Profesor Leonard Rangel
Hoja de ejercicios Nº 1
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN El instrumento matemático básico para medir la razón de cambio de una función es su derivada. Una derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto de una función. La recta tangente es aquella que toca a la función en un solo punto del entorno. Por ejemplo, en la siguiente grafica la recta g(x)=3x-2 es tangente a la función cúbica f(x)=x³ en el punto (1,1). La derivada de una función en un punto representa la razón de cambio
instantánea
de
esa
función para ese valor de la variable independiente. En problemas demográficos y económicos, en lugar de llamarla derivada se utiliza el término tasa o valor marginal. En problemas de física, química, biología, etc., se suele hablar de velocidad y de rapidez.
Mientras
que
la
expresión razón de cambio es utilizada en todas las disciplinas. Para familiarizarnos con ello es necesario el recordar su relación con el concepto de límite y del algoritmo de “derivada por definición”. Supongamos que el malvado profesor de matemáticas nos da la función f(x)=x³ y nos piden calcular la ecuación de la recta tangente en el punto (1,1). En primer lugar, para calcular la ecuación de la recta necesitamos su pendiente. Como hemos explicado, la pendiente de la recta tangente a un punto de una función se le llama derivada, por tanto hemos de derivar la función. ¿Cómo derivar dicha función? Lo más sencillo es aplicar la regla de la derivada de una potencia, pero puesto que no tenemos por qué saber aplicar esta regla, lo haremos mediante la definición de derivada.
f '( x) = lim h →0
f (h + x) − f ( x ) h