MatemĂĄtica BĂĄsica
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Un polinomio en x es una expresiĂłn que contiene la suma de un nĂşmero finito de tĂŠrminos de la forma axn, para cualquier nĂşmero real a y cualquier nĂşmero entero positivo n.
Escribimos un polinomio en orden descendente (o en potencias descendentes) de la variable, con los exponentes de ĂŠsta en disminuciĂłn de izquierda a derecha.
Observe en este ejemplo que el tĂŠrmino constante, 3, estĂĄ al final porque podemos escribirlo como 3x0. Recuerde que x0 = 1. Un polinomio puede tener mĂĄs de una variable. Por ejemplo, es un polinomio con dos variables, đ?‘Ľ y đ?‘Ś. Un polinomio con un tĂŠrmino se denomina monomio; con dos tĂŠrminos, binomio; y con tres tĂŠrminos, trinomio. Los polinomios que contienen mĂĄs de tres tĂŠrminos no tienen nombres especiales. El prefijo “poliâ€? significa “muchosâ€?. La siguiente tabla resume esta informaciĂłn.
El grado de un tĂŠrmino de un polinomio con una variable es el exponente que tiene la variable en dicho tĂŠrmino.
Para un polinomio con dos o mĂĄs variables, el grado de un tĂŠrmino es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado del tĂŠrmino 4x2y3 es 5 porque 2 + 3 = 5. El grado del tĂŠrmino es 8 porque 4 + 1 + 3 = 8. El grado de un polinomio es el mismo que el de su tĂŠrmino de grado mayor.
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Sumar polinomios Para sumar polinomios, reducimos los términos semejantes de los polinomios. Ejemplos:
Ejemplos
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Restar polinomios
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Restar polinomios en columnas
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Productos notables Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x ·3 + 32 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 – 25
Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x3 - 36x2 + 54x - 27
Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6
FACTORIZACIÓN 1. Factorización por factor común. Factor común de un binomio. Factor común de un polinomio. Factor común por agrupación de términos. 2. Factorización de binomios. Diferencia de cuadrados perfectos. Suma o diferencia de cubos perfectos. Suma o diferencia de potencias de igual exponente. 3. Factorización de trinomios Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Trinomio de la forma x2n + bxn + c. Trinomio de la forma ax2n + bxn + c.
4. Factorización de un cubo perfecto 5. Factorización completa
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
FACTOR COMÚN MONOMIO Recordar Los coeficientes numéricos se factorizan usando los números primos en el orden siguiente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Ejemplos
FACTOR COMÚN POLINOMIO Recordar Las siguientes equivalencias son útiles para resolver algunos de estos ejercicios:
(b - a) = - (a - b)
- a - b = - (a + b)
- a + b = - (a - b)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Recordar Los siguientes resultados: (a + b) = (b + a) y (b - a) ≠ (a - b)
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica
FACTORIZACIĂ“N DE BINOMIOS FACTORIZACIĂ“N POR DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Recordar Se usa la fĂłrmula notable: đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = (đ?‘Ž + đ?‘?) (đ?‘Ž − đ?‘?) de izquierda a derecha.
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica
SUMAS Y RESTAS DE CUBOS PERFECTOS. Recordar Se utilizan los productos notables: đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = (đ?‘Ž + đ?‘?) (đ?‘Ž2 − đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 ) đ?‘Ž3 − đ?‘? 3 = (đ?‘Ž − đ?‘?) (đ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 )
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando: El primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. Recordar Se usa los productos notables: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Se factoriza de izquierda a derecha. En algunos casos hay que ordenar primero el trinomio.
Ejemplos
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Ejemplos con procedimientos
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c Este tipo de trinomio tiene las siguientes características: El primer término: es una letra cualquiera elevada al cuadrado con coeficiente 1. El segundo término: tiene la misma letra que el primer término con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer término: es independiente de la letra que aparece en el 1ro y 2do término del trinomio “o sea término independiente” y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Reglas para factorizar un trinomio de esta forma: 1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio
.
2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el segundo término del trinomio “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos del segundo término del trinomio “bx” y del término independiente del trinomio “c”. 3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Ejemplo explicativo:
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Ejemplos:
Detengámonos un poco en los últimos dos ejemplos. En el tercero podemos ver que lo que hemos llamado “x” no es una sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque el “x” es un factor lo que implica que no necesariamente será una simple letra, este puede ser también un polinomio completo. Siguiendo con el tercero vemos su cantidad numérica es bastante elevada y no todos pueden ver fácilmente los números que buscamos, una herramienta bastante útil es descomponer este número en sus factores primos, de esta manera sabemos que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo y solo me preocupare por cumplir la suma algebraica. Así:
En el cuarto ejemplo se observa que el término “c” no es un simple numero sino que tiene una forma , en este caso no se ha hecho ninguna diferencia simplemente se a tomado como factor “b” como si fuera “21m” así al multiplicar (7m)(14m) nos resulta y al sumar 7m + 14m nos da 21m, con lo que se cumple con los requisitos. Los términos “x”, “b” y “c” pueden ser cualquier cosa, ya sea números, letras, o polinomios, solo se necesita que se cumplan las reglas indicadas.
Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el primer término del trinomio ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de 1 y (debe ser positivo). Este se trabaja de manera diferente, la cual detallamos a continuación: Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica 1. Se multiplica el coeficiente “a” del primer factor “a
” por cada término
del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el primer término “a ” de la manera y en el segundo término “bx” de la manera “b(ax)” y con el tercer término la multiplicación exacta “a” por “c”. 2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término de los binomios será la raíz cuadrada del primer término del trinomio la que sería “ax”. 4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “b(ax)”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “b(ax)” y de “ac”. 5. Se buscarán los segundos términos de los binomios, según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior. 5. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 6. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. 7. Al producto resultante lo dividimos entre el factor coeficiente “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio se descompone en factor coeficiente primo si es necesario.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Ejemplo:
Ejemplos: Siempre que sea posible hay que realizar la división indicada que nos queda de este tipo de trinomio, sin olvidar que cada factor del denominador que se simplifique se corresponde (2.3.5) a todos los términos de uno solo de los binomios. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica . Factorización
de un cubo perfecto
Ejemplo
Otro ejemplo.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas