PROBLEMAS RESUELTOS DE INECUACIONES V 2.0 “El presente trabajo es el resultado de un proyecto de docencia en el cual participo hasta el día de hoy, la experiencia acumulada durante mis cursos de ciencias básicas y ayudantías de cálculo me permitieron confeccionar esta recopilación de problemas, cuyo principal objetivo es servir de apoyo a las clases teóricas de cálculo y a la vez también ser un documento de ayuda a los nuevos estudiantes de Ingeniería Civil que cursen ramos en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Concepción. Gustavo Dinamarca P Estudiante ing. Civil Electrónica Universidad de Concepción
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(Última Actualización: Marzo 2006)
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LISTADO: INECUACIONES Con Respuestas 1)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 d) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12 e) 1 - x - 5 < 9 + x 9 f) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15
R. R. R. R.
]-∞,0[ ] - ∞ , 7/2 [ [ 14/5 , + ∞ [ ] - ∞ , 21/8 [
R. ] -67/10 , + ∞ [ R. [ 120/11 , +∞ [
g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada expresión represente un número real. i) x + 5 R. [ -5 , +∞ [
2)
2 x+6 R. ] - 6 , +∞ [
x2 − 1 x −1 R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [
ii)
iii)
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
a) x2 ≥ 16 b) 9x2 < 25 c) 36 > ( x - 1) 2 d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) f) x2 - 3x > 3x - 9 g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) j) 3 > x ( 2x + 1) k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) l) ( x - 2 ) 2 > 0 m) ( x - 2)2 ≥ 0 n) ( x - 2)2 < 0 o) ( x - 2)2 ≤ 0
R. R. R. R. R. R. R. R. R. R. R. R. R. R. R.
IR - ] -4 , 4[ ] - 5/3 , 5/3 [ ]-5,7[ IR - ] 0 , 8 [ ]-2,6[ IR - ⎨3⎬ ∅ ⎨5⎬ IR ] -3/2 , 1 [ IR - ] -1 , 15/16 [ IR - ⎨2⎬ IR ∅ ⎨2⎬
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p) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x tal que: i)
x 2 + 1 ∈ IR
R. ] - ∞. + ∞ [
ii)
x 2 + 4 x + 4 ∈ IR 1 ∈ IR x2 − x
R. ] - ∞. + ∞ [
x 2 − 6 x − 7 ∉ IR
R. ] -1 , 7 [
iii) iv)
3) 3.1) 3.2) 3.3) 3.4) 3.5) 3.6) 3.7) 3.8) 3.9)
R. IR - [ 0 , 1 ]
INECUACIONES CON VARIABLE EN EL DENOMINADOR.
x >0 x −1 x+6 <0 3− x x −2≥ 0 x−5 2x − 1 >2 x+5 x −1 >2 x+5 1 ≤0 x−3 x −1 ≥0 x +1 −1 >2 x x x ≤ x − 3 x +1
x2 + 2 >x x+3 x2 3.11) ≥ x +1 x−3 x2 − 4 3.12) ≥0 x+6 ( x + 1)( x − 7) 3.13) >0 ( x − 1)( x − 6)( x + 3) 3.10)
R. IR - [ 0 , 1 ] R. IR - [ -6 , 3 ] R. [ 5 , 10 ] R. ] - ∞ , -5 [ R. ] -11 , -5 [ R. ] - ∞ , 3 [ R. IR - [ -1 , 1 [ R. ] - 1/2 , 0 [ R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[ R. IR - [ - 2/3 , 3 ] R. IR - ]-3/2 , 3 ] R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [ R. ] -3, -1 [ ∪ ] 1 , 6 [ ∪ ] 7 , + ∞ [
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4 ≤1 x2 x2 + 1 <0 3.15) x−5 3.14)
1 3.16) 3 ( x + 3) ≥ 2(1 − ) x 5 3.17) x − 4 < x 15 3.18) x + ≥8 x x2 + 1 3.19) ≥1 x ⎡1 ⎤ 3.20) 3 ⎢ − 3⎥ > 5( x + 1) ⎣x ⎦ x 3.21) <0 2 x −1 84 3.22) x + 20 > 1 − x 25 < 10 3.23) x + x 9 3.24) 2 x + ≥ x − 6 x 1 1 3.25) x + > + 2 2 x
R. IR - ] -2 , 2 [ R. ] - ∞ , 5 [ R. ] -2 , -1/3 ] ∪ ] 0, + ∞ [ R. ] - ∞ , -1 [ ∪ ] 0. 5 [ R. ] 0 , 3 [ ∪ [5 , + ∞ [ R. ] 0 , + ∞ [ R. ] - ∞ , -3 [ ∪ ] 0 , 1/5 [ R. ] - ∞ , - 1[ ∪ ] 0 , 1 [ R. ] -12 , -7 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ R. ] - ∞ , 0 [ R. ] 0 , + ∞ [ ∪ ⎨-3⎬ R. ] -1 /2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [
3.26) Determine el intervalo real para x tal que: h)
x−4 ∈ IR x+5
R. IR - [ -5 , 4 [
ii)
2x − 1 ∈ IR x−6
R. IR - ] 1/2 , 6 ]
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4)
MODULOS O VALOR ABSOLUTO.
4.1)
Resuelva las siguientes inecuaciones:
a) ⏐ 4x - 1⏐ = 5 x b) 2 − = 2 3 x +1 c) =1 x−5 2x − 3 d) =2 1− x 3x −1 = 4 e) 4 4− x f) =3 3x
R. {-1 , 3/2 } R. { 0 , 12 } R. { 2 } R. { 5/4 } R. { -4 , 20/3 } R. { -1/2 , 2/5 }
g)
x2 =4 x −1
R. { 2 , -2 + 2 2 , -2 - 2 2 }
h)
3x − 1 + 4 = 0
R. { ∅ }
4.2)
Resuelva cada una de las siguientes situaciones que se plantean:
a)
Si 2 > x > y . Calcule el valor de "y" si : ⏐x - y⏐ + ⏐x - 2⏐ = 3. R. y = -1.
b)
Si y > x ; ⏐x2 - y2⏐ = 27 ; ⏐x + y⏐ = 3 ¿ Cuál es el valor de " x - y "?. R. x - y = 9.
c)
Si x > 1 ¿Cuál es el valor de "x" en la ecuación :
⏐x2 + 2x +1⏐ - ⏐1 + x⏐ - ⏐1 x⏐ = 10 R. { -3 , 3 }. d)
Si 3x + 15 = 0. Determine el valor de: i)
x+5 x−5
R. 0
ii)
x−
x −8 x +6 1 − 2x
R. 42 /11
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4.3)
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a) ⏐2x - 1⏐ > 3 x b) 3 − ≤ 2 2 x 1 c) − ≥5 5 2 x d) 1 − < 1 3 e) ⏐x - 3⏐ > -1 f) ⏐3 - 2x ⏐ < 0 2x − 1 ≤1 g) x+3 h) ⏐3 - 2x⏐ < ⏐x + 4⏐ x +1 i) >2 x−2 3x + 5 j) ≥2 x 3x − 1 <3 k) x+7 2x − 1 l) >3 1 + 2x m) 2 x + 5 ≥ x + 4 n) o)
3x − 5 1 ≥ x −1 2 x−3 1 < 5x 3
R. IR - [ -1 , 2 ] R. [ 2 , 10 ] R. IR - ] -45/2 , 55/2 [ R. ] 0 , 6 [ R. ] - ∞ , +∞ [ R. ∅ R. [ - 2/3 , 4 ] R. ] - 1/3 , 7 [ R. ] 1 , 2 [ ∪ ] 2 , 5 [ R. ] - ∞ , - 5 ] ∪ [-1 , 0 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ R. ] - 10/3 , + ∞ [ R. ] - 1 , -1/2 [ ∪ ] -1/2 , -1/4 [ R. IR - ] -3 , -1 [ R. ] - ∞ , 1 [ ∪ ] 1 , 11/7 ] ∪ [ 9/5 , + ∞[ R. IR - [ -9/2 , 9/8 ]
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