Profesor Leonard Rangel
Hoja de ejercicios Nº 4
LÍMITES POR CAMBIO DE VARIABLE Las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos a una forma racional introduciendo una nueva variable. Para ver cómo aplicar esta técnicas calculemos el siguiente límite:
lim x →1
x −1 x −1
El propósito de un cambio de variable es el tratar de evitar los radicales así que buscaremos una variable con un exponente que sea divisible entre el índice de la raíz para eliminarla. De esta manera proponemos hacer el cambio de X = W². Entonces, como X → 1, haremos el siguiente razonamiento: Sustituyendo a X por W² (recordemos que si W² = 1 entonces al despejar a W con ayuda de una raíz cuadrada tenemos que W = 1, es decir W → 1) Para hacer el cambio de variable reemplazamos todas las X de la función por W² y en lugar de X → 1, escribimos W → 1. Lo cual sería:
lim w→1
w2 − 1 w2 − 1
Y finalmente seguimos los procedimientos aprendidos en las sesiones del aula:
lim w→1
( w − 1) = 1 w2 − 1 w2 − 1 w − 1 ⇒ f ( x ) = = 2 = 2 2 w −1 w − 1 w − 1 ( w − 1)( w + 1) ( w + 1) 1 1 = w→1 ( w + 1) 2
⇒ lim
Lo cual es más práctico e inmediato que resolverlo por otras técnicas. Esta estrategia será usada en operaciones de cálculo diferencial e integral (temas que serán estudiados en unas cuantas semanas), para continuar con la práctica de la misma y lograr su dominio absoluto resolveremos ejercicios relativos a límites trigonométricos en los cuales requeriremos de esta estrategia … ahora veamos qué es eso de límites trigonométricos