Matemática Básica
Raúl Owaldo Xiloj Vargas Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
¿Qué es la lógica matemática? Es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes y las propiedades meta lógicas de los mismos. ¿Cuáles son los elementos de lógica? Hay tres tipos de lenguaje: 1. Oral 2. Escrito 3. Simbólico ¿Qué es Proposición? Es toda expresión que tiene sentido mediante la cual se afirma o se niega algo que puede ser verdadero o falso. Las proposiciones por la cual son y no son proposiciones en la cual se detalla: Son proposiciones: Ejemplos: a) ¾ es un número fraccionario. b) El tigre es un insecto. c) El carburador tiene una falla. d) El transistor está conduciendo. e) Hoy es lunes. f) Llueve. No son proposiciones: Ejemplos: frases imperativas u órdenes: (Escriba esto.) interjecciones o exclamaciones: (¡Qué barbaridad!) instrucciones: (Volver al paso anterior.) frases sin sentido de “v” o “f”: (El mineral “x” es una piedra preciosa.) igualdades matemáticas tales como: (a + b) * (a - b) = a2 – b2 Las proposiciones cuando son: Verdaderas se escribe (V) Falsas se escribe (F) Negación de una proposición Es utilizar la palabra “no” en las proposiciones. Ej.: El símbolo del agua es H2O. 8 es numero par.
El símbolo del agua no es H2O. 8 no es numero par.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica Tipos de proposiciones: ďƒ˜ Proposiciones simples Ej.: A) B) C) D)
21 es divisible por 2 18 es mĂşltiplo de 6 El hombre es un animal racional 5 no es un numero par
=p =q =r =s
RepresentaciĂłn simbĂłlica: a) 21 es divisible por 2 b) 18 es mĂşltiplo de 6
=p =q
ď‚ś SimbĂłlicamente: “pâ€? y “qâ€?
=
21 es divisible por 2 “yâ€? 18 es mĂşltiplo de 6
ďƒ˜ Proposiciones compuestasď€ Es la combinaciĂłn de dos o mĂĄs proposiciones simples, unidas mediante uno o mĂĄs conectivos lĂłgicos u operantes lĂłgicos tales como: Conectivos lĂłgicos. Nombre lĂłgica Significado Conectivo “yâ€? ConjunciĂłn ∧ “oâ€? DisyunciĂłn đ?‘Ł “si... entoncesâ€? ImplicaciĂłn → â€œâ€Śsi y solo siâ€? Equivalencia ↔ “noâ€? NegaciĂłn ÂŹ ,~ ConjunciĂłn: Es cuando dos proposiciones estas unidas por la expresiĂłn “yâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ∧ ď‚ś Regla: Es verdadera Ăşnicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas.  ProposiciĂłn q ∧ q  Se lee: p “yâ€? q ConjunciĂłn p
q
q∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica DisyunciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “oâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: đ?‘Ł ď‚ś Regla: Es falsa Ăşnicamente cuando las dos proposiciones sean falsas.  ProposiciĂłn q đ?‘Ł q  Se lee: p “oâ€? q DisyunciĂłn p q
qđ?’—q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
ImplicaciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “si‌ entoncesâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: → ď‚ś Regla: Es falsa Ăşnicamente cuando la primera sea verdadera y la segunda sea falsa.  ProposiciĂłn q → q  Se lee: p “si‌ entoncesâ€? q ImplicaciĂłn q p
q→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Doble ImplicaciĂłn o Equivalencia: Es cuando dos proposiciones estĂĄn unidas por la expresiĂłn “si y solo siâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ↔ ď‚ś Regla: Es verdadera cuando las dos proposiciones sean iguales. (falsa o verdadera).  ProposiciĂłn q ↔ q  Se lee: p “si y solo siâ€? q Doble ImplicaciĂłn o Equivalencia q q↔q p V V V V
F
F
F
V
F
F
F
V
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica NegaciĂłn: Es cuando dos proposiciones estĂĄ siendo negadaâ€?. ď‚ś Su sĂmbolo es: ÂŹ, ~ ď‚ś Regla: Es falsa cuando sea verdadera y verdadera cuando sea falsa.  ProposiciĂłn ÂŹ q  Se lee: NegaciĂłn de p Ăł no es p.
NegaciĂłn p
ÂŹp
V
F
V
F
F
V
F
V
Tablas de verdad: Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposiciĂłn compuesta, para cada combinaciĂłn de verdad que se pueda asignar. Hay dos reglas o principios fundamentales de la lĂłgica.
ďƒ˜ P. De no contradicciĂłn:ď€ Una proposiciĂłn no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo. ďƒ˜ P. Del tercer incluido:ď€ Una proposiciĂłn es verdadera o es falsa, siempre se verifica uno de estos casos nunca un tercero. Entonces una proposiciĂłn simple, tiene dos posibilidades de valor. Tablas de verdad. Una proposiciĂłn Dos proposiciones Tres proposiciones Cuatro proposiciones Cinco proposiciones 6 proposiciones
2 posibilidades 4 posibilidades 8 posibilidades 16 posibilidades 32 posibilidades 64 posibilidades
AplicaciĂłn de las reglas p
q
∧
đ?‘Ł
→
↔
ÂŹp
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
TautologĂas, Contradicciones y contingencias Cuando no conocemos el valor de verdad de las proposiciones simples debemos considerar todas las posibilidades. SegĂşn sea el resultado final, ĂŠste recibe el nombre de tautologĂa, contradicciĂłn y contingencia. TautologĂa: Una proposiciĂłn se dice que es una tautologĂa si su valor de verdad es siempre verdadero, independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Es decir, cuando para todas las posibilidades de combinar los valores de verdad de las proposiciones simples el resultado final es verdadero.
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Ejemplo de tautología: Hallar el valor de verdad de (p → q ) ↔ (~q → ~p)
(p V V F F
→ V F V V
q) V F V F
↔ V V V V
(~q F V F V
→ V F V V
~p) F F V V
Respuesta: Es tautología. Contradicción: Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre falso independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Es decir, cuando para todas las posibilidades de combinar los valores de verdad de las proposiciones simples el resultado es falso. Ejemplo de Contradicción: Hallar el valor de verdad de (p ∧ ~ q) ∧ (p → q)
(p
∧
~q)
∧
(p
→
q)
V V
F V
F V
F F
V V
V F
V F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
Respuesta: Es contradicción. Contingencia: Cuando al final se obtienen algunos verdaderos y algunos falsos. Ejemplo de contingencia: Hallar el valor de verdad de (p → q) ∧ [(q ∧ p) ↔ q] (p
→
q)
∧
[(q
∧
p)
↔
q]
V V
V F
V F
V F
V F
V F
V V
V V
V F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
Respuesta: Es Contingencia.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica
Analice por medio de una tabla de verdad cada una de las proposiciones siguientes y clasifĂquelas de acuerdo al resultado final como tautologĂa, contradicciones y contingencias. 1) Hallar el valor de verdad de (p ↔ q) đ?‘Ł [(q ∧ p) → q] (p
↔
q)
đ?‘Ł
[(q
∧
p)
→
q]
V V
V F
V F
V V
V F
V F
V V
V V
V F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
Respuesta: Es TautologĂa 2) Hallar el valor de verdad de [(p ↔ q) → (~p ∧ q)] → q [(p
↔
q)
→
(~p
∧
q)]
→
q
V V
V F
V F
F V
F F
F F
V F
V F
V F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
Respuesta: Es contingencia 3) Hallar el valor de verdad de [(p ↔ q) → (p ∧ ~q)] đ?‘Ł (~q → p) [(p
↔
q)
→
(p
∧
~q)]
đ?‘Ł
(~q
→
p)
V V
V F
V F
F V
V V
F V
F V
V V
F V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V V V
V V F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
Respuesta: Es contingencia
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Conjuntos Noción de Conjuntos La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de la matemática. Fue Georg Cantor, por los años de 1,870, quien primero llamo la atención de los matemáticos a este respecto.
Conjunto Conjunto es la reunión, agrupación o colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denomina "elementos". Son ejemplos de conjuntos: 1) Los alumnos de un aula 2) Las 5 vocales 3) Los números impares 4) Tu lapicero, este libro, un cuaderno Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ...; mientras que los elementos del conjunto, con letras minúsculas: a, b, c, ..., encerrados dentro de llaves: {} Ejemplo: A = {a, b, c, d, e} Que se lee: "A es un conjunto cuyos elementos son a, b, c, d, e". FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO
I. Por extensión o forma constructiva Se declara individualmente todos los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {a, b, c, d} M = {2; 4; 6; 8} II. Por comprensión o forma simbólica. Se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: V = {las vocales} En esta expresión se comprende que es un conjunto cuyos elementos son todas las vocales. Este mismo ejemplo se puede escribir así: V = {x/x es una vocal} Se lee: "V es el conjunto de los elementos x, tal que x es una vocal". Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Conjunto Finito: Aquel conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tiene termino. Ejemplo: M = {x/x = es un rio del Perú} Que se lee como: "M es el conjunto de los x, tal que x es un rio del Perú". M es un conjunto finito porque si es posible contar todos los ríos del Perú. Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando el número de sus elementos es infinito. Su proceso de conteo nunca acaba. Ejemplo: B = {y/y = una estrella en el cielo} Que se lee como: "B es el conjunto de las y, tal que y es una estrella en el cielo". B es un conjunto infinito porque el número de estrellas en el cielo no se termina nunca de contar, es infinito. NOCIÓN DE PERTENENCIA Cada uno de los elementos de un conjunto pertenece ha dicho conjunto. Para indicar la pertenencia del elemento al conjunto se usa el símbolo "∈" que se lee "pertenece". Para indicar que un elemento no pertenece al conjunto se usa el símbolo "∉" que se lee "no pertenece". Ejemplos: Sean los conjuntos siguientes: X = {x, y, u, w} x ∈ X; se lee: "x pertenece al conjunto X" m ∉ X; se lee: "m no pertenece al conjunto X" A = {conjunto de números pares} 2 ∈ A; se lee: "2 pertenece al conjunto A" 5 ∉. A; se lee: "5 no pertenece al conjunto A" IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, aunque no estén dispuestos en el mismo orden. Ejemplos: A = {a, m, r, q}; B = {m, a, q, r} entonces: A = B Se lee: "El conjunto A es igual al conjunto B” Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica CONJUNTOS DISJUNTOS Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGUN elemento comĂşn entre ellos. Ejemplos: i)
A = {a, b, c} y B = {3, 8, 10}
A y B son disjuntos, porque no tienen ningĂşn elemento en comĂşn. ii)
M = {0, p, q, r} y T = {s, t, u, r}
M y T no son disjuntos, porque tienen el elemento comĂşn "r". CONJUNTO VACĂ?O Es un conjunto que carece de elementos. TambiĂŠn, se llama conjunto nulo. Se le denota por el sĂmbolo ∅. A=∅ Ăł A={} Se lee: "A es un conjunto vacĂo "o" A es un conjunto nulo". Ejemplos: i) A = {mujeres mayores de 400 aĂąos} = ∅ ii) B = {x/x = presidentes vivos del siglo XIX} = ∅ iii) C = {y/y = 8 A Y = impar} = ∅ CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: i) ii) iii) iv)
A = {Los dĂas de la semana cuyo nombre empieza con L} = { Lunes } B = { x/3x = 12 } = { 4 } C = { x / 5x + 4 = 9 } = { 1 } D = { nĂşmeros impares entre 1 y 5 } = { 3 }
CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los elementos de otros conjuntos. Se llama tambiĂŠn conjunto referencial. Se denota usualmente con la letra " đ?•Œ". Ejemplos: i) C = {todos los nĂşmeros} Este es un conjunto universal porque contiene todos los nĂşmeros de los conjuntos, â„?, â„š, ℤ, â„•, đ?•€, ~ℤ, lm, ~â„? y â„‚.
ii) Sean los conjuntos universales: A = {Los Incas del PerĂş} B = {Los ingenieros que trabajan en Lima} C = {Los presidentes de los paĂses del mundo} A su vez, el conjunto universal de estos conjuntos es: đ?•Œ = {personas} RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica iii) Sean los conjuntos: A = {a, e} B = {a, i, u} C = {a, e, o} ď ™ đ?•Œ = {vocales} Ăł đ?•Œ = {a, e, i, 0, u} iv) Si el universo es el colegio San JosĂŠ, ÂżcuĂĄles serĂan los conjuntos que lo forman? A = {alumnos} B = {profesores} C = {carpetas} ď ™ đ?•Œ = {colegio San JosĂŠ} SUBCONJUNTO Es aquel conjunto incluido en otro. De esta manera, si todos los elementos del conjunto A estĂĄn incluidos en el conjunto B, entonces A es un subconjunto de B. Se denota con el sĂmbolo "ď ¤", que se lee: "estĂĄ incluido en". Ejemplo: A = { x, y, z }; B = { x, y, z, u, w } entonces: A ď ¤ B Se lee: "A esta incluido en B" Ăł "A es un subconjunto de B". Alternativamente, en lugar de escribir A ď ¤ B, que indica que A esta incluido en B, se puede escribir: B ď Ľ A, que se lee: "B incluye a A" TambiĂŠn puede escribirse: B = {A, u, w}. Como se ve, el conjunto A esta incluido en el conjunto B. Pero, si A no estĂĄ incluido totalmente en B, A no es un subconjunto de B, lo cual se denota asĂ: A ďƒ§ B, y se lee: "A no estĂĄ incluido en B" Ăł "A no es un Subconjunto de B". Ejemplo: A = {I, 2, 3, 4}; B = {3, 4,5, 6} entonces A ďƒ§ B SUBCONJUNTO PROPIO Dado A ď ¤ B, entonces el subconjunto A es subconjunto propio del conjunto B, si por lo menos un elemento del conjunto B no es elemento del conjunto A. Pero si todos los elementos de A son iguales a los elementos de B, ya no es un subconjunto, en este caso los conjuntos son iguales. Ejemplo: A = { p, q, r } B = { m, n, 0, p, q, r, s } ď ™ A es subconjunto propio de B. RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica DIAGRAMACIÓN DE CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN Para un mejor entendimiento de la teoría de conjuntos, especialmente para relacionar los conjuntos y sus elementos de una manera útil y sencilla se usa diagramas planos para representar conjuntos. Los diagramas son una poderosa herramienta para resolver problemas. Se les llama Diagramas de Venn en honor a su creador. El conjunto Universo es representado por un rectángulo, y contiene los conjuntos, representados a su vez por círculos o elipses. Opcionalmente, puede indicarse o representarse los elementos del conjunto. Ejemplos: i)
Representación del conjunto A = { a, b, c }, mediante un Diagrama de Venn:
ii)
La inclusión del conjunto A en el conjunto B:
"A está incluida en B" ó "A es un subconjunto de B". En este caso, A es subconjunto propio de B. iii)
La no inclusión de un conjunto en otro:
"A Y B son conjuntos disjuntos. C no está incluido en D".
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica DIAGRAMAS LINEALES Es otra manera útil de presentar relaciones entre conjuntos Si A B, se ubica a B más arriba que A; unidos ambos por un segmento.
Ejemplos: i) Sean los conjuntos:
ii) Trazar el diagrama de inclusión lineal de A, B, C y D.
OPERACIONES CON CONJUNTOS Mientras que en aritmética se realiza operaciones de suma, resta y multiplicación, en el caso de conjuntos se realiza operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, con un comportamiento similar al de la aritmética. UNION O REUNION DE CONIUNTOS La unión o reunión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o ambos conjuntos. El símbolo de la unión es "⋃" y se lee "unión" o "reunión". Se denota A ⋃ B Simbólicamente se escribe así: A ⋃ B = {x/x A v x B} Que se lee así: "A unión B es igual al conjunto de los x tal que x pertenece a A ó x pertenece a B". La unión de conjuntos se puede escribir también como A + B y se llama suma de conjuntos.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Para la solución de problemas es muy recomendable el diagrama de Venn. Hallar A ⋃ B, si: A={l,2,3,4} y B= {4,5,6};
i)
Solución: A ⋃ B = {l, 2, 3, 4, 5, 6} Si: A = {a, b, c, d} y B = {m, n}; entonces: A ⋃ B = {a, b, c, d, m, n}
ii)
iii)
Si: M = {a, b, x, q} y N = {x, q, m, n}; M ⋃ N = {a, b, x, q, m, n}
UNION DE VARIOS CONIUNTOS iv)
Si A = {a, b, c, d}; B = {c, d, m, n} y C = {a, q, r): A ⋃ B ⋃ C = {a, b, c, d, m, n, q, r}
PROPIEDADES DE LA UNION DE CONIUNTOS I) La unión de conjuntos es conmutativa. - Es decir, el orden de los conjuntos no altera la unión. A⋃B=B⋃A II) La unión de conjuntos es asociativa. - Si son más de dos conjuntos los que se unen, pueden asociarse de manera libre, así: (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica INTERSECCION DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes a A y B. Se denota: A ⋂B; que se lee: "A intersección B" Su representación mediante el diagrama de Venn es la siguiente:
La parte sombreada (región anaranjada) es la parte donde están los elementos comunes a A y B. En forma simbólica: A ⋂ B = { x/x A ∧ x B} que se lee: "A intersección B es igual al conjunto de las x, tal que x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B". Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {l,2,3,4} y B= {3,4,5} A ⋂ B = {3, 4}
INTERSECCION DE VARIOS CONJUNTOS Ejemplo: Si A= {a, b, c, d, e}; B= {a, b, m, n} y C= {a, c, m, q}; entonces A ⋂ B ⋂ C = {a} El único elemento común a los tres conjuntos es a. Representando en el diagrama de Venn:
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS I)
La intersecciĂłn de conjuntos es conmutativa. Esto es, el orden de los conjuntos no altera la intersecciĂłn. A â‹‚ B = B â‹‚ A
II)
La intersecciĂłn de conjuntos es asociativa. Es posible cambiar el orden de asociaciĂłn y no se altera el resultado. (A â‹‚ B) â‹‚ C = A â‹‚ (B â‹‚ C)
DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por elementos del conjunto A que no son elementos del conjunto B. En forma simbĂłlica: A - B = {x / x  A ∧ x ďƒł B} La diferencia A - B, tambiĂŠn se denota: A/B Ăł Aď€B. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, c}; ď ™ A - B = {b, d} Usando el diagrama de Venn:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea un conjunto A y el conjunto universal đ?•Œ, se define como complemento del conjunto A, al conjunto de elementos de đ?•Œ que no pertenecen al conjunto A. Se denota como A’. A’= đ?•Œ - A; se lee: complemento de A" Ejemplo: Sean los conjuntos: đ?•Œ = {m, n, a, p, q, r} y A = {p, q, r} entonces: A’= {đ?•Œ - A} ď ™ A’ = {m, n, a} Con el diagrama de Venn, A’. se grafica asĂ:
El complemento de A es A’: En el gråfico, se muestra en color anaranjado. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica En forma simbĂłlica: A’ = { x/x  đ?•Œ ∧ x ďƒł A} = {x/x ďƒł A} DIFERENCIA SIMETRICA (đ?šŤ) Para dos conjuntos A y B, la diferencia simĂŠtrica es lo que queda de ambos conjuntos despuĂŠs de eliminar los elementos de su intersecciĂłn. A Δ B= {x/x  A ď ˇ x  B ∧ x ďƒł A â‹‚ B} A Δ B = (A - B) ⋃ (B - A) A Δ B = zona en color verde
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Por extensión A = {a, e, i, o, u} B = {0,2,4,6,8} C = {c, o, n, j, u, n, t, o, s} D = {1, 3, 5, 7, 9} E = {b, c, d, f, g, h, j, ‌.}
Por ComprensiĂłn A = { x/x es una vocal} B = { x/x es un nĂşmero par menor que 10} C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos} D = { x/x es un nĂşmero impar menor que 10} E = { x/x es una consonante}
2) Si tenemos los conjuntos: A = {2, 4, 6} B = {4, 6, 8, 10} C = {6, 10, 14, 16, 26} Realice lo que a continuaciĂłn se le indique y escribe en forma extensiva. A⋃B A⋃C Aâ‹‚Bâ‹‚C đ?•Œ
đ?•Œ
B
A 2
8
4 6
2 4 6
10
A⋃B
A⋃C
A ⋃ B = {2, 4, 6, 8, 10} đ?•Œ
C 10 14 26 16
A
A ⋃ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}
A
B 2
4
8
6
A â‹‚ B â‹‚ C = {6}
10 C 14 16
26
Aâ‹‚Bâ‹‚C RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Número dígito Número dígito es aquel que solo tiene una cifra. Nada más hay 10 números dígitos que son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Los números de más de una cifra se llaman números poli-dígitos. Número poli-dígito es aquel que tiene más de una cifra. Ejemplo: 456, 567, 33, 66 … entre otros: es decir aquel que no es un número dígito. Número natural (ℕ) Los números naturales pueden usarse para contar (cualquier elemento como un cuaderno dos cuadernos y tres cuadernos, …). En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto, como también en operaciones elementales de cálculo. Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del uno ya que el cero no es considerado un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 1, por lo tanto, el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito. Número entero (ℤ) Los números enteros son un conjunto numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Vamos a tener entonces: Números naturales Ν: 1, 2, 3... Inversos aditivos de los números naturales: -1, -2, -3... El cero: 0 El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]). En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario tener en cuenta el signo del resultado.
Número racional (ℚ) Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ℚ, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (ℤ), y es un subconjunto de los números reales (ℝ). La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.
Números Irracionales (ℝ-ℚ) El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables. ¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones. La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra mayúscula así: ℝ - ℚ. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición. Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.
Propiedades de los números irracionales Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
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Matemática Básica Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π. Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π) +e=ϕ+(π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e = ϕ× (π×e). Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π. Clasificación de los números irracionales Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son: Número algebraico. - se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc. Número trascendente. - este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, y entre otros. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos. Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical. Números irracionales famosos Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son: Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589... Numero Irracional Pi (ⅇ) es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459… El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749… Ejemplos de números irracionales: 1+√3 2
,
√1+√3 4
. Número real (ℝ)
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII. Los números imaginarios Los números imaginarios son aquellos que, de acuerdo a la lógica convencional, no pueden existir. Sin embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma clásica de obtener un número imaginario/complejo es al obtener la raíz cuadrada de un número negativo. √−1 Esto es debido a que, de acuerdo a lo que sabemos, los números reales elevados al cuadrado (es decir, multiplicados por sí mismos), ya sean positivos o negativos, darán como resultado un número positivo, tal como el caso de dos números positivos: 42 = 4 * 4 = 16 Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Y con el caso de dos números negativos, porque de acuerdo a las leyes de los signos, un número negativo multiplicado por un número negativo (en este caso, multiplicado por sí mismo) dará como resultado un número positivo, de forma que -42 = -4 * -4 = 16 Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo dé como resultado un número negativo. Sin embargo, podemos decir que ⅈ, la letra que representa a los números imaginarios, es igual a √−1 = ⅈ Y dada esta igualdad, sería correcto afirmar que ⅈ 2 = ⅈ ∗ ⅈ = −1 Esto porque ⅈ equivale a la raíz cuadrada de -1, entonces, desarrollando la ecuación anterior, tenemos que ⅈ 2 = (√−1) ∗ (√−1) Y como ya lo sabemos, la raíz cuadrada es la operación inversa al exponente cuadrado, entonces, sabiendo que un número multiplicado por sí mismo equivale a elevarlo al cuadrado, podemos expresar esto como 2
ⅈ 2 = (√−1) = −1 Por lo tanto, también podemos decir que ⅈ 3 = ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ = ⅈ 2 ∗ ⅈ = −1 ∗ ⅈ = −ⅈ ⅈ 4 = ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ = ⅈ 2 ∗ ⅈ 2 = −1 ∗ −1 = 1. Los números complejos Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación ℂ, siendo ℝ el conjunto de los números reales se cumple que ℝ⊂ℂ (ℝ está estrictamente contenido en ℂ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letraⅈ), o en forma polar. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
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Matemática Básica
Operaciones en el campo real ADICION (Suma) Es una operación que tiene por objeto reunir varias cantidades de una misma especie, denominados sumandos, en una sola, llamada suma o suma total. Propiedades: 1. Si a un sumando se le agrega un numera, la suma total queda aumentada en dicho número. 2. Si a un numero se le quita un número, la suma total queda disminuida en dicho número. 3. Si a un sumando se le quita un número y a otro sumando se le agrega el mismo número, la suma total no varía. Ejemplos: a) 4 + 3⁄5 =
23 5
, 1
b) 0.1 + 3 1⁄4 = 10 + 11
c) −0.4 + (−1 5 ) =
13 4 18 5
=
134 40
67
= 20 ,
,
d) (3 + 5ⅈ) + (8 − 7ⅈ) = (3 + 8) + (5 − 7)ⅈ = 11 − 2ⅈ
SUSTRACCION (Resta) Es una operación aritmética opuesta a la suma, definida para dos cantidades, llamadas minuendo y sustraendo; tiene por objeto determinar cuántas unidades más posee la primera con respecto a la segunda. Propiedades: 1) 2) 3)
Si al minuendo se le agrega una cantidad cualquiera, la diferencia queda aumentada en la misma cantidad. Si al minuendo se le quita una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad. Si al sustraendo se le agrega una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad. 4) Si al sustraendo se le quita una cantidad, la diferencia queda aumentada en dicha cantidad. 5) Si al minuendo y al sustraendo se les agrega una misma cantidad, la diferencia no varía. 6) Si al minuendo y al sustraendo se le quita una misma cantidad, la diferencia no varía.
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Matemática Básica 7)
(Principal). Si al minuendo se le quita una cantidad y al sustraendo se le agrega otra cantidad, la diferencia disminuye en la suma de dichas cantidades.
Ejemplos: 3
a) 0.1 − 1⁄4 = − 20 1
26
b) (−0.6) − (−2 3) = 15 c) (5 + 2ⅈ) − (4 − 2ⅈ) = (5 − 4) + (2 + 2)ⅈ = 1 + 4ⅈ
MULTIPLICACION (Producto) La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar una tercera cantidad llamada producto que contenga al multiplicando el mismo número de veces que el multiplicador contiene a la unidad positiva. PROPIEDADES: 1. Ley distributiva con respecto a la suma: Para multiplicar un numero por una suma indicada, basta multiplicar dicho numero por cada uno de los sumandos y sumar los productos parciales. 2. Ley distributiva con respecto a la resta: Para multiplicar un numero por una diferencia indicada, basta con multiplicar dicho numero por cada uno de los términos de la diferencia y restar los productos parciales. 3. Para multiplicar 2 sumas indicadas, basta multiplicar cada uno de los sumandos de una de ellas, para todos los de la otra y sumar los productos parciales. 4. Para multiplicar una suma indicada para una diferencia indicada basta multiplicar cada uno de los sumandos por el minuendo y quitarle a este resultado el producto de cada uno de los sumandos por el sustraendo. 5. Para multiplicar 2 restas indicadas, se multiplica cada término de la segunda resta por todos los términos de la primera y se suman o se restan los productos parciales.
Ejemplos:
1. 0.7 ∗ 4 6⁄8 =
133 40
1
13
4
2
2. 3 ∗ (−2) = −
= −6
1 2
3. (6 + 2ⅈ ) ∗ (2 − 3ⅈ ) = 18 − 14ⅈ DIVISION (Cociente)
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas dividendo "D" y divisor "d", hallar una tercera llamada cociente "c", que indica las veces que el dividendo contiene al divisor. Propiedades: 1. 2. 3.
Si al dividendo se le multiplica por un número, el cociente queda multiplicado por dicho número. Si al dividendo se le divide par un número, el cociente queda dividido por dicho número. Si al divisor se le multiplica por un numera, el cociente queda dividido por dicho número.
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Matemática Básica
4.
Si al divisor se le divide entre un numera, el cociente queda multiplicado par dicho número.
Ejemplos: 1
49
7
290
1. 0.7 ÷ 4 =
Pa ra di vi di r n ú m e r o s c om pl ej o s en fo r m a bi n ó mi ca s e mu l tipl i ca n u m e ra do r y den o mi n ado r p o r el c on j u ga d o d el d en o mi n ado r y s e r e al i z an l as op e ra ci on e s c o rr e sp on di en t e s .
(6+2ⅈ) 2. (2−3ⅈ)
=
(6+2ⅈ )∗ (2+3ⅈ) (2−3ⅈ)∗ (2+3ⅈ)
=
12 + 18ⅈ+4ⅈ+6ⅈ 2 22 − (3ⅈ)2
=
6 13
+
22 13
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
ⅈ
ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS FUNDAMENTALES
EXPONENTES Y RADICALES En esta secciĂłn damos significado a expresiones como am/n en las que el exponente m/n es un nĂşmero racional. Para hacer esto, necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raĂces n.
ďƒ‹
Exponentes enteros (negativos y positivos)
Normalmente, un producto de nĂşmeros idĂŠnticos se escribe en notaciĂłn exponencial. Por ejemplo, 5 * 5 * 5 se escribe como 53. En general, tenemos la siguiente definiciĂłn.
Ejemplos: 1 5
1
1
1
1
1
1
(a) (2) = (2) (2) (2) (2) (2) = 32 (b) (−3)4 = (−3)(−3)(−3)(−3) = 81 (c) −34 = −( 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3) = −81
ďƒ‹ Exponente Cero y negativos
Ejemplos 7 0
A. (4) = 1 1
1
B. đ?‘Ľ −1 = đ?‘Ľ 1 = đ?‘Ľ
C. (−3)−3 =
1 (−3)3
1
1
= −27 = − 27
Teoremas o reglas de operaciones con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.
Ejemplos
Simplificación de expresiones con exponentes Para poder simplificar las expresiones algebraicas exponenciales hay que tener muy claro las reglas. Ejemplos:
Cuando simplifique una expresión, encontrará que muchos métodos diferentes llevarán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. A continuación, damos dos leyes adicionales que son útiles en la simplificación de expresiones con exponentes negativos.
Simplificación de expresiones con exponentes Ejemplos:
ďƒ‹
Radicales
Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un nĂşmero racional, necesitamos estudiar radicales. El sĂmbolo √
significa “la raĂz positiva deâ€?. Entonces
Como a = b2 ≼ 0, el sĂmbolo √đ?‘Ž tiene sentido sĂłlo cuando a ≼ 0. Por ejemplo: √9 = 3 porque 32 = 9 y 3 ≼ 0.
Las raĂces cuadradas son casos especiales de las raĂces n. La raĂz n de x es el nĂşmero que, cuando se eleva a la n potencia, darĂĄ x.
Simplificación de expresiones con raíces n. Ejemplos:
Exponentes racionales
Para definir lo que significa exponente racional, o bien, lo que es lo mismo, un exponente fraccionario, como por ejemplo a1/3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1/n de forma que sea consistente con las Leyes de Exponentes, tendríamos que tener Entonces, por la definición de la raíz n,
En general, definimos exponentes racionales como sigue:
Uso de la definiciรณn de exponentes racionales Ejemplos:
Uso de las leyes de exponentes con exponentes racionales Ejemplos:
SimplificaciĂłn al escribir radicales como exponentes racionales Ejemplos:
ďƒ‹
RacionalizaciĂłn del denominador
A veces es Ăştil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresiĂłn apropiada. Este procedimiento se denomina racionalizaciĂłn del denominador. Si el denominador es de la forma √đ?‘Ž, multiplicamos numerador y denominador por √đ?‘Ž. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo,
RacionalizaciĂłn de denominadores Ejemplos:
MatemĂĄtica BĂĄsica
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Un polinomio en x es una expresiĂłn que contiene la suma de un nĂşmero finito de tĂŠrminos de la forma axn, para cualquier nĂşmero real a y cualquier nĂşmero entero positivo n.
Escribimos un polinomio en orden descendente (o en potencias descendentes) de la variable, con los exponentes de ĂŠsta en disminuciĂłn de izquierda a derecha.
Observe en este ejemplo que el tĂŠrmino constante, 3, estĂĄ al final porque podemos escribirlo como 3x0. Recuerde que x0 = 1. Un polinomio puede tener mĂĄs de una variable. Por ejemplo, es un polinomio con dos variables, đ?‘Ľ y đ?‘Ś. Un polinomio con un tĂŠrmino se denomina monomio; con dos tĂŠrminos, binomio; y con tres tĂŠrminos, trinomio. Los polinomios que contienen mĂĄs de tres tĂŠrminos no tienen nombres especiales. El prefijo “poliâ€? significa “muchosâ€?. La siguiente tabla resume esta informaciĂłn.
El grado de un tĂŠrmino de un polinomio con una variable es el exponente que tiene la variable en dicho tĂŠrmino.
Para un polinomio con dos o mĂĄs variables, el grado de un tĂŠrmino es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado del tĂŠrmino 4x2y3 es 5 porque 2 + 3 = 5. El grado del tĂŠrmino es 8 porque 4 + 1 + 3 = 8. El grado de un polinomio es el mismo que el de su tĂŠrmino de grado mayor.
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Matemática Básica Sumar polinomios Para sumar polinomios, reducimos los términos semejantes de los polinomios. Ejemplos:
Ejemplos
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Matemática Básica
Restar polinomios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Restar polinomios en columnas
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Matemática Básica
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Productos notables Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x ·3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 – 25
Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x3 - 36x2 + 54x - 27
Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6
FACTORIZACIÓN 1. Factorización por factor común. Factor común de un binomio. Factor común de un polinomio. Factor común por agrupación de términos. 2. Factorización de binomios. Diferencia de cuadrados perfectos. Suma o diferencia de cubos perfectos. Suma o diferencia de potencias de igual exponente. 3. Factorización de trinomios Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Trinomio de la forma x2n + bxn + c. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c.
4. Factorización de un cubo perfecto 5. Factorización completa
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Matemática Básica
FACTOR COMÚN MONOMIO Recordar Los coeficientes numéricos se factorizan usando los números primos en el orden siguiente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Ejemplos
FACTOR COMÚN POLINOMIO Recordar Las siguientes equivalencias son útiles para resolver algunos de estos ejercicios:
(b - a) = - (a - b)
- a - b = - (a + b)
- a + b = - (a - b)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Recordar Los siguientes resultados: (a + b) = (b + a) y (b - a) ≠ (a - b)
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MatemĂĄtica BĂĄsica
FACTORIZACIĂ“N DE BINOMIOS FACTORIZACIĂ“N POR DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Recordar Se usa la fĂłrmula notable: đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = (đ?‘Ž + đ?‘?) (đ?‘Ž − đ?‘?) de izquierda a derecha.
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MatemĂĄtica BĂĄsica
SUMAS Y RESTAS DE CUBOS PERFECTOS. Recordar Se utilizan los productos notables: đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = (đ?‘Ž + đ?‘?) (đ?‘Ž2 − đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 ) đ?‘Ž3 − đ?‘? 3 = (đ?‘Ž − đ?‘?) (đ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 )
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
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Matemática Básica
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando: El primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. Recordar Se usa los productos notables: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Se factoriza de izquierda a derecha. En algunos casos hay que ordenar primero el trinomio.
Ejemplos
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Matemática Básica
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Ejemplos con procedimientos
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Matemática Básica
Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c Este tipo de trinomio tiene las siguientes características: El primer término: es una letra cualquiera elevada al cuadrado con coeficiente 1. El segundo término: tiene la misma letra que el primer término con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer término: es independiente de la letra que aparece en el 1ro y 2do término del trinomio “o sea término independiente” y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Reglas para factorizar un trinomio de esta forma: 1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio
.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el segundo término del trinomio “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos del segundo término del trinomio “bx” y del término independiente del trinomio “c”. 3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Ejemplo explicativo:
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Matemática Básica Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios, solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el primer término del trinomio ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de 1 y (debe ser positivo). Este se trabaja de manera diferente, la cual detallamos a continuación: Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica 1. Se multiplica el coeficiente “a” del primer factor “a
” por cada término
del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el primer término “a ” de la manera y en el segundo término “bx” de la manera “b(ax)” y con el tercer término la multiplicación exacta “a” por “c”. 2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término de los binomios será la raíz cuadrada del primer término del trinomio la que sería “ax”. 4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “b(ax)”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “b(ax)” y de “ac”. 5. Se buscarán los segundos términos de los binomios, según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior. 5. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 6. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. 7. Al producto resultante lo dividimos entre el factor coeficiente “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio se descompone en factor coeficiente primo si es necesario.
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Matemática Básica Ejemplo:
Ejemplos: Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica . Factorización
de un cubo perfecto
Ejemplo
Otro ejemplo.
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