Matemática Básica
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Número dígito Número dígito es aquel que solo tiene una cifra. Nada más hay 10 números dígitos que son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9. Los números de más de una cifra se llaman números poli-dígitos. Número poli-dígito es aquel que tiene más de una cifra. Ejemplo: 456, 567, 33, 66 … entre otros: es decir aquel que no es un número dígito. Número natural (ℕ) Los números naturales pueden usarse para contar (cualquier elemento como un cuaderno dos cuadernos y tres cuadernos, …). En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto, como también en operaciones elementales de cálculo. Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del uno ya que el cero no es considerado un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 1, por lo tanto, el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito. Número entero (ℤ) Los números enteros son un conjunto numérico que contiene los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. Vamos a tener entonces: Números naturales Ν: 1, 2, 3... Inversos aditivos de los números naturales: -1, -2, -3... El cero: 0 El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]). En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario tener en cuenta el signo del resultado.
Número racional (ℚ) Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común a/b con numerador a y Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ℚ, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (ℤ), y es un subconjunto de los números reales (ℝ). La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.
Números Irracionales (ℝ-ℚ) El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables. ¿Qué son números irracionales? Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones. La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letra mayúscula así: ℝ - ℚ. Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición. Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.
Propiedades de los números irracionales Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π. Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π) +e=ϕ+(π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e = ϕ× (π×e). Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π. Clasificación de los números irracionales Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son: Número algebraico. - se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc. Número trascendente. - este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, y entre otros. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos. Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical. Números irracionales famosos Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son: Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589... Numero Irracional Pi (ⅇ) es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler, y de él también se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459… El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749… Ejemplos de números irracionales: 1+√3 2
,
√1+√3 4
. Número real (ℝ)
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII. Los números imaginarios Los números imaginarios son aquellos que, de acuerdo a la lógica convencional, no pueden existir. Sin embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma clásica de obtener un número imaginario/complejo es al obtener la raíz cuadrada de un número negativo. √−1 Esto es debido a que, de acuerdo a lo que sabemos, los números reales elevados al cuadrado (es decir, multiplicados por sí mismos), ya sean positivos o negativos, darán como resultado un número positivo, tal como el caso de dos números positivos: 42 = 4 * 4 = 16 Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica Y con el caso de dos números negativos, porque de acuerdo a las leyes de los signos, un número negativo multiplicado por un número negativo (en este caso, multiplicado por sí mismo) dará como resultado un número positivo, de forma que -42 = -4 * -4 = 16 Entonces, de acuerdo a esto, no existe realmente un número tal que, multiplicado por sí mismo dé como resultado un número negativo. Sin embargo, podemos decir que ⅈ, la letra que representa a los números imaginarios, es igual a √−1 = ⅈ Y dada esta igualdad, sería correcto afirmar que ⅈ 2 = ⅈ ∗ ⅈ = −1 Esto porque ⅈ equivale a la raíz cuadrada de -1, entonces, desarrollando la ecuación anterior, tenemos que ⅈ 2 = (√−1) ∗ (√−1) Y como ya lo sabemos, la raíz cuadrada es la operación inversa al exponente cuadrado, entonces, sabiendo que un número multiplicado por sí mismo equivale a elevarlo al cuadrado, podemos expresar esto como 2
ⅈ 2 = (√−1) = −1 Por lo tanto, también podemos decir que ⅈ 3 = ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ = ⅈ 2 ∗ ⅈ = −1 ∗ ⅈ = −ⅈ ⅈ 4 = ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ ∗ ⅈ = ⅈ 2 ∗ ⅈ 2 = −1 ∗ −1 = 1. Los números complejos Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación ℂ, siendo ℝ el conjunto de los números reales se cumple que ℝ⊂ℂ (ℝ está estrictamente contenido en ℂ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letraⅈ), o en forma polar. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
Operaciones en el campo real ADICION (Suma) Es una operación que tiene por objeto reunir varias cantidades de una misma especie, denominados sumandos, en una sola, llamada suma o suma total. Propiedades: 1. Si a un sumando se le agrega un numera, la suma total queda aumentada en dicho número. 2. Si a un numero se le quita un número, la suma total queda disminuida en dicho número. 3. Si a un sumando se le quita un número y a otro sumando se le agrega el mismo número, la suma total no varía. Ejemplos: a) 4 + 3⁄5 =
23 5
, 1
b) 0.1 + 3 1⁄4 = 10 + 11
c) −0.4 + (−1 5 ) =
13 4 18 5
=
134 40
67
= 20 ,
,
d) (3 + 5ⅈ) + (8 − 7ⅈ) = (3 + 8) + (5 − 7)ⅈ = 11 − 2ⅈ
SUSTRACCION (Resta) Es una operación aritmética opuesta a la suma, definida para dos cantidades, llamadas minuendo y sustraendo; tiene por objeto determinar cuántas unidades más posee la primera con respecto a la segunda. Propiedades: 1) 2) 3)
Si al minuendo se le agrega una cantidad cualquiera, la diferencia queda aumentada en la misma cantidad. Si al minuendo se le quita una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad. Si al sustraendo se le agrega una cantidad, la diferencia queda disminuida en dicha cantidad. 4) Si al sustraendo se le quita una cantidad, la diferencia queda aumentada en dicha cantidad. 5) Si al minuendo y al sustraendo se les agrega una misma cantidad, la diferencia no varía. 6) Si al minuendo y al sustraendo se le quita una misma cantidad, la diferencia no varía.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica 7)
(Principal). Si al minuendo se le quita una cantidad y al sustraendo se le agrega otra cantidad, la diferencia disminuye en la suma de dichas cantidades.
Ejemplos: 3
a) 0.1 − 1⁄4 = − 20 1
26
b) (−0.6) − (−2 3) = 15 c) (5 + 2ⅈ) − (4 − 2ⅈ) = (5 − 4) + (2 + 2)ⅈ = 1 + 4ⅈ
MULTIPLICACION (Producto) La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar una tercera cantidad llamada producto que contenga al multiplicando el mismo número de veces que el multiplicador contiene a la unidad positiva. PROPIEDADES: 1. Ley distributiva con respecto a la suma: Para multiplicar un numero por una suma indicada, basta multiplicar dicho numero por cada uno de los sumandos y sumar los productos parciales. 2. Ley distributiva con respecto a la resta: Para multiplicar un numero por una diferencia indicada, basta con multiplicar dicho numero por cada uno de los términos de la diferencia y restar los productos parciales. 3. Para multiplicar 2 sumas indicadas, basta multiplicar cada uno de los sumandos de una de ellas, para todos los de la otra y sumar los productos parciales. 4. Para multiplicar una suma indicada para una diferencia indicada basta multiplicar cada uno de los sumandos por el minuendo y quitarle a este resultado el producto de cada uno de los sumandos por el sustraendo. 5. Para multiplicar 2 restas indicadas, se multiplica cada término de la segunda resta por todos los términos de la primera y se suman o se restan los productos parciales.
Ejemplos:
1. 0.7 ∗ 4 6⁄8 =
133 40
1
13
4
2
2. 3 ∗ (−2) = −
= −6
1 2
3. (6 + 2ⅈ ) ∗ (2 − 3ⅈ ) = 18 − 14ⅈ DIVISION (Cociente)
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas dividendo "D" y divisor "d", hallar una tercera llamada cociente "c", que indica las veces que el dividendo contiene al divisor. Propiedades: 1. 2. 3.
Si al dividendo se le multiplica por un número, el cociente queda multiplicado por dicho número. Si al dividendo se le divide par un número, el cociente queda dividido por dicho número. Si al divisor se le multiplica por un numera, el cociente queda dividido por dicho número.
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
Matemática Básica
4.
Si al divisor se le divide entre un numera, el cociente queda multiplicado par dicho número.
Ejemplos: 1
49
7
290
1. 0.7 ÷ 4 =
Pa ra di vi di r n ú m e r o s c om pl ej o s en fo r m a bi n ó mi ca s e mu l tipl i ca n u m e ra do r y den o mi n ado r p o r el c on j u ga d o d el d en o mi n ado r y s e r e al i z an l as op e ra ci on e s c o rr e sp on di en t e s .
(6+2ⅈ) 2. (2−3ⅈ)
=
(6+2ⅈ )∗ (2+3ⅈ) (2−3ⅈ)∗ (2+3ⅈ)
=
12 + 18ⅈ+4ⅈ+6ⅈ 2 22 − (3ⅈ)2
=
6 13
+
22 13
Raúl Owaldo Xiloj Vargas
ⅈ