Matemática Básica
Conjuntos Noción de Conjuntos La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de la matemática. Fue Georg Cantor, por los años de 1,870, quien primero llamo la atención de los matemáticos a este respecto.
Conjunto Conjunto es la reunión, agrupación o colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denomina "elementos". Son ejemplos de conjuntos: 1) Los alumnos de un aula 2) Las 5 vocales 3) Los números impares 4) Tu lapicero, este libro, un cuaderno Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ...; mientras que los elementos del conjunto, con letras minúsculas: a, b, c, ..., encerrados dentro de llaves: {} Ejemplo: A = {a, b, c, d, e} Que se lee: "A es un conjunto cuyos elementos son a, b, c, d, e". FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO
I. Por extensión o forma constructiva Se declara individualmente todos los elementos del conjunto. Ejemplos: A = {a, b, c, d} M = {2; 4; 6; 8} II. Por comprensión o forma simbólica. Se declara una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: V = {las vocales} En esta expresión se comprende que es un conjunto cuyos elementos son todas las vocales. Este mismo ejemplo se puede escribir así: V = {x/x es una vocal} Se lee: "V es el conjunto de los elementos x, tal que x es una vocal". Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Conjunto Finito: Aquel conjunto que consta de cierto número de elementos distintos cuyo proceso de conteo tiene termino. Ejemplo: M = {x/x = es un rio del Perú} Que se lee como: "M es el conjunto de los x, tal que x es un rio del Perú". M es un conjunto finito porque si es posible contar todos los ríos del Perú. Conjunto Infinito: Un conjunto es infinito cuando el número de sus elementos es infinito. Su proceso de conteo nunca acaba. Ejemplo: B = {y/y = una estrella en el cielo} Que se lee como: "B es el conjunto de las y, tal que y es una estrella en el cielo". B es un conjunto infinito porque el número de estrellas en el cielo no se termina nunca de contar, es infinito. NOCIÓN DE PERTENENCIA Cada uno de los elementos de un conjunto pertenece ha dicho conjunto. Para indicar la pertenencia del elemento al conjunto se usa el símbolo "∈" que se lee "pertenece". Para indicar que un elemento no pertenece al conjunto se usa el símbolo "∉" que se lee "no pertenece". Ejemplos: Sean los conjuntos siguientes: X = {x, y, u, w} x ∈ X; se lee: "x pertenece al conjunto X" m ∉ X; se lee: "m no pertenece al conjunto X" A = {conjunto de números pares} 2 ∈ A; se lee: "2 pertenece al conjunto A" 5 ∉. A; se lee: "5 no pertenece al conjunto A" IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, aunque no estén dispuestos en el mismo orden. Ejemplos: A = {a, m, r, q}; B = {m, a, q, r} entonces: A = B Se lee: "El conjunto A es igual al conjunto B” Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica CONJUNTOS DISJUNTOS Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGUN elemento comĂşn entre ellos. Ejemplos: i)
A = {a, b, c} y B = {3, 8, 10}
A y B son disjuntos, porque no tienen ningĂşn elemento en comĂşn. ii)
M = {0, p, q, r} y T = {s, t, u, r}
M y T no son disjuntos, porque tienen el elemento comĂşn "r". CONJUNTO VACĂ?O Es un conjunto que carece de elementos. TambiĂŠn, se llama conjunto nulo. Se le denota por el sĂmbolo ∅. A=∅ Ăł A={} Se lee: "A es un conjunto vacĂo "o" A es un conjunto nulo". Ejemplos: i) A = {mujeres mayores de 400 aĂąos} = ∅ ii) B = {x/x = presidentes vivos del siglo XIX} = ∅ iii) C = {y/y = 8 A Y = impar} = ∅ CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: i) ii) iii) iv)
A = {Los dĂas de la semana cuyo nombre empieza con L} = { Lunes } B = { x/3x = 12 } = { 4 } C = { x / 5x + 4 = 9 } = { 1 } D = { nĂşmeros impares entre 1 y 5 } = { 3 }
CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los elementos de otros conjuntos. Se llama tambiĂŠn conjunto referencial. Se denota usualmente con la letra " đ?•Œ". Ejemplos: i) C = {todos los nĂşmeros} Este es un conjunto universal porque contiene todos los nĂşmeros de los conjuntos, â„?, â„š, ℤ, â„•, đ?•€, ~ℤ, lm, ~â„? y â„‚.
ii) Sean los conjuntos universales: A = {Los Incas del PerĂş} B = {Los ingenieros que trabajan en Lima} C = {Los presidentes de los paĂses del mundo} A su vez, el conjunto universal de estos conjuntos es: đ?•Œ = {personas} RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica iii) Sean los conjuntos: A = {a, e} B = {a, i, u} C = {a, e, o} ď ™ đ?•Œ = {vocales} Ăł đ?•Œ = {a, e, i, 0, u} iv) Si el universo es el colegio San JosĂŠ, ÂżcuĂĄles serĂan los conjuntos que lo forman? A = {alumnos} B = {profesores} C = {carpetas} ď ™ đ?•Œ = {colegio San JosĂŠ} SUBCONJUNTO Es aquel conjunto incluido en otro. De esta manera, si todos los elementos del conjunto A estĂĄn incluidos en el conjunto B, entonces A es un subconjunto de B. Se denota con el sĂmbolo "ď ¤", que se lee: "estĂĄ incluido en". Ejemplo: A = { x, y, z }; B = { x, y, z, u, w } entonces: A ď ¤ B Se lee: "A esta incluido en B" Ăł "A es un subconjunto de B". Alternativamente, en lugar de escribir A ď ¤ B, que indica que A esta incluido en B, se puede escribir: B ď Ľ A, que se lee: "B incluye a A" TambiĂŠn puede escribirse: B = {A, u, w}. Como se ve, el conjunto A esta incluido en el conjunto B. Pero, si A no estĂĄ incluido totalmente en B, A no es un subconjunto de B, lo cual se denota asĂ: A ďƒ§ B, y se lee: "A no estĂĄ incluido en B" Ăł "A no es un Subconjunto de B". Ejemplo: A = {I, 2, 3, 4}; B = {3, 4,5, 6} entonces A ďƒ§ B SUBCONJUNTO PROPIO Dado A ď ¤ B, entonces el subconjunto A es subconjunto propio del conjunto B, si por lo menos un elemento del conjunto B no es elemento del conjunto A. Pero si todos los elementos de A son iguales a los elementos de B, ya no es un subconjunto, en este caso los conjuntos son iguales. Ejemplo: A = { p, q, r } B = { m, n, 0, p, q, r, s } ď ™ A es subconjunto propio de B. RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica DIAGRAMACIÓN DE CONJUNTOS DIAGRAMA DE VENN Para un mejor entendimiento de la teoría de conjuntos, especialmente para relacionar los conjuntos y sus elementos de una manera útil y sencilla se usa diagramas planos para representar conjuntos. Los diagramas son una poderosa herramienta para resolver problemas. Se les llama Diagramas de Venn en honor a su creador. El conjunto Universo es representado por un rectángulo, y contiene los conjuntos, representados a su vez por círculos o elipses. Opcionalmente, puede indicarse o representarse los elementos del conjunto. Ejemplos: i)
Representación del conjunto A = { a, b, c }, mediante un Diagrama de Venn:
ii)
La inclusión del conjunto A en el conjunto B:
"A está incluida en B" ó "A es un subconjunto de B". En este caso, A es subconjunto propio de B. iii)
La no inclusión de un conjunto en otro:
"A Y B son conjuntos disjuntos. C no está incluido en D".
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica DIAGRAMAS LINEALES Es otra manera útil de presentar relaciones entre conjuntos Si A B, se ubica a B más arriba que A; unidos ambos por un segmento.
Ejemplos: i) Sean los conjuntos:
ii) Trazar el diagrama de inclusión lineal de A, B, C y D.
OPERACIONES CON CONJUNTOS Mientras que en aritmética se realiza operaciones de suma, resta y multiplicación, en el caso de conjuntos se realiza operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, con un comportamiento similar al de la aritmética. UNION O REUNION DE CONIUNTOS La unión o reunión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o ambos conjuntos. El símbolo de la unión es "⋃" y se lee "unión" o "reunión". Se denota A ⋃ B Simbólicamente se escribe así: A ⋃ B = {x/x A v x B} Que se lee así: "A unión B es igual al conjunto de los x tal que x pertenece a A ó x pertenece a B". La unión de conjuntos se puede escribir también como A + B y se llama suma de conjuntos.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Para la solución de problemas es muy recomendable el diagrama de Venn. Hallar A ⋃ B, si: A={l,2,3,4} y B= {4,5,6};
i)
Solución: A ⋃ B = {l, 2, 3, 4, 5, 6} Si: A = {a, b, c, d} y B = {m, n}; entonces: A ⋃ B = {a, b, c, d, m, n}
ii)
iii)
Si: M = {a, b, x, q} y N = {x, q, m, n}; M ⋃ N = {a, b, x, q, m, n}
UNION DE VARIOS CONIUNTOS iv)
Si A = {a, b, c, d}; B = {c, d, m, n} y C = {a, q, r): A ⋃ B ⋃ C = {a, b, c, d, m, n, q, r}
PROPIEDADES DE LA UNION DE CONIUNTOS I) La unión de conjuntos es conmutativa. - Es decir, el orden de los conjuntos no altera la unión. A⋃B=B⋃A II) La unión de conjuntos es asociativa. - Si son más de dos conjuntos los que se unen, pueden asociarse de manera libre, así: (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C) Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica INTERSECCION DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes a A y B. Se denota: A ⋂B; que se lee: "A intersección B" Su representación mediante el diagrama de Venn es la siguiente:
La parte sombreada (región anaranjada) es la parte donde están los elementos comunes a A y B. En forma simbólica: A ⋂ B = { x/x A ∧ x B} que se lee: "A intersección B es igual al conjunto de las x, tal que x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B". Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {l,2,3,4} y B= {3,4,5} A ⋂ B = {3, 4}
INTERSECCION DE VARIOS CONJUNTOS Ejemplo: Si A= {a, b, c, d, e}; B= {a, b, m, n} y C= {a, c, m, q}; entonces A ⋂ B ⋂ C = {a} El único elemento común a los tres conjuntos es a. Representando en el diagrama de Venn:
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica PROPIEDADES DE LA INTERSECCION DE CONJUNTOS I)
La intersecciĂłn de conjuntos es conmutativa. Esto es, el orden de los conjuntos no altera la intersecciĂłn. A â‹‚ B = B â‹‚ A
II)
La intersecciĂłn de conjuntos es asociativa. Es posible cambiar el orden de asociaciĂłn y no se altera el resultado. (A â‹‚ B) â‹‚ C = A â‹‚ (B â‹‚ C)
DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por elementos del conjunto A que no son elementos del conjunto B. En forma simbĂłlica: A - B = {x / x  A ∧ x ďƒł B} La diferencia A - B, tambiĂŠn se denota: A/B Ăł Aď€B. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, c}; ď ™ A - B = {b, d} Usando el diagrama de Venn:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sea un conjunto A y el conjunto universal đ?•Œ, se define como complemento del conjunto A, al conjunto de elementos de đ?•Œ que no pertenecen al conjunto A. Se denota como A’. A’= đ?•Œ - A; se lee: complemento de A" Ejemplo: Sean los conjuntos: đ?•Œ = {m, n, a, p, q, r} y A = {p, q, r} entonces: A’= {đ?•Œ - A} ď ™ A’ = {m, n, a} Con el diagrama de Venn, A’. se grafica asĂ:
El complemento de A es A’: En el gråfico, se muestra en color anaranjado. Raúl Owaldo Xiloj Vargas
MatemĂĄtica BĂĄsica En forma simbĂłlica: A’ = { x/x  đ?•Œ ∧ x ďƒł A} = {x/x ďƒł A} DIFERENCIA SIMETRICA (đ?šŤ) Para dos conjuntos A y B, la diferencia simĂŠtrica es lo que queda de ambos conjuntos despuĂŠs de eliminar los elementos de su intersecciĂłn. A Δ B= {x/x  A ď ˇ x  B ∧ x ďƒł A â‹‚ B} A Δ B = (A - B) ⋃ (B - A) A Δ B = zona en color verde
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Por extensión A = {a, e, i, o, u} B = {0,2,4,6,8} C = {c, o, n, j, u, n, t, o, s} D = {1, 3, 5, 7, 9} E = {b, c, d, f, g, h, j, ‌.}
Por ComprensiĂłn A = { x/x es una vocal} B = { x/x es un nĂşmero par menor que 10} C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos} D = { x/x es un nĂşmero impar menor que 10} E = { x/x es una consonante}
2) Si tenemos los conjuntos: A = {2, 4, 6} B = {4, 6, 8, 10} C = {6, 10, 14, 16, 26} Realice lo que a continuaciĂłn se le indique y escribe en forma extensiva. A⋃B A⋃C Aâ‹‚Bâ‹‚C đ?•Œ
đ?•Œ
B
A 2
8
4 6
2 4 6
10
A⋃B
A⋃C
A ⋃ B = {2, 4, 6, 8, 10} đ?•Œ
C 10 14 26 16
A
A ⋃ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}
A
B 2
4
8
6
A â‹‚ B â‹‚ C = {6}
10 C 14 16
26
Aâ‹‚Bâ‹‚C RaĂşl Owaldo Xiloj Vargas