Sesion 4 áreas y volúmenes de figuras fundamentales, exoponentes y radicales

ÁREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS FUNDAMENTALES

EXPONENTES Y RADICALES En esta secciĂłn damos significado a expresiones como am/n en las que el exponente m/n es un nĂşmero racional. Para hacer esto, necesitamos recordar algunos datos acerca de exponentes enteros, radicales y raĂ­ces n.

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Exponentes enteros (negativos y positivos)

Normalmente, un producto de nĂşmeros idĂŠnticos se escribe en notaciĂłn exponencial.

Por ejemplo, 5 * 5 * 5 se escribe como 53. En general, tenemos la siguiente definiciĂłn.

Ejemplos: 1 5

1

1

1

1

1

1

(a) (2) = (2) (2) (2) (2) (2) = 32 (b) (−3)4 = (−3)(−3)(−3)(−3) = 81 (c) −34 = −( 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3) = −81

ďƒ‹ Exponente Cero y negativos

Ejemplos 7 0

A. (4) = 1 1

1

B. đ?‘Ľ −1 = đ?‘Ľ 1 = đ?‘Ľ

C. (−3)−3 =

1 (−3)3

1

1

= −27 = − 27

Teoremas o reglas de operaciones con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.

Ejemplos

 Simplificación de expresiones con exponentes Para poder simplificar las expresiones algebraicas exponenciales hay que tener muy claro las reglas.

Ejemplos:

Cuando simplifique una expresión, encontrará que muchos métodos diferentes llevarán al mismo resultado; siéntase libre de usar cualquiera de las reglas de exponentes para llegar a su propio método. A continuación, damos dos leyes adicionales que son útiles en la simplificación de expresiones con exponentes negativos.

Simplificación de expresiones con exponentes Ejemplos:

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Radicales

Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un nĂşmero racional, necesitamos estudiar radicales.

El sĂ­mbolo √

significa “la raĂ­z positiva deâ€?. Entonces

Como a = b2 ≼ 0, el sĂ­mbolo √đ?‘Ž tiene sentido sĂłlo cuando a ≼ 0. Por ejemplo: √9 = 3 porque 32 = 9 y 3 ≼ 0.

Las raĂ­ces cuadradas son casos especiales de las raĂ­ces n. La raĂ­z n de x es el nĂşmero que, cuando se eleva a la n potencia, darĂĄ x.

Simplificación de expresiones con raíces n.

Ejemplos:



Exponentes racionales

Para definir lo que significa exponente racional, o bien, lo que es lo mismo, un exponente fraccionario, como por ejemplo a1/3, necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a1/n de forma que sea consistente con las Leyes de Exponentes, tendríamos que tener Entonces, por la definición de la raíz n,

En general, definimos exponentes racionales como sigue:

Uso de la definiciรณn de exponentes racionales Ejemplos:

Uso de las leyes de exponentes con exponentes racionales Ejemplos:

SimplificaciĂłn al escribir radicales como exponentes racionales Ejemplos:

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RacionalizaciĂłn del denominador

A veces es Ăştil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por una expresiĂłn apropiada. Este procedimiento se denomina racionalizaciĂłn del denominador. Si el denominador es de la forma √đ?‘Ž, multiplicamos numerador y denominador por √đ?‘Ž. Al hacer esto multiplicamos por 1 la cantidad dada, de modo que no cambiamos su valor. Por ejemplo,

RacionalizaciĂłn de denominadores Ejemplos: