𝑝.𝑞 )

p + q = 100.

.100

q = 100 – p entonces, q= 100 – 60 = 40, q = 40%.

500 . (1,96) 2 . 60 . 40 ] ( 10) 2 + . ( 1,96) 2 . 60. 40 )

n = [ ((500−1). n=[

406099 ,920

406099,920

] . 100 = [

(499 00 + 9219,84 )

500 . 3,8416 . 240

. 100 = [ (499 . 100 + 8416 . 240 )] . 100

59119,84

] . 100 = 0,77977 . 100 = 77,977 ≈ 78

La muestra deberá estar constituida por 78 estudiantes. Pero con los cuadros 3, 4 y 5 se pueden obtener el tamaño de la muestra sin tanto cálculo.

Cuadro 3. Tamaño de la muestra. Nivel de confiabilidad o confianza 95% (0,95), Zc = 1,96 y p = 50% Error muestral “e”

no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Tamaño población 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 6000 7000 8000 9000 10000 15000 20000 25000 50000 100000 ∞

1% 4899 5855 6489 6939 8057 8763 9604

2% 1225 1334 1424 1501 1566 1622 1715 1788 1847 1896 1936 2070 2144 2191 2291 2345 2401

3% 624 696 748 787 818 843 863 880 906 926 942 954 964 996 1013 1023 1045 1056 1067

4% 383 436 468 490 505 517 526 533 539 549 555 561 565 568 578 584 587 594 597 600

5% 223 282 310 325 336 343 348 352 356 358 362 365 368 369 371 375 377 379 381 383 384

6% 174 211 227 235 241 245 248 250 252 253 255 257 258 259 260 262 263 264 265 266 267

7% 141 164 173 179 182 184 186 187 188 189 190 191 191 192 192 193 194 194 195 196 196

8% 116 131 136 140 142 143 144 145 145 146 146 147 147 148 148 149 149 149 150 150 150

9% 96 106 110 112 113 114 115 115 116 116 116 117 117 117 117 118 118 118 118 118 119

10% 81 88 90 92 93 93 94 94 94 94 95 95 95 95 95 95 96 96 96 96 96

Cuadro 4. Tamaño de la muestra. Nivel de confiabilidad o confianza 99% (0,99), Zc = 2,58 y p = 50% Error muestral “e”

no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Tamaño población 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 6000 7000 8000 9000 10000 15000 20000 25000 50000 100000 ∞

1% 3987 4983 5694 16641

2% 2457 2610 2737 2845 2938 3257 3444 3567 3841 3994 4160

3% 1063 1144 1210 1265 1311 1350 1414 1463 1502 1534 1561 1646 1693 1722 1783 1815 1849

4% 614 684 735 773 802 826 845 861 887 906 921 932 942 973 989 999 1019 1029 1040

5% 400 461 500 526 545 559 571 580 588 599 608 615 620 624 637 644 648 657 661 666

6% 316 354 376 390 401 408 414 419 423 429 434 437 440 442 448 452 454 458 460 462

7% 202 254 277 290 299 305 310 313 316 318 321 324 326 327 328 332 334 335 337 338 340

8% 171 207 222 230 236 239 242 244 246 247 249 251 252 253 253 256 257 257 259 259 260

9% 146 171 181 186 190 192 194 195 197 197 199 200 200 201 201 203 203 204 205 205 205

10% 125 143 150 154 156 158 159 160 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166

Fuente: Autor 2020. Nota: Las celdas o casillas vacías, daban valores por encima del 50% de la población por ello no se incluyeron. Los datos desde la casilla 1 a la 20 se obtuvo con la siguiente fórmula para población finita (*) y la de la casilla 21 con fórmula para población infinita (**). Aquí esta otra manera de calcular la muestra de la población. Se desea conocer el tamaño de una muestra de una población de 500 Estudiante s de matemática de la UCLA, con un nivel de confiabilidad del 95%, K = 1,96; p = 60% y un e = 10%. 60

p = 100 = 0,60.

p + q = 1.

q = 1 – p q = 1 – 0,60 q= 0,40.

e = 100 = 0,10. n=

(𝐾) 2 . (𝑝 .𝑞) (𝑒) 2

(1,96) 2 . (0,60 . 0,40) (0,10) 2

3,8416 . 0,24 0,01

0,921984 0,01

= 92,1984

Pero, si Cn 𝑒𝑠 > 0,05 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 Cn´ o Si Cn ≤ 0,05 se queda con el valor de n. 𝑛

Cn = 𝑁

𝑛

Cn´ = (1+ 𝑛 ) 𝑁

𝑛

Cn = 𝑁 =

9,.1984 500

= 0,1843968

Como Cn es > 0,05 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 Cn´. 𝑛

92,1984

92 ,1984

Cn´ = (1+ 𝑛 ) = (1+ 0,1843968 ) = (1.1843968 ) = 77,84418194983303 ≈ 78. 𝑁

En conclusión, la muestra de estudiante será de 78. No obstante, con los datos del cuadro 5, se puede calcular el tamaño de la muestra de una población. Pk = Coeficiente de confianza o confiabilidad. K (Z o T) = Valor critico de Z para cada Pk.

α = Nivel de significación. e = Error máximo admisible. N = Total de la población.

Pk + = 1. = 1 – Pk. P + q = 1. q = 1 – p.

Cuadro 5. Datos para calcular el tamaño de la muestra de una población.

Orden

Coeficiente de confianza o confiabilidad Pk % Valor

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 2

Resultado

Valor critico de Z para el Pk K, Z o T

Porcentaje de equivocación

Nivel de significación

Error máximo admisible

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

99 0,99 0,495 2,58 1 0,1 Esta valor lo establece 98 0,98 0,490 2,33 2 0,2 el 97 0,97 0,485 2,17 3 0,3 investigador 96 0,96 0,480 2,06 4 0,4 95 0,95 0,475 1,96 5 0,5 94 0,94 0,470 1,88 6 0,6 93 0,93 0,465 1,81 7 0,7 92 0,92 0,460 1,75 8 0,8 91 0,91 0,455 1,69 9 0,9 90 0,90 0,450 1,64 10 0,10 89 0,89 0,445 1,60 11 0,11 88 0,88 0,440 1,55 12 0,12 87 0,87 0,435 1,51 13 0,13 86 0,86 0,430 1,47 14 0,14 85 0,85 0,425 1,44 15 0,15 84 0,84 0,420 1,40 16 0,16 83 0,83 0,415 1,37 17 0,17 82 0,82 0,410 1,34 18 0,18 81 0,81 0,405 1,31 19 0,19 80 0,80 0,400 1,28 20 0,20 Fuente: Autor 2020. Nota: Para obtener el valor critico Z del Pk, se divide el valor del Pk en decimales ubicado en la columna número tres del cuadro entre dos (2), y a ese resultado se le busca en la tabla de valores críticos de Z en el área de la curva normal, se anota el número de la columna Z y el número de la primera fila donde coincide la cifra buscada o una que se le aproxime bastante y la suma del número de la columna Z y de la fila dará el valor crítico de Z para cada Pk específico, Por ejemplo, el valor del Pk de 95% es 0,95 entre dos da 0,475; esta cifra se encuentra en la intercepción de Z 1,9 y en la primera fila con 0,06; por lo que al sumarlos da un valor de Z crítico de 1,96. Ver Cuadro 37. Área de probabilidade s en la curva normal y sus valores típicos de “Z”.

Error muestral

El error muestral consiste en la diferencia entre la muestra seleccionada y la población de origen y se puede atribuir al sesgo, lo cual no la hace representativa de la población o a las fluctuaciones del azar, en cuyo caso si es representativa de la población de donde proviene. En este sentido, Escotet (1973), afirma que la: teoría general del muestro se basa en parte, en el procedimiento para detectar o medir los errores, en el sentido del conocimiento del error típico o estándar (pág. 136). En consecuencia, es la desviación estándar con la que se puede calcular matemáticamente el error estándar muestral.

Parámetro, estadístico, estimador, serie estadística, dato y caso

El parámetro es una medida que sintetiza una característica cuantificable de una población, como ejemplo, la media aritmética del peso de los recién nacidos. Asimis mo, estadístico o estadígrafo (cuadro 6), se refiere al valor que se obtiene de un rasgo perteneciente a una muestra, por ejemplo, la mediana de las calificaciones de un grupo de alumnos que cursan estadística. Asimismo, estimador es cuando un estadístico tiene como propósito estimar el valor inaccesible o desconocido de un parámetro de la población. Por otra parte, serie estadística es un grupo de datos de una variable sea esta cuantitativa o cualitativa. En otra perspectiva, datos son los valores que resultan de la observación de una población o muestra. Finalmente, caso es el sujeto, fenómeno u objeto a estudiar y sobre quién se obtiene las informaciones.

Cuadro 6. Símbolos de algunos estadísticos y parámetros. Medidas estadísticas

Estadístico (muestra)

Media aritmética Varianza

X S2

Desviación estándar

Fuente: Autor 2020. 17

Parámetro (población)

µ 𝜎2 𝜎

CAPÍTULO II

DISTRIBUCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS

Los datos se refieren a los valores que resultan de la observación de una población (N), o muestra (n), dichos datos precisan de métodos de recolección de información para lograr obtener los mismos. Desde ese punto de vista, los datos pueden ser no agrupados o agrupados. Los datos no agrupados, brutos o directos, no están clasificados en un orden sino registrados tal como fueron obtenidos, por ejemplo, la edad en años de 29 estudiantes de Informática. Sin embargo, ellos se pueden ordenar de manera creciente o decreciente y presentarse en tablas como la del cuadro 7. 17, 20, 23, 18, 25, 22, 19, 21, 19, 22, 25, 20, 19, 20, 26, 24, 23, 17, 18, 18, 21, 25, 27, 29, 24, 26, 28, 29, 17. 29, 29, 28, 27, 26, 26, 25, 25, 25, 24, 24, 23, 23, 22, 22, 21, 21, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 18, 18, 17, 17, 17. 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 28, 29, 29.

Cuadro 7. Tabla maestra o sabana para ordenar los datos y cuantificar su frecuencia s absolutas simples y frecuencias absolutas acumuladas. X fa fac 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 Total

2 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 4 29

Fuente: Autor 2020. 18

2 3 4 6 9 11 13 15 17 20 23 25 29

Las frecuencias absolutas comprenden números enteros y pueden ser simples “fa” o acumuladas “fac”, en esta última se van suman sucesivamente las frecuencias.

Por lo

demás, los datos agrupados resultan de los cálculos aplicados a la información recogida y presentados agrupándolos en una distribución de frecuencia al tabularlos, ya sea en orden decreciente, creciente o en intervalos de clases. En este sentido, cuando los datos superan a las treinta (30), observaciones y los valores extremos están muy alejados entre sí, se agrupan en intervalos de clases (IC), para presentarlos en cuadros y gráficos estadísticos de distribución de frecuencias.

Cuadros estadísticos

Los cuadros presentan de manera resumida los resultados numéricos de los datos estudiados y sus partes y son: Encabezamiento, cuerpo y fuente. En el encabezamie nto va la identificación con la palabra cuadro y su número respectivo, además, está el título ; le sigue, el cuerpo, este último constituido por el cruce entre las columnas y filas, la primera columna es denominada columna matriz (fig. 2), allí va la variable que estará en el gráfico en el eje de las abscisas o “X”, por lo demás, en la primera fila (fig. 2), se ubica las frecuencias absolutas “fa” y las frecuencias relativas “FR”. En ese orden de ideas, se encuentran en el resto del cuerpo, las columnas accesorias. Del mismo modo, en el cuadro se estila que posea solo tres (3) líneas horizontales, una debajo del título, otra debajo de la primera fila y bajo la última fila. Finalmente, va la fuente de donde se obtuvo los datos. Columna Matriz S exo Masculino Femenino Total

S exo

S exo Masculino Femenino Total

Primera Fila

Columnas accesorias

Fuente:

Fig 2. Columna matriz y primera fila de un cuadro. 19

El título, tanto en el cuadro como en el gráfico debe ser completo y conciso, evidenciar que se estudia, de acuerdo a que características o variable, donde se realiza y en qué fecha, he aquí varias formas de presentar el encabezamiento.

Cuadro 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro # 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro no 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro # 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro no 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro # 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Cuadro no 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020.

En otro orden de ideas, hasta antes de la era de las computadoras tantos los cuadros como los gráficos se realizaban de manera manual, pero con la llegada de la informática y computación, se puede hacer con diferentes programas, lo que se explicará a continuación. Por ejemplo, con Word de Microsoft Office, en su barra de menú principal aparece la opción “Insertar” (fig. 3), rodeada de un cuadro rojo, en ella se da clic y se ve la subopción “Tabla”, señalada con la segunda flecha roja, debajo de dicha palabra, esta una punta de flecha, enmarcada en azul, se realiza un clic sobre la punta de flecha debajo de ella y se debe ubicar la alternativa “Insertar tabla”, en esa alternativa se efectúa un clic y aparece un cuadro de diálogo, llamado “Insertar tabla” (fig. 4), en él se selecciona el número de columnas y filas del cuadro y se da clic en aceptar y aparecerá el cuadro.

Figura 3. Word, opción Insertar tabla.

Figura 4. Cuadro de dialogo Insertar tabla. 21

Una vez obtenido el cuadro, se completa con las variables y datos, posteriormente en Word, se selecciona en la barra del menú principal la opción inicio, la cual la rodea un cuadro morado en la figura 5, se busca en la barra de herramientas donde dice “Párrafo”, que está enmarcado en rojo en la figura 5, encima y a su derecha aparece un cuadro con una punta de flecha a su lado, encerrada en un cuadro azul, con esta opción, se selecciona la figura donde no hay líneas y todas ellas desaparecen del cuadros, luego, se ubican en la primera fila del cuadro y se le coloca línea arriba y debajo de la misma, además , de debajo de la última fila, al ubicar esta opciones, con lo que el cuadro presente solo tres líneas horizontales visibles y que este se vea estéticamente mejor, ello desplegando las opciones al dar clic sobre la punta de flecha (fig. 5).

Figura 5. Word, opción Inicio, alternativa Párrafo.

Gráficos

Los gráficos sintetizan los datos más que los cuadros, presentando la informac ió n de manera general y destacan las variaciones importantes del fenómeno o situació n estudiada, ellos pueden contener toda clase de datos, expresados en barras, círculos, líneas, rectas y curvas. En este sentido, los gráficos tienen varias partes y son: Encabezamiento, cuerpo y fuente. En el encabezamiento va la palabra gráfico, el número del mismo y el título. No obstante, algunos autores prefieren colocar el número y título de los gráficos 22

debajo del ellos. Por otro lado, el cuerpo está constituido gráfico en sí. Finalmente, se encuentra la fuente de donde se obtuvo los datos. Pero, para realizar cualquier gráfico se usa el plano cartesiano, al cual Leitho ld (1975), llama “plano numérico” (pág.17), con sus ejes de las coordenadas rectangulare s, que están formados por la recta o eje de las abscisas o “X”, (X X´), que se ubican en el plano horizontal y en él, la semirecta que va desde cero “0” a la derecha toma los valores entre “0” a “+” infinito o positivos, asimismo, la semirecta que se ubica de cero “0” hacia la izquierda, tiene los valores desde “0” a “-” infinito o negativos, de la misma forma, los números del eje “X” miden distancias en magnitudes, en dicho eje se debe colocar la variable independiente y las escalas que se van a utilizar. Y cuando se representan datos nominales frente a cuantitativos, los primeros se colocan en el eje de las “X” y los segundos en el eje de las “Y”. De igual forma, se encuentra la recta o eje de las ordenadas o “Y”, (Y Y´), la cual se halla en el plano vertical, también, la semirecta que va desde cero “0” hacia arriba, posee valores entre “0” a “+” infinito o positivos, por lo demás, la semirecta que se dirige de cero “0” hacia abajo tiene los valores entre “0” a “-” infinito o negativos, el eje “Y”, mide las distancias del punto del origen a los puntos del referido eje, en él se ubica la variable dependiente, que se expresa por las frecuencias que se obtiene del fenómeno o situación investigada, dichas frecuencias pueden estar expresadas en valores enteros o con decimales, porcentajes y tasas entre otros, es decir, en frecuencias absolutas “fa” o relativas “FR”. De la misma manera, ambas rectas se cruzan por el medio de manera perpendicula r y al punto de unión entre ellas se le denomina origen y le corresponde el valor de cero “0”, allí “x” = 0, también “y” = 0, entonces, a cada valor de “x” le corresponde un valor de “y”, a ello se le llama punto de intercesión “P”, por lo que el origen se denota de la siguiente manera P (x = 0, y = 0), que son los pares ordenados o coordenadas del punto (x, y). En ese sentido, cuando ambos ejes se cruzan dan lugar a cuatro cuadrantes que se distinguen fácilmente en la figura 6, de todos ellos el más usado para graficar, es el cuadrante 1, donde tanto “X” como “Y” son positivos.

Figura 6. Plano cartesiano con los ejes de las coordenadas.

En la figura 7, se observa los cuatro cuadrantes del plano cartesiano con una escala numérica, tanto en el eje de las abscisas (X), como en eje de las ordenadas (Y), en ella se puede graficar, por ejemplo: líneas rectas, curvas, circunferencia, ecuación lineal, sistema 24

de dos ecuaciones con dos incógnitas, variaciones de trinomio de segundo grado, funció n lineal de primer grado y segundo grado, como también el eje eléctrico del corazón entre otras cosas.

Figura 7. Ejes de las coordenadas con escala en las abscisas y en las ordenadas.

Por otro lado, en la figura 8, se ve los ejes del primer cuadrante para graficar, pero tanto en el eje de las “X” (abscisas), como en el eje de las “Y” (ordenadas), las divisio ne s de las escalas que se usen deben ser iguales o ligeramente mayor en el eje horizontal, es decir, el de las “X”. Desde esa perspectiva, centímetro por centímetro para ambas o 1 cm para el eje de las “Y” y 1,5 cm para el de las “X” o también que “Y” sea

3 4

de “X”.

Igualmente, el eje de las “X” se divide tanto como se necesite, esto para abarcar las clases 25

que en ella se representan. Del mismo modo, las escalas tienen que comenzar en cero “0”. También hay que decir, que cada escala debe estar identificada de manera que sea fácil saber lo que representa. Finalmente, cuando los gráficos son de barras, estas deben ser de la misma anchura, guardar igual distancia entre cada una de ellas, poseer diferentes colores o rellenos para cada categoría que represente.

Figura 8. Ejes para graficar. A lo anterior hay que agregar, que con la ecuación siguiente x2 + y2 = 16, se obtiene al despejarla los valores del cuadro 8; y con ellos se puede graficar una circunferencia en el plano cartesiano, ubicando cada punto según sus coordenadas correspondientes (x, y), en los ejes de las “X” (abscisa), y de la “Y” (ordenadas), lo que puede verse más abajo. Desde esta óptica, la circunferencia es una línea curva plana, constituida por el conjunto de todos los puntos que la conforman, los cuales están equidistante de un punto interior que es su centro, ubicado en el origen y representado por el número cero “0”, lo que puede observarse en el gráfico 1. También, a la distancia o segmento de recta que va desde cero “0” a + 4 en “X” y en “Y” o de cero a - 4 en “X´” y “Y´” se le denomina radio “r”. Del mismo modo, a la parte de la circunferencia delimitada por dos radios “r”, se le dice sector circular. En ese entorno, según Baldor (1983), el diámetro “D”, es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro (pág. 454). Por otra parte, a la circunferencia se la divide en 360 partes iguales, llamada grados (360º), cada grado tiene 60 partes iguales denominadas minutos y cada minuto a su vez 60 partes 26

iguales que son los segundos, ejemplo, de esto es la siguiente expresión 22º15´10´´, que se lee como veintidós grados, quince minutos y diez segundos. Por otro lado, para realizar el gráfico de la circunferencia, diagrama de pastel o sectores se usa el compás y para ubicar los grados que le corresponde a cada cantidad se echa mano del transportador que tiene forma circular y posee la división de la escala de 360º. Del mismo modo, el diagrama de circunferencia, pastel o sectores, se usa para datos con porcentajes cualitativos, categóricos y no numéricos. De igual forma, en la ecuación de abajo, a la última expresión de ella se coloca más o menos ± porque la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos signos, por ejemplo 22 y -22 = 4, entonces la √ 4 = ± 2. Pero toda ecuación que posea la forma x2 + y2 = r2 . Así, en este caso, el radio es 4, que es la raíz cuadrada de 16.

x2 + y2 = 16; y2 = 16 – x2 ;

√𝑦 2 = √16 − 𝑥 2 = y = + √16 − 𝑥 2

y = + √16 − (− 42 ) = = + √ 16 − 16 = = + √0 = 0. y = + √16 − (− 32 ) = = + √ 16 − 9 = = + √7 = + 2,6. y = + √16 − (− 22 ) = = + √ 16 − 4 = = + √12 = + 3,4. y = + √16 − (− 12 ) = = + √ 16 − 1 = = + √15 = + 3,8. y = + √16 − (− 02 ) = = + √ 16 − 0 = = + √16 = + 4. y = + √16 − ( 12 ) = = + √ 16 − 1 = = + √ 15 = + 3,8. y = + √16 − ( 22 ) = = + √ 16 − 4 = = + √ 12 = + 3,4. y = + √16 − ( 32 ) = = + √ 16 − 9 = = + √ 7 = + 2,6. y = + √16 − (− 42 ) = = + √ 16 − 16 = = + √0 = 0. Cuadro 8. Valores de “x” e “y” de un círculo. x y

-4 0

-3 + 2,6

-2 + 3,4

-1 + 3,8

0 +4

1 + 3,8

2 + 3,4

3 + 2,6

4 0

Fuente: Tomado de Baldor, A. (1984). Algebra. Caracas, Venezuela: Cultural. Páginas 228 – 229. 27

Gráfico 1. Valores de “x” e “y” de un circulo. Desde este contexto, el circulo es uno de los gráficos más usados en estadística, él mismo se encuentra formado por 360º, donde puede representar cifras absolutas “frecuencias absolutas” (fa), o cifras relativas “frecuencias relativas” (FR), como porcentajes. Por ejemplo, para transformar a grado los siguientes datos: 48 individ uo s masculinos y 55 femeninos, cuya sumatoria será 103, se hace una regla de tres para llevar la a grados. De la misma manera, se puede llevar cada uno a porcentaje y luego hacer una regla de tres para llevarlos a grado. O se multiplica directamente el porcentaje por 3,6; porque cada 1% es igual a 3,6º y al multiplicarlos da los grados. No obstante, los grados ubican en el sentido que gira las agujas del reloj, es decir, hacia la derecha. Masculino Femenino Masculino Femenino

= 48 x 360 / 103 = 167,76 = 167º 60´ 16´´ ≈ 168º = 55 x 360 / 103 = 192,24 = 192º 24´ 00´´ ≈ 192º = 48 x 100 / 103 = 46,60% = 46,60 x 360 / 100 = 167,76 ≈ 168º = 55 x 100 / 103 = 53,40% = 53,40 x 360 / 100 = 192,24 = 192º 24´ 00´´

≈192º Masculino = 46,60 x 3,6 = 167,76 = 167º 60´ 16´´ ≈ 168º Femenino = 53,40 x 3,6 = 192,24 = 192º 24´ 00´´ ≈ 192º 28

Gráficos con Excel En este orden de ideas, para realizar los gráficos se puede usar Excel de Microsoft Office, para ello se copia el cuadro desde Word, se pega en Excel, se decide si se va a expresar números en cifras absolutas “fa” o relativas “FR”, en este caso, se decidió, por las cifras relativas, que en esta oportunidad son porcentajes, por lo demás, se debe sustituir la coma de los decimales por un punto, debido a que el programa no reconoce la coma, se sombrea las áreas que dicen sexo, %, masculino, femenino y los valores de los porcentajes, en la barra del menú principal se da clic en la opción “Insertar” encerrada en un cuadro rojo en la figura 9, se busca luego en la barra de herramientas donde dice “Gráfico” enmarcado en rojo en la figura 9, se selecciona el tipo de gráfico, se da clic sobre la punta de flecha que está a su lado y se escoge el más apropiado, entonces, aparece el gráfico (fig.9).

Figura 9. Programa Excel para realizar gráficos. 29

Además, en Excel se puede hacer organigrama, como se verá a continuación, en las figuras 10 y 11. Se da clic en “Insertar” en el Menú Principal, señalado con una flecha roja, luego en el icono indicado con una flecha azul se realiza clic y aparece el cuadro de diálogo llamado “Elegir un gráfico SmartArt”, que se ubica con la flecha morada, allí se le da clic a la opción “Jerarquía” (figura 10), y aparece el organigrama (figura 11), en los recuadros que dice “Texto”, señalado con una flecha roja, se introduce con el teclado las diferentes jerarquías obteniéndose el organigrama deseado.

Figura 10. Programa Excel para realizar organigrama.

Figura 11. Programa Excel organigrama. 30

Finalmente, con Excel se puede realizar pirámides de población, en la primera columna, se pone los intervalos de los grupos de edades o etarios, en la segunda los porcentajes con el signo menos precedido para que puedan aparecer en el lado derecho, en la tercera los porcentajes sin signo, en la cuarta los valores absolutos antecedido del signo negativo para masculino, para que se represente a la izquierda, en la última columna las cifras absolutas sin signos de las femeninas, se sombrea todo menos el total, se da clic en “Insertar”, luego en grafico recomendado y se escoge el cuarto grafico que aparece en el cuadro de diálogo “Insertar gráfico” y se logra la pirámide de población. (figura 12).

Figura 12. Pirámide de población con Excel. 31

Gráfico con Word

También con Word se puede hacer los gráficos al dar clic en la barra del menú principal en la opción “Insertar” encerrada en un cuadro rojo en la figura 13, se busca luego en la barra de herramientas donde dice la palabra “Gráfico” enmarcada en azul, se hace clic sobre ella, luego aparece un cuadro de diálogo llamado “Insertar gráfico” (figura 14), se escoge el más apropiado y se da clic sobre él o donde dice aceptar y aparece una ventana pequeña con un cuadro y un gráfico, asimismo, en el cuadro se modifica las variables y frecuencias, se borra las que no son necesarias y le das nombres al eje de las “X” en este caso “Sexo” y a las “Y” como “%” y al final tienes el gráfico (figura 15).

Figura 13. Programa Word para realizar gráficos.

Figura 14. Cuadro de diálogo Insertar gráfico 32

Figura 15. Programa Word para realizar gráficos. 33

Cuadro y gráfico de distribución de frecuencia

En los cuadros de distribución de frecuencia, los elementos estudiados se refieren a una sola variable y una sola escala, desde esa óptica, el siguiente ejemplo hipotético, ilustrara la antes dicho, en el cuadro 9; se ve la distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de medina de la UCLA, aquí la población es los estudiantes de Medicina de la UCLA y la muestra los del quinto semestre de medicina.

Cuadro 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Sexo

Masculino 125 Femenino 75 Total 200 Fuente: Autor 2020.

FRac

Grados

62,50% 37,50% 100,00%

62,50 100,00

225º 135º 360º

Grados = fa . 360 o FR . 360 o % . 3,6 fa = Frecuencias absolutas Total 100 FR= Frecuencias relativas. FRac = Frecuencias relativas acumuladas. En las frecuencias relativas “FR”, se presentan los valores numéricos como fracciones, razones, proporciones, porcentajes y tasas, por lo demás, ellas pueden ser simples “FR” o acumuladas “FRac”. En el cuadro 9; se aprecia que predomina el sexo masculino sobre el femenino en 62,50% de los individuos estudiados. Para concluir este punto, de esta manera se debe presentar el cuadro en un trabajo de grado, monografía o tesis.

Cuadro 9. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Sexo

Masculino Femenino Total Fuente: Autor 2020.

125 75 200

62,50 37,50 100,00

A continuación, varias formas de presentar los datos cuadro 5, en el gráfico 2.

Gráficos de barras de distribución de frecuencias

% 70

0 Masculino

Femenino

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9. 35

Masculino

Femenino

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9.

Femenino

Masculino

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9. 36

Femenino Masculino 0

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9. Gráficos de barras dobles de distribución de frecuencias

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9.

Gráficos de barras compuesta de distribución de frecuencias

% 120 100 80

60 40 20 0 Masculino

Femenino

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9.

Gráfico de sectores, circunferencia, pastel o torta.

Masculino

Femenino

Gráfico 2. Distribución por sexo de los estudiantes del quinto semestre de Medicina de la UCLA, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 9. 38

Por otra parte, cuando la característica que se estudia presenta muchos valores o datos, es mejor dividirlas en clases, por ejemplo, el peso de varias personas, porque sería muy engorroso poner cada peso individual, asimismo, las clases son intervalos de valores donde se ubica un número determinado de datos, cada clase tiene un límite superior “Ls” y un límite inferior “Li” y debe ser mutuamente excluyente con respectos a la clase siguiente, por lo demás, posee un intervalo de clase “IC”, asimismo, hay que calcular el rango “R” el cual se encuentra al restar el valor máximo menos el valor mínimo de los datos estudiados, 𝑅

IC = 𝑛0 clases , IC =

R = 43 – 8 = 35, luego se calcula el intervalo de clase “IC”, 35 6

= 5,83 ≈ 6. No obstante, el número total de las clases es designado

por el que realiza el estudio, pero es recomendable que no sea menor de 5 ni mayor de 20 clases. Se prosigue calculando el límite inferior de la clase sucesiva, para ello se le suma al límite inferior de la clase anterior el intervalo de clase “IC” obtenido, ejemplo Li de la clase 2, Li = 8 + 6 = 14, el de la tercera clase Li = 14 + 6 = 20, etc. Luego se calcula el límite superior “Ls” de cada clase que debe ser menor en una unidad, decima o centésima que el límite

inferior de la clase siguiente,

ejemplo, Ls de la primera clase,

Ls = 14 - 1 = 13, de la segunda Ls 20 – 1 = 19 y así con cada uno. Sin embargo, al agrupar a los sujetos objetos del estudio en clases, estos pierden su carácter individual que poseían en la serie de la cual se obtuvieron, por lo que hay que calcular el punto medio o centro de clase “Xm” que es el valor representativo de los valores contenidos en su respectiva clase y este valor no se redondea, pero se debe tener en cuenta que el límite superior real (Lsr), de una clase es el límite inferior real (Lir), de la siguiente clase. Xm = (Lir + Lsr)/2.

Xm = (7,5 + 13,5) / 2 = 10,50. Así sucesivamente hasta

llegar a Xm (37,5 + 43,5) / 2 = 40,50. Por otro lado, el punto medio o centro de clase “Xm” representa el promedio de su clase, por ejemplo 29 kg es el promedio de peso de la clase 4 donde se ubican los pesos desde 26 a 31 kg. Con el caso hipotético del cuadro 10; se verá lo arriba referido, que trata de la distribución por peso en kg de 78 personas.

Cuadro 10. Distribución por peso de 78 personas que acudieron a la consulta de Medicina Familiar del Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy, Venezuela 2020. Peso en Kg

Limites verdaderos Lir Lsr 7,5 – 13,5 13,5 – 19,5 19,5 – 25,5 25,5 – 31,5 31,5 – 37,5 37,5 – 43,5

8 -13 10,50 14-19 16,50 20-25 22,50 26-31 28,50 32-37 34,50 38-43 40,50 Total 153,00 Fuente: Autor 2020.

fac

FRac

30 18 12 7 5 6 78

30 48 60 67 72 78

38,46 23,08 15,38 8,97 6,41 7,70 100,00

38,46 61,54 76,92 85,89 92,30 100,00

En el cuadro 10 se evidencia que el mayor porcentaje de los que consultaro n pesaban de 8 a 13 kg con un 38,41%, el promedio de sus pesos fue de 11 kg y consultaro n 30 individuos. Por otra parte, el gráfico 3, es un diagrama de distribución de frecuencia s acumuladas, este se realiza en escalas cuantitativas, para analizar o resumir series cronológicas, para verificar el efecto que se acumula a través el tiempo.

Gráfico de frecuencias acumuladas.

Gráfico 3. Distribución de frecuencias acumuladas por peso de 78 personas que acudieron a la consulta de Medicina Familiar del Ambulatorio Urachiche, Urachiche, Estado Yaracuy, Venezuela 2020, por frecuencias acumuladas. Fuente: Cuadro 10. 41

Cuadro 11. Defunciones por accidentes, frecuencias acumuladas por grupo de edad, Venezuela, 1961. Edad en No años defunciones 0-9 748 10-19 457 20-29 642 30-39 466 40-49 340 50-59 241 60-69 156 70-79 76 80-89 81 Total 3027 Fuente: Tomado de Fayad, C. (1982). Venezuela: ULA, págs. 115.

748 1025 1847 2313 2653 2894 3050 3126 3027

23,30 37,60 57,60 72,10 82,70 90,20 95,10 97,50 100,00

Estadística médica. (Tomo I). Mérida,

3500

% 100

Número de defunciones

3000 2500 2000 1500 1000 500 0

0a9

10 a 19 20 a 29 30 a 39 40 a 49 50 a 59 60 a 69 70 a 79 80 a 89

Grupo de edades

Gráfico 4. Defunciones por accidentes, frecuencias acumuladas por grupo de edad, Venezuela, 1961. Fuente: Cuadro 11.

Cuadro y gráficos de asociación de dos o más variables

En los cuadros de asociación se estudian dos o más variables de la muestra para evidenciar las relaciones entre ellas y dichos cuadros contienen tanto frecuencias absolutas “fa” como frecuencias relativas “FR”. En este tipo de cuadros existe también un rango, dicho rango “R”, es la distancia, amplitud o recorrido desde el valor máximo del mismo hasta su valor mínimo, por ejemplo, cuando se relaciona edad en años y sexo, en este caso para no se coloca 1 año, 2 años, etc, sino que se agrupa las edades en intervalos de clases “IC” y este último se define como el número de datos a incluir en cada clases, el referido intervalo de clases posee un límite inferior (Li) y uno superior (Ls), además, cada subdivisión de la escala debe ser mutuamente excluyente, para que un dato no esté ubicado a la vez en dos subdivisiones. En el siguiente caso hipotético se estudia en el cuadro 12, la distribución por edad y sexo de una muestra de 241 personas desde 1 año de edad hasta 100 años, del Barrio el Triunfo. Se pasa a calcular el rango “R”, intervalo de clase “IC”, el límite inferior “Li” y el límite superior “Ls” de cada clase R = 100 - 1 = 99. IC = IC =

𝑅 𝑛0 99 10

𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠

= 9,9 ≈ 10.

Entonces se calcula el límite inferior “Li” de cada clase, el primer límite inferio r está dado por el valor más bajo de la serie estudiada, el segundo se obtiene de la siguie nte forma, al límite inferior de la primera clase que es 1 se le suma 10 que es el intervalo de clase “IC” y da 11 y este constituye el límite inferior de la segunda clase, del igual modo al límite inferior de la segunda clase que es 11 se le suma 10 (IC), y da 21 y este es el límite inferior de la tercera clase y así sucesivamente. Segunda clase Li = 1+10 = 11 Tercera clase Li = 11+10 = 21, etc. Posteriormente se debe calcular el límite superior “Ls” de cada clase, pero el mencionado límite superior es definido como el valor más alto de cada clase. Sin embargo, como se dijo ante los valores deben ser mutuamente excluyentes y por ese motivo el límite 43

superior debe ser menor que el límite inferior de la clase siguiente, por ejemplo, el límite superior de la primera clase es 10 porque debe excluir al valor 11 que es el límite inferio r de la clase que a continuación le sigue o en este caso se puede obtener restando uno (1), al límite inferior de la clase sucesiva. En consecuencia, el límite superior debe ser una unidad, decima, centésima, etc, menor con respecto a límite inferior de la clase que le sigue.

Cuadro 12. Distribución por edad y sexo de 241 personas del Barrio El Triunfo, Parroquia Unión, Municipio Iribarren, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Edad en años 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 Total

Masculino fa FR 7 5 10 12 20 15 22 10 9 3 113

Femenino

2,90 2,07 4,15 4,98 8,30 6,22 9,13 4,15 3,73 1,24 46,89

Total

9 7 8 23 15 9 27 13 12 5 128

3,73 2,90 3,32 9,54 6,22 3,73 1,.20 5,39 4,98 2,07 53,11

16 12 18 35 35 24 49 23 21 8 241

6,64 4,98 7,47 14,52 14,52 9,96 20,33 9,54 8,71 3,32 100,00

Fuente: Autor 2020. El mismo cuadro en un trabajo de investigación se presenta así. Cuadro 12. Distribución por edad y sexo de 241 personas del Barrio El Triunfo, Parroquia Unión, Municipio Iribarren, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Edad en años 1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 Total

Masculino No 7 5 10 12 20 15 22 10 9 3 113

Femenino %

2,90 2,07 4,15 4,98 8,30 6,22 9,13 4,15 3,73 1,24 46,89

9 7 8 23 15 9 27 13 12 5 128

Fuente: Autor 2020. 44

Total %

3,73 2,90 3,32 9,54 6,22 3,73 1,.20 5,39 4,98 2,07 53,11

16 12 18 35 35 24 49 23 21 8 241

6,64 4,98 7,47 14,52 14,52 9,96 20,33 9,54 8,71 3,32 100,00

% 12

0 01 a 10

11 a 20

21 a 30

31 a 40

41 a 50

51 a 60

61 a70

71 a 80

81 a 90

91 a 100

Edad en años Masculino

Femenino

Gráfico 5. Distribución por edad y sexo de 241 personas del Barrio El Triunfo, Parroquia Unión, Municipio Iribarren, Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela 2020. Fuente: Cuadro 12.

Cuadro y gráficos de series cronológicas

Estos cuadros se usan para estudiar un fenómeno, situación, individuos entre otros a través del tiempo, son muy usados en el campo de salud, sobre todo en el área de la epidemiología. Esos cuadros en la columna matriz o primera columna ubica el periodo de tiempo, en la segunda columna la frecuencia absoluta “fa” con la que ocurrió el hecho 45

estudiado, además, pueden incluir una tercera columna con las frecuencias relativas “FR”, generalmente expresada en tasas.

Cuadro 13. Morbilidad por Dengue Clásico en Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela entre los años 2000 al 2003. Años

Casos notificados

2000 2001 2002 2003 Fuente: Autor 2020. Tasa morbilidad =

𝑛0 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

300 250 165 301

Población

1.500.505 1.600.005 1.655.258 1.700.001

Tasa de morbilidad por 100.000 habitantes 19,99 15,62 9,97 17,05

. 100000

La morbilidad es según Aranda (1979), es el: “Número de personas enfermas o casos de una enfermedad en relación con la población en que se presenta. Se expresa por

Tasa

medio de tasas” (pág. 22).

2000

2001

2002

2003

Año

Gráfico 6. Morbilidad por Dengue Clásico en Barquisimeto, Estado Lara, Venezuela entre los años 2000 al 2003. Fuente: Cuadro 13. 46

En el cuadro 14, se da una correlación entre el tipo de cuadro, la escala y el gráfico a utilizar.

Cuadro 14. Correspondencia entre el tipo de cuadro, escala él tipo de gráfico. Tipo de cuadro Escala para medir la variable Nominal, ordinal y Distribución de frecuencia s numérica discreta Numérica continua

De asociación

Series cronológicas

Numérica y nominal o numérica y ordinal Ambas nominales, ambas ordinales o nominal y ordinal Ambas numéricas

de medición de la variable y Tipo de gráfico Barras simples, Grafico de sectores Histograma, polígono de frecuencias, curva integral Polígono de frecuencias Barras múltiples, proporcionadas

barras

Diagrama de puntos

Tiempo

Línea e tendencia, números índices y barras Fuente: Tomado de Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC. Página 99. Histograma

En el histograma la situación que se investiga se representa en este tipo gráfico por barras rectangulares y verticales, colocadas una al lado de la otra y sin espacio entre las mismas, las mencionadas barras simbolizan distribuciones de frecuencias cuantitativa s continuas. En el ejemplo tomado de Camel (1982). Estadística médica. (Tomo I), páginas. 106 -109, se verá cómo se construye. En el cuadro 15, se expone las defuncio ne s por accidente y por grupo de edad en Venezuela para el año 1961, del siglo XX d.C, y para obtener los datos de la tercera columna, se divide el número de defunciones de cada clase de grupo etario entre la amplitud de cada clase. Por otra parte, la amplitud de la primera clase que va 0 a 4, y es de cinco (5), es decir, está 0, 1, 2, 3 y 4, por lo que hay cinco números que la constituye. Asimismo, la 47

amplitud de 5 a 14 y de 15 a 24, es 10, debido a que hay 10 números en ellas. Finalmente, de 25 a 44; 45 a 64; y de 65 a 84, es de 20, puesto que existe 20 números que las componen. Como consecuencia de lo anterior el ancho de cada barra estará dado por la amplitud de su clase y los datos para que se grafican están dados por los promedios que se ubican en la cuarta columna del cuadro 15. No obstante, si la amplitud para todas las clases fuera la misma, en ese caso las barras tendrían la misma anchura todas.

Cuadro 15. Defunciones por accidente, por grupo de edad, Venezuela, 1961. Edades en años Número de Amplitud de clase Defunciones por defunciones años de edad 0–4 501 5 100 5 – 14 453 10 45 15 – 24 605 10 60 25 – 44 931 20 46 45 – 64 499 20 25 65 – 84 218 20 11 Total 3207 Fuente: Tomado de Camel, F. (1982). Estadística médica. (Tomo I). Mérida, Venezuela : ULA, págs. 107.

Gráfico 7. Defunciones por accidente, por grupo de edad, Venezuela, 1961. Fuente: Cuadro 15. 48

En el cuadro 16, se presenta casos hipotéticos de defunciones por todos los tipos de cáncer por grupos de edades, pero con una amplitud de clases igual, por lo que las barras tendrán el mismo ancho en el gráfico de histograma.

Cuadro 16. Defunciones por todos los tipos de cáncer, por grupo de edad, Venezuela, 2019. Edades en años Número de Amplitud de clase Defunciones por defunciones años de edad 1 – 10 900 10 90 11 – 20 800 10 80 21 – 30 750 10 75 31 – 40 600 10 60 41 – 50 499 10 50 51 – 60 218 10 22 61 - 70 170 10 17 71 - 80 150 10 15 81 - 90 135 10 14 91 - 100 89 10 9 Total 3681 Fuente: Autor, casos hipotéticos.

Gráfico 8. Defunciones por todos los tipos de cáncer, por grupo de edad, Venezuela, 2019. Fuente: Cuadro 16.

Polígono de frecuencia

En este gráfico se va a usar el cuadro 15 y sus datos, también se usa los promedios que se ubican en la cuarta columna del cuadro mencionado, porque las amplitudes de las clases son desiguales. En este tipo de gráfico, se representan una serie de puntos que ocuparían la altura de las barras de histograma graficado arriba, puesto que se usaron los mismos datos y forma una línea continua, por lo demás, si se superpone dicha línea del polígono de frecuencia sobre las barras del histograma, se notarían que coinciden en su altura y los puntos caen en medio de su barra correspondiente.

120

Defunciones por accidentes

100

25 45 Grupo de edades en años

Gráfico 9. Defunciones por accidente, por grupo de edad, Venezuela, 1961. Fuente: Cuadro 15. 50

100

Defunciones por cáncer

0 11

100

Grupos de edades

Gráfico 10. Defunciones por todos los tipos de cáncer, por grupo de edad, Venezuela, 2019. Fuente: Cuadro 16.

Curva Endémica

Para realizar la gráfica de la curva endémico, se averigua la morbilidad específica por la enfermedad que se va graficar, por semanas o meses de los últimos 7 años, pero también puede ser los últimos 5 años, porque periodos más cortos que este pueden estar influenciado por las fluctuaciones anuales, en el presente caso la enfermedad es gastroenteritis, luego se calcula la posición o lugar de mediana (Md), del primer cuartil 51

(Q1), y tercer cuartil (Q3). Entonces, hay que ordenar de menor a mayor los casos en el mismo mes de todos los años investigados. Por otro lado, la mediana expresa en la curva endémica el número de casos esperados para cada mes y constituye el índice endémico, de igual forma, entre el primer y tercer cuartil, se encuentran las fluctuaciones que se pueden esperar y que no llega al área de epidemia. Pero, por la fluctuación de un año a otro, se debe calcular el primer y tercer cuartil, para medir dicha fluctuación. Por lo demás, la mediana no es modificada por los valores extremos. Del mismo modo, al graficar la mediana junto con el primer y tercer cuartil se obtiene la curva endémica. No obstante, se puede hacer también, este tipo de curva, con la media aritmética y la desviación estándar de las series correspondiente a cada mes.

Cuadro 18. Casos de gastroenteritis por meses, 1963 - 1969. Meses del año Años E F M A 1963 8 2 4 6 1964 4 2 1 7 1965 2 8 4 7 1966 14 13 8 9 1967 15 21 10 16 1968 6 6 4 10 1969 6 13 18 9 Fuente: Tomado de Aranda, P. Venezuela: ULA. Pág. 197.

M J J A 5 8 6 7 5 4 6 6 7 13 19 13 19 14 21 20 28 25 10 7 9 13 11 10 6 16 9 6 (1971). Epidemiologia

Total S O N D 5 5 5 1 62 19 3 4 5 66 16 11 2 12 114 11 7 5 10 151 19 4 14 8 177 16 20 10 5 120 8 6 6 2 105 General. (Tomo I). Mérida,

Como en el cuadro 19, en la página siguiente, son siete (7), filas que lo constituye n, entonces, se calcula el lugar de la mediana con su fórmula para datos no agrupados que es: Lugar o posición de la Md =

𝑛+1 2

7+1 2

8 2

= 4.

Md = Mediana.

n = Total de

datos. Por consiguiente, el lugar de la mediana da el valor de cuatro (4), es decir, ocupa la cuarta fila en el cuadro 19, y dicha fila divide las observaciones en dos partes iguale s , con tres filas por encima y debajo de ella, pero la mediana también equivale al segundo cuartil (Q2), al calcularla este también da cuatro (4), por lo demás, el primer cuartil (Q1), al calcularlo da 2, por lo que se ubica en la fila 2 y el tercer cuartil (Q3), resulta que es 52

seis (6), lo que lo ubica en la fila 6, en consecuencia, se grafican, los datos de estas tres filas para obtener la curva endémica. Lugar o posición del Q2 = Lugar o posición del Q1 = Lugar o posición del Q3 =

2 (𝑛+1) 4 (𝑛+1) 4

3 (𝑛+1) 4

2 (7+1) 4

(7+1)

2 (8) 4

16 4

= 4.

= 4 = 2.

3 (7+1) 4

3 (8) 4

24 4

= 6.

Q = Cuartil. n = Total de datos. 1, 2 y 3 = número del cuartil. Cuadro 19a. Casos de gastroenteritis por meses, 1963 – 1969, ordenados para obtener la media, el primer y tercer cuartil. Meses del año E F M A M J J A S O N D 2 2 1 6 5 4 6 6 5 3 2 1 4 2 4 7 5 8 6 6 8 4 4 2 Q1 6 6 4 7 6 18 9 7 11 5 5 5 6 8 4 9 7 13 10 7 16 6 5 5 Md 8 13 8 9 9 14 11 10 16 7 6 8 14 13 10 10 19 16 19 13 19 11 10 10 Q3 15 21 18 16 28 25 21 20 19 20 14 12 Fuente: Tomado de Aranda, P. (1971). Epidemiologia General. (Tomo I). Mérida, Venezuela: ULA. Pág. 198. Cuadro 19b. Casos de gastroenteritis por meses, 1963 – 1969, ordenados para obtener la mediana, el primer y tercer cuartil. Posición Año

1 2 3 4 5 6 7

1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 PQ1 PQ2 o PMd PQ3 VQ1 VQ2 o VMd VQ3

E 2 4 6 6 8 14 15 2 4 6 4 6 14

F 2 2 6 8 13 13 21 2 4 6 2 8 13

M 1 4 4 4 8 10 18 2 4 6 4 4 10

A 6 7 7 9 9 10 16 2 4 6 7 9 10

M 5 5 6 7 9 19 28 2 4 6 5 7 19

J 4 8 18 13 14 16 25 2 4 6 8 13 16

J 6 6 9 10 11 19 21 2 4 6 6 10 19

A 6 6 7 7 10 13 20 2 4 6 6 7 13

S 5 8 11 16 16 19 19 2 4 6 8 16 19

O 3 4 5 6 7 11 20 2 4 6 4 6 11

N 2 4 5 5 6 10 14 2 4 6 4 5 10

Fuente: Tomado de Aranda, P. (1971). Epidemiologia General. (Tomo I). Mérida, Venezuela: ULA. Pág. 198. P = Posición calculada y V = Valor de Q1, Q2 (Md), y Q3.

D 1 2 5 5 8 10 12 2 4 6 2 5 10

En la curva endémica (gráfico 7), las líneas de la mediana y del primer y tercer cuartil, delimitan cuatro zonas: La zona de éxito, que cuando los casos se presentan en ella existe un buen control epidemiológico de la enfermedad, asimismo, la zona de seguridad, en ella el control epidemiológico es bueno, le sigue, la zona de alarma, como esta zona delimita con la zona de epidemia, hay que tomar mayores medidas epidemiológicas para controlar la enfermedad, finalmente, está la zona de epidemia, aquí los casos salen del número esperado y se debe tomar medida urgentes para controlar la enfermedad o como lo afirma Camel (1982), “ Si el número de casos excede la cifra señalada por el tercer cuartil, se concluirá que realmente existe una epidemia (pág. 177, tomo II).

Gráfico11. Curva endémica de gastroenteritis en base a los casos mensuales del periodo 1963 – 1969. Fuente: Cuadro 19a y 19b. 54

Cuadro 20. Casos de gastroenteritis por meses, 1963 – 1969, ordenados para obtener la media. Año

E 2 4 6 6 8 14 15 55

F 2 2 6 8 13 13 21 65

M 1 4 4 4 8 10 18 49

A 6 7 7 9 9 10 16 64

M 5 5 6 7 9 19 28 79

7,86

9,29

7,00

9,14

11,29

1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969

J 4 8 18 13 14 16 25 98

J 6 6 9 10 11 19 21 82

14,00 11,71

A 6 6 7 7 10 13 20 69

S 5 8 11 16 16 19 19 94

O 3 4 5 6 7 11 20 56

N 2 4 5 5 6 10 14 46

D 1 2 5 5 8 10 12 43

9,86

13,43

8,00

6,57

6,14

Fuente: Tomado de Aranda, P. (1971). Epidemiologia General. (Tomo I). Mérida, Venezuela: ULA. Pág. 198. 𝑿= ∑

𝒙 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 … + 𝒙𝒏 = 𝒏 𝒏

𝑿 = Media aritmética o promedio aritmético, datos no agrupado . ∑ = Sumatoria. 𝒙 = Valores de x. n = Total.

𝑿=

𝟐+𝟒+𝟔+𝟔+𝟖+𝟏𝟒+𝟏𝟓

𝑿=

𝟏+𝟒+𝟒+𝟒+𝟖+𝟏𝟎+𝟏𝟖

𝑿=

𝟓+𝟓+𝟔+𝟕+𝟗+𝟏𝟗+𝟐𝟖

𝑿=

𝟔+𝟔+𝟗+𝟏𝟎+𝟏𝟏+𝟏𝟗+𝟐𝟏

𝑿=

𝟓+𝟖+𝟏𝟏+𝟏𝟔+𝟏𝟔+𝟏𝟗+𝟏𝟗

𝑿=

𝟐+𝟒+𝟓+𝟓+𝟔+𝟏𝟎+𝟏𝟒

𝟕

= = =

𝟕

𝟓𝟓 𝟕 𝟒𝟗 𝟕 𝟕𝟗 𝟕

𝟒𝟔 𝟕

𝟔𝟓

𝑿=

= 7,00.

𝑿=

𝟔+𝟕+𝟕+𝟗+𝟗+𝟏𝟎+𝟏𝟔

=11,29.

𝑿=

𝟒+𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟑+𝟏𝟒+𝟏𝟔+𝟐𝟓

𝑿=

𝟔+𝟔+𝟕+𝟕+𝟏𝟎+𝟏𝟑+𝟐𝟎

𝑿=

𝟑+𝟒+𝟓+𝟔+𝟕+𝟏𝟏+𝟐𝟎

𝑿=

𝟏+𝟐+𝟓+𝟓+𝟖+𝟏𝟎+𝟏𝟐

𝟖𝟐 𝟕

𝟐+𝟐+𝟔+𝟖+𝟏𝟑+𝟏𝟑+𝟐𝟏

= 7,86.

= 11,71.

𝟗𝟒 𝟕

= 13,43.

= 6,57.

𝟕

𝟕 𝟔𝟒 𝟕

𝟕

= =

= 9,29. = 9,14. 𝟗𝟖 𝟕

𝟔𝟗 𝟕

𝟓𝟔 𝟕 𝟓𝟓 𝟕

= 14,00.

= 9,86. = 8,00.

= 6,14.

Cuadro 21. Calculo de la media aritmética, desviación estándar y valores de 𝑋 ± 𝜎, por cada mes en los casos de gastroenteritis por meses, 1963 – 1969, ordenados para obtener la media, el primer y tercer cuartil.

Mes del año

𝑠

𝑋− 𝑠

𝑋+ 𝑠

E F M A

7,86 9,29 7,00 9,14

2,96

4,9 9,19 4,35 9,13 11,28 14,00 11,70 9,85 13,43 8,00 6,57 6,13

10,82 9,39 9,65 9,15 11,30 14,00 11,72 9,87 13,43 8,00 6,57 6,15

M 11,29 J 14,00 J 11,71 A 9,86 S 13,43 O 8,00 N 6,57 D 6,14 Fuente: Autor 2020.

∑(𝒙−𝑿) 𝒔= √ 𝒏

𝟐

0,10 2.65 0,008 0,011 0,00 0,011 0,008 0,004 0,00 0,004 0,008

∑(𝒙−𝑿) o 𝒔 = √ 𝒏−𝟏

𝟐

𝒔 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟. ∑ = Sumatoria. x = Diferentes valores de “x”. X = Media aritmética o promedio aritmético.

n = Total de datos.

Gráfico12. Curva endémica de gastroenteritis en base a los casos mensuales del periodo 1963 – 1969. Fuente: Cuadro 21.

Curva de distribución frecuencia normal La curva de distribución de frecuencia normal (figura 16), posee forma de campaña simétrica y al pasar una línea recta perpendicular por la mitad de ella, se divide en dos partes exactamente iguales, es decir, que cada mitad tiene el 50% de las observaciones, asimismo, en dicha intercesión o centro se encuentra la media aritmética

(X), o promedio aritmético, como también la mediana y la moda, todas las cuales son medidas de tendencia central, que se detallaran en un próximo capítulo. No obstante, los extremos de la curva normal nunca tocan el eje de las “X” o abscisas.

Figura 16. Curva de distribución de frecuencia normal.

En el caso hipotético que presenta el cuadro 18, se verá como da una curva de distribución de frecuencias normal.

Cuadro 22. Casos de Gripe por edad, Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy, junio del 2020. Edad en años Casos de Gripe 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Fuente: Autor 2020.

2 10 20 30 40 50 40 30 20 10 2

Gráfico 13. Casos de Gripe por edad, Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy, junio del 2020. Fuente: Cuadro 22.

Pirámide de población

La pirámide de población es el gráfico que más se usa en demografía, para representa a la población por sexo y grupo de edades de un país o región. De igual manera, a la demografía se la define como, la disciplina o ciencia social que estudia a la población en su estructura según el sexo, edad, crecimiento de acuerdo comportamiento de migración, natalidad y mortalidad. En este sentido, el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. (2019), da la siguiente definición de Demografía como: “El estudio estadístico de una colectividad humana, referido a determinado momento o a su evolución”. A esto agrega Alan (1991), que la demografía: Es el estudio del tamaño, composición, la distribución, la densidad, el crecimiento y otras características socioeconómicas de la población, así como de las causas y consecuencias de los cambios experimentados por dichos factores (pág. 251). Para elaborar la pirámide de población (figura 17), las edades por grupos se ubican en el eje vertical de las “Y” u ordenadas y el número por millones de habitante en el eje horizontal de las “X” o abscisas, con una escala doble, representando al sexo masculino en el lado izquierdo y el femenino en el derecho. De igual forma, la altura de la pirámide debe ser de dos tercios (2/3), de su anchura.

Figura 17. Gráfico de Pirámide de población de Venezuela. 60

Programa estadístico EPIDAT Con el programa “EPIDAT” (figura 18), de análisis epidemiológico y estadístico de la OPS-OMS, el cual es gratuito, se puede hacer cuadros, gráficos, pirámide de población y calculas las medidas estadísticas, en ese sentido, según Santiago, Naveira y Vidal (s/f), EPIDAT presenta: “una ventana, con una barra de menús y otra de herramientas, y que está dividida en tres partes: Resultados, donde se muestran todos los resultados obtenidos durante una sesión de trabajo, Índice de cálculos y Módulos en uso, que muestra y permite acceder a los módulos abiertos” (Pág. 3)

Figura 18. Programa “EPIDAT” de análisis epidemiológico y estadístico de la OPS-OMS. 61

De acuerdo con los autores precitados, al dar clic sobre la opción Módulos de Menú se presentan cuatro Módulos Figura 18, en un recuadro azul, Asimismo, ellos sintetizan el contenido de cada Módulo de la siguiente manera: Módulo de Muestreo (Figura 19): Cálculo de tamaños de muestra: Intervalos de confianza Contrastes de hipótesis Selección de muestras: Muestreo aleatorio simple Muestreo sistemático Muestreo aleatorio estratificado Muestreo por conglomerados monoetápico / bietápico Muestreo por conglomerados monoetápico / bietápico estratificado Estimación con muestras complejas

Figura 19. Cuadro de diálogo del Módulo Muestreo. 62

Módulo de análisis descriptivo (figura 20): Tablas de frecuencias Tablas de contingencia Estadísticos descriptivos Coeficiente de correlación Gráficos: Gráfico de barras Gráfico de sectores Gráfico de líneas Gráfico de dispersión Histograma Diagrama de cajas Intervalos de confianza

Figura 20. Cuadro de diálogo del Módulo Análisis descriptivo. 63

Módulo de Inferencia sobre parámetros (figura 21): Una población: Media, Proporción, Percentiles, Correlación, Tasa de incidenc ia Índice de posición. Dos poblaciones: Medias independientes, Medias emparejadas, Proporciones independientes, Proporciones emparejadas, Tasas de incidencia Comparación no paramétrica: Medias independientes, Medias emparejadas, Contraste de normalidad

Figura 21. Cuadro de diálogo del Módulo Inferencia sobre parámetros. 64

Módulo de Distribución de probabilidades (figura 22) Cálculo de distribuciones: Distribuciones discretas Distribuciones continuas Generación de distribuciones: Distribuciones discretas Distribuciones continuas

Figura 22. Cuadro de diálogo del Módulo Distribución de probabilidades. 65

Asimismo, en la figura 23, se ve el ejemplo de unos resultados con EPIDAT.

Figura 23. Resultados con EPIDAT. 66

Grafica de pirámide de población con EPIDAT 4.1. Primero se da clic en “Módulo”, luego en las opciones se escoge sucesivame nte “Demografía”, “Pirámides e indicadores” y finalmente “Pirámide de población” (figura 24), entonces aparece el cuadro de diálogo “Pirámide de población” (figura 245), y con él se hace el mencionado gráfico de población (figura 26).

Figura 24. Pirámide de población con EPIDAT. 67

Figura 25. Cuadro de diálogo “Pirámide de población”, EPIDAT. 68

Figura 26. Gráfico de “Pirámide de población”, EPIDAT. 69

Diagrama de caja

Según Camel (1968): Los diagramas de Caja-Bigotes (Figura 27 y 28), son una presentación que describe varias características importantes, tales como la dispersión y simetría. Para su realización se representan los tres cuartiles y los valores mínimo y máximo de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente. Asimismo, la gráfica consiste en una caja rectangular, donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmento vertical que indica esta la mediana y su relación con los cuartiles primero y tercero (el segundo cuartil coincide con la mediana). Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Dichos bigotes tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente. Por ejemplo, la distribución de edades de 20 personas. 36, 25, 37, 24, 39, 20, 36, 45, 31, 31, 40, 29, 23, 41, 40, 33, 24, 24, 34, 40. Entonces se: 1.- Ordenar los datos: 20, 23, 24, 24, 24, 25, 29, 31, 31, 33, 34, 36, 36, 37, 39, 39, 40, 40, 41, 45. 2.- Calcula los cuartiles 2.1.- El primer cuartil (Q1), es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q1 = (24 + 25) / 2 = 24,5 2.2.- El Segundo Cuartil (Q2) esquívale a la mediana (Md), de la distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10; la mediana: Md = (33 + 34) / 2 =33,5 o Q2 = (33 + 34) / 2 =33,5. 2.3.- El Tercer Cuartil (Q3), es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En este caso, como 3N / 4 = 15. Q3= (39 + 39) / 2 = 39. 3.- Dibuja la caja y los bigotes: El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades (Xmín, Q1) La primera parte de la caja a (Q1, Q2 o Md). La segunda parte de la caja a (Q2 o Md, Q3). El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx). 4.- Infiere la información del diagrama, como se puede ver se obtiene abundante información de una distribución a partir de estas representacio nes. Por ejemplo: La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entre el 50% y el 75%. El bigote de la izquierda (Xmím, Q1) es más corto que el de la derecha; por ello el 25% de 70

los más jóvenes están más concentrados que el 25% de los mayores. El rango intercuartílico = Q3 - Q1 = 14,5; es decir, el 50% de la población está comprendido en 14,5 años. (s/no pág.).

Figura 27. Diagramas de Caja-Bigotes. Fuente: Tomado de Camel, F. (1968). Estadísticas Médicas y de Salud Pública. Habana, Cuba: VOISIN. (s/no pág.).

En el diagrama de caja, cada caja posee el 50% de los valores o datos entre el primer (Q1), y tercer cuartil (Q3), de la misma manera, los bigotes, se extienden desde las cajas a los valores mayor y menor, las línea que cruza a la caja representa a la mediana (Md) o segundo cuartil (Q2).

Figura 28. Diagramas de Caja-Bigotes. Fuente: Tomado de Camel, F. (1968). Estadísticas Médicas y de Salud Pública. Habana, Cuba: VOISIN. (s/no pág.), y de Visuata, B. (2007). Análisis estadístico con SPSS14. (3era edición). España: McGraw-Hill/Interamericana. (pág. 57). 71

Diagrama de dispersión de puntos Cuadro 23. Datos para graficar el gráfico de dispersión de puntos. Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Matemáticas (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 7 6 5 9 8 9 10 10 8 5 6 3 1

Física (Y) 9 7 6 6 6 5 4 3 1 2 9 8 8 7 5 7 7 6 10 9 7 6 5 2 1

Fuente: Pestaña De Martínez, P. (2002). Estadística. Caracas: El Nacional. Pág. 88.

Correlación positiva 12 10

Física

8 6 4 2 0 0

Matemática

Gráfico 14. Gráfico de dispersión de puntos. Fuente: Cuadro 23. 72

Gráfico de ojiva Es una curva con forma de “S” o sinoidal, en el eje de las abscisas o “X” se colocan los limites superiores de los intervalos de clases, pero otros autores refieren que allí van los limites inferiores o los puntos medios y en el eje de las ordenadas o “Y” las frecuencia s acumuladas. Cuadro 24. Pacientes por edad que acudieron a la consulta de Medicina Familiar del Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy, el 3 y 4 de junio del 2020. Edad en años Li – Ls 27 -31 26,50 - 31,50 32 -36 31,50 – 36,50 37 – 41 36,50 - 41,50 42 – 46 41,50 – 46,50 47 – 51 46,50 – 51,50 52 – 56 51,50 – 56,50 57 - 61 56,50 – 61,50 62 - 66 61,50 – 66,50 67 – 71 66,50 - 71,50 72 – 76 71,50 - 76,50 Total Fuente: Autor 2020.

fa 1 4 3 2 6 17 13 8 2 1 57

31.5

51.5

fa 1 5 8 10 16 33 46 54 56 57

Xm 29 34 39 44 49 54 59 64 69 74

Frecuencias acumuladas

50 40

30 20 10 0 36.5

41.5

46.5

Edades en años

Gráfico 15. Ojiva. Fuente: Cuadro 24. 73

56.5

61.5

66.5

71.5

76.5

Según Camel (1968), cuando los valores que se representan en un gráfico son muy elevados y con pequeñas fluctuaciones debe “partirse” el gráfico (figura 29), para evitar diagramas poco vistosos y sin mayor utilidad, pues es difícil formarse juicio sobre las variaciones que se quieren representar.

Figura 29. Grafico E es el correcto. Fuente: Tomado de Camel, F. (1968). Estadísticas Médicas y de Salud Pública. Habana, Cuba: VOISIN. (s/no pág.).

Tabla matriz o sabana Finalmente, para poder elaborar los cuadros y gráficos hasta aquí visto se necesita de los datos que se estudian y ellos se recogen en un instrumento denominado tabla maestra o sabana, esta se puede hacer manualmente, en Work, Excel o en SPPS (figura 30, 31 y 32). 74

Figura 30. Tabla maestra o sabana en Word.

Figura 31. Tabla maestra o sabana en Excel.

Programa estadístico SPSS El programa SPSS, son las siglas en Ingles de Statiscal Package for the Social Sciences, que en español es, paquete estadístico para las ciencias sociales. Con dicho programa, se realizan tablas, gráficos estadísticos, medidas estadística y diferentes pruebas estadísticas. Asimismo, por defecto el SPSS se abre en la ventana de Vista de datos (Data view), figura 32, cuya pestaña se ubica en su parte inferior izquierda, pero al realizar clic sobre la pestaña Vista de variables (Variable view), figura 33, al lado derecho de ella, se acede a la ventana de Vista variables. En consecuencia, el SPSS está formado por dos partes: 1.- Vista de datos y 2.- Vista de variables, esta última para la definición de las variables. Figura 32. SPSS, ventana vista datos (Data view).

En el Menú principal (figura 24 y 25), se encuentra: 77

Archivo (File): Con él se crea archivos de SPSS, se abre archivos existentes, graba, etc. Edición (Edit): Mediante él se copia, busca, etc. Ver (View): Es para personalizar la barra de estado, visualizar etiquetas, etc. Datos (Data): Con él se hace cambios que afectan a todos los datos de un archivo. Transformar (Transform): A través de él se puede hacer cambios sobre las variables seleccionadas, crear nuevas variables, etc. Analizar (Analyze): Es para realizar los diferentes procesamientos estadísticos. Gráficos (Graphs): Con ese comando se crean los diferentes tipos de gráficos. Utilidades (Utilities): Por él se cambian las fuentes, se accede a comandos de SPSS, etc. Ayuda (Help): Contiene tutorial sobre el SPSS, asistente estadístico, etc. Por otro lado, la barra de herramienta se encuentra situada debajo del menú principal y poseen una serie de funciones habituales del SPSS para acceder fácilmente a ellas. En este sentido, el SPSS, en la ventana “Vista de datos” (Data view), en su primera columna (figura 32), se enumeran los diferentes casos o individuos qué se están estudiando, no obstante, cada fila representa un caso. A partir de la segunda columna, cada columna es una variable. En ese entorno, cada celda formada por la intersección entre columna y fila, contiene un valor numérico. Por otro lado, en la primera fila, se ubican las diferentes variables que se investigan en la muestra. En consecuencia, en esta venta es donde está la tabla maestra o sabana con los datos a estudiar, es decir, es la base de datos (figura 33). En la figura 33, se presenta la ventana “Vista de variables” (Variable view), para abrir esta ventana hay que dar clic sobre la pestaña inferior que lleva ese nombre, del mismo modo, en la citada ventana, se encuentra: Nombre (Name): Por defecto tiene el nombre “var”, pero, en ella se le asigna el nombre correspondiente a cada variable, sin embargo, el nombre no debe exceder de 8 caracteres, por lo que se escribe abreviado y lo más completo posible, deber comenzar por una letra y no terminar en un punto, no debe contener espacios en blanco ni caracteres especiales, no puede haber dos variables con el mismo nombre.

Tipo (Type): En él se selecciona si es numérica, la cual admite valores numérico s positivos y negativos, con decimales y notación exponencial, su ancho máximo es de 40 caracteres. Por lo demás posee otras opciones. Anchura (Width): Se escoge la anchura de la celda. Decimales (Decimals): Allí se escribe cero “0”, para valores enteros y se escoge decimales cuando lo amerita el caso. Etiqueta (Label): En ella se etiqueta a la variable. Valores (Values): Se le asigna un valor a cada etiqueta que lo amerite, como por ejemplo masculino “2” (2= masculino) y femenino “1” (1 = femenino). Perdidos (Lost): Se deja igual por defecto. Columna (Column): Generalmente se deja el número “8” por defecto, pero se puede cambiar el ancho de la columna. Alineación (Alignment): Se decide si el dato va hacia la derecha, el centro o a la izquierda en la celda. Medida (Measure): Se escoge si es de escala, ordinal o nominal.

Figura 33. SPSS, ventana vista de variables (Variable view).

Figura 34. Base de datos con SPSS. Al dar clic sobre “Analizar” en el menú principal, se abre una lista de alternativa s, se da clic sobre “Estadísticos descriptivos” (figura 35), y se presenta otra lista de opciones, en esta última se realiza clic sobre la alternativa “Descriptivos”, se abre entonces el cuadro de dialogo llamado “Descriptivos” (figura 36), en él seleccionas la o las variables a estudiar, para ello se sombrea la variable del lado izquierdo y se da clic en la punta de flecha que se encuentra en medio, y esta pasa al lado derecho, si se desea pasar una variable al lado izquierdo se sombrea y se da clic en la punta de flecha premencionada y la variable se trasladara al lado derecho. Posteriormente se pulsas en el lado derecho la alternativa “Opciones” del cuadro de diálogo “Descriptivos” y aparece otro cuadro de diálogo denominado “Descriptivos Opciones” (figura 37), en este puede seleccionar: La media, suma, desviación

típica (estándar), varianza,

amplitud,

valores mínimo

y máximo,

distribución de cúrtosis o de asimetría, se pulsa continuar y tendrás los estadísticos solicitado s (figura 38).

Figura 35. SPSS, Analizar, Estadísticos descriptivos, Descriptivos.

Figura 36. SPSS cuadro de diálogo “Descriptivos”. 81

Figura 37. SPSS cuadro de diálogo “Descriptivos Opciones”.

Figura 38. SPSS, estadísticos solicitados en español. 82

Al dar clic sobre “Gráficos” en el menú principal destacado en amarillo, se abre una lista de opciones, si se da clic sobre la opción “Generador de gráfico” señalada con una flecha roja (figura 39), y a su vez se presenta otra lista de opciones de gráficos, se selecciona el más pertinente (figura 40).

Figura 39. Gráficos con SPSS.

Figura 40. Ejemplo de gráfico con SPSS. 83

Si se selecciona del menú principal la opción a Analizar (Analyze) se da clic sobre ella y sucesivamente en / Estadísticos descriptivos (Descriptive Statistics) / Explorar (Explore), entonces, sale el cuadro de diálogo “Explorar” (figura 41), en él se pasan las diferentes variables que se desea estudiar, del lado izquierdo al derecho sombrándola y dando clic sobre la punta de flecha que se encuentra en medio ubicada con una flecha morada. Posteriormente se pulsa abajo a la izquierda donde dice “Plots” destacado con la flecha verde, seguidamente se da clic al botón “Plots” en el lado derecho (fig. 42). Figura 41. Opción Explorar.

Figura 42. Cuadro de diálogo Explorar.

Enseguida sale el cuadro de diálogo “Explorar: Plots” (figura 43), se selecciona en él: Factor levels together / Stem and leal / Histograma y aparece el histograma de la Variable escogida (figura 44).

Figura 43. Cuadro de diálogo Explorar.

Figura 44. Histograma.

Cómo hacer una pirámide de población con SPSS En el menú principal se da clic en “Gráficos”, aparecen varias opciones y se da clic en “Generador de gráficos” (figura 45), se abre el cuadro de diálogo “Generador de gráfico” (figura 46), se selecciona las variables llevándola (arrastrándola), al primer recuadro, que es la zona de colocación de las variables, posteriormente, donde dice “Elija entre” se selecciona “Histograma” y se da clic sobre el gráfico que tiene las barras divididas en izquierda y derecha, que es el cuarto gráfico en la figura 46, finalmente, aparece el gráfico, figura 47.

Figura 45. Cómo hacer una pirámide de población con SPSS.

Figura 46. Selección del gráfico para hacer una pirámide de población con SPSS. 87

Figura 47. Gráfico de una pirámide de población con SPSS.

CAPÍTULO III MEDIDAS ESTADÍSTICAS

Los valores obtenidos en una investigación o estudio se expresan mediante medidas estadísticas, que son representativa de la muestra estudiada y cuando la mencionada muestra refleja las características de la población donde se obtuvo, las referidas medidas estadísticas pueden ser entonces extrapolada a la población prenombrada.

Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central dan información de cómo los valores de los datos estudiados se agrupan en una determinada distribución. En consecuencia, el valor numér ico obtenido es representativo de los datos investigados. En esta perspectiva, las medidas de tendencia central son: La Media Aritmética o Promedio Aritmético (X), la Mediana (Md), y la Moda.

Media Aritmética o Promedio Aritmético

La media aritmética o promedio, es el valor que oscila entre el menor y mayor de los números de una serie estadística, es una medida establece y se simboliza por una X. Ella es representativa tanto en la serie simétricas o ligeramente asimétrica. Por lo demás, no debe ser usada cuando algún valor extremo tiene una gran diferencia con respecto a los demás valores. De igual forma, para calcularla debe conocerse los valores mínimo y máximo de la serie de datos. La media aritmética, se define según Puertas et al (1998), “Como el cociente de la sumatoria de todos los valores de la serie, dividida entre el número total de ellos” (pág. 24).

Media aritmética para datos no agrupados

La expresión matemática para datos no agrupados es:

𝑿= ∑

𝒙 𝒏

𝒐 𝑿=

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 … + 𝒙𝒏 𝒏

𝑿 = Media aritmética o promedio aritmético . ∑ = Sumatoria. 𝒙 = Valores de x. n = Total. Calcular la media aritmética de los siguientes datos no agrupados de la edad en años de 29 estudiantes de Informática. 17, 20, 23, 18, 25, 22, 19, 21, 19, 22, 25, 20, 19, 20, 26, 24, 23, 17, 18, 18, 21, 25, 27, 29, 24, 26, 28, 29, 17. Se clasifican en orden decreciente. 29, 29, 28, 27, 26, 26, 25, 25, 25, 24, 24, 23, 23, 22, 22, 21, 21, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 18, 18, 17, 17, 17. 𝑿=

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 … + 𝒙𝒏 𝒏

𝟐𝟗+𝟐𝟗+𝟐𝟖+𝟐𝟕+𝟐𝟔+𝟐𝟔+𝟐𝟓+𝟐𝟓+𝟐𝟓+𝟐𝟒+𝟐𝟒+𝟐𝟑+𝟐𝟑+𝟐𝟐+𝟐𝟐+𝟐𝟏+𝟐𝟏+𝟐𝟎+𝟐𝟎+𝟐𝟎+𝟏𝟗+𝟏𝟗+𝟏𝟗+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟖+𝟏𝟕+𝟏𝟕+𝟏𝟕 𝟐𝟗

= 22,14

En la figura 48, en Excel, se da clic en el menú principal en “Inicio” que esta destacado en un cuadro morado, se introducen los datos no agrupados en orden decreciente, se hace clic en “fx”, enmarcado en un cuadro verde, aparece el cuadro de diálogo llamado “Insertar función”, se selecciona la categoría “Estadísticas”, luego se busca “Promedio” que es el otro nombre de la Media aritmética y se da clic sobre él o en aceptar

Figura 48. Media aritmética con Excel.

Aparece entonces, el cuadro de diálogo “Argumentos de función” en donde dice “Número 1”, se coloca A1:A29, que son las celdas donde se encuentran los datos a analiza r y aparece en “Resultado de la fórmula” 22,14; que es la media aritmética o promedio aritmético (figura 49).

Figura 49. Media aritmética con Excel.

Media aritmética para datos agrupados

Cuando el intervalo de las clases es de uno, la expresión matemática para datos agrupados es:

𝑿= ∑

(𝒙 . 𝒇𝒂) 𝒏

𝒐 𝑿=

𝒙𝟏 . 𝒇𝒂𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒇𝒂𝟐 + 𝒙𝟑 . 𝒇𝒂𝟑 … + 𝒙𝒏 . 𝒇𝒂𝒏 𝒏

𝑿 = Media aritmética o promedio aritmético . ∑ = Sumatoria. 𝒙 = Valores de x. f = frecuencia absoluta. n = Total. Calcular la media aritmética de la frecuencia del pulso arterial por minuto en diez pacientes que consultaron el Ambulatorio Urachiche. Primero se recoge los datos, luego se realiza el cuadro y se calcula el producto de multiplicar “x” por “f”, es decir, el dato y su frecuencia, después se hace la sustitución en la formula estadística y da un resultado de 78 91

pulsaciones por minuto como media aritmética de la frecuencia de pulso arterial de esos diez pacientes.

Cuadro 25. Frecuencia de pulso arterial por minuto, en diez pacientes del Ambulator io Urachiche, Estado Yaracuy, junio del 2020. Pulso arterial por minuto 60 70 80 90 100 Total

𝑿=

( 𝟔𝟎 . 𝟑 ) +( 𝟕𝟎 . 𝟐 ) +( 𝟖𝟎 .𝟏 ) +( 𝟗𝟎 .𝟐 ) +(𝟏𝟎𝟎 .𝟐) 𝟏𝟎

x . fa

3 2 1 2 2 10

180 140 80 180 200 780

𝟕𝟖𝟎 𝟏𝟎

= 78.

Por otra parte, si el intervalo de las clases es amplio, la expresión matemática para datos agrupados es: 𝑿= ∑

(𝑿𝒎 . 𝒇𝒂) 𝒏

𝑿 = Media aritmética o promedio aritmético . ∑ = Sumatoria. 𝑿𝒎 = Puntos medios o cento de clases. fa = frecuencia absoluta. n = Total. Calcular de media aritmética de los pesos de 78 personas que acudieron a la consulta de Medicina Familiar del Ambulatorio Urachiche. Cuadro 26. Distribución por peso de 78 personas que acudieron a la consulta de Medicina Familiar del Ambulatorio Urachiche, Urachiche, Estado Yaracuy, Venezuela 2020. Peso en Kg

Li - Ls

8 -13 7,50 - 13,50 14-19 13,50 - 19,50 20-25 19,50 – 25,50 26-31 25,50 – 31,50 32-37 31,50 – 37,50 38-43 37,50 – 43,50 Total Fuente: Autor 2020.

fa . Xm

30 18 12 7 5 6 78

10,50 16,50 22,50 28,50 34,50 40,50

315 297 270 200 173 243 1498

La media aritmética fue de 19,21 kg de peso en promedio. 𝟏𝟒𝟗𝟖 𝑿 = ∑ 𝟕𝟖 = 19,21.

Media geométrica

La media geométrica (MG), consiste en la raíz enésima de las multiplicaciones de los valores dados y su fórmula para datos no agrupados es: 𝑛

MG = √ 𝑥1 . 𝑥2 . 𝑥3 … 𝑥𝑛 Calcular la media geométrica de 10, 5, 7, 9, 3 y 8 MG = 6√ 10 . 5 . 7 . 9 . 3 . 8 = 6√ 75600 = 6,50 Para datos agrupados su fórmula es: MG = Log-1 (∑(

𝑓𝑎 .log 𝑋𝑚 𝑛

))

o MG = ∑ Log (

𝑓𝑎 . 𝑋𝑚 𝑛

)

Media armónica

La media armónica (H), su fórmula es: H = ∑1

𝑛 +

𝑥1

𝑛

1 1 1 + +⋯+ 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛

= ∑ 𝑥1−1 + 𝑥2−1 + 𝑥3−1 +⋯+ 𝑥𝑛−1

Calcular la media armónica de 11, 26, 5 y 12 H = ∑1

𝑛 +

𝑥1

1 1 1 + +⋯+ 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛

4 1 1 1 1 + + + 11 26 5 12

Para datos agrupados su fórmula es: H=

𝑛 ∑

= 11−1 + 26 −1 +5+ 12 −1 = 0,41 = 9,76.

𝑓𝑎 𝑋𝑚

Con el cuadro 27 se calculará la H y MG.

Cuadro 27. Datos para calcular H, MG. Lsv – Liv 160,50 – 165,50 165,50 – 170,50 170,50 – 175,50 175,50 – 180,50 180,50 – 185,50 185,50 – 190,50

Altura en cm 161 - 165 166 – 170 171 – 175 176 – 180 181 – 185 186 – 190 Total

H= H=

𝑛 ∑

Xm 163 168 173 178 183 188

MG = Log-1 (∑(

𝑓𝑎 𝑋𝑚

𝑛 ∑

fa 10 22 5 2 0 1

fa . Xm 1630 3696 865 356 0 188 6735

𝑓𝑎 .log 𝑋𝑚 𝑛

))

fa / Xm 0,061 0,131 0,029 0,011 0 0,005 0,237

Log Xm 2,212 2,225 2,238 2,250 2.264 2,274

MG = ∑ Log (

fa . Log Xm 22,12 48,95 11,19 4,50 0 2,27 89,03

fac 10 32 37 39 39 40

𝑓𝑎 . 𝑋𝑚 𝑛

)

𝑓𝑎 𝑋𝑚

= 0,237 = 168,78

MG = Log-1 (∑(

𝑓𝑎 .log 𝑋𝑚 𝑛

89,03

)) = Log-1 (

) = Log-1 2,22575 antilog 2,22575 = 102,22575

= 168,17 𝑓𝑎 . 𝑋𝑚 89,03 MG = ∑ Log ( 𝑛 ) MG = ∑ Log ( 40 ) = antilog 2,22575 = 102,22575 = 168,17 Media ponderada La Media ponderada (Xp), se emplea para conocer la media o promedio de varias medias, su fórmula es la siguiente: Xp =

∑(𝑋𝑖 .𝑛𝑖 ) 𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑛

Se quiere conocer la media ponderada de las medias de hospitalización en días de los servicios de Medicina Interna, Cardiología y Neumonología de un hospital y respectivame nte son los siguientes: En medicina interna 35 días con 70 pacientes, en Cardiología 50 días, con 30 pacientes y en Neumonología 70 días con 65 pacientes. ∑(𝑋𝑖 .𝑛𝑖 )

Xp = 𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛𝑛 =

( 35 . 60 ) +( 50 .30) +(70 . 65) 60 + 30 +65

2100 + 1500 + 4550 155

8150 155

= 52,58.

Resultado, en promedio, entre lost res servicios hay una media de 52,58 días de hospitalización por pacientes.

Mediana La mediana (Md), se define como el valor numérico ubicado en el centro de la distribución de la serie de los datos, en consecuencia, la divide en dos partes iguales, por debajo de la mediana se encuentra el 50% de las observaciones y el otro 50% encima de ella, por lo demás, la Mediana no es afectada por los valores extremos.

Mediana para serie no agrupadas Su fórmula es la siguiente: Lugar de la Md =

𝑛+1 2

Md = Mediana. n = Total de datos.

Calcular la mediana para 29 individuos con edades entre 17 a 19 años

29, 29, 28, 27, 26, 26, 25, 25, 25, 24, 24, 23, 23, 22, 22, 21, 21, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 18, 17, 17, 17, 17. Lugar de la Md =

29+1 2

= 15. La mediana ocupa la posición número

15 y es entonces 22. En la figura 50, en Excel, se da clic en el menú principal a “Inicio”, se introducen los datos no agrupados en orden decreciente, se hace clic en “fx”, aparece el cuadro de diálogo llamado “Insertar función”, se selecciona la categoría “Estadísticas”, luego se busca “Mediana” y se da clic sobre él o en aceptar.

Figura 50. Mediana con Excel.

Aparece el cuadro de diálogo “Argumentos de función” en donde dice Número 1, se coloca A1:A29 y aparece en Resultado de la fórmula 22 que es la mediana (figura 51).

Figura 51. Mediana con Excel, cuadro de diálogo Argumentando función.

No obstante, de acuerdo a Puertas et al (1998): “Si el número de datos fuera par: 8,

10,

11,

Lugar de la Md =

𝑛+1 2

14 =

6+1 2

15 7 2

años:

posición

mediana

sería:

= 3,5. Al estar ordenado los datos, la posición es 3,5 es un

lugar intermedio entre el 3ro y 4to , en consecuencia, el valor de la mediana es el promedio entre dos valores que ocupan esos lugares 𝑀𝑑 =

10+11 2

21 2

centrales,

es decir, entre 10 y 11.

= 10,50 (págs. 1127-128). En este ejemplo, el número fue par porque eran

6 datos. En la figura 52, en Excel, se da clic en el menú principal en “Inicio”, se introduce n los datos no agrupados, en este caso en orden creciente, se hace clic en “fx”, aparece el cuadro de diálogo llamado “Insertar función”, se selecciona la categoría “Estadísticas”, luego se busca “Mediana” y se da clic sobre él o en aceptar. Aparece el cuadro de diálogo Resultado de la fórmula 10,50 que es la mediana (figura 49).

Figura 52. Mediana con Excel.

Mediana para datos agrupados en clases estadísticas Se calcula con la siguiente formula: 𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + ((

(𝑛+1) 2

– (fac)) )

𝐼𝑐 𝑓𝑎

Li= Límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. fac = Frecuencia acumulada hasta la clase anterior a donde se ubica la mediana. fa = Frecuencia absoluta de la clase donde se ubica la mediana. n = Total. Ejemplo tomado de Puertas, et al. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC. Págs. 128 – 129.

Cuadro 28. Distribución de 101 estudiantes de acuerdo a su edad, calcular en ellos la mediana. Edad en años 5-7 8 – 10 11 - 13 14 – 16 17 – 19 20 – 22 Total Lugar de la Md =

𝑛+1 2

101+1 2

fa 4 7 26 41 14 9 101 =

102 2

fa 4 11 37 78 92 101

=51, pero como el lugar 51, está incluido en las

frecuencias acumuladas de 78, entonces se ubica en la cuarta fila, en la clase de 14 a16 años de edad, en consecuencia hay que aplicar la fórmula para obtener la mediana.

𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 + ((

(𝑛+1) 2

𝐼𝑐

– (fac)) ) 𝑓𝑎

= 14 + ((

(101+1) 2

– (37)) ) 41 = 14 + ((

(102) 2

– 37) ) 0,07

= 14 + (( 51 – 37)) 0,07 = 14 + (14) 0,07 = 14+ 1,02 = 15,02 años. Entonces, 15,02 es la mediana y es la edad por debajo de la cual se encuentran el 50% de los estudiantes, es decir, el 50% de los estudiantes tiene una edad inferior a 15, 02 años.

Moda La moda (Mo), es el valor más representativo de una serie de datos, es el que más se repite. Asimismo, cuando hay dos modas, la distribución es bimodal y en caso de haber tres o más modas seria multimodal. Finalmente, la distribución puede ser amodal, cuando no se repite ningún dato.

Calcular la moda para 29 individuos con edades entre 17 a 19 años 29, 29, 28, 27, 26, 26, 25, 25, 25, 24, 24, 23, 23, 22, 22, 21, 21, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 18, 17, 17, 17, 17. Aquí la moda es 17, que es el valor que más se repite.

En la figura 53, en Excel, se da clic en el menú principal en “Inicio”, (figura 53), se introducen los datos no agrupados, en este caso en orden creciente, se hace clic en “fx”, aparece el cuadro de diálogo llamado “Insertar función”, se selecciona la categoría “Estadísticas”, luego se busca “Moda” y se da clic sobre él o en aceptar. Aparece el cuadro de diálogo “Argumentos de función” en donde dice Número 1, se coloca A1:A6 y aparece en Resultado de la fórmula 17 que es la moda (figura 54).

Figura 53. Moda con Excel.

Figura 54. Moda con Excel.

Pero cuando en una serie todos tiene una misma frecuencia no hay moda, por ejemplo: 1, 3, 5, 3, 2, 5, 1, 2, todos se repiten dos veces y no hay moda. No obstante, cuando dos valores adyacentes tienen una misma frecuencia y dicha frecuencia es la mayor, entonces la moda es el promedio de esos dos valores adyacentes, ejemplo: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8

Mo =

5+6 2

= 5,5

Por otro lado, si en un grupo de datos existen dos valores no adyacentes, pero poseen la misma frecuencia y ella es la mayor, existen dos modas y la distribución resulta ser bimodal. 29, 29, 29, 29, 28, 27, 26, 25, 25, 24, 24, 23, 23, 22, 22, 21, 21, 20, 20, 20, 19, 19, 19, 18, 18, 17, 17, 17, 17. En este caso, las modas son 17 y 29, figura 51 y 52. En la figura 55, en Excel, se da clic en el menú principal en “Inicio”, (figura 55), se introducen los datos no agrupados, en este caso en orden creciente, se hace clic en “fx”, aparece el cuadro de diálogo llamado “Insertar función”, se selecciona la categoría “Estadísticas”, luego se busca “Moda varios” y se da clic sobre él o en aceptar. Aparece el cuadro de diálogo “Argumentos de función” en donde dice Número 1, se coloca A1:A6 y aparece la palabra Resultado en un cuadro con fondo rojo y las cifras 29 y 17 que es la moda enmarcada en morado (figura 56).

100

Figura 55. Distribución bimodal con Excel.

Figura 56. Resultado de la distribución bimodal con Excel.

101

Para concluir, en una distribución de frecuencias, la moda se toma como el punto medio o centro de la clase que tenga la mayor frecuencia, en la tabla 29, estaría ubicada en el intervalo de clase que esta entre 41 a 50.

Cuadro 29. Datos para calcular la Moda con datos agrupados. Intervalo de clase

Fac

Liv - Lsv

11 – 20

10,50 – 20,50

15,50

21 – 30

20,50 – 30,50

25,50

31 – 40

30,50 – 40,50

35,50

41 – 50

40,50 – 50,50

45,50

51 -60

50,50 - 60,50

55,50

61 - 70

60,50 – 70,50

65,50

Fuente: Autor 2020. La fórmula para calcular la Moda en datos agrupados es: (𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 𝑓𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 )

Mo = Liv + ((𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 −𝑓𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 )+(𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 −𝑓𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑎 )) . IC Mo = 40,50 + ((

11−10 11 − 10) +(11 −4)

) . 10 = 40,50 + + (

1 1+ 7

) . 10 = 40,50 + ( ) . 10 8

Mo = 40,50 + 0,125 . 10 = 40,50 + 1,25 = 41,75. Medidas de dispersión o variabilidad Está conformado por: El Rango, la Desviación Media, Desviación Estándar, Varianza y el Coeficiente de Variación. Rango (r), o campo de variación, es la distancia que hay entre el valor mayor y el valor menor de la serie, es decir, entre los valores extremos. Su fórmula es: r = Valor mayor – valor menor. Calcular el Rango de la siguiente distribución de peso en Kg de 7 pacientes pediátricos del Ambulatorio Urachiche. 7, 7, 8, 9, 10, 11, 11. r = 11 - 7 = 4. Es decir, entre ambos números existen cuatro. Desviación Media (DM), comprende la sumatoria de los valores absoluto sin tomar en cuenta su signo negativo o positivo, de las desviaciones con respecto a la Media, divid ida

102

entre número total de datos (n), y permite interpretar como se dispersa el promedio con respecto a la Media, su fórmula es la siguiente: DM =

∑( 𝒙−𝑿) 𝑛

x = Diferentes valores de “x”. X = Media aritmética o promedio aritmético. n = Total de datos. Cuadro 330. Peso de 7 pacientes pediátricos de la consulta del Ambulatorio Urachiche, 2020, para calcular la DM.

x 7 7 8 9 10 11 11

Total Fuente: Autor 2020.

𝑿=

𝒙𝟏+𝒙𝟐 +𝒙𝟑…+𝒙𝒏

DM =

𝒏

∑( 𝒙−𝑿) 𝑛

𝟏𝟖 7

x–X 7–9=-2 7 -9 = - 2 8–9=-1 9 –9=0 10 – 9 = 1 11 – 9 = 2 11 – 9 = 2

N 1 1 1 1 1 1 1 7

𝟕+𝟕 +𝟖 +𝟗+𝟏𝟎+𝟏𝟏+𝟏𝟏 𝟕

𝟔𝟑 𝟕

(x – X)2 (-2)2 = 4 (-2)2 = 4 (1)2 = 1 (0)2 = 0 (1)2 = 1 (2)2 = 4 (2)2 = 4 18

= 9.

= 2,57 kg. En consecuencia, 2,57 Kg se dispersa el promedio con

respecto a la Media.

Desviación Estándar (S), demuestra la dispersión de cada uno de los valores con respecto a la Media y su fórmula para datos no agrupados es:

𝑺= √

∑(𝒙−𝑿) 𝟐 𝒏

o 𝑺= √

∑(𝒙−𝑿) 𝟐 𝒏−𝟏

𝑺 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 ∑ = Sumatoria. x = Diferentes valores de “x”. X = Media aritmética o promedio aritmético. n = Total de datos.

103

Cuadro 31. Peso de 7 pacientes pediátricos de la consulta del Ambulatorio Urachiche, 2020, para calcular la S.

x 7 7 8 9 10 11 11

Total Fuente: Autor 2020.

𝑿=

𝒙𝟏 +𝒙𝟐+𝒙𝟑…+𝒙𝒏 𝒏

x–X 7–9=-2 7 -9 = - 2 8–9=-1 9 –9=0 10 – 9 = 1 11 – 9 = 2 11 – 9 = 2

N 1 1 1 1 1 1 1 7

𝟕+𝟕 +𝟖 +𝟗+𝟏𝟎+𝟏𝟏+𝟏𝟏 𝟕

𝟔𝟑 𝟕

(x – X)2 (-2)2 = 4 (-2)2 = 4 (1)2 = 1 (0)2 = 0 (1)2 = 1 (2)2 = 4 (2)2 = 4 18

= 9.

𝟐

∑(𝒙−𝑿) 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝑺 = √ 𝒏−𝟏 = √𝟕−𝟏 = √ 𝟔 = √ 𝟑 = 1,73. Como resultados, los datos se

dispersan 1,73 con respecto a la Media.

Su fórmula para datos agrupado es la siguiente:

𝑺= √

𝒇𝒂. (𝒙 − 𝑿) 𝟐 𝒏

𝑺 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 "s" 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎. 𝒇𝒂 = Frecuencia absoluta de cada clase. x = Diferentes valores de “x”. X = Media aritmética o promedio aritmético. n = Total de datos.

104

Cuadro 32. Peso de 7 pacientes pediátricos de la consulta del Ambulatorio Urachiche, 2020, para calcular la S. Edad en años

Liv – Lsv

9,50 -20,50

10 -20 45

fa . Xm

19,75

1580

36,25

1631

51,75

1708

65,75

1578

20,50 - 31,50 31,50 – 40,50

40,50 – 50,50

fa . (Xm – X)2

19,75 - 40,59 = -

(-20,84)2 =

34744,80

20,84

434,31

4,34 11,16 65,75 - 40,59 =

41 - 50 50,50 – 59,50

(Xm – X)2

51,75 - 40,59 =

31 – 40 24

Xm - X

36,25 - 40,59 = -

21 - 30

25,16 80,75 - 40,59 =

51 - 60 T otal

80,75 202

1615

40,16

(-4,34)2 =

847,80

18,84 (11,16)2 =

4110,15

124,55 (25,16)2 =

15192,48

633,02 (40,16)2 =

32256,60

1612,83

8112

87151,83

Fuente: Autor 2020. 𝑿= ∑

(𝑿𝒎 .𝒇𝒂 )

𝒇𝒂.(𝒙−𝑿) 𝑺= √ 𝒏

𝒏

𝟐

S = √𝑺𝟐

= √

𝟖𝟏𝟏𝟐 𝟐𝟎𝟐

𝟖𝟕𝟏𝟓𝟏,𝟖𝟑 𝟐𝟎𝟐

= 40.158 = 40,59

=√ 431,44 = 20,77

S = √431,44 = 20,77.

Varianza (S2 ), es la Desviación Estándar elevada al cuadrado y señala la mayor o menor concentración de los datos con respecto a la Media, mientras mayor valor tenga la varianza mayor es la dispersión de los datos y mientras menor sea su valor más concentrados están. S2 = S . S 𝒇𝒂.(𝒙−𝑿) 𝑺= √ 𝒏

𝟐

= √

𝟖𝟕𝟏𝟓𝟏,𝟖𝟑 𝟐𝟎𝟐

=√ 431,44 = 20,77

S2 = S . S = (20,77)2 = 431,39. También se puede calcular S2 con la siguiente formula: Con los datos obtenidas del cuadro 29. S2 =

18 7

= 2,57

105

La 𝑆 = 1,73. Y al aplicar la otra fórmula: S2 = S . S = (1,73)2 = 2,99 Entonces, la S se puede obtener de la siguiente fórmula: S = √𝑺𝟐

S = √ 2,99 = 1,729 1,73.

Coeficiente de Variación o de variabilidad relativa (Cv), este mide la variació n porcentual de los valores de una distribución entre la media y la desviación estándar y permite verificar como los valores están más concentrados o alejados de la media, su fórmula es la que sigue: 𝑆

Cv = 𝑋 . 100 𝑺 = 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟. X = Media aritmética o promedio aritmético. Ejemplo Talla X = 1,80 y S = 0,010 Cv =

𝑆 𝑋

. 100 = Cv =

0,010 1,80

. 100 = 1,8%.

Momentos Los momentos son los valores o parámetros esperados de ciertas funciones de “X”. Dichos momentos forman unas medidas descriptivas que se emplean para caracterizar la distribución de probabilidad de “X”. Sus fórmulas son las siguientes: m1 = m2 = m3 = m4 =

∑ (𝑥−𝑋) 1 𝑛 ∑ (𝑥−𝑋)

𝑛

= 𝑋=

∑𝑥 𝑛

= S2

∑ (𝑥−𝑋) 3 𝑛 ∑ (𝑥−𝑋) 4 𝑛

Ejemplo tomado de Chourio (1987), páginas 71-72, calcula m1, m2, m3 y m4 de los siguientes datos. 3, 5, 7, 9, 10 y 12. Primero se calcula la media aritmética.

𝑋=

∑𝑥 𝑛

=𝑋=

3 +5 +7 +9 +10 +12 6

46 6

m1 = X = 7,67. 106

= 7,67

m2 = =

55,34

217,38 6

910,77 6

(3−7,67 ) 2+ (5−7,67) 2 +(7−7,67) 2 +(9−7,67) 2 +(10−7,67) 2 +(12−7,67) 2 6

∑ (𝑥−𝑋) 3 𝑛

(3−7,67 ) 3+ (5−7,67) 3 +(7−7,67) 3 +(9−7,67) 3 +(10−7,67) 3 +(12−7,67) 3 6

= 36,23

M4 = =

𝑛

= 9,22

m3 = =

∑ (𝑥−𝑋) 2

∑ (𝑥−𝑋) 4 𝑛

(3−7,67) 4 + (5−7,67) 4 +(7−7,67) 4+(9−7,67) 4 +(10−7,67) 4 +(12−7,67) 4 6

= 151,8

Medidas de posición Comprende los Deciles, Percentiles, cuartiles y Terciles. Los Deciles (D), son nueve y van de D1 a D9 (cuadro 26), y se dividen en 10 partes iguales, cada una de 10%. La fórmula para calcular la posición de los Deciles es la siguiente : 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐷 = n = Total de datos 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐷 = 𝐿𝑠 +

𝑥 . (𝑛 + 1) 10

x = número del Decil (1, 2, 3 … 9). 𝑝𝐷 − 𝑓𝑎𝑐 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷 𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝐷

. IC

Ls = Límite superior verdadero de la clase precedente a la que contiene a D. pD = Valor de la posición de D. fac = Frecuencia acumulada de la clase que precede a la que contiene a D. fa = Frecuencia absoluta de la clase que contiene a D. Percentiles (P), son 100, desde P1 a P100 y se dividen en 100 partes iguales, cada una de 1%. Con los Percentiles se han elaborado entre otras cosas gráficos para verificar la relación talla/edad; peso/edad; peso/talla en niños y poder comprobar si está en el rango normal, es decir, entre el P10 y P90, debido a que por debajo de P10 hay déficit y por encima del P90. La fórmula para calcular la posición de los Percentiles es: 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝 = n = Total de datos 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝 = 𝐿𝑠 +

𝑥 . (𝑛 + 1) 100

x = número del Percentil (1, 2, 3 … 100). 𝑝𝑃− 𝑓𝑎𝑐 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃 𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑃

. IC

Ls = Límite superior verdadero de la clase precedente a la que contiene a P. pP = Valor de la posición de P. 107

fac = Frecuencia acumulada de la clase que precede a la que contiene a P. fa = Frecuencia absoluta de la clase que contiene a P. Cuartiles (Q), son tres Q1 con 25%, Q2 de 50% y Q3 de 75% y dividen los datos en cuatro partes iguales de 25% cada una. La fórmula para dar con su posición es: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄1 =

𝑥 . (𝑛+1)

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄1 =

1 . (𝑛+1)

n = Total de datos

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄 = 𝐿𝑠 +

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄2 =

x = número del Q (1, 2 y 3).

2 . (𝑛+1) 4

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄3 =

𝑝𝑄− 𝑓𝑎𝑐 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑄 𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑄

3 . (𝑛+1) 4

. IC

Ls = Límite superior verdadero de la clase precedente a la que contiene a Q. pQ = Valor de la posición de Q. fac = Frecuencia acumulada de la clase que precede a la que contiene a Q. fa = Frecuencia absoluta de la clase que contiene a Q.

Rango o desviación intercuartil, es la distancia media entre Q1 y Q3, es una estimación de los valores límites de la variable que están entre el 50% y 70% de las frecuencias relativa de la muestra, cuando más reducido es el rango intercuartilar, mayor es la concentración de los datos contenidos en él, es decir, existirá una mayor tendencia central, su fórmula es la siguiente: 𝑄=

𝑄3 − 𝑄1 2

Terciles son dos T1 con 33,33% y T2 de 66,66%. La fórmula para estableces su posición es: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑇 =

2 .(𝑛+1) 10

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 = 𝐿𝑠 +

n = Total de datos

x = número del Tercil (1 y 2).

𝑝𝑇− 𝑓𝑎𝑐 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇 𝑓𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑇

. IC

Ls = Límite superior verdadero de la clase precedente a la que contiene a T. pT = Valor de la posición de T. fac = Frecuencia acumulada de la clase que precede a la que contiene a T. fa = Frecuencia absoluta de la clase que contiene a T.

108

Cuadro 33. Diferentes medidas de posición. Deciles D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

10 % 20 % 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

Percentiles P1 al P10 P11 al P20 P21 al P30 P31 al P40 P41 al P50 P51 al P60 P61 al P70 P71 al P80 P91 al P100

Cuartiles

1% al 10% 11% al 20% 21% al 30% 31% al 40% 41% al 50% 51% al 60% 61% al 70% 71% al 80% 91% al 100%

Terciles

25%

Concordancia D2,5 = P25 = Q1

T1 33,33% Q2 50%

D5 = P50 = Q2 = M d T2 66,66%

Q3 75%

D7,5 = P75 = Q3

Fuente: Autor 2020.

Cuadro 34. Edad en años de 80 pacientes que acudieron a la consulta de Medicina Familia r del Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy 2020. Edades en años fa fa 31 - 40 3 3 41 -50 7 10 51 -60 10 20 61 -70 20 40 71 - 80 15 55 81 -90 14 69 691 - 100 11 80 Fuente: Autor 2020. 5 . (80+1)

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝐷5 =

405

= 40,50 entonces, como el valor 40,50; se ubica en la

clase 71 – 80, el D5 está en dicha clase. 40,5 −20

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐷5 = 70,50 + 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑃50 =

50 . (80+1) 100

. 9 = 70,50 +

50 . 81

100

4050

100

20,5 20

. 9 = 70,50 + 9.23 = 79,73.

= 40,50; entonces, como el valor 40,50

se ubica en la clase 71 – 80, el P50 está en dicha clase. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃50 = 70,50 + 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄2 =

2 .(80+1) 4

40,5 −20 20 2 . 81

. 9 = 70,50 +

162 4

20,5 20

. 9 = 70,50 + 9.23 = 79,73.

= 40,5, entonces, como el valor 40,50 se

ubica en la clase 71 – 80, el Q2 está en dicha clase. Valor de Q2= 70,50 +

40 ,5 −20 20

. 9 = 70,50 +

20 ,5 20

. 9 = 70,50 + 9.23 = 79,73; el

resultado indica que por encima y por debajo del valor de 94,19 se encuentra el 50% de los casos. 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑇1 =

2 .(80+1) 10

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑇1 = 50,50 +

2 . 81 10

16,20 − 10 10

162 10

= 16,20

. 9 = 50,50 +

6,20 10

. 9 = = 50,50 + 0,62 . 9

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑇1 = 50,50 + 5,58 = 56,08. 109

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄1 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄3 =

1 . ( 𝑛+1) 3 . (𝑛+1) 4

1 . ( 80+1)

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄1 = 60,50 +

4 3 . (80+1) 4

20,25 − 20 20

1 . 81 4

3 . 81 4

243 4

= 20,25 =60,75

. 9 = 60,50 +

0,25

. 9 = 80,50 +

5,75

. 9 = 60,50 + 0,0125 . 9 =

60,50 + 0,1125 = 60,61. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄3 = 80,50 +

60,75 − 55 14

. 9 = 80,50 + 0,41 . 9 =

80,50 + 3,69 = 84,19.

𝑄=

𝑄3−𝑄1 2

84,19−20,25 2

63,94 2

= 31,97. En consecuencia, el 31,75

están entre el 50% y 70% de las frecuencias de la muestra. Ejemplo con Excel tomado de Velasco (2005), Estadística con Excel páginas 62 y 63; para calcular varias medidas estadísticas, para ello, se dan los siguientes datos no agrupados: 1, 3, 5, 8, 8, 3, 4. Luego, se ordenan de menor a mayor: 1, 3, 3, 4, 5, 8, 8, 9. Como se nota el valor mínimo es 1 y el máximo 9, la distribución es bimodal, es decir, tiene dos modas que son 3 y 8. La sumatoria da 41, la Media es 41 entre 8 que es el total de datos y su resultado es 5,13; la mediana está ubicada entre el 4 y 5, por lo que se suman ambos valores y se dividen entre dos y da 4,5. El Rango es = 9 -1 = 8. El nivel confianza de la distribución del 95% resulto ser 2,425; el Error típico de 1,025, S = 2,9001231 y S2 = 8,41071429; la curtosis de -1,53625705 y el coeficiente de asimetría de 0,11640182. Todo ello se obtiene usando las funciones estadísticas de Excel. Lo que se detalla en la figura 44, donde se introducen los datos en columna de A1 hasta A8, enmarcado en rojo, se da clic sobre “fx”, señalada con una flecha morada, tras lo cual aparece el cuadro de diálogo “Insertar función”, se ubica en él “seleccionar una categoría” y se elige “Estadística”, donde está la flecha azul, luego en el recuadro “Seleccionar funciones”, se escoge medida estadística que se quiera aplicar, por ejemplo, se selecciona la moda y aparece el cuadro de diálogo “Argumentos de función”, donde dice Número 1 se introduce A1:A8, que son las celdas de la columna donde están los datos y aparece el resultado de 3 y 8 como las modas (figura 57 y 58).

110

Figura 57. Calculo de medidas estadística con Excel.

111

Figura 58. Obtención de varias medidas estadísticas con Excel. Medidas de asociación Correlaciones, en ellas se busca saber si existe una relación entre dos variables, donde una de ellas tiene que ver con la otra y se cuantifica el grado de dicha relación y su direccionalidad. La correlación puede calcularse mediante el método gráfico, para ellos se tomó tres ejemplos de Pestaña (2002). Estadística. Caracas: El Nacional, páginas 88 a la 93; dado por 112

el rendimiento de 25 estudiantes en relación a la matemática y física, lenguaje y educación física, finalmente rapidez en la lectura y tiempo para aprender el tema leído, la base de dato es la siguiente:

Cuadro 35. Base de datos para el método gráfico correlación. Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Matemáticas (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 7 6 5 9 8 9 10 10 8 5 6 3 1

Física (Y) 9 7 6 6 6 5 4 3 1 2 9 8 8 7 5 7 7 6 10 9 7 6 5 2 1

Rap. lectura (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (Y) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 5 6 4

Lenguaje (X) 1 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 9 9

Ed. Física (Y) 9 2 3 3 10 6 4 9 2 5 5 3 2 7 8 9 10 1 5 2 3 6 4 3 6

Fuente: Pestaña (2002). Estadística. Caracas: El Nacional, páginas 88 a la 93.

Primero con el método gráfico de correlación se visualiza en el gráfico de dispersión de punto o scartagrama, la dirección de la nube de puntos, si esta va desde abajo en su lado izquierdo hacia arriba en la parte derecha, se constata una correlación positiva (gráfico), si se orienta desde arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha, la correlación es negativa (gráfico), y si la nube de puntos no toma ninguna de estas dos direcciones no hay correlación (gráfico). Pero para cuantificar la correlación hay que aplicar uno de los dos siguiente s métodos: El de Pearson o el de Spaerman, que a continuación se explicarán.

113

Correlación positiva 12 10

Física

8 6 4 2

0 0

Matemática

Gráfico 16. Correlación positiva.

Correlación negativa Rapidez en la lectua

12 10

8 6 4

2 0 0

Tiempo en que se ejecuto la lectura

Gráfico 17. Correlación negativa.

No hay correlación 12

Lenguaje

10 8 6 4

2 0 0

Educación física

Gráfico 18. No correlación. 114

Cuadro 36. Datos para calcular la correlación entre el rendimiento en matemáticas y física en 25 estudiantes. Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Total

M atemáticas (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 7 6 5 9 8 9 10 10 8 5 6 3 1 160

Física (Y) x-X 10 – 6,4 = 3,6 9 – 6,4 = 2,6 8 – 6,4 = 1,6 7 – 6,4 = 0,6 6 – 6,4 = - 0,4 5 – 6,4 = - 1,4 4 – 6,4 = - 2,4 3 – 6,4 = - 3,4 2 – 6,4 = - 4,4 1 – 6,4 = -5,4 10 – 6,4 = 3,6 8 – 6,4 = 1,6 7 – 6,4 = 0,6 6 – 6,4 = - 0,4 5 – 6,4 = - 1,4 9 – 6,4 = 2,6 8 – 6,4 = 1,6 9 – 6,4 = 2,6 10 – 6,4 = 3,6 10 – 6,4 = 3,6 8 – 6,4 = 1,6 5 – 6,4 = - 1,4 6 – 6,4 = - 0,4 3 – 6,4 = - 3,4 1 – 6,4 = -5,4

(x – X)2 (3,6)2 = 12,96 (2,6)2 = 6,76 (1,6)2 = 2,56 (0,6)2 = 0,36 (- 0,4)2 = 0,16 (- 1,4)2 = 1,96 (- 2,4)2 = 5,76 (- 3,4)2 = 11,56 (- 4,4)2 =19,36 (- 5,4)2 = 29,16 (3,6)2 = 12,96 (1,6)2 = 2,56 (0,6)2 = 0,36 (0,4)2 = 0,16 (- 1,4)2 = 1,96 (2,6)2 = 6,76 (1,6)2 = 2,56 (2,6)2 = 6,76 (3,6)2 = 12,96 (3,6)2 = 12,96 (1,6)2 = 2,56 (- 1,4)2 = 1,96 (- 0,4)2 = 0,16 (- 3,4)2 = 11,56 (- 5,4)2 = 29,16 196,00

9 7 6 6 6 5 4 3 1 2 9 8 8 7 5 7 7 6 10 9 7 6 5 2 1 146

X.Y y-X 9 – 5,8 = 3,2 7 – 5,8 = 1,2 6 – 5,8 = 0,2 6 – 5,8 = 0,2 6 – 5,8 = 0,2 5 – 5,8 = - 0,8 4 – 5,8 = - 1,8 3 – 5,8 = - 2,8 1 – 5,8 = - 4,8 2 – 5,8 = - 3,8 9 – 5,8 = 3,2 8 – 5,8 = 2,2 8 – 5,8 = 2,2 7 – 5,8 = 1,2 5 – 5,8 = - 0,8 7 – 5,8 = 1,2 7 – 5,8 = 1,2 6 – 5,8 = 0,2 10 – 5,8 = 4,2 9 – 5,8 = 3,2 7 – 5,8 = 1,2 6 – 5,8 = 0,2 5 – 5,8 = - 0,8 2 – 5,8 = - 3,8 1 – 5,8 = - 4,8

(y – X)2 (3,2)2 = 10,24 (1,2)2 = 1,44 (0,2)2 = 0,04 (0,2)2 = 1,44 (0,2)2 = 1,44 (- 0,8)2 = 0,64 (- 1,8)2 = 3,24 (- 2,8)2 = 7,84 (- 4,8)2 =23,04 (- 3,8)2 = 14,44 (3,2)2 = 10,24 (2,2)2 = 4,84 (2,2)2 = 4,84 (1,2)2 = 1,44 (- 0,8)2 = 0,64 (1,2)2 = 1,44 (1,2)2 = 1,44 (0,2)2 = 1,44 (4,2)2 = 12,96 (3,2)2 = 10,24 (1,2)2 = 1,44 (0,2)2 = 1,96 (- 0,8)2 = 0,64 (3,8)2 = 14,44 (- 4,8)2 = 23,04 153,40

Fuente: Autor 2020. Método de Pearson, es una prueba no paramétrica, se debe calcular el coeficiente de Pearson (r), para cuantificar la correlación de dos variables cuantitativas sean estas de intervalo o de razón, se usa cuando las variables son cuantitativas, es decir, en escala de intervalo y de razón, su fórmula es la siguiente: Xx =

∑𝑋 𝑛

160 25

= 6,4.

Xy =

∑𝑌 𝑛

146 25

= 5,8.

∑(𝑥−𝑋) 196 196 𝑆= √ = 𝑆𝑥 = √ = √ = √ 8,17 = 2,86. 𝑛−1 25−1 24

𝑆= √ ∑

r= r=

∑(𝑦−𝑋) 2 𝑛−1

𝑋 .𝑌 𝑛

153 ,40

= 𝑆𝑦 = √

25 −1

=√

153 ,40 24

= √ 6,392 = 2,53.

− (𝑋𝑥 . 𝑋𝑦)

𝑆𝑥 . 𝑆𝑦 1096 − (6,4 . 25

5,8)

𝑆𝑥 . 𝑆𝑦

43 ,84 − 37,12 2,86 . 2,53

6,72

= 7,24 = 0,928 ≈ 0,93.

Otra fórmula es: R=

∑ (𝐷𝑚𝑥−𝐷𝑚 𝑦) √( ∑ 𝐷𝑚𝑥 2 ) . ( ∑ 𝐷𝑚𝑦2 )

115

90 63 48 42 36 25 16 9 2 2 90 64 56 42 25 63 56 54 100 90 56 30 30 6 1 1096

En conclusión, r es de 0,93, es decir muy cercano a 1, por lo tanto, existe una correlación altamente positiva. Los valores de coeficiente de correlación con el método de Pearson se ubican en la siguiente relación: -1 ≤ 𝑟 ≥ +1. Método de Spaerman, es una prueba no paramétrica, se debe calcular el coeficie nte de Pearson (rho), para cuantificar la correlación de una variable cuantitativa y otra ordinal o de dos ordinales, con la siguiente fórmula: ∑ 𝐷2

rho = 1- 𝑛 . ( 𝑛2 −1) D = X – Y. n= Número total de sujetos.

rX = Rango de X.

rY = Rango de Y.

Los valores de coeficiente de correlación con el método de Spaerman se encuentran en la siguiente relación: -1 ≤ 𝑟ℎ𝑜 ≥ +1.

Cuadro 37. Datos para calcular la correlación entre el consumo de cervezas y cigarros diario en 8 personas. n0

Consumo de cerveza diaria (X)

1 2 3 4 5 6 7 8 Total Fuente: Autor

5 7 14 19 22 22 38 38

Consumo de Cigarro diario (Y)

1 2 3 4 5,5 5,5 7,5 7,5

10 15 18 18 23 26 30 30

-9 -8 -4 1 -1 -4 8 8

81 64 16 1 1 16 64 64 307

1 2 3,5 3,5 4 5 6,5 6,5

2020.

En el rango de X e Y, se asigna el número 1 al primer dato, luego 2 al que le sigue en orden creciente o decreciente, pero cuando se llega en X a 22, este ocupa el 5 y 6 lugar, por lo que se suma 5 + 6 y se divide entre 2 y da 5,5; asimismo, 38 se ubica en el 7 y 8, se hace la sumatoria de 7 + 8 y se divide entre 2 y resulta 7,5. Lo mismo se hace con Y. rho = 1-

∑ 𝐷2 𝑛 . ( 𝑛2 −1)

= 1-

307 8 . ( 64 −1)

= 1-

307 8 . 63

= 1-

307 8 . 63

= 1-

307 504

= = 1- 0,61 = 0,39.

La correlación con valor de 0,39; posee baja positividad. Las correlaciones, solo se puede interpretar en cuanto indican una asociación o tendencias de las variables y no como causalidad. 116

Cuadro 38. Valores e interpretación del coeficiente de correlación. Valor ± 1,00 ± 0,81 a ± 1,00 ± 0,61 a ± 0,80 ± 0,41 a ± 0,60 ± 0,21 a ± 0,40 ± 0,00 a ± 0,20 Fuente: Autor 2020.

Correlación Perfecta Muy alta Alta Moderada Baja Muy baja

Cuadro 39a. Relación de ausencia en días laborables de acuerdo al sueldo mensual en miles de bolívares.

Sueldo

Dias ausentes

La variable independiente es el sueldo y la Variable dependiente los días de ausencia laboral.

Gráfica Relación de ausencia en días laborables de acuerdo al sueldo mensual en miles de bolívares. Conclusión, según el gráfico existe una correlación negativa entre el sueldo semanal y los días de ausencia laboral, es decir, a mayor sueldo, menor son los días de ausencia laboral.

117

¿Cuál será la ausencia laboral para sueldo de 89 mil bolívares mensual? Cuadro 39b. Relación de ausencia en días laborables de acuerdo al sueldo mensual en miles de bolívares. Docente 1 2 3 4 5 6 7 8

∑

X2 1369 3249 3721 2116 529 3364 4096 841 19285

Sueldo (X) 37 57 61 46 23 58 64 29 375

Días de ausencia (Y) 10 5 8 9 18 7 5 14 76

Ecuación de la recta Y = a + b. X a=

∑ 𝑌 . 𝑋 2 −( ∑ 𝑋 . ∑ 𝑋 . 𝑌) 𝑛 . ( ∑ 𝑋 2 − ∑ (𝑋) 2)

∑ (𝑋)2 = (375)2 = 140625. a= b=

144071 −(375 . 2779)

8 . (19285 − 140625 )

144071−1042125 8 . (−121340 )

−898054 −970720

= 0,93

𝑛 . ( ∑ 𝑋 . 𝑌 − ∑ 𝑋 . ∑ 𝑌) 𝑛 .( ∑ 𝑋 2 − ∑ (𝑋) 2 ) 8 .( 2779 −375 . 76 )

b = 8 . (19285 −

140625 )

8 .( 2779 − 28728 ) 8 . (−121340 )

8 . −25949 −970720

− 207592 −970720

= 0,21

Y = 0,93 + (0,21 . 89) = 0,93 + 18,69 = 19.62 ≈ 20 días. La ausencia para sueldo de 89 es de aproximadamente 20 días.

118

X. Y 370 285 488 414 90 406 320 406 2779

Y . X2 13690 16245 29768 19044 9522 23548 20480 11774 144071

Cuadro 39c. Datos para calcular la correlación por el método de Pearson con Excel. Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Matemáticas (X) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 7 6 5 9 8 9 10 10 8 5 6 3 1

Física (Y) 9 7 6 6 6 5 4 3 1 2 9 8 8 7 5 7 7 6 10 9 7 6 5 2 1

Fuente: Pestaña (2002). Estadística. Caracas: El Nacional, páginas 88. Primero se copia la tabla y se pega en Excel, luego se da clic “fx”, aparece el cuadro de diálogo “insertar función”, se hace clic en Estadístico y se escoge Pearson, se da clic en aceptar, emerge el cuadro de diálogo “Argumentos de función”, donde dice Matriz 1 se coloca B2:B26 y en Matriz 2 C2:C26, que son la ubicación de los datos a correlacionar y aparece el resultado (figura 59).

119

Figura 59. Cálculo de correlación con el método de Pearson con Excel.

Cálculo de varias medidas estadística con SPSS Primero se da clic en el menú principal en “Analizar” y aparecen varias opciones, se escoge “Estadísticos descriptivos” (figura 60), y se da clic sobre “Frecuencias”, “Descriptivos” o en “Explorar”. Si se escoge “Frecuencia”, emerge el cuadro de diálogo “Frecuencias”, en él se pasa la variable a estudiar a la casilla variable, sombrando la misma y dando clic en la punta de flecha que está en medio, activar opción “Mostrar tabla de frecuencia” ubicada por encima del botón “Estadísticos”, luego se realiza clic en el botón “Estadísticos” y también “Gráficos” si se desea obtener gráficos de la variable en estudio , al dar clic en “Estadísticos”, aparece el cuadro de diálogo “Frecuencia Estadísticas”, en él se puede activar los cuartiles, percentiles, en estos últimos se puede introducir cuales percentiles se quiere, también se puede seleccionar

Media, Mediana, Moda, Suma,

Desviación Típica o estándar, Varianza, Amplitud, Mínimo, Máximo, Asimetría y Curtosis, 120

posteriormente se da clic en continuar y luego en aceptar, tras los cual aparecerá un cuadro con todas esta medidas estadística y si se escogió la opción gráfico el grafico que se solicitó.

Figura 60. Calculo de varias medidas estadísticas con SPSS. Si se escoge “Descriptivos”, emerge el cuadro de diálogo “Descriptivos”, en él se pasa la variable a estudiar a la casilla variable, sombrando la misma y dando clic en la punta de flecha que está en medio, activar opción “Mostrar tabla de frecuencia”, luego se realiza clic en el botón “Opciones” y aparece el cuadro de diálogo “Descriptivos opciones”, en él se puede activar la Media, Suma, Desviación Típica o estándar, Varianza, Amplitud, Mínimo, Máximo, Asimetría y Cúrtosis, posteriormente se da clic en continuar y luego en aceptar, entonces, emergerá un cuadro con todas la medidas estadísticas solicitadas. Si se elige “Explorar”, emerge el cuadro de diálogo “Explorar”, en él se pasa la variable a estudiar a la casilla Dependiente, y la otra variable con la que se vaya a cotejar a la casilla “Factores”, la misma y dando clic en la punta de flecha que está en medio, se da clic en el botón

“Estadísticos”, luego aparece el cuadro de diálogo “Explorar

Estadísticos”, en él se activa Descriptivos y se establece el Intervalo de confianza de 95% o 99%, posteriormente se da clic en continuar y luego en aceptar y emergerá un cuadro con todas la medidas estadísticas solicitadas. 121

Cálculo de la correlación con el método de Pearson con SPSS Primero se da clic en el Menú principal en “Analizar” (figura 61), posteriormente clic en la opción “Correlación”, entonces, aparecen varias opciones y se da clic en “Bivariadas”, emerge el cuadro de diálogo “Correlaciones Bivariadas”, Se seleccionan las dos variables a correlacionar y se pasan a la casilla Variable, sombreándolas y dando clic sobre la punta de flecha que se encuentra en medio, una va en Dependiente y la otra en Independiente, se puede activar los coeficentes de correlación de Pearson o el de Spearman, posteriormente se da clic en aceptar y aparece un cuadro con el coeficiente de correlación escogido.

Figura 61. Calculo de la correlación con SPSS. Obtención de la curva de estimación o recta ajustada con SPSS Primero se da clic en el Menú principal en “Analizar” (figura 62), posteriormente clic en la opción “Regresión”, entonces, aparecen varias opciones y se da clic en “Estimación Curvilínea”, emerge el cuadro de diálogo “Estimación Curvilínea”, se seleccionan las dos variables que se correlacionaron anteriormente y se pasan a la casilla Variable, sombreándolas y dando clic sobre la punta de flecha que se encuentra en medio, una va en Dependiente y la otra en Independiente, se activa “Incluir constante en la ecuación”, “Representar modelos” y Modelo “Líneal”, posteriormente se da clic en

122

aceptar y aparece la gráfica de dispersión, en ella se puede verificar visualmente si hay o no correlación y de que tipo.

Figura 62. Regresión con SPSS.

Gráfico 19. Diagrama de dispersión de la recta ajustada.

123

La ecuación para la recta es Y = a + b. X a=

∑ 𝑌 . 𝑋2 − ∑ 𝑋 . ∑ 𝑋 . 𝑌 𝑛 . ∑ 𝑋 2 − ∑ (𝑋) 2

𝑛. ∑ 𝑋. 𝑌−∑ 𝑋 . ∑ 𝑌 𝑛 . ∑ 𝑋 2 − ∑ (𝑋) 2

Dicha ecuación permite calcular el valor esperado de “Y” para cualquier valor dado de “X”, dentro del rango de los valores de las escalas usadas. Donde “Y” es un valor de la variable dependiente, “a” es la ordenada en su origen, “b” es la inclinación o pendiente de la recta y “X” el valor que se fijó de la variable independiente. Prueba de Chi (Ji, X2 ), cuadrado

Es una prueba no paramétrica para aplicar a variables más cualitativas que cuantitativas, su valor depende de los grados de libertad y del nivel de significancia. Los grados de libertad son los cambios que se pueden hacer a los valores de la distribución, sin que ello altere o varié es estadístico calculado para ellos, por ejemplo, si se tiene cuatro niños con las edades en años de 2, 5, 6 y 7, su media aritmética daría 5, pero tres de ellos pueden variarse sin alterar la media por esto, como, por ejemplo, 8, 3, 5 y 4 y sigue dando su media 5. En las pruebas de hipótesis hay dos probabilidades de equivocarse o errores tipo I y II, el tipo I, consiste en rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera y el tipo II, es aceptar la hipótesis nula cuando ella es en realidad falsa. Esa probabilidad de cometer el error se conoce como nivel de significancia y se designa por el símbolo alfa (𝛼), con se comete en el error tipo I. Así cuando el 𝛼 𝑒𝑠 𝑑𝑒 0,05, el riesgo de cometer el error tipo I es de cinco (5) de cada cien (100), y al ser el 𝛼 de 0,01, se realiza en uno (1), de cada cien (100). Los valores más usados de alfa (𝛼), son 0,05 y 0,01.En el error tipo II, se conoce como beta (𝛽). Para aplicar la prueba del Chi (Ji), cuadrado la muestra debe ser mayor de 20 casos, si es inferior debe recurrirse a la prueba de Fischer. Si la muestra está entre 20 a 40 datos, puede usarse e Chi cuadrado si todas las frecuencias esperadas son mayores a 5. Si no se debe utilizar la prueba de Fischer. Ninguna de las frecuencias esperadas podrá ser menor a 1 y no más del 20% serán inferiores a 5, en tablas con más de un grado de libertad. No se debe utilizar la prueba de Chi cuadrado cuando una de las casillas del cuadro está vacía.

124

Aplicación de Chi cuadrado: 1.- Plantear las hipótesis nulas (Ho) y la de investigación o trabajo (Hi). 2.- Decidir el nivel de significancia 𝛼. 3.- Establecer los grados de libertad g.l. 4.- Calcular del Chi cuadrado X2 . 5.- Decisión del rechazo o no a la Ho. 6.-Conclusiones. La hipótesis de investigación (Hi). Consiste en la suposición inicial a ser verificad a mediante una prueba de verificación estadística, relativa a algún parámetro de la población en estudio. La hipótesis nula (Ho), niega lo que afirma la hipótesis de investigación (Hi), si la hipótesis nula es rechazada, en consecuencia, la hipótesis alternativa será válida. Del mismo modo, Puertas et al (1998), afirman con respecto al Chi cuadrado que: El planteamiento de lasa hipótesis depende específicamente del uso que se le dé a la prueba. Cuando se emplea como prueba de independencia, en términos generales, la esencia de las hipótesis será: Hi: Las variables están asociadas. Ho: Las variables son independientes. Cuando se utiliza como prueba de homogeneidad: Hi: Las poblaciones no son homogéneas, en cuanto a la variable en estudio. Ho: Las poblaciones son homogéneas, en cuanto a la variable en estudio. Cuando se aplica como prueba de bondad de ajuste: Hi: La muestra utilizada no proviene de una distribución teórica determinada. Ho: La muestra utilizada proviene de una distribución teórica determinada (normal, binomial o de Poisson). Como regla de decisión se puede utilizar la expresión de: Rechazar Ho si X2 calculado es mayor al X2 tabulado, según nivel de significación y grados de libertad: Los grados de libertad (g.l), se obtienen de manera diferente, según cada situación en prueba de bondad g.l = k – 1; k = número de categorías o clases en que se encuentra dividida la variable. En cuadros de asociación, para prueba de independencia o de homogeneidad: g.l = (c-1) . (f – 1), c = número de columnas de frecuencia observadas del cuadro, f = número de filas del cuadro (págs. 245-246). La fórmula del Chi cuadrado como estadístico es la siguiente: X2 =

( 𝑓𝑜−𝑓𝑒) 2 𝑓𝑒

fo = Frecuencias absolutas en el cuadro, fe = Frecuencias teóricas o esperadas calculadas. Pero cuando se tienen cuadro de contingencia de dos por dos se usa la siguie nte fórmula: X2 =

( [𝑓𝑜−𝑓𝑒] −0,5) 2 𝑓𝑒

125

[fo – fe] = valor absoluto de la diferencia.

Ejemplos tomados de Tomado de Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC, páginas 247-252. Chi cuadrado como prueba de independencia, se hace cuando se tiene una sola muestra y se desea probar si dos criterios de clasificación son independientes, la hipótesis nula Ho, plantea que existe independencia entre los dos criterios, es decir, que las variables son independientes.

Cuadro 40. Pacientes que recibieron antibioticoterapia profiláctica, Maternidad del C.H.R.T, Valencia, junio – agosto 1997. Causa Pacientes que recibieron antibioticoterapia Total Si (fo) fe No (fo) fe Parto vaginal 23 80,68 655 597,32 678 Aborto 39 21,78 144 161,22 183 Cesárea 57 16,54 82 122,46 139 Total 119 119,00 881 881,00 1000 Fuente: Tomado de Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC. página 249. Hi: Las variables están asociadas. Ho: Las variables son independientes. 𝛼 = 0,5 Rechazar Ho si X2 calculado es mayor a 5,991. X2 =

( 𝑓𝑜−𝑓𝑒) 2 𝑓𝑒

Primero se calcula la fe: se multiplica el subtotal (119), de la primera columna por cada uno de los subtotales de la tercera columna y se dividen entre el total, posteriormente, el subtotal de la segunda columna (881), por cada uno de los subtotales de la tercera columna y se dividen entre el total. 119 . 678 / 1000 = 80,682 ≈ 80,68 119 . 183 / 1000 = 21,777 ≈ 21,78 119 . 139 / 1000 = 16,541 ≈ 16,54 881 . 678 / 1000 = 597,318 ≈ 597,32 881 . 183 / 1000 = 161,223 ≈ 161,22 126

881 . 139 / 1000 = 122,459 ≈ 122,46

X2 =

( 23 −80 ,68) 2 + ( 39 −21,78) 2 + ( 577 −16,54) 2 + ( 655 −597,32) 2 + ( 144 −161 ,22) 2 + ( 82 −122,46 ) 2 80,68 21 ,78 16,54 597 ,32 161,22 122 ,46

X2 =

41,237 + 13,614 + 98,972 + 5,569 + 1,869 + 13.367 = 174,598.

Decisión X2 calculada es mayor que X2 tabulada, se rechaza Ho y en conclusión se acepta Hi y las variables son independientes y hay asociación entre el tipo de intervención y el uso de antibioticoterapia.

Cuadro 41. Intoxicación alimentaria por atún Consumieron ensalada Si con atún (fo) Si 11 No 6 Total 17 Fuente: Puertas et al (1998),

Intoxicación

Total No

fe 9 8 17 página 250.

(fo) 5 8 13

fe 7 6 13

16 14 30

Hi: Las variables están asociadas. Ho: Las variables son independientes. 𝛼 = 0,5 Rechazar Ho si X2 calculado es mayor a 3,611 (0,05 g.l). X2 =

( [𝑓𝑜−𝑓𝑒] −0,5) 2 𝑓𝑒

Se calcula fe, de la siguiente manera: al subtotal de la primera columna se le multiplica por el primer subtotal de la tercera columna y se divide por el total. 17 . 16 / 30 = 9 Posteriormente al subtotal primera columna se le resta la fe obtenida, luego al primer subtotal de la tercera se le resta la fe y finalmente al segundo subtotal de la tercera columna se le resta 8 que fue el resultado de la resta de 17 – 9. 17 – 9 = 8 16 – 9 = 7 14 – 8 = 6. X2 = X2 =

( [𝑓𝑜−𝑓𝑒] −0,5) 2 𝑓𝑒 ( [11−9] −0,5) 2 + ( [5−7] −0,5) 2 + ( [6−8] −0,5) 2 + ( [8−6] −0,5) 2 9 7 8 6

127

X2 = 0,25 + 0,32 + 0,28 + 0,375 = 1,225. Decisión X2 calculada es menor X2 tabulado no se rechaza Ho, en conclusión, las variables son independientes y no hay asociación entre consumo de ensalada de atún y la intoxicación alimentaria. Chi cuadrado como prueba de ajuste, es apropiado cuando se quiere conocer si una distribución de frecuencias es ajusta a un modelo teórico de distribución. En la Prueba de ajuste a la binomial, es muy usado en genética, con el siguiente ejemplo: sobre ratones negros (BB), y ratones pardos (Bb o bb), cada 4 ratones que nacen 3 son pardo y uno negro de 40 3

ratones nacidos 30 son pardo (4 . 40), y diez negros (4 . 40), ¿será esta diferencia significativa? Con 95% de confianza.

Cuadro 42. Ratones nacidos de color pardos y negros. Ratones fo fe Pardos 26 30 Negros 14 10 Total 40 40 Fuente: Tomado de Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC, página 252. Hi: La distribución observada no se ajusta a la distribución binomial. Ho: La distribución observada se ajusta a la distribución binomial. 𝛼 = 0,5 Rechazar Ho si X2 calculado es mayor a 3,811 (0,05 g.l). X2 =

( 𝑓𝑜−𝑓𝑒) 2 𝑓𝑒

( 26−30) 2 + ( 14 −10) 2 = 0,533 + 1,6 = 2,133. 30 10

Decisión X2 calculada es menor X2 tabulado no se rechaza Ho, en conclusión, no es significativa la diferencia entre la frecuencia observada y esperada, por lo que la distribuc ió n se ajusta a la distribución binomial. Finalmente, en la prueba de homogeneidad, se busca probar si las muestras extraídas provienen de poblaciones que son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificació n. En este caso, la Ho plantea que las muestras vienen de la misma población, por lo tanto, las muestras son homogéneas, en cuanto al estudio de la variable en estudio, lo que se puede ejemplificar con el caso arriba referido.

128

Prueba de Chi cuadrado con SPSS Se da clic en “Analizar” en el menú principal, se selecciona “Estadísticos descriptivos”, se da clic en “Tablas de contingencia” y aparece el cuadro de diálogo “Tablas de contingencia”, se pasa una de las variables a la casilla Filas y la otra a la casilla columna, sombreando y dando clic en la respectiva punta de flecha, se debe activar la opción “Mostrar los gráficos de barras agrupadas”, se da clic en el botón “Estadístico” y aparece el cuadro de diálogo “Tablas de contingencias Estadísticos”, en el activar donde dice “Chi cuadrado”, posteriormente dar clic en el botón “Casillas” y activar frecuencia s “Observada” y “Esperadas”,

todo ello en “Tablas de contingencias”, dar clic en

continuas y aceptar y aparecen la tabla con los resultados, en ellos se presentan tres tablas, la última con los resultados de Chi cuadrado, si dicho valor de Chi cuadrado tiene por lo demás, un valor de su significancia superior a la significancia establecida de ∝ = 0,05 establecida previa a la prueba, no se rechaza la Ho.

129

CAPÍTULO IV

Curva normal La curva normal (figura 63), se conoce también como va o campana de Gaus, es la representación gráfica de la distribución normal y posee las siguientes propiedades: 1.- Tiene simetría bilateral perfecta o mesocúrtica, en referencia al eje vertical, con forma de campana, siendo cóncava hacia abajo hasta ± 1 S y a partir de allí cóncava hacia arriba, corresponde a una variable aleatoria continua, como resultado, la Media, Mediana y Moda, se ubican todas en el centro de la curva y poseen el mismo valor, ubicada en Z = 0, es decir, su valor es de “0”. En consecuencia, su Media es cero “0”, desviación estándar 1 y Varianza de 1. 2.- Sus parámetros son: 𝜇 𝑦 𝜎 . 3.- Tiene asimetría cero “0”. 4.- Es asintótica, es decir, sus colas no tocan el eje de las abscisas o “X”, por lo que se extiende hacia más infinito (+ ∞), y menso infinito (- ∞) . 5.- Entre ± 1 S están el 68,26% de los datos, en ± 2 S están el 95,44% y finalmente, entre ± 3 S están el 99,74%. 6.- Las distribuciones de más de 100 elementos tienden a ser normal.

Figura 63. Curva Normal.

130

Existen otras distribuciones como la binomial, que cuando se número de datos es grande (n), y probabilidad (p), se aproxima 0,50; su forma se aproxima a la distribuc ió n normal y por ende adquiere la forma de la curva normal. Del mismo, modo, la distribución T de Student posee Media igual a cero “0” y cuando su grado de libertad tiende al infinito positivo se asemeja a la curva de distribución normal. Puntuaciones Z, de acuerdo a Escotet (1976): “representan el número de desviaciones estándar que una puntuación “x” muestra en relación a la media” (pág. 111). Dichas puntaciones “Z”, constituyen una escala de puntuaciones estándar que abarcan, cuatro unidades a cada lado de la Media, con la mitad positiva hacia la derecha de está y negativa a su izquierda, su media es cero “0”. Su fórmula es la siguiente: 𝒙−𝑿 𝑺 x = Puntuaciones proveniente de una distribución normal. 𝒁=

X = Media aritmética de la distribución de donde se extrajo la puntación “x”. S =Desviación estándar de la distribución de donde se extrajo la puntación “x”. x=Z.S+X Puntajes “T”, cuando pertenecen a una distribución normal su media es de 50 puntos y la desviación estándar de 10 y va desde “0” a “100”, por ende, a cada unida de “Z” le corresponden 10 unidades de la escala “T”. A esto agrega Chourio (1987): “ Los puntajes T son puntajes estándar normalizados, convertidos en una distribución cuya media arimética es 50 y el alumno que se aleja de menos 5 𝜎 de la media, le corresponde 0 , mientras que el que se aleja 5 𝜎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 100 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠. ( 𝑝á𝑔. 127). Por lo demás,se usa en muestras pequeñas de menos de 30, su fórmula es: T = 10 . Z + 50 Otra forma de calcularlo es con la siguiente formula: T=

𝑋− 𝜇 𝐸𝑠

Es =

𝑆 √𝑛

T = Puntajes “T”. X = Media aritmética de la distribución de donde se extrajo la puntación “x”. µ = Media de la población de donde se extrajo la puntación “x”. Es = Error estándar. S = Desviación estándar. N = Total de datos. 131

Calcular las calificaciones “Z” y los puntajes “T” de una distribución que tiene una Media de 6,5 y S = 1,08. Los datos son: 8, 11, 5, 6 y 10. 𝑍= Z=

6−6,5 1.08

𝑥−𝑋 𝑆

𝑍 =

5−6,5 1.08

= -1,39 Z =

6−6,5 1.08

= -1,75 Z =

7−6,5 1.08

= 0,46

8−6,5 1.08

= 1,39

= -1,75

T = 10 . Z + 50

T = 10 . (-1,39) + 50 = 36,10

T = 10 . 0,46 + 50 = 54,60

T = 10 . 1,39 + 50 = 63,90

T = 10 . (-1,75) + 50 = 32,50

T = 10 . 3,24 + 50 = 82,40

Cuadro 43. Resultados de los cálculos de las calificaciones “Z” y puntajes “T”. Calificaciones “x” 5 6 7 8 10 Fuente: Autor 2020.

Calificaciones “z” -1,39 -1,75 0,46 1,39 3,24

Puntajes “T” 36,10 32,50 54,60 63,90 82,40

Conociendo las calificaciones “Z”, con una media de 6,5 y S =1.08; calcular las calificaciones “x”. -1,39; -1,75; 0,46; 1,39 y 3,24. x=Z.S+X

x = (-1,39) . 1,08 + 6.5 = 4.99 ≈ 5

x = (-1,75) . 1,08 + 6.5 = 5,83 ≈ 6 x = 1,39 . 1,08 + 6.5 = 8

x = 0,46 . 1,08 + 6.5 = 6,9 ≈ 7

x = 3,24 . 1,08 + 6.5 = 9,9 ≈ 10

Cuadro 44. Resultados de los cálculos de las calificaciones “Z” y puntajes “T”. Calificaciones “z” -1,39 -1,75 0,46 1,39 3,24 Fuente: Autor 2020.

Calificaciones “x” 5 6 7 8 10

132

Procedimiento para la prueba de hipótesis

1.- Se plantea la Ho: Hipótesis nula y de la Hi: Hipótesis de investigación o trabajo. 2.- Se fija la significancia generalmente de 0,05 o 0,01. 3.- Se selecciona el estadístico de la prueba. 4.- Se hace la regla de decisión para rechazar la Ho. 5.- Se calcula la prueba. 6.- Se toma la decisión estadística en base a los resultados. 7.- Se hace las conclusiones de acuerdo a los resultados. La Hi: hipótesis de investigación o trabajo es una explicación posible y provisiona l que se basas en los factores, condiciones y sucesos que se investigan. La Ho: hipótesis nula, niega o es contraria a la hipótesis de investigación. por ende, niega la relación que tiene las variables dependientes con respecto a la variable independiente. La Ha: hipótesis alternativa es aquella que plantean posibilidades que son diferentes a la Hi y Ho. Hipótesis planteada estadísticamente: Hi: 𝜇 = valor dado.

Hi: 𝜇1 ≠ 𝜇2

H0: 𝜇 ≠ valor dado.

Ho: 𝜇1 = 𝜇2

Hi: 𝜇 < valor dado.

Hi: 𝜇1 < 𝜇2

H0: 𝜇 > alor dado.

Ho: 𝜇1 > 𝜇2

𝜇 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑎𝑙𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.

Pueba T

Se usa en muestra menores de 30 datos y se desconoce el valor de la varianza de la población, con ella se estima la media poblacional, se comparan dos medias aritméticas e incluso se comparan medias aritméticas de muestras relacionadas. Estimación de una muestra población con la prueba T. Intervalo de confianza = X ± (T . Es). T=

𝑋− 𝜇 𝐸𝑠

Es =

𝑆 √𝑛

Determinar el nivel promedio de hemoglobina (Hb), en 17 pacientes cuya media es de 13,50 grs/dl y con una desviación estándar de 1,2 gr/dl, el nivel de confianza de la prueba es de 95% lo que equivale a un 𝛼 de 0,05. Como la curva es bilateral, se divide el 𝛼 de 0,05 entre dos y da 0,025; los grado de libertad se obtienen, de la siguiente forma se resta número 133

de pacientes menos 1, es decir g.l = 17 – 1 = 16. El valor de T se busca en las tabla en las intercepción de la fila 16 con el 𝛼 de 0,05 y da 2,11990. Es =

𝑆 √𝑛

1,2 √17

1,2

= 4,12 = 0,3789 ≈ 0,379

Intervalo de confianza = X ± (T . Es) = 13,50 ± (2,11990 . 1,2) = 13,50 ± 2,54388 = 16,04 y 13,96. En conclusión, el nivel promedio de Hb no es menor de 13,96 grs/dl ni mayor de 16,04 grs/dl.

Comparación de dos medias, en muestras pequeñas independientes con la prueba T.

En 12 personas mayores de 30 años se quiere saber el valor promedio del antíge no prostático total en ellos y su valor promedio es de 1,30 con una desviación estándar de 0,2; el investigador quiere saber si el nivel promedio es diferente considera que es de 1,40, con un 𝛼 de 0,05. Hi : 𝜇 ≠ 1,40. Ho : 𝜇 = 1,40. Como la prueba es bilateral, se rechaza la Ho si T calculada es menor de -2,20099 o mayor de 2,20099. g.l = 12 -1 = 11. T = 2,20099; ubicado en la tabla. T=

𝑋− 𝜇

Es =

𝐸𝑠 𝑆 √𝑛

= =

1,30− 1,40 0,020 0,2

√12

− 0,1, 0,06

= -1,67

0,2

= 3,46 = 0,058 ≈ 0,06.

Como la T calculada es mayor de la tabulada, no se rechaza la Ho.

Comparación de dos medias, en muestras pequeñas independientes con la prueba T.

Como esta prueba se hace sobre los mismos individuos, se presume cierto grado de dependencia o correlación entre las dos medias, en él se busca una diferencia entre las mediciones antes y después de determinado fenómeno o evento.

134

Cuadro 45. Calificaciones obtenidas antes y después de la aplicación de un taller de primeros auxilios Estudiantes Antes Después Diferencia (d) d2 1 12 19 7 49 2 8 20 12 144 3 9 18 9 81 4 10 17 7 49 5 11 20 9 81 6 7 19 12 144 7 5 16 11 121 8 8 17 9 81 9 9 20 11 121 10 6 19 13 169 11 8 18 10 100 12 5 19 14 196 Total 98 222 124 1336 Media 8,17 18,50 Fuente: Autor 2020.

𝑑2

1336

S = √𝑛−1 = √12−1 = √

1336 11

= √121,45 = 11, 02.

g.l = 12 -1 = 11. T tabulada 2,20099. Hi : 𝜇1 < 𝜇2 Ho : 𝜇1 > 𝜇2 Es =

𝑆 √𝑛

𝑋2− 𝑋1 𝐸𝑠

11,02 √12

11,02 3,46

18,50 − 8,17 3,19

𝛼 = 0,05 unilateral.

= 3,19.

10,33 3,19

= 3,24.

Se rechaza Ho, porque la T calculada es mayor que la tabulada, entonces la 𝜇1 < 𝜇2. Prueba T con SPSS (figura 64) Se da clic en “Analizar” en el menú principal, se selecciona compara medias y aparece los subcomandos: “Prueba T para una muestra”, “Prueba T para muestras independientes”, “Prueba T para muestras relacionadas”, Medias y ANOVA de un factor. Si la significancia 𝛼 es menor de 0,05 se rechaza la Ho si es mayor o igual no se rechaza la Ho.

135

Figura 64. Prueba T con SPSS. Prueba T para una muestra, da clic en menú principal en “Analizar”, seleccionar “comparar medias”, luego clic en “Prueba T para una muestra”, en el cuadro de diálogo “Prueba T para una muestra” pasar la variable a estudiar a la casilla derecha llamada “contrastar variable” sombreándola y dando clic en la punta de flecha, donde dice valor de prueba escribir el valor predeterminado, luego dar clic en el botón “Opciones” y aparece un cuadro de diálogo donde se establece el intervalo de confianza sea este de 95 con alfa de 0,05 o 99 con alfa de 0,01, según se desee, paso seguido dar clic en continuar y aceptar, finalmente aparecen dos cuadros con los resultados. Si la significancia es menor a la fijada de 0,05 o 0,01 se rechaza la Ho, ya que existe evidencias estadísticas con la cual afirmar que el promedio de la muestra posee diferencias significativas con los promedios obtenidos. Prueba T para dos muestras independientes, Clic en “Analiza”, seleccionar “Prueba T para muestras independientes”, en el cuadro de diálogo “Prueba T para muestras independientes”, pasar la variable a la casilla “Constatar variable”. Luego clic en “Variab le grupo” y pasar a “Variable agrupación”, posteriormente, clic en “, escribir uno en Grupo 1, 136

y dos en grupo 2, clic en continuar, clic en “Opciones” establecer el intervalo de confianza de 95% o 99%, clic en continuar y aceptar y aparecen en los cuadros con sus resultados. Pero cuando las varianzas, 𝛼2 control = 𝛼2 experimental, la prueba de Levene (F), que aparecen cuadro de resultados si es mayor que el alfa (0,05 o 0,01), permite entonces rechazar la Ho, a pesar de la igualdad de las varianzas, ya que sus diferencias no son significativas. Pero en caso de que T sea menor a la significancia de la prueba, la decisión es rechazar a la Ho y se concluye que hay evidencias significativas para afirmar que los promedios de los grupos experimental y control poseen diferencias significativas. Prueba T para dos muestras relacionadas, Clic en “Analiza”, seleccionar “Prueba T para muestras relacionadas”,

aparece cuadro de diálogo “Prueba T para muestras

relacionadas”, dar clic en cada una de las variables “Pretest” y “Postest”, dar clic en la punta de flecha para mover las dos las dos variables relacionadas y se pararlas con un signo menos (pretest – postest), dar clic en “Opciones”, poner el intervalo de confianza, sea 95% o 99%, dar clic en continuar y aceptar y aparece cuadros y sus resultados. Ho media pretest = media postest. Hi media pretest ≠ media postest. Si el valor de la significancia del T obtenido es menor a la establecido de 0,05 o 0,01, se rechaza la Ho, por lo que hay evidencias estadísticas para afirmar que las medias son diferentes en el pretest y postest, por lo que existe diferencias significativa en los resultados.

ANOVA

ANOVA es una prueba estadística de análisis de varianza, es una extensión de la prueba T, cuando se tiene más de dos grupos a los que se le desea comparar sus medias, en la ANOVA de un factor solo hay una variable independiente. Con el siguiente cuadro se explicará cómo realizarla, son un nivel de significancia de 0,05.

137

Cuadro 46. Datos para calcular el ANOVA, con las puntaciones de tres grupos de estudiante s y los resultados de un examen de estadística sobre medidas de tendencia central. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total X

Grupo 1 17 13 16 17 13 14 13 15 17 18 153 15,3

x-X 1,7 -2,3 0,7 1,7 -2,3 -1,3 -2,3 -0,3 1,7 2,7

(x – X)2 2,89 5,29 0,49 2,89 5,29 1,69 5,29 1,69 2,89 7,29 35,70

Grupo 2 19 17 18 20 17 18 19 18 17 16 179 17,9

x-X 1,1 -0,9 0,1 2,1 -0,9 0,1 1,1 0,1 -0,9 -1,9

(x – X)2 1,21 0,81 0,01 0,021 0,81 0,01 1,21 0,01 0,81 3,61 8,51

Grupo 3 18 15 14 15 13 18 18 15 13 15 154 15,4

x-X 2,6 -0,4 -1,4 -0,4 -2,4 2,6 2,6 -0,4 -2,4 -0,4

(x – X)2 6,76 0,16 1,96 0,16 5,76 6,76 6,76 0,16 5,76 0,16 34,26

Fuente: Autor 2020.

V1 =

𝑛 ∑ (𝑋 − 𝑋𝑔) 2 𝐾−1

43 ,4 3−1

43 ,4 2

= = 21,7

Cuadro 47. Operaciones para calcular el ANOVA, con las puntaciones de tres grupos de estudiantes y los resultados de un examen de estadística sobre medidas de tendencia central. Operaciones X X - Xg (X – Xg)2 n . (X – Xg)2

15,3 -0,9

17,9 1,7

15,4 -0,8

0,81 8,1

2,89 28,9

0,64 6,4

Total 48,6

Xg 16,2

48,6/3 43,4

Fuente: Autor 2020.

V2 = F==

∑ (𝑥−𝑋) 2 𝐾 (𝑛−1) 𝑉1 𝑉2

35,70+8,51 +34,26

21,17 2,91

3 . (10−1)

78,47 27

= 2,91

= 7,27

Cuadro 48. Resultado de la razón F para ANOVA, con las puntaciones de tres grupos de estudiantes y los resultados de un examen de estadística sobre medidas de tendencia central. Variación

g.l

Intragrupos 2 Intergrupos 27 Total 29 Fuente: Autor 2020.

Sumatorias2

Varianzas

43,4 78,47 121,84

21,7 2,91

138

7,27

Significancia de F 0,05

F calculada fue de 7,27 y la F tabulada está en la tabla entre el grado 2 en el numerador y 27 en el denominador y es de 3,35. Entonces como la F calculada es mayor a la tabulada se acepta la Hi y se rechaza la Ho.

Cuadro 49. Tabla F con significancia de 0,05 Fila 1 numerador, columna 1 denominador g.l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

1 2 3 161.4 199.5 215.7 18.51 19.00 19.16 10.13 9.55 9.28 7.71 6.94 6.59 6.61 5.79 5.41 5.99 5.14 4.76 5.59 4.74 4.35 5.32 4.46 4.07 5.12 4.26 3.86 4.96 4.10 3.71 4.84 3.98 3.59 4.75 3.89 3.49 4.67 3.81 3.41 4.60 3.74 3.34 4.54 3.68 3.29 4.49 3.63 3.24 4.45 3.59 3.20 4.41 3.55 3.16 4.38 3.52 3.13 4.35 3.49 3.10 4.32 3.47 3.07 4.30 3.44 3.05 4.28 3.42 3.03 4.26 3.40 3.01 4.24 3.39 2.99 4.23 3.37 2.98 4.21 3.35 2.96 4.20 3.34 2.95 4.18 3.33 2.93 4.17 3.32 2.92 4.08 3.23 2.84 4.00 3.15 2.76 3.92 3.07 2.68

4 5 6 224.6 230.2 234.0 19.25 19.30 19.33 9.12 9.01 8.94 6.39 6.26 6.16 5.19 5.05 4.95 4.53 4.39 4.28 4.12 3.97 3.87 3.84 3.69 3.58 3.63 3.48 3.37 3.48 3.33 3.22 3.36 3.20 3.09 3.26 3.11 3.00 3.18 3.03 2.92 3.11 2.96 2.85 3.06 2.90 2.79 3.01 2.85 2.74 2.96 2.81 2.70 2.93 2.77 2.66 2.90 2.74 2.63 2.87 2.71 2.60 2.84 2.68 2.57 2.82 2.66 2.55 2.80 2.64 2.53 2.78 2.62 2.51 2.76 2.60 2.49 2.74 2.59 2.47 2.73 2.57 2.46 2.71 2.56 2.45 2.70 2.55 2.43 2.69 2.53 2.42 2.61 2.45 2.34 2.53 2.37 2.25 2.45 2.29 2.18

7 8 9 236.8 238.9 240.5 19.35 19.37 19.38 8.89 8.85 8.81 6.09 6.04 6.00 4.88 4.82 4.77 4.21 4.15 4.10 3.79 3.73 3.68 3.50 3.44 3.39 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.02 3.01 2.95 2.90 2.91 2.85 2.80 2.83 2.77 2.71 2.76 2.70 2.65 2.71 2.64 2.59 2.66 2.59 2.54 2.61 2.55 2.49 2.58 2.51 2.46 2.54 2.48 2.42 2.51 2.45 2.39 2.49 2.42 2.37 2.46 2.40 2.34 2.44 2.37 2.32 2.42 2.36 2.30 2.40 2.34 2.28 2.39 2.32 2.27 2.37 2.31 2.25 2.36 2.29 2.24 2.35 2.28 2.22 2.33 2.27 2.21 2.25 2.18 2.12 2.17 2.10 2.04 2.09 2.02 1.96

139

10 11 241.9 243.0 19.40 19.40 8.79 8.76 5.96 5.94 4.74 4.70 4.06 4.03 3.64 3.60 3.35 3.31 3.14 3.10 2.98 2.94 2.85 2.82 2.75 2.72 2.67 2.63 2.60 2.57 2.54 2.51 2.49 2.46 2.45 2.41 2.41 2.37 2.38 2.34 2.35 2.31 2.32 2.28 2.30 2.26 2.27 2.24 2.25 2.22 2.24 2.20 2.22 2.18 2.20 2.17 2.19 2.15 2.18 2.14 2.16 2.13 2.08 2.04 1.99 1.95 1.91 1.87

12 15 20 243.9 245.9 248.0 19.41 19.43 19.45 8.74 8.70 8.66 5.91 5.86 5.80 4.68 4.62 4.56 4.00 3.94 3.87 3.57 3.51 3.44 3.28 3.22 3.15 3.07 3.01 2.94 2.91 2.85 2.77 2.79 2.72 2.65 2.69 2.62 2.54 2.60 2.53 2.46 2.53 2.46 2.39 2.48 2.40 2.33 2.42 2.35 2.28 2.38 2.31 2.23 2.34 2.27 2.19 2.31 2.23 2.16 2.28 2.20 2.12 2.25 2.18 2.10 2.23 2.15 2.07 2.20 2.13 2.05 2.18 2.11 2.03 2.16 2.09 2.01 2.15 2.07 1.99 2.13 2.06 1.97 2.12 2.04 1.96 2.10 2.03 1.94 2.09 2.01 1.93 2.00 1.92 1.84 1.92 1.84 1.75 1.83 1.75 1.66

24 30 40 60 120 249.1 250.1 251.1 252.2 253.3 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35

Cuadro 50. Tabla F con significancia de 0,01 Fila 1 numerador, columna 1 denominador g.l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

1 4052 98.50 34.12 21.20 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 10.04 9.65 9.33 9.07 8.86 8.68 8.53 8.40 8.29 8.18 8.10 8.02 7.95 7.88 7.82 7.77 7.72 7.68 7.64 7.60 7.56 7.31 7.08 6.85

2 4999 99.00 30.82 18.00 13.27 10.92 9.55 8.65 8.02 7.56 7.21 6.93 6.70 6.51 6.36 6.23 6.11 6.01 5.93 5.85 5.78 5.72 5.66 5.61 5.57 5.53 5.49 5.45 5.42 5.39 5.18 4.98 4.79

3 5403 99.17 29.46 16.69 12.06 9.78 8.45 7.59 6.99 6.55 6.22 5.95 5.74 5.56 5.42 5.29 5.18 5.09 5.01 4.94 4.87 4.82 4.76 4.72 4.68 4.64 4.60 4.57 4.54 4.51 4.31 4.13 3.95

4 5625 99.25 28.71 15.98 11.39 9.15 7.85 7.01 6.42 5.99 5.67 5.41 5.21 5.04 4.89 4.77 4.67 4.58 4.50 4.43 4.37 4.31 4.26 4.22 4.18 4.14 4.11 4.07 4.04 4.02 3.83 3.65 3.48

5 5764 99.30 28.24 15.52 10.97 8.75 7.46 6.63 6.06 5.64 5.32 5.06 4.86 4.69 4.56 4.44 4.34 4.25 4.17 4.10 4.04 3.99 3.94 3.90 3.85 3.82 3.78 3.75 3.73 3.70 3.51 3.34 3.17

6 5859 99.33 27.91 15.21 10.67 8.47 7.19 6.37 5.80 5.39 5.07 4.82 4.62 4.46 4.32 4.20 4.10 4.01 3.94 3.87 3.81 3.76 3.71 3.67 3.63 3.59 3.56 3.53 3.50 3.47 3.29 3.12 2.96

7 5928 99.36 27.67 14.98 10.46 8.26 6.99 6.18 5.61 5.20 4.89 4.64 4.44 4.28 4.14 4.03 3.93 3.84 3.77 3.70 3.64 3.59 3.54 3.50 3.46 3.42 3.39 3.36 3.33 3.30 3.12 2.95 2.79

8 5981 99.37 27.49 14.80 10.29 8.10 6.84 6.03 5.47 5.06 4.74 4.50 4.30 4.14 4.00 3.89 3.79 3.71 3.63 3.56 3.51 3.45 3.41 3.36 3.32 3.29 3.26 3.23 3.20 3.17 2.99 2.82 2.66

9 6022 99.39 27.35 14.66 10.16 7.98 6.72 5.91 5.35 4.94 4.63 4.39 4.19 4.03 3.89 3.78 3.68 3.60 3.52 3.46 3.40 3.35 3.30 3.26 3.22 3.18 3.15 3.12 3.09 3.07 2.89 2.72 2.56

10 11 6056 6083 99.40 99.41 27.23 27.13 14.55 14.45 10.05 9.96 7.87 7.79 6.62 6.54 5.81 5.73 5.26 5.18 4.85 4.77 4.54 4.46 4.30 4.22 4.10 4.02 3.94 3.86 3.80 3.73 3.69 3.62 3.59 3.52 3.51 3.43 3.43 3.36 3.37 3.29 3.31 3.24 3.26 3.18 3.21 3.14 3.17 3.09 3.13 3.06 3.09 3.02 3.06 2.99 3.03 2.96 3.00 2.93 2.98 2.91 2.80 2.73 2.63 2.56 2.47 2.40

12 15 20 6106 6157 6209 99.42 99.43 99.45 27.05 26.87 26.69 14.37 14.20 14.02 9.89 9.72 9.55 7.72 7.56 7.40 6.47 6.31 6.16 5.67 5.52 5.36 5.11 4.96 4.81 4.71 4.56 4.41 4.40 4.25 4.10 4.16 4.01 3.86 3.96 3.82 3.66 3.80 3.66 3.51 3.67 3.52 3.37 3.55 3.41 3.26 3.46 3.31 3.16 3.37 3.23 3.08 3.30 3.15 3.00 3.23 3.09 2.94 3.17 3.03 2.88 3.12 2.98 2.83 3.07 2.93 2.78 3.03 2.89 2.74 2.99 2.85 2.70 2.96 2.81 2.66 2.93 2.78 2.63 2.90 2.75 2.60 2.87 2.73 2.57 2.84 2.70 2.55 2.66 2.52 2.37 2.50 2.35 2.20 2.34 2.19 2.03

24 30 40 60 6235 6261 6287 6313 99.46 99.47 99.47 99.48 26.60 26.50 26.41 26.32 13.93 13.84 13.75 13.65 9.47 9.38 9.29 9.20 7.31 7.23 7.14 7.06 6.07 5.99 5.91 5.82 5.28 5.20 5.12 5.03 4.73 4.65 4.57 4.48 4.33 4.25 4.17 4.08 4.02 3.94 3.86 3.78 3.78 3.70 3.62 3.54 3.59 3.51 3.43 3.34 3.43 3.35 3.27 3.18 3.29 3.21 3.13 3.05 3.18 3.10 3.02 2.93 3.08 3.00 2.92 2.83 3.00 2.92 2.84 2.75 2.92 2.84 2.76 2.67 2.86 2.78 2.69 2.61 2.80 2.72 2.64 2.55 2.75 2.67 2.58 2.50 2.70 2.62 2.54 2.45 2.66 2.58 2.49 2.40 2.62 2.54 2.45 2.36 2.58 2.50 2.42 2.33 2.55 2.47 2.38 2.29 2.52 2.44 2.35 2.26 2.49 2.41 2.33 2.23 2.47 2.39 2.30 2.21 2.29 2.20 2.11 2.02 2.12 2.03 1.94 1.84 1.95 1.86 1.76 1.66

ANOVA con SPSS Clic en “Analiza”, luego en “Comparar medias” luego clic en “ANOVA de un factor”, aparece cuadro de diálogo “ANOVA de un factor”, seleccionar la variable a estudiar, dar clic en la punta de flecha y pasar a “Dependientes”, seleccionar la variable independiente y pasarla con la punta de flecha a la casilla “Factor”, dar clic en aceptar. Aparece un cuadro con los resultados y se ve la significancia de “F” es menor a la establecidas de 0,05 o 0,01, se rechaza la Ho, entonces uno de los promedios difiere significativamente de los demás. En este caso, se debe hacer la prueba post-hoc, para lo cual se da clic “Post Hoc”, se selecciona “Sheffe”, por ser muestras de diferentes tamaños y varianzas iguales, en caso de ser de tamaños iguales se aplica la prueba de Tukey., clic en continuar en “Opciones”, se selecciona 140

120 6339 99.49 26.22 13.56 9.11 6.97 5.74 4.95 4.40 4.00 3.69 3.45 3.25 3.09 2.96 2.84 2.75 2.66 2.58 2.52 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 1.92 1.73 1.53

“Descriptivo”, clic en continuar y en aceptar y aparecen los resultados. Si en ella el estadístico de Levene tiene una significancia mayor que la significancia de 0,05 o 0,01 establecida entonces, no se rechaza a la Hoy se concluye que las varianzas son estadísticamente iguale s, sin diferencias significativas entre los grupos. La tabla de área de probabilidad de la curva normal, tiene una doble entrada, en su primera columna están las desviaciones sigmas o valores de “Z” desde cero (0), a cuatro (4.0), asimismo, en la primera fila, se encuentra el complemento de esas desviaciones con dos decimales. No obstante, como la curva es simétrica, en la tabla solo se muestra la mitad del área, es decir, 0,5000 o 50%, es decir, un solo lado, pero la otra mitad es igual.

141

Cuadro 51. Tabla de área de probabilidades de la curva normal y sus valores típicos de “Z”. Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

.00 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981 .4987 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.01 .0040 .0438 .0832 .1217 .1591 .1950 .2291 .2611 .2910 .3186 .3438 .3665 .3869 .4049 .4207 .4345 .4463 .4564 .4649 .4719 .4778 .4826 .4864 .4896 .4920 .4940 .4955 .4966 .4975 .4982 .4987 .4991 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000

.02 .0080 .0478 .0871 .1255 .1628 .1985 .2324 .2642 .2939 .3212 .3461 .3686 .3888 .4066 .4222 .4357 .4474 .4573 .4656 .4726 .4783 .4830 .4868 .4898 .4922 .4941 .4956 .4967 .4976 .4982 .4987 .4991 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.03 .0120 .0517 .0910 .1293 .1664 .2019 .2357 .2673 .2967 .3238 .3485 .3708 .3907 .4082 .4236 .4370 .4484 .4582 .4664 .4732 .4788 .4834 .4871 .4901 .4925 .4943 .4957 .4968 .4977 .4983 .4988 .4991 .4993 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.04 .0160 .0557 .0948 .1331 .1700 .2054 .2389 .2704 .2995 .3264 .3508 .3729 .3925 .4099 .4251 .4382 .4495 .4591 .4671 .4738 .4793 .4838 .4875 .4904 .4927 .4945 .4959 .4969 .4977 .4984 .4988 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

Fuente: Autor 2020.

142

.05 .0199 .0596 .0987 .1368 .1736 .2088 .2422 .2734 .3023 .3289 .3531 .3749 .3944 .4115 .4265 .4394 .4505 .4599 .4678 .4744 .4798 .4842 .4878 .4906 .4929 .4946 .4960 .4970 .4978 .4984 .4989 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.06 .0239 .0636 .1026 .1406 .1772 .2123 .2454 .2764 .3051 .3315 .3554 .3770 .3962 .4131 .4279 .4406 .4515 .4608 .4686 ..4750 .4803 .4836 .4881 .4909 .4931 .4948 .4961 .4971 .4979 .4985 .4989 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.07 .0279 .0675 .1064 .1443 .1808 .2157 .2486 .2794 .3078 .3340 .3577 .3790 .3980 .4147 .4292 .4418 .4525 .4616 .4693 .4756 .4808 .4850 .4884 .4911 .4932 .4949 .4962 .4972 .4979 .4985 .4989 .4992 .4995 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.08 .0319 .0714 .1103 .1480 .1844 .2190 .2517 .2823 .3106 .3365 .3599 .3810 .3997 .4162 .4306 .4429 .4535 .4625 .4699 .4761 .4812 .4854 .4887 .4913 .4934 .4951 .4963 .4973 .4980 .4986 .4990 .4993 .4995 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .5000

.09 .0359 .0753 .1141 .1517 .1879 .2224 .2549 .2852 .3133 .3389 .3621 .3830 .4015 .4177 .4319 .4441 .4545 .4633 .4706 .4767 .4817 .4857 .4890 .4916 .4936 .4952 .4964 .49.74 .4981 .4986 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .5000

Cuadro 52. Valores críticos de “T” Grados de libertad “v” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ∞

Significancia Dos colas 0,1 6,31375 2,91999 2,35336 2,13185 2,01505 1,94318 1,89458 1,85955 1,83311 1,81246 1,79588 1,78229 1,77093 1,76131 1,75305 1,74588 1,73961 1,73406 1,72913 1,72472 1,72074 1,71714 1,71387 1,71088 1,70814 1,70562 1,70329 1,70113 1,69913 1,69726 1,64485

0,09 7,02636 3,10398 2,47081 2,22610 2,09784 2,01920 1,96615 1,92799 1,89922 1,87677 1,85877 1,84401 1,83170 1,82127 1,81232 1,80455 1,79775 1,79175 1,78642 1,78164 1,77734 1,77345 1,76991 1,76668 1,76371 1,76098 1,75847 1,75613 1,75397 1,75195 1.69540

0,08 7,91581 3,31976 2,60543 2,33287 2,19096 2,10431 2,04601 2,00415 1,97265 1,94810 1,92843 1,91231 1,89887 1,88750 1,87774 1,86928 1,86188 1,85534 1,84953 1,84453 1,83965 1,83541 1,83157 1,32805 1,82483 1,82186 1,81913 1,81659 1,81424 1,81205 1,75069

0,07 9,05791 3,57824 2,76260 2,45589 2,29739 2,20106 2,13645 2,09016 2,05539 2,02833 2,00666 1,98893 1,97416 1,96166 1,95094 1,94165 1,93353 1,92636 1,91999 1,91429 1,90917 1,90452 1,90031 1,89646 1,89293 1,88968 1,88669 1,88391 1,88134 1,87894 1,81191

0,06 10,57888 3,89642 2,95051 2,60076 2,42158 2.31326 2,24088 2,18915 2,15037 2.12023 2,09614 2,07644 2.06004 2,04617 2,03429 2,02400 2,01500 2,00707 2,00002 1,99371 1,98804 1,98291 1,97825 1,97399 1,97009 1,96651 1,96320 1,96014 1,98729 1,95465 1,88079

Fuente: Autor 2020.

143

0,05 12,70615 4,30266 3,18245 2,77645 2,57058 2,44691 2,36462 2,30601 2,26216 2,22814 2,20099 2,17881 2,16037 2,14479 2,13145 2,11990 2,10982 2,10092 2,09302 2,08596 2,07961 2,07388 2,06865 2,06390 2,05954 2,05553 2,05183 2,04841 2,04523 2,04227 1,95996

0,04 15,89447 4,84873 3,48191 2,99853 2,75651 2,61224 2,51675 2,44899 2,39844 2,35931 2,32814 2,30272 2,28160 2,26378 2,24854 2,23536 2,22384 2,21370 2,20470 2,19666 2,18289 2,17696 2,17696 2,17155 2,16699 2,16203 2,15782 2,15394 2,15033 2,14697 2,05375

0,03 21,20505 5,64280 3,89606 3,29763 3,00288 2,82893 2,71457 2,63381 2,57381 2,52749 2,49067 2,46070 2,43585 2,41490 2,39701 2,38155 2,36805 2,35618 2,34565 2,33625 2,32779 2,32016 2,31323 2,30692 2,30113 2,29581 2,29092 2,28638 2,28218 2,27827 2,17009

0,02 31,82096 6,96455 4,54071 3,74694 3,36495 3,14267 2,99795 2,89647 2,82143 2,76377 2,71808 2,68099 2,65030 2,62449 2,60248 2,58349 2,56694 2,55238 2,53948 2,52798 2,51765 2,50832 2,49987 2,49216 2,48540 2,47863 2,47366 2,46714 2,46202 2,45726 2,32634

0,01 63,6559 9,92499 5,84085 4,60408 4,03212 3,70745 3,49948 3,35538 3,24984 3,16926 3,10582 3,05454 3,01228 2,97685 2,94673 2,92079 2,89823 2,87844 2,86094 2,84534 2,83137 2,81876 2,80734 2,79695 2,78744 2,77872 2,77068 2,76326 2,75639 2,74998 2,57583

Probabilidad

La probabilidad (p), varía siempre entre ceo (0) y uno (1), asimismo, uno (1), es la éxito total, pero cuando es de 0,5 o

1 2

, hay igual probabilidad de éxito como de fracaso.

Probabilidad teórica de éxito. 𝑎

p =

𝑛

P = Probabilidad.

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑜 é𝑥𝑖𝑠𝑡𝑜𝑠

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

a = Casos favorables o éxitos.

n = Total.

0≤𝑃 ≤ 1

P = p + q = 1, q = 1 – p. p = 1 – q. p = Éxitos, q = Fracasos

Ejemplo hay 35 femeninas y 65 masculino, se quiere saber la posibilidad de obtener una femenina y de obtener un masculino. 𝑎

𝑏

p = 𝑛 = 100 = 0,35 = 0,35 . 100 = 35% Femenina. p = 𝑛 = 100 = 0,65 = 0,65 . 100 = 65% Masculino. De obtener un femenina o un masculino. p =

𝑎 𝑛

𝑏 𝑛

35 100

65 100

100 100

= 1 = 1 . 100 = 100%

Cuadro 53. Doscientos partos prematuros distribuido por tipo de parto e institución de atención, Valencia 1997. Centro de Salud Tipo de parto

Público

Clínica

IVSS

Total

Vaginal

143

Cesárea

Total

200

Fuente: Tomado de Tomado de Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC, página 160.

144

Probabilidad Simple Probabilidad de parto por cesárea. 𝑎

P (A) = 𝑛 = 200 = 0,285 = 0,285 . 100 = 28,50%. Probabilidad de atención del parto en IVSS. P (A) =

𝑎 𝑛

50 200

= 0,25 = 0,25 . 100 = 25%.

Probabilidad de eventos mutuamente excluyente 𝑎

𝑏

P (A o B) = P (A) + P (B) = 𝑛 +

𝑛

Probabilidad de ser atendida en Clínica o IVSS 𝑎

P (A o B) = 𝑛 +

𝑏

= 200 +

𝑛

50 200

120 200

= 0,60 = 0,60 . 100 = 60%.

Probabilidad de parto por cesárea o vaginal 𝑎

P (A o B) = 𝑛 +

𝑏

= 200 +

𝑛

143 200

200 200

= 1 = 1 . 100 = 60%.

Probabilidad eventos no excluyente Parto vaginal y atendida en Centro Público 𝑎

𝑏

P (A o B) = (P (A) + P (B)) – P (A y B) = ⟦𝑛 + 𝑛 ⟧ – P (A y B) 𝑎

𝑏

143

P (A o B) = ⟦𝑛 + 𝑛 ⟧ – P (A y B) = ⟦200 +

80 200

⟧-

65 200

223

= 0,79 . 100 = 79%.

Probabilidad eventos independientes Probabilidad de que una para en el IVSS y otra por cesárea P (A y B) = P (A) . P (B) = P (A y B) =

50 200

𝑥

57 200

𝑎 𝑛

𝑥

𝑏 𝑛

= 0,25 x 0,285 = 0,07125

= 0,07125 x 100 = 7,125 ≈ 7,13%.

145

= 200 - 200 =

158 200

= 0,79

Probabilidad eventos dependientes Probabilidad de que la primera tenga un parto por cesárea, otra sea atendida en el IVSS y una tercera sea atendida también en el IVSS. 𝑎

P (A y B y C) = P (A) . P (B) . P (C) = 𝑛 𝑥 P (A y B y C) =

𝑥

200

50 199

𝑥

49 198

𝑏

𝑥 𝑛

𝑐 𝑛

= 0,285 x 0,251 x 0,247 = 0,017669145

= 0,017669145 x 100 = 1,7669145 ≈ 1,77%. Probabilidad condicionada Probabilidad de que una mujer para por vía vaginal dado que fue atendida eb Centro Público P (A / B) = P (A / B) =

𝑃 (𝐴 𝑌 𝐵) 𝑃 (𝐵)

𝑃 ( 𝐴) 𝑥 𝑃 (𝐵)

𝑃 ( 𝐴) 𝑥 𝑃 (𝐵) 𝑃 (𝐵)

𝑃 (𝐵)

65 200 80 200

= 80 = 0,8125 = 0,8125 x 100 = 81,25%.

Binomio de Newton (p + q)n

Dada una muestra de mujeres, madres de cinco (5), hijos cada una, calcular la probabilidad de elegir una (1), que sea madre de: a) 3 varones y 2 hembras, b) al menos 3 varones, c) entre 2 a 5 varones, d) que no tenga varones y e) tres varones. Tomado de Puerta et al (1988), Bioestadística páginas 165-166. Hay 50% de posibilidad de que sea varón o hembra, es decir, del 0,50. p + q = 1,

p = 1 – q = 1 – 0,50 = 0,50 = 0,50 . 100 = 50%

p + q = 1,

q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50 = 0,50 . 100 = 50%

p = probabilidad de que sea varón. q = probabilidad de que sea hembra. n = 5, por los 5 hijos cada una. (p + q)5 = p5 + 5 p4 q + 10 p3 q2 + 10 p2 q3 + 5 p q4 + q5 = 1 = (0,50)5 + 5 (0,50)4 (0,50) + 10 (0,50)3 (0,50)2 + 10 (0,50)2 (0,50)3 + 5 (0,50) (0,50)4 + (0,50)5 = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 + 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 1.

146

a) 3 varones y dos hembras = 10 p3 q2 = 10 (0,50)3 (0,50)2 = 0,3125 = 0,3125 x 100 = 31,25%. b) Al menos tres varones = 10 p3 q2 + 10 p2 q3 + 5 p q4 = 10 (0,50)3 (0,50)2 + 10 (0,50)2 (0,50)3 + 5 (0,50) (0,50)4 = 0,3125 + 0,3125 + 0,15625 = 0,78125 = 0,78125 x 100 = 78,125% ≈ 78,13%. c) Entre 2 a 5 varones = p5 + 5 p4 q + 10 p3 q2 + 10 p2 q3 = (0,50)5 + 5 (0,50)4 (0,50) + 10 (0,50)3 (0,50)2 + 10 (0,50)2 (0,50)3 = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 + 0,3125 = 0,8125 x 100 = 81,25% d) que no tenga varones = q5 = (0,50)5 = 0,03125 = 0,03125 x 100 = 3,125% ≈ 3,13%. e) Tres varones = 10 p3 q2 = 10 (0,50)3 (0,50)2 = 0,3125 = 0,3125 x 100 = 31,25%.

De 39% de los pacientes que acudieron a la consulta de Medina Familiar del Ambulatorio Urachiche, Estado Yaracuy por primera vez, se toma una muestra de 4 pacientes calcule la probabilidad que se le realizara examen de hemoglobina: a) a ninguno, b) a 2 o 3 pacientes y c) a más de 3 pacientes.

Hay 39% de posibilidad de que sea varón o hembra, es decir, del 0,50. p = 0,39 p + q = 1,

q = 1 – p = 1 – 0,39 = 0,61 = 0,61 . 100 = 61%

p = probabilidad de realizarse el examen de hemoglobina. q = probabilidad de no realizarse el examen de hemoglobina. n = 4, puesto que la muestra fue de 4. (p + q)4 = p4 + 4 p3 q + 8 p2 q2 + 4 p q3 + q4 = 1 (p + q)4 = (0,39)4 + 4 (0,39)3 (0,61) + 8 (0,39)2 (0,61)2 + 4 p (0,61)3 + (0,61)4 = 1 (p + q)4 = 0,02313441 + 0,0564479604 + 0,45277128 + 0,35409036 + 0,13845841 = 1 (p + q)4 = 1,0249024204 = ≈ 1,025 ≈ 1.

Probabilidad que se le realizara examen de hemoglobina: a) a ninguno, b) a 2 o 3 pacientes y c) a más de 3 pacientes. a) q4 = (0,61)4 = 0,13845841 = 0,13845841 . 100 = 13,845841 ≈ 13,85%. b) 4 p3 q + 8 p2 q2 = 4 (0,39)3 (0,61) + 8 (0,39)2 (0,61)2 = 0,0564479604 + 0,45277128 = 0,5092192404 = 0,5092192404 . 100 = 50,92192404 ≈ 50,92%. 147

c) p4 (0,39)4 = 0,02313441 = 0,02313441 . 100 = 2.313441≈ 2,31%.

Todo lo anterior se puede representar en una distribución binomial, cuando la muestra es 30 o menos, pero si “n” es grande, es decir, mayor de 30, entonces ella tiende a ser igual a la distribución normal.

Al lanzar un dado, este tiene seis caras y seis números que van del 1 al 6 entonces que: Salga 7, es imposible, dado que este numero no lo posee ninguna de las caras del dado, que en lanzamiento aparezca 1,2,3,4,5 o 6 es la siguiente: 1

P =6 +6+6 +6 +6 +6 =

6 6

= 1 = 1 . 100 = 100%.

Posibilidad de que salga 7: P =

0 6

= 0% , como el total de 6 es el 100%, también se puede resolver la siguie nte

manera: 0

P = 100 = 0% Que salga un número par es: 1

P =6 +6+6 =

= 2 = 0,50 = 0,50 . 100 = 50%.

Que salga un número impar es: 1

P =6 +6+6 =

= 2 = 0,50 = 0,50 . 100 = 50%.

Que salga en dos lanzamientos consecutivos el número 5 es: P =

1 6

2 6

= = 0,33 = 0,33 . 100 = 33%. 3

Sea el experimento lanzar un dado dos veces y determine la posibilidad de que en el primer lanzamiento salga un número impar y en el segundo lanzamiento salga un 3 o un 4. La posibilidad de que salga un número impar en el primer lanzamiento es del 50%, debido a que solo hay dos posibilidades, es decir, que salga impar o par y al aplicar la formula siguiente se verifica. p = Éxitos que salgan número impar q = Fracasos que salga número par. p+q=1 p = 1 – q. Posibilidad total = 0,50 + 0,50 = 1 148

Posibilidad de que salga impar “p”, se despeja “p” p = 1-0,50 = 0,50 Al llevarlo a porcentaje da 0,50 . 100 = 50%, por lo que esta es la posibilidad de que el número que salga sea impar.

Otra manera de resolverlo es: Espacio muestral (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Espacio de evento (E) = {1, 3, 5} 3

Posibilidad de que salga impar {1, 3, 5} = 6 = 2 = 0,50. Llevado a porcentaje 50%, esta es la posibilidad de que salga impar. Posibilidad de que salga 3 o 4 es de: Como son seis números desde el 1 al 6, existen seis posibilidades de que salga uno de ellos, entonces “p” se definirán según la siguiente ecuación 𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑒

𝑓

P = 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 = 1. Como “P” es igual a 1, entonces, se divide 1 entre 6 y da 0,167 1 6

= 0,167, esta es la probabilidad que tiene cada número de salir.

Al sumar las posibilidades de salir de cada número, resulta un total de 1,002 que se aproxima a 1 P = 0,167 + 0,167 + 0,167 + 0,167 + 0,167 + 0,167 = 1,002 ≈ 1. Luego se suma 0,167 más 0,167 y da 0,334 ≈ 0,33 que es la posibilidad en conjunto de que salga 3 o 4 Finalmente, al multiplicar 0,33 . 100 = 33% de posibilidad de que salga 3 o 4. Otra forma de resolverlo es la siguiente: Espacio muestral (S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Espacio de evento (E) = {3, 4} 2

{3, 4} = 6 = 3 = 0,33. Llevado a porcentaje 33%, esta es la posibilidad de que salga 3 o 4.

149

Las cartas, barajas o naipes tienen 40 unidades, ahora cuál lo probabilidad de que al sacar dos cartas consecutivas la primera sea una reina y la segunda también, primero hay que saber que cada tipo de carta tiene cuatro unidades, en este caso, reina de basto, de copa, de espada y de oro, por lo que la posibilidad es la siguiente, la primera y la segunda respectivamente es: 4

P(A) = 40

P(B) = 39

Entonces el resulta es el siguiente: 4

P (A x B) = P(A) x P(B) = 40 x

3 39

= 10 x

1 13

= 10 x

1 13

= 0,10 x 0,077 = 0,0077

P (A x B) = 0,0077 x 100 = 0,77%.

Que salga el cuatro de espada: P(A) =

1 40

= 0,025 = 0,025 . 100 = 2,50%

Que salga cualquier carta: 40

P(A) = 40 = 1 = 1 . 100 = 100%. Que salga copa o basto: 20

P(A) = 40 = 1 = 0,50 . 100 = 50%. Se tienen en una bolsa dos bolas blancas y una negra. Se desea conocer si al sacar consecutivamente dos bolas: a) las dos sean blanca, b) una sea blanca y la otra negra. Si la primera que sale es la bola negra, en la segunda necesariamente será la blanca. 1

P(N) = 3 = 1 = 0,33 . 100 = 33%. 2

P(B) = 3 = 0,67 = 0,67 . 100 = 67%. Si la primera en salir es una bola blanca, en la segunda puede ser una blanca o una negra. 2

P(B) = 3 = 1 = 0,67 . 100 = 67%. 1

P(B) = 3 = 0,33 = 0,33 . 100 = 33%. 1

P(N) = 3 = 0,33 = 0,33 . 100 = 33%.

150

Si se lanza una moneda dos veces consecutivas cuál será el espacio muestral. Toda moneda posee dos lados, a saber: Cara (C), y sello (S), por lo cual las posibilidades son: a) CC, b) CS, c) SC y d) SS. En consecuencia, el espacio muestral es: S = {CC, CS, SC, SS}

Dado lo siguiente E = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2}. Hallar: a) P(A), b) P(B), c) P(C), d) P (A ∩ 𝐵). P(A) E

2, 4 A

1, 3

P (A) =

𝑎 𝑛

2 4

1 2

= 0,50, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 50%.

P(B) E

3, 4 𝑏

P (B) = 𝑛 = 4 = 0,75, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 75%. P(C) E

1, 3, 4

𝑏

P (C) = 𝑛 = 4 = 0,25, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 25%

151

P (A ∩ 𝐵).

∩

3, 2, 4

P (A ∩ 𝐵) =

1 4

+ = .=

= 0,50, 𝑒𝑠 𝑑𝑒 50%.

Dos estudiantes A y B participan en un torneo de Ajedrez de 5 juegos. El primero que gane 2 juegos consecutivos o complete 3, gana el torneo. Construir el espacio muestral.

Espacio muestral (S) = {1, 2, 3, 4, 5} Espacio de evento (E) = {2, 3} 2

{2, 3} = 6 = 3 = 0,33. Llevado a porcentaje 33%, esta es la posibilidad de que ocurra que gane dos juegos consecutivos o complete 3.

Medidas de forma de una distribución

Con las medidas de forma de distribución se puede distinguir cuando una distribuc ió n se acerca o aleja de la distribución normal y consiste en la asimetría y la cúrtosis (figura 61).

Asimetría Asimetría, su símbolo es “As o 𝜶𝟑”, asimismo, con ella se puede conocer cuánto se parece una distribución de frecuencias dada a la distribución de la curva normal. En este sentido, existe asimetría cuando los datos se concentran en uno de los dos extremos con respecto a la media, en la asimetría es positiva, la mediana y la moda están a la izquierda de la Media, es decir, los datos se concentran a la izquierda de la Media, en la negativa, se ubica

152

la mediana y la moda a la derecha de la Media (figura 65), en consecuencia, los datos se concentran a la derecha de la Media, y su fórmula la que sigue: 𝐴𝑠 =

3 (𝑋 − 𝑀𝑑) 𝑆

Según Monterano y Minuesa (2018), él coeficiente de asimetría (𝛼3): indica el grado de asimetría o sesgo que se da en la distribución de los datos. Se define mediante la siguie nte fórmula: 𝛼3 =

𝛼3 =

𝑚3

y en su cálculo se usa el momento tres m3 =

𝑆3

𝑚3 √(𝑚2) 3

𝑚3 √(𝑆2 ) 3

m3 = Momento 3.

𝑚3

= √𝑆6 =

∑(𝑥−𝑋) 3 𝑛

𝑚3 𝑆3

S2 = Desviación estándar elevada a la dos o cuadrado.

S3 = Desviación estándar elevada a la tres o al cubo. S3 = Desviación estándar elevada a la tres. S6 = Desviación estándar elevada a la seis. m2= Momento 2.

Cuadro 54. Valores de As y su interpretación. Valor de AS 0 -0,10 a + 0,10 ± 0,11 a ± 0,29 ± 0,30 a ± 1,00 Fuente: Autor 2020.

Interpretación Simétrica Ligeramente asimétrica Moderadamente asimétrica Altamente asimétrica

Para ejemplificarlo, se tomó de Pestaña (2002), el siguiente cuadro.

Cuadro 55. Datos para ejemplificar la asimetría positiva, negativa y normal. Valores Media Mediana S As Forma

Caso 1 7,6 7,6 1,05 0 Simétrica o normal

Caso 2 7,5 7,35 1,02 0,14 Asimetría positiva

Fuente: Autor 2020.

153

Caso 3 7,6 7,80 1,22 -0,16 Asimetría negativa

𝐴𝑠 1 =

3 (7,6−7,6) 1,05

𝐴𝑠 1 =

3 (7,5−7,35) 1,02

= 0,14

𝐴𝑠 1 =

3 (7,6−7,80) 1,22

= - 0,16

Figura 65. Asimetría positiva, negativa y normal. Cúrtosis su símbolo es “K”, indica lo plano o picuda que es una curva de distribuc ió n de frecuencias y para calcularla su valor se usan los percentiles P75, P25, P90 y P10, en ella existe tres posibilidades: Platicúrtica o aplanada cuando K > 0,263; leptocúrtica, que es alargada y la K < 0,263; y mesocúrtica K = 0,263, cuando tiene la forma de la curva normal (figura 66), y su K = 0,263, su fórmula es: 𝑃75−𝑃25 ( 2 𝑃90−𝑃10) .

𝐾 =

Otra fórmula para la cúrtosis usando los momentos, es: K=

𝑚4 𝑆4

𝑚4 (𝑚2) 2

m4 = Momento 4. S4 = Desviación estándar elevada a la cuatro.

m2= Momento 2. m4 =

∑(𝑥−𝑋) 4 𝑛 𝑚4

𝑚4

K = (𝑚2)2 = (𝑆2 )2 =

𝑚4 𝑆4

K = 3 mesocúrtica, K > 3 platicúrtica y K < 3 leptocúrtica.

154

Cuadro 56a. Datos para ejemplificar la asimetría positiva, negativa y normal. Valores Caso 1 Caso 2 P75 17 17 P25 12 12 P90 19 20 P10 8 1 K 0,22 0,263 Tipo de cúrtosis Leptocúrtica Mesocúrtica Fuente: Pestaña (2002). Estadística. Caracas: El Nacional, páginas 78.

𝐾1 =

17−12 2 ( 19−8) .

= 0,22 𝐾2 =

17−13 2( 15−8) .

= 0,263

𝐾3 =

17−15 2 ( 21−13) .

Caso 3 17 15 21 13 0,50 Platicúrtica

= 0,50

Cuadro 56b. Datos para calcular la asimetría y cúrtosis con los momentos. n 1 3 1 5 1 7 1 9 1 10 1 12 Total 6 46 Fuente: Autor 2020.

∑ 𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛

∑( 𝑥−𝑋) 2 𝑛

𝑛

S=√

(x – X)2 (–4,67)2 = 21,81 (–2,67)2 = 7,13 (–0,67)2 = 0,45 (1,33)2 = 1,77 (2,33)2 = 5,43 (4,33)2 = 18,75 55,34

x-X 3 – 7,67 = -4,67 5 – 7,67 = -2,67 7 – 7,67 = -0,67 9 – 7,67 = 1,33 10 – 7,67 = 2,33 12 – 7,67 = 4,33

55,34

=√

= 7,67 = √ 9,22 = 3,036

S2 = (3,036) 2 = 9,217 ≈ 9,22 S3 = (3,036) 3 = 27,98 S4 = (3,036) 4 = 84,95 ≈ 85 S6 = (3,036) 6 = 783 m2 = m3 = m4 = 𝛼3 = 𝜶𝟑 =

∑( 𝑥−𝑋) 2 𝑛 ∑( 𝑥−𝑋) 3 𝑛 ∑( 𝑥−𝑋) 4 𝑛 𝑚3 √(𝑚2)

𝒎𝟑 √(𝒎𝟐) 𝟑

= = = =

55,34 6

= 9,22

217,38 6 910,83 6

= 36,23 =151,80

𝑚3 2 3

√(𝑆 )

=√

𝑚3

= √𝑆6 =

𝟑𝟔,𝟐𝟑 (𝟗,𝟐𝟐) 𝟑

𝟑𝟔,𝟐𝟑

𝑚3 𝑆3 𝟑𝟔,𝟐𝟑

= √𝟕𝟖𝟑,𝟕𝟕 = 𝟐𝟕,𝟗𝟗 = 1,29 ≈ 𝟏. 155

(x – X)3 101,85 19,04 0,30 2,35 12,65 81,19 217,38

(x – X)4 475,64 50,84 0,20 3,13 29,47 351,55 910,83

𝒎𝟑

𝜶𝟑 = √ 𝜶𝟑 =

𝑺𝟔

𝒎𝟑 𝑺𝟑

𝟑𝟔,𝟐𝟑 √𝟕𝟖𝟑

𝟑𝟔,𝟐𝟑 𝟐𝟕,𝟗𝟖

𝟑𝟔,𝟐𝟑

= 𝟐𝟕,𝟗𝟖 = 1,29 ≈ 𝟏.

= 1,29 ≈ 𝟏.

Conclusión altamente asimétrica positiva. 𝑚4

𝑚4

K = (𝑚2)2 = (𝑆2 )2 = K= K=

151,80 (9,22) 2 151,80 85

151,80 85

𝑚4 𝑆4

= 1,785 ≈ 1,79.

= 1,785 ≈ 1,79. Conclusión K < 3 leptocúrtica.

Figura 66. Representación gráfica de la Cúrtosis.

Calculo de la cúrtosis con Excel. Se da clic en “Inicio”, luego se introducen los datos, después clñic en “dx” y aparece el cuadro de diálogo “Insertar función”, en él se selecciona Estadísticos y se escoge la opción “Cúrtosis”, se da clic en aceptar y aparece el cuadro de diálogo “Argumentos de función” y donde dice N1 se introduce en este caso A1:A6, que son las celdas donde están ubicados los datos y aparece el valor de la Curtosis (figura 67), destacada con una flecha azul.

156

Figura 67 Cúrtosis calculada con Excel.

En una distribución normal, encontrar el área de la curva normal, que está entre 𝜇 y 1,62 Z. Entonces se busca en la tabla de curva normal, se busca en la intercepción de la fila 1,6 con la columna que ubica el valor de 0,02, y se haya el valor de 0,4474; al multiplicarlo por cien (100), se transforma en porcentaje y queda como 44,74% y esa es el área comprendida entre la media poblacional (𝜇), y 1,62 Z, es decir, desde la media hacia la derecha por ser positiva la cifra, si fuera -1,62, estaría de la media a la izquierda por ser negativa y tendría también 44,74%. Si fuera,

157

desde -1,62 a 1,62 Z, sería bilateral y el porcentaje que se ubicaría es el doble, 89,48%. No obstante, se puede buscar por ejemplo de -1,44 a 1,62 y con sus resultados 0,4251 . 100 = 42,51% y luego se realiza la suma 42,51 % + 44,74 % = 87,25 %. Si se pide buscar el resultado mayor a 2 Z, se busca el valor de 2 Z y da 0,4772, con él se hace una resta dado que se le resta el valor extremo de la curva normal y este es de 0,5000, entonces, se resta 0,5000 – 0,4775 = 0,0228 se multiplica por 100 y da 2,28%, este es el porcentaje ubicado en la copla derecha por ser el valor positivo.

Coeficiente Alfa de Cronbach

El coeficiente alfa de Cronbach, que se utiliza para medir confiabilidad mediante la consistencia interna de un instrumento de recolección de datos, sus valores oscilan entre 0 y 1 (cuadro 57), estas son varias fórmulas para calcularlas:

K = Número de ítems en la escala. σ²Yi (S2 i o Vi) = Varianza del ítem o de cada items. σ²X (S2 T o Vt) = Varianza de las puntuaciones observadas de los individuos o total. 158

Cuadro 57. Valores e interpretación del Coeficiente Alfa de Cronbach. Valores 0,00 - 0,20 0,21 – 0,40 0,41 – 0,60 0,61 – 0,80 0,81 – 1,00 Fuente: Autor 2020.

Interpretación Muy baja Baja Moderada Alta Muy Alta

Calculo del coeficiente Alfa de Cronbach con el SPSS Se da clic en “Analizar” en el menú, luego clic en “Escala” y finalmente clic en “Análisis de fiabilidad” (figura 68, 69 y 70).

Figura 68. Calculo del coeficiente Alfa de Cronbach

159

Seguidamente se selecciona las variables (edad y sexo), y se da clic en aceptar (figur a 65).

Figura 69. Calculo del coeficiente Alfa de Cronbach.

Finalmente, aparece el resultado (figura 66).

Figura 70. Ejemplo de un resultado del coeficiente Alfa de Cronbach.

Calculo del coeficiente alfa de Cronbach con Excel.

Se introduce los datos en Excel (figura 71), en este caso de diez sujetos y un instrumento con 10 items o preguntas, se calcula la varianza de cada pregunta, se realiza sumatoria de las misma, también se calcula la sumatoria de preguntas por sujeto y se calcula la varianza total del instrumento, luego se aplica la fórmula y se obtiene el coeficiente Alfa 160

de Cronbach, en este caso dio 0,84, lo que lo cataloga como muy alto en cuanto a su confiabilidad.

Figura 71. Calculo del coeficiente Alfa de Cronbach con Excel.

161

CAPÍTULO V

FÓRMULAS DE TASAS Y OTRAS

Tasa preescolarización (TPE) TPE =

𝑀𝑎𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 4 𝑎 6 𝑎ñ𝑜𝑠

.100

Relación estudiante - docente (RED) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎 𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑠

RED =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Tasa de promovidos (TP) TP =

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑀𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜

. 100

Tasa de reprobados (TR) TP =

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑀𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜

. 100

Tasa de natalidad (TN) TN =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

Tasa de mortalidad general (TMG) TMG =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

Tasa de mortalidad infantil (TMI) TMI =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑁𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

Tasa de mortalidad específica, por causa o edad (TMEC) TMEC =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎 𝑜 𝑒𝑑𝑎𝑑, 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

10n es 10000 (104 ), 100000 (105 ), o 1000000 (106 ). 162

. 10n

Tasa de mortalidad materna (TMM) TMM =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠,𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜, 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑁𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 , 𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜

. 10n

Tasa de letalidad (TL) TL =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎 , 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑜

. 10n

Tasa de morbilidad especifica (TME) TME =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

Tasa de incidencia de una enfermedad (TI) TI =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 10n

Tasa de prevalencia de una enfermedad (TP) TI =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 10n

Estimación de la población.

Método aritmético. Px = P1 ±

𝑃2−𝑃1 𝑁

Px = Número estimado de la población para el 01 – 07 de un año especifico. P1 = Número de habitantes del primer censo. P2 = Número de habitantes del segundo censo. N = Tiempo intercensal con años y sus fracciones. n = Tiempo entre el primer censo y la fecha de estimac ión, con años y sus fracciones.

Método geométrico. P = Pi (1 + 𝑟)t – ti

𝑛

𝑃𝑓

𝑟 =( √ 𝑃𝑖 ) − 1

Pi = Población inicial. Pf = Población final 163

r = Tasa de crecimiento. n = Periodo de años entre Pi y Pf. t = tiempo para el que se hace la estimación. ti =.tiempo de la población inicial.

Cambio de poblaciónP2 = P1 + ( 𝑁 − 𝐷) + (𝐼 − 𝐸) P2 = Población del año que se estudia. P1 = Población del año anterior. N = Nacimientos del año anterior. D = Defunciones del año anterior. I = Inmigración del año anterior. E = Emigración del año anterior. 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜

Tasa de inmigración = 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙

01 −07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜

Tasa de emigración = 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙

Tasa neta de migración =

01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎 𝑛𝑡𝑒𝑠 −𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

𝑁𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠−𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Tasa de incremento natural = 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙

Tasa de incremento natural =

Tasa de crecimiento =

01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 1000

. 100

𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 −𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 10

( 𝑁𝑎𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠−𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ) +𝐼𝑛𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛−𝐸𝑚𝑖𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛)) 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 01−07 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑎ñ𝑜

. 100

Riesgo Relativo (RR), Riesgo Absoluto (RA), y Fracción Etiológica (FE).

164

Cuadro 58a. Datos para calcular RR, RA y FE. Con enfermedad

Sin enfermedad

Casos (+)

Controles (-)

Expuestos (+)

No expuestos (-)

a = Expuesto y complicado. b = Expuesto y no complicado c = No expuesto y complicado. d = No expuesto ni complicado. RR =

𝑎. 𝑑

𝑎

RA = 𝑎 +

𝑏. 𝑐

𝑏

𝑐

FE =

𝑐+𝑑

𝑅𝑅 −1 𝑅𝐴 𝑅𝑅 𝑅𝐴

Cuadro 58b. Ejemplo para calcular RR, RA y FE.

RR =

Con cáncer de pulmón

Sin cáncer de pulmón

Casos (+)

Controles (-)

Fumadores (+)

1000

930

No fumadores (-)

𝑎. 𝑑 𝑏. 𝑐

𝑎

RA = 𝑎 + FE =

𝑏

𝑅𝑅 −1 𝑅𝐴 𝑅𝑅 𝑅𝐴

1000 . 60

930 . 5 𝑐 𝑐+𝑑

60000 4650

1000

= 1000 +

12,90 −1 0,44 12,90 0 ,44

= 12,90

930

29,32−1 29,32

5 5 + 60

1000

= 1930 -

28,32 29,32

5 65

= 0,97.

165

= 0,52 – 0,08 = 0,44

Coeficiente de discriminabilidad de una prueba (Pd)

Discriminabildad es la capacidad de diferenciar en distintos grupos su rendimiento 𝐶𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑎 − 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎𝑑𝑎

Pd =

𝐶𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 − 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

Cuadro 59. Valor e interpretación del Pd. Pd

Discriminabilidad

Dispersión

81 – 100

Muy elevada

Muy alta

61 – 80

Elevada

Alta

41 – 60

Moderada

Normal

21 – 40

Baja

0 – 20

Muy baja

Fuente: Chourio (1987), pág. 69.

Coeficiente de dificultad de una prueba (Cd)

La dificultad de una prueba depende de las calificaciones que obtienen los estudiante s y la puntuación m

Cd =

𝑋 𝐶𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 − 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

X = media del grupo.

Cuadro 60. Valor e interpretación del Cd. Pd

Dificulta

Tipo de prueba

Rendimiento

81 – 100

Muy elevada

Muy fácil

Muy alto

61 – 80

Elevada

Fácil

Alto

41 – 60

Moderada

Normal

Mediano

21 – 40

Baja

Difícil

Bajo

0 – 20

Muy baja

Muy difícil

Muy bajo

Fuente: Chourio (1987), pág. 70

166

BIBLIOGRAFÍA Aguilar, C. (2004). Módulo Estadística General. Barquisimeto-Venezuela: FEDUPELIPB. Arias, F. (2006). El proyecto de investigación (5a. ed.). Caracas: Episteme. Aranda, P. (1971). Epidemiologia General. (Tomo I). Mérida, Venezuela: ULA. Aranda, P. (1971). Epidemiologia General. (Tomo II). Mérida, Venezuela: ULA. Balderas, M. (1995). Administración de los servicios de Enfermería. México: Interamericana/McGraw-Hill. Baldor, A. (1984). Algebra. Caracas, Venezuela: Cultural. Baldor, A. (1983). Aritmética. Caracas, Venezuela: Cultural. Baldor, A. (2003). Geometría plana y del espacio y Trigonometría. México: Cultural. Beveridge, W. (1982). El arte de la investigación científica. Caracas: EBUC. Borrás, L. (2007). Apuntes de Matemáticas. Colombia: Parramon. Camel, F (1968). Estadísticas Médicas y de Salud Pública. Habana, Cuba: VOISIN. Camel, F. (1982). Estadística médica. (Tomo I). Mérida, Venezuela: ULA. Camel, F. (1982). Estadística médica. (Tomo II). Mérida, Venezuela: ULA. Chourio, J. (1987). Estadística I. Caracas: Biosfera. De Montilla Ludewig, C., Rodríguez, A., y Zambrano, A. (1995). Taller de metodología de la investigación. Barquisimeto: FUNDAEDUCO. Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. (2019). [Diccionario en línea, palabras consultadas: Demografía]. Disponible en: https://dle.rae.es/. Escotet, M. (1976). Estadística psicoeducativa. México: Trillas. Garcia, J. Indicadores de Gestión para Establecimientos de Atención Médica. Carcas: DISINLIMED. Gómez, R. (s/f, a). Estadística Metodológica. Caracas: Fragor. Gómez, R. (s/f, b). Estadística Aplicada. Caracas: Fragor. Hernández, R., Fernández, C. y Baptista, P. (2006). Metodología de la investigación. México: McGraw Hill. Hurtado, J. (2007). El Proyecto de investigación. Caracas: Quirón. Hurtado, I., y Toro, J. (2007). Paradigmas y Métodos de investigación en tiempos de cambios. Caracas: El Nacional. Matute, H. (1992). Medicina comunitária. Mérida: ULA. Leithold, L. (1973). El cálculo. Colombia: Harper & Row Latinoamericana. Monterano, J, y Minuesa, C. (2018). Estadística básicas para Ciencias de la Salud. España: Cáceres. Pérez, A. (2004). Guía metodológica para anteproyectos de investigación. Caracas: FEDUPEL. Pestaña De Martínez, P. (2002). Estadística. Caracas: El Nacional. Guía Metodológica para Anteproyectos de Investigación. Caracas: FEDUPEL. Puertas, E., Urbina, J., Blanck, M., Granadillo, D., Blanchard, M., García, J., Varga, P. y Chiquito, A. (1998). Bioestadística. Valencia, Venezuela: UC. Rabago, J., Torres, F., Caripa, M. y Silva, N. (2007). Procesamiento Estadístico de datos con el SPSS. Venezuela: UPEL-IPB. Ramirez, T. (2007). Proyecto de investigación. Venezuela: Venezuela: PANAPO.

Ruíz, C. (2002). Instrumento de investigación educativa. Barquisimeto: CIDEG. Saenz, J. (2014). Calculo diferencial. (Tercera edición). Barquisimeto, Venezuela : Hipotenusa. Sampier, R., Fernández, C., y Baptista, P. (2007). Metodología de la Investigación. (4ta edición). México: McGrrawHill. Sampier, R., Fernández, C., y Baptista, P. (2007). Metodología de la Investigación. (6ta edición). México: McGrrawHill. Salas, R. (s/f). Powerpoint. Barquisimeto: Horizonte. Salas, R. (s/f). Excel. Barquisimeto: Horizonte. Salas, R. (s/f). Word. Barquisimeto: Horizonte. Salas, R. (s/f). El ABC la de Computación. Barquisimeto: Horizonte. Santiago, Naveira y Vidal (s/f). Epidat 4.1: una herramienta para la enseñanza de la Estadística. Galicia: Xeral. Serrano, M. (1983). Investigación Clínica. Carcas: EBUC. UPEL. (2066). Manual de Trabajos de Grado, de Especialización y Maestría y Tesis Doctorales. [4ª edición, reimpresión 2012]. Venezuela: FEDUPEL. Valera, R. (2005). Módulo de Distribuciones Muestrales. (2da edición). Venezuela : IMPREUPEL. Velasco, G. (2005). Estadística con Excel. México: Trillas. Visuata, B. (2007). Análisis estadístico con SPSS14. (3era edición). España: McGrawHill/Interamericana. Visuata, B. y Martori, J. (2007). Análisis estadístico con SPSS para Windows. Volume n II, 2da edición). México: McGraw-Hill/Interamericana.

Curriculum del autor Nombres y Apellidos: Raúl Alfonso Bonilla Ceballos. Cédula de Identidad: 9.553.345. Lugar y fecha de nacimiento: Barquisimeto Estado Lara, 22 - 10 - 1964. Correo electrónico: raulbonilla_05@hotmail.com y raulalfonsobonillaceballos@gmail.com Twitter: @bonillaceballos. Estudios: Primaria: Escuela Estatal “José Leonardo Chirinos” Barquisimeto Estado Lara años 1971 – 1977, grado obtenido 6º. Secundaria: - Ciclo Básico: Común “Eladio del Castillo”, Barquisimeto Estado Lara, años 1977 – 1980, grado obtenido 3er año de Bachillerato. - Ciclo Diversificado: “Rafael Villavicencio”, Años 1980-1982, grado obtenido 5to año de Bachillerato – título: Bachiller en Ciencias. Universitario: Pregrado: Universidad Centrooccidental “Lisandro Alvarado”, Barquisimeto, Estado Lara Venezuela, título obtenido: Médico Cirujano, egreso: 1992. Postgrado: Instituto Venezolano de los Seguros Sociales, Centro Ambulatorio Dr. “Vicente Andrade”, Unidad de Medicina Familiar Barquisimeto Estado Lara, título obtenido: Especialista en Medicina General Familiar, egreso: 1996. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Barquisimeto “Luís Beltrán Pietro Figueroa”, Barquisimeto Estado Lara Venezuela, título obtenido: Magíster en Educación mención Enseñanza de la Biología, egreso: 2010. Cursos: Centro Cardiovascular Regional Centro Occidental (ASCARDIO) Año: 1993, Barquisimeto Estado Lara, Horas crédito: 67; por FMV. Curso de Cardiología Básica para Médicos Generales. Universidad Centrooccidental “Lisandro Alvarado”, Decanato de Medicina, Departamento de Educación Medica Barquisimeto Estado Lara Año: 1996 Horas crédito: 50. Curso de Ingle Instrumental de Postgrado en Medicina. Mejoramiento Profesional, Educación Médica continua, Sección Docencia en Ultrasonido. Año: 1999, Caracas. Horas Créditos: 88, por FMV. Curso: Ultrasonido abdominal. Universidad de Carabobo, Facultad de Ciencias de la Salud, Medicina, Departamento de Educación Médica Estado Carabobo. Año: 2002. VI Curso de Gerencia en Salud Mención Administración de Servicios de Salud de Atención Médica. Universidad de Carabobo, Facultad de Ciencias de la Salud, Medicina, Departamento de Educación Médica Estado Carabobo. Año: 2002. VI Curso de Gerencia en Salud Mención Epidemiología. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Barquisimeto “Luís Beltrán Pietro Figueroa”, Inglés Instrumental, 32 horas. Año: 2007. Cargos: - Médico Rural Ambulatorio Rural tipo II “Ospino” Fecha: 01/ 07/ 1992 al 01/ 07/ 1993 Ospino, Estado Portuguesa. - Médico Residente Servicio de Neumonología Hospital General “Dr. Luís Gómez López” Fecha: 16/ 08/ 1993 al 16/ 08/ 1994, Barquisimeto Estado Lara. - Médico Residente del Postgrado Asistencial Programado de Medicina General Familiar del Instituto Venezolano de los Seguros Sociales, Centro Ambulatorio Dr. “Vicente

Andrade”, Unidad de Medicina Familiar Barquisimeto Estado Lara, Fecha: 15/ 12/ 1994 al 15/ 12/ 1996, Barquisimeto Estado Lara. - Médico Coordinador del Centro de Medicina Familiar de “Urachiche”, Municip io Urachiche Estado Yaracuy, Fecha: 03/ 03/ 1997 hasta el 31/05/1999. - Médico Especialista I del Centro de Medicina Familiar de “Urachiche”, Municip io Urachiche Estado Yaracuy, Fecha: 01/ 06/ 1999 hasta el 16/01/2000. - Médico Especialista I del Centro de Medicina Familiar del Dr. “Gaetano Matarozo”, Municipio Peña Estado Yaracuy Fecha: 17/ 01/ 2000 hasta el 31/07/2001. - Médico Epidemiólogo del Municipio Urachiche Estado Yaracuy Fecha: 01/ 08/ 2001 hasta el 07/12/ 2005. - Médico Especialista I del Centro de Medicina Familiar de “Urachiche”, Municip io Urachiche Estado Yaracuy Fecha: 07/ 12/ 2005 hasta la actualidad. Trabajo de investigaciones realizadas y distinciones: 1.- Prevalencia de Diabetes mellitus en pacientes de 40 años o más de ambos sexos que acudieron a la consulta docente de Medicina Interna del Ambulatorio Urbano Tipo II “La Carucieña”, Barquisimeto, marzo-abril 1992, (coautor), Trabajo de grado UCLA para optar al Título de Médico Cirujano, presentado en la 1ª Jornadas Científicas de Medicina Integral en el Medio Urbano UCLA y obtuvo el reconocimiento como el mejor trabajo de investigación en la línea de diabetes. 2.- Frecuencia de Urolitiasis en pacientes en edad pediátrica del Hospital Dr. Pastor Oropeza Riera, IVSS Barquisimeto, 1993, (coautor), presentado en la IV Jornadas Científicas del Hospital General “Dr. Pastor Oropeza Riera” del Instituto Venezolano del Seguro Social de Barquisimeto Estado Lara, octubre 1995. 3.- Evolución del cáncer de pulmón, diagnosticado en el Servicio de Neumonología del Hospital General Dr. “Luís Gómez López”, Barquisimeto, 1983-1993, (autor principal), presentado en la IV Jornadas Científicas del Hospital General “Dr. Pastor Oropeza Riera” del Instituto Venezolano del Seguro Social de Barquisimeto Estado Lara, octubre 1995. 4.- Evaluación de un programa sobre educación sexual dirigido a padres de adolescentes del Barrio “El Triunfo”, Parroquia Unión, Barquisimeto junio 1996. Trabajo de Grado IVSS, para optar al Título de Especialista de Medicina Familiar. 5.- Análisis de situación de salud del Municipio Autónomo José Antonio Paéz, Estado Yaracuy, Venezuela abril 2001, (autor principal) Trabajo de culminación de los cursos de educación médica continua en Gerencia de Salud Mención Administración y Mención Epidemiología, Universidad de Carabobo, 2001. 6.- Manual digital de primeros auxilios dirigidos a estudiantes de Biología de la UPELIPB. Maestría Enseñanza de la Biología de la Universidad Pedagógica Experimenta l Libertador, Instituto Pedagógico de Barquisimeto “Luís Beltrán Pietro Figueroa”, Trabajo de grado de la UPEL-IPB 2010 para optar al Título de Magíster en Educación mención Enseñanza de la Biología. Credencial de Mérito por haber obtenido la calificación final de 20 puntos en Psicología Médica, expedida por de Escuela de Medicina DR. “Pablo Acosta Ortiz” de la UCLA el 10 de junio de 1992. Instrumentos musicales que ejecuta: Cuatro, algo de guitarra, teclado, maracas, tambora, furro, guiro, bajo y cencerro. Aficiones: Canto.

Publicaciones Manual Digital de Primeros Auxilios dirigido a Estudiantes de Biología de la UPELIPB. Publicado en Internet en el sitio web: www.docentedigital.com y en www.wix.com/raulbonilla_05/primeros-auxilios. Manual de cuatro (2011). La Biblia, fe y la Iglesia (2020, segunda edición). Religiones, Iglesias, sectas y algo más (2020). Participación en exposiciones de arte: 1.- Arte Mayor, Museo de Barquisimeto, Estado Lara 2007. 2.- XI Salón Nacional de Arte Popular “Policarpo Silva”, Instituto de la Cultura del Estado Portuguesa, Guanare, Estado Portuguesa 2008. 3.- IV Feria Internacional Arte Textil, Museo de Barquisimeto, Barquisimeto, Estado Lara, 2008. 4.- Tercer Salón de Artes Visuales “Divina Pastora”, Barquisimeto Estado Lara, 2008. 5.- II Bienal de Artes Plásticas de Barinas, 2008. 6.- Exposición XIII Jornadas Mariana, Museo de Barquisimeto-Estado Lara, 2009. 7.- Exposición Bolívar 2010. Sala Trino Orozco, UPEL-IPB “Luís Beltrán Pietro Figueroa”, Barquisimeto-Estado Lara. 8.- X Bienal de Arte Popular Salvador Valero, Estado Trujillo 2010. 9.- Exposición XIV Jornadas Mariana, Museo de Barquisimeto-Estado Lara, 2010. 10.- Exposición Divina Pastora inspiración de artistas. Ministerio del Poder Popular para el Turismo, y Fondo de Turismo del Estado Lara, 2.011. Participación en poesía: 1.- Poema María manantial de fe en la Exposición Mariana XIV jornadas mariana 2.010. Museo de Barquisimeto, Estado Lara. Participación en canto: 1.- Interpretación de la canción María manantial de fe en el XIII festival de canto litúrgico mariano 2.010, como cantautor invitado, Centro Pastoral Monseñor Críspulo Benítez Fontúrvel Barquisimeto, Estado Lara.

Otras publicaciones del autor: 1.- Manual de cuatro (2011). 2.- Angelología y Biblia (2020). 3.- La Biblia (2020). 4.- Religiones, Iglesia, sectas y algo más (2020). 5.- Experiencias cercanas a la muerte, y otros eventos paranormales (2020). 6.- Ateísmo, Agnosticismo, Materialismo y Relativismo (2020). 7.- Decisiones basadas en las evidencias en Religión (2020). 8.- Doctrina de los hermanos Separados (2020). 9.- Devocionario de las Almas del Purgatorio (2020). 10.- El Santo Rosario (2020). 11.- El Ángel caído Luzbel (2020). 12.- El Alma (2020). 13.- El Sacerdocio (2021). 15.- Ídolo e Idolatría (2021). 16.- Jesús Cordero, Pan y Vino (2021). 17.- Cruz (2021). 18.- Estadística Básica (2020). 19.- Introducción a la Música (2020). 20.- Manual digital de primeros auxilios dirigido a estudiantes de biología de la UPEL-IPB

(2010). 21.- Sitio Web y Manual digital de primeros auxilios dirigido a estudiantes de biología de la UPEL-IPB (2010), disponible como sitio Web en: https://raulbonilla-05.wixsite.com/misitio?fbclid=IwAR2XqZBSsmWWE8TTGKc0c4QRadRyqnCXmWV1SjTBT2RgjA7Zhh0wYHTChw

Correo electrónico raulbonilla_05@hotmail.com raulalfonsobonillaceballos@gmail.com Twitter: @bonillaceballos @tufecristianacatolica Instagram: rabc1964 tufecristianacatolica Facebook: Raúl Alfonso Bonilla Ceballos. Facebook: Tú fe Cristiana Católica. Este libro puede obtenerse de manera gratuita descargándolo del sitio de Facebook Tú fe Cristiana Católica, aquí está el enlace: https://www.facebook.com/Libros-Católicos-en-PDF-para-descargary-de-otros-temas-102851821671978 o en: https://www.facebook.com/groups/1699383420335412/?ref=bookmar ks