Profesor Leonard Rangel
Hoja de ejercicios Nº 1
Matrices ( Primera parte )
En matemáticas, se suele llamar
a11 … a1n A= ⋮ ⋱ ⋮ a m1 ⋯ amn
matriz a todo arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de una estructura de tipo
algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto: (A,+,*). Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones
lineales,
sistemas
de
ecuaciones
diferenciales
o
representar una aplicación lineal dada una base (cosa de la que hablaremos más adelante). A parte de ser usadas para múltiples aplicaciones sirven en particular para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y
descomponerse de
varias
formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal (de estos nos ocuparemos en la guía siguiente). Cada
uno
de
los
números
de
que
consta
la matriz se
denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. El
número
de
denomina dimensión de
filas una
y
columnas
matriz.
Así,
de una
una matriz
matriz
se
será
de
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dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden o cuadrada El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A m x n o (a i j ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij . Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular La matriz
rectangular tiene distinto número de filas que de
columnas, siendo su dimensión mxn.
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Matriz cuadrada La matriz
cuadrada tiene
el
mismo
nĂşm ero
de
filas
que de
columnas. Los elementos de la forma a i i constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior En una matriz
triangular
superior los elementos situados por
debajo de la diagonal pri ncipal son ceros.
Matriz triangular inferior En una matriz
triangular
inferior los elementos situados por
encima de la diagonal principal son ceros.
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Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar Una matriz escalar es una matri z diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad Una matriz
identidad es
una
matriz
diagonal
en
la
que
los
elementos de la diagonal pri ncipal son iguales a 1.
Recordemos que …
E proceso de eliminación de Gauss-Jordan estudiado en clases obtiene su nombre por a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan y consiste en un algoritmo del álgebra lineal el cual determina las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado
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a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular. En cambio, el método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal (este último es el que nos interesa).
Ejercicios Propuestos
Según las estrategias estudiadas resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
(i)
6 x + 2 y + 3 y = 11 (ii) 5 x + 4 y − 2 y = 7 3 x − 2 y + 5 y = 6
x + 2 y − 5z = 3 2 x − 3 y + 4 z = −1 3 x + 4 y − 4 z = 8
(iii)
2 x + y + z = 1 3 x − 2 = y + z x = 3z − 4 y
(iv)
2 x − 3 y + 4 x = 1 3 x + 2 y − z = 2 4 x + y + 3 z = 4
x + y + z = 1 x − y + z = −1 2 x + 3 y − 4 z = 9
(vi)
3 x + 2 y + z = 1 x + y − z = 1 5 x + 3 y + 4 z = 2
(vii)
4 x + 5 y + 6 z = 24 (viii) 3 x + y − 6 z = 18 2 x + 4 y + 6 z = 18
4 x + 5 y + 6 z = 24 (ix) 2 x + 7 y + 12 z = 30 2 x + 4 y + 6 z = 18
x − 9 y + 5 z = 33 x + 3 y − z = −9 x − y + z = 5
(x)
x + y − z = 1 3 x + 2 y + z = 1 5 x + 3 y + 4 z = 2 −2 x − y + 5 z = 6
2 y + 3 z = 4 2 x − 6 y + 7 z = 15 x − 2 y + 5 z = 10
x − 2 y − 2z + w = 4 x + y + z − w = 5 x − y − z + w = 6 6 x − 3 y − 3 z + 2 w = 32
(v)
(xi)
Éxito !!!
(xii)