Granicna vrednost na funkcija

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

Grani~na vrednost na funkcija. Operacii so grani~ni vrednosti na funkcii

Vo mnogu teoretski i prakti~ni zada~i se javuva potreba da se ispita odenesuvaweto na dadenata funkcija f(x) vo okolinata na nekoja to~ka h0 koja pripa|a no mo`e i da ne pripa|a

na definicionata oblast Df na

funkcijata.

Na primer: Funkcijata f ( x)  presmetuvaweto na vrednosta

x2  4 x2

f(2)

ne e opredelenavo h=2, zatoa {to pri dobivame

f(2)=

22  4 0  22 0

{to e

neopredelena vrednost.

-no funkcijata e opredelena za sekoj x  2

pa prirodno se postavuva

pra{aweto: Kon {to se stremat (se pribli`uvaat) vrednostite na f(x) koga argumentot se stremi (se pribli`uva) kon 2, no ne e ednakov na 2.

-za da odgovorime na ovie drugi sli~ni pra{awa, go voveduvame poimot grani~na vrednost na funkcija, koj, kako {to }e vidime e tesno povrzan so poimot grani~na vrednost na nizi od realni broevi.

1. Definicija na grani~na vrednost na funkcija i primeri.

-Definicija- Ako za sekoja konvergentna n  N , xn  D f

funkcijata f(x) lim f ( xn )  A , m n

i

niza (hn ) takva {to za sekoj

lim xn  x0 soodvetnata niza n n

(f(xn )) od vrednosti na

e konvregentna ii ma ista grani~na vrednost A toga{ velime deka funkcijata f(x)

t.e.

se kon h0 i pi{uvame

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

lim f ( x)  A .

Za realniot broj A velime deka e granica ili grani~na

x  x0

vrednost ili limes na funkcijata f(x) vo to~kata h0 . ^esto pi[uvame i f(x)  2 pri x  x0 i ~itame: f(x) se stremi kon A koga h se stremi kon h0 .

Da razgledame nekolku primeri:

Primer 1. Neka e dadena funkcijata f(x) =3h+2 za koja definiciona oblast e mno`estvoto na realni broevi.

Re[enie. Neka na primer argumentot h gi prima vrednostite od nizata 1 ( ) t.e. n

vrednostite

1,

1 1 1 1 , , ,......, .....

2 3 4 n

{to

se

realni

broevi.

1 1 1 1 3 3 1  2,3   2,3   2,3   2,........3   2 toga[ imame lim  0, a lim (  2)  2 nn n n n 2 3 4 n

Ako argumentot h prima vrednosti od druga konvergentna niza so granica 0 na primer nizata (  ….0,1 …. lim ( n n

(

3  2) 10 n

1 ) t.e. gi prima vrednostite -0,1 -0,01 -0,0001 ….. -0,000 10 n

1 )0 10 n

3(-0,1)+2 , 3(-0,01)+2, …….3(-0,0000 ….-0,1) +2, ….. ,

3 i za nea imame lim ( n  2)  2 . x n 10

Koristej}i gi operaciite so

grani~ni vrednosti na nizi dobivame: lim f ( xn )  lim (3xn  2)  3 lim xn  2  3  0  2  2 . nn

xn

nn

Primer:2 Da ispitame dali funkcijata f ( x)  sin

1 ima grani~na vrednost x

vo h0 =0.

Re[enie. Definicionata oblast na funkcijata e D f  R /0.Nizite(hn ) i (h,n ) se op{ti ~lenovi xn 

1 i n

2

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

xn 

1

 2

, xn , xn  D f n  N , lim x  lim xn  0 , nn

 2n

n n



n  N , f ( xn )  sin n  0; f ( x , n) sin(  2n )  1 od kade dobivame 2

lim f ( xn )  0; lim f ( x , n)  1 nn

nn

Zabele[ka: Od definicijata 1 sleduva deka brojot A e granica na funkcijata f(x) koga x  x0 ako i samo ako razlikata f(x)-A se stremi kon nula koga h se stremi kon h0 t.e. lim ( f ( x)  A)  0 x x0

x  x0

lim f ( x)  A

x x0

f ( x)  A  a ( x)

a ( x)  0

a( x)  0 koga x  x0 .

f ( x)  A  a ( x)

Primer:3 Neka e dadena funkcijata f ( x) 

x2 x2

xn  2

lim f ( xn )  lim ( n n

n n

( f ( xn ))

f ( xn ) 

xn  2 xn  2

lim xn  2 3  2 1 xn  2 )  n n   xn  2 lim xn  2 3  2 5 n n

Primer:4 Neka e dadena funkcijata

Df  R / 2,2 lim f ( xn )  lim ( n n

n n

x0  2  Df

f ( x) 

n N

x2 x2  4 lim xn  2

f ( xn ) 

n n

xn  2 xn  2 1 1 1 )  lim ( )  lim ( )  2 xn  4 nn ( xn  2)( xn  2) nn xn  2 lim xn  2 4 n n

3

xn  2 xn2  4

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

2.Obop[tuvawe na poimot granici. Beskone~na granica, granica na funkcija koga argumentot se stremi kon beskone~nost.

-Neka funkcijata y  f (x) e opredelena na mno`estvoto

Df  R i neka

x0  R e takva {to funkcijata y  f (x) e definirana vo nekoja okolina na h0 osven mo`ebi vo samata to~ka h0 .

Definicija 2. Ako za sekoja konvengentna niza (h n ) takva [to za sekoj n  N ; xn  Df

lim xn  x0 za soodvetnata niza ( f ( xn ) ) od vrednosti na

i

n n

va`i lim f ( xn )  

funkcijata f(x) lim f ( xn )  

x x0

f(x) ima beskone~na granica vo h=h 0

n n

f (x)  

x 0

f(x) se stremi kon beskone~nost koga h

se stremi h0 .

Primer:3 Da se doka`e deka lim x 1

lim x 1

2  ( x  1) 2

lim f ( xn )  lim n n

n n

2  ( xn  1) 2

2  ( x  1) 2

Definicija 3. Ako za sekoja konvergentna niza (h n ) takva {to za sekoj

n  N ; xn  Df

e takva {to lim ( xn )  

velime deka f(x)

n

ima granica A koga h se stremi kon 

lim f ( x)  A ~esto pi{uvame i x

soodvetna niza (f(x)=A)

f ( x)  A

stremi kon A koga h se stremi kon  .

4

pri

x 

toga{

i pi[uvame

i ~itame f(x)

se

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

x 1 1 x  x  1

Df  R /1 (hn ) e niza od realni

Primer:4 Da se doka`e deka lim broevi

xn  1; n  N

takva {to

1 0 n  x n

lim f ( xn )  

lim

n

1 x 1 xn 1  0 lim f ( xn )  lim n  lim  1 n  n  x  1 n  1 1 0 n 1 xn 1

3.Leva i desna granica ^esto pati ima potreba da go utvrdime odnesuvaweto na funkcijata koga argumentot h se pribli`uva h0 samo od levo ili samo od desno. Na toj na~in doa\ame do poimot leva i desna granica na funkcija vo to~kata h0 .

Df  R; x0  R

y  f (x)

y  f (x) e definirana vo nekoja leva okolina na h 0 ( x0  , x0 )

h0 .

Definicija 4:

Ako za sekoja konvergentna niza (h n ) takva za sekoj

n  N ; xn  Df ; xn  x0 i

lim  x0 n

vrednost A t.e. lim f ( xn )  A n

f(x) to~kata h0 lim f ( x)  A x x0

(f(xn )),

f(x) e konvergentna so grani~na

A e leva granica i lev limes na funkcijata f ( x)  A; x  x0

f(x) se stremi kon A koga

h se stremi kon h0 od levo.

Primer: 5 Da najdeme grani~na vrednost

3 3   ; n 2  x lim (2  xn ) n

3   x 2 2  x

lim f ( xn )  lim n

3 ; D  R /2 x 2 2  x

lim lim

n

Definicija 5. Ako za sekoja niza (hn ) n  N ; xn  Df ; xn  x0 i lim  x0 (f(xn )), n

f(x) e konvergentna so grani~na vrednost A t.e. lim f ( xn )  A n

5

A e desna

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

granica i desen limes na funkcijata f ( x)  A; x  x0

f(x) se stremi kon A

koga h se stremi kon h0 od desno.

3 3    x  2  x lim (2  xn ) n

Primer:6 D  R /2 lim f ( xn )  lim n

lim

x 2

n

3   2 x

Svojstva na granici na funkcii . a) Ako f(x)=s , x  Df

Teorema 1.

x  Df

b)Ako f(x)=h

i s e konstanta lim f ( x)  c x x0

lim f ( x)  x0

x x0

Teorema 2. Ako postojat granicite granicata lim ( f ( x) + g (x) )

i

x x0

granicata lim ( x x0

lim g ( x)

lim f ( x)

x x0

x x0

lim ( f ( x) g (x) ),

x x0

lim g ( x)  0

x x0

postoi i i postoi

f ( x) ), g ( x)

10 lim ( f ( x) + g (x) )= lim f ( x) + lim g ( x) x x0

x x0

x x0

20 lim ( f ( x) g (x) )= lim f ( x) lim g ( x) x x0

3

0

x x0

x x0

lim f ( x) f ( x) x x0 lim ( )= x x0 g ( x ) lim g ( x) x  x0

Teorema 3. Ako posotoi granicata lim f ( x) t  R x x0

( lim f ( x) t ) = ( lim f ( x)) t x  x0

x  x0

6

( lim f ( x)) t ( lim f ( x) t ) x  x0

x  x0

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

Dokazi: Od teoremata 1 i 2 sleduva: Posledica 1. lim (c  g ( x))  c lim g ( x) s e konstanta. x x0

x xo

Zabele[ka: Teoremite 1, 2 i 3 va`at i vo slu~aj koga h se stremi kon  .

Primeri: 1.

lim x 2

2. lim x n

x 2  3x  2 ; x2 5 ; x 3 2

lim x n

lim x 2

x 2  3x  2 ( x  1)( x  2) = lim  lim ( x  1)  1 x 2 x 2 x2 x2

5 1 = 5  lim 2  50  0 x n x  3 x 3 2

x 7 5x 6 4 x 3  3  3 3 x  5x  4 x x 4  5x 3  4 4 x x x 3. lim  lim  lim  2 x 0 x 0 x 0 2 x7  2x3 x7 2x3 x4  2  3 3 x x 7

4. lim( x1

6

3

3 1  ) 3 x 1 1 x

3  x  x  x2  x2  x  2 =  lim x1 (1  x)(1  x  x 2 ) x 1 (1  x)(1  x  x 2 )

= 1  x 3  (1  x)(1  x  x 2 )  lim lim x 1

 ( x  1)( x  2) (1  x)( x  2) 3  lim  1 2 2 x  1 (1  x)(1  x  x ) (1  x)(1  x  x ) 3

2.Tvrdewata 10 i 20 od teoremata 2 va`at i vo slu~aj proizvolen kone~en broj sobiroci odnosno mno`iteli.

3. Vo najgolem slu~ai gornite teoremi ne mo`at da se primenat direktno, no izrazite so koi se zadadeni funkciite prvin gi transformirame do izraz na koi mo`e da se primenat ovie tvrdewa.

2x 2 1 Primer: Da gi najdeme grani~nite vrednosti: a) lim x 2 x  3

x 2  3x b) lim x 3 x  5

3x 2  3x  5 v) lim 2 x n x  2 x  3

x 2  6x  5 e) lim 2 x n x  2 x  1

2x3  x  3 d) lim 2 x n x  2 x  5

x5  5 g) lim x 0 x

(2 x 2  1) 2 lim x 2  lim 1 2  4  1 7 2 x 2  1 lim x 2 x 2  x 2   Re[enie: a) lim = x 2 x  3 lim ( x  3) lim x  lim 3 23 5 x 2

x 2

7

x 2

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

( x 2  3 x) 32  3  3 0 x 2  3x lim x 3   0 b) lim = x 3 x  5 lim ( x  5) 35 2 x 3

3x 2  3x  5 = x n x 2  2 x  3

v) lim

3 5 3 5 1 1  2) 3   2 lim 3  3 lim  5 lim 2 3  3 0  5  0 3 x n x x n x x x  lim x x  x n lim   3 x n x  n 2 3 2 3 1 1 1 2  0  3 0 1 2 x (1   2 ) 1   2 lim 1  2 lim  3 lim 2 x n x n x x n x x x x x x 2 (3 

g) lim x 0

x5  5 x5  5 =( lim ). x 0 x x

x5  5 x 55 1 1 1 1  lim  lim    x  0 x  0 x5  5 x( x  5  5 ) x  5  5 lim x  5  lim 5 05  5 2 5 x 0

x 0

1 3 1 3 2 x   2 lim (2 x   2 ) lim 2 x  0  0  x  n 2x3  x  3 x x  x x  x n   d) lim 2 = lim x n x n x  2 x  5 2 5 2 5 1 0  0 1 1  2 lim (1   2 ) x n x x x x 6 x 2 (1   x 2  6x  5 x e) lim 2 = lim x n 2 x n x  2 x  1 2 x (1   x

5 ) x2  1  1 1 1 ) 2 x

Nekoi karakteristi~ni granici Vo matematikata a sekade kade [to se primenuva nejziniot aparat se sre]avameso nekolku va`ni grani~ni vrednosti.

I. Funkcijata

f ( x) 

sin x ; ( xn ); xn  0; n  N x

Primer:1 Da gi opredelime granicite: sin 5 x  x 0 x

a) lim

x x 0 tg 2 x

b) lim

8

(

sin xn ) xn

sin x 1 x 0 x

lim

(1)

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

sin 5 x sin 5 x sin 5 x  lim (  5)  lim lim 5  1 5  5 x 0 x0 x0 x 5x 5 x x0

a) lim

x lim cos 2 x cos 2 x 1 1 x b) lim = lim sin 2 x  lim  x 0   x 0 cos 2 x x 0 sin 2 x x 0 tg 2 x sin 2 x 2 1 2  2 lim (2  ) x  0 2x 2x

1 1 1 II. Funkcijata f ( x)  (1  ) x ; ( f ( x))  (1  ) n ; n  N ; (1  ) xn ; n  N x n xn

1 lim (1  ) x  e x  x

(2) 1

1 n  t; lim  0; t  0; lim (1  t ) t  e x n x t 0 x

Zabele{ka: Ako vo (2)stavime

Ako ja

1

1 stavime voobi~aenata oznaka h za promenlivata imame lim (1  ) x  e x 0 x x

5 1 5 1 Primer:2 a) lim (1  ) x  lim (1  ) 5  (lim (n  ))  e 5 x n x n x n x x x 5 5

Zabele{ka: Od dadenoto re{enie mo`e da sogledame deka za da se iskoristi grani~nata vrednost (2) da deniot izraz go transformirame do vidot (1 

1 ); ( x)  ; x    ( x)

Primer: 3 a) lim (1  x

a) lim (1  x

1 x ) ; x 3

vo dadeniot slu~aj  ( x) 

b) lim ( x 

x .

5

x x ) x 1

1 x 1 ( x 3 )  3 )  lim (1  )  x x 3 x 3

x  3  t; x  t  3; t  ; x  

1 1 lim (1  ) t  lim (1  ) 3  e(1  0) 3  e x x   t t

9

=

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

b) lim ( x 

x x x 1  1 x 1 x 1 ( x1)1 1 x1 ) = lim ( )  lim (1  )  lim (1  )  lim (1  ) ( x   x   x   x   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

lim (1  x

1 ))  e 1  e x 1

1 1 x 5 5 x 1. lim (1  )  lim (1  x ) 5  (lim (1  x ) x ) 5  e 5 x n x n x n x 5 5 2. lim (1  x n

1 x 1 ( x3)3 1 x 3 1 3 )  lim (1  )  lim (1  )  lim (1  )  e 1  e x  n x  n x  n x 3 x 3 x 3 x 3

3. lim ( x n

x 1  1 x x 1 1 x 1 x11 1 x1 1 1 )  lim (  )  lim (1  )  lim (1  )  lim (1  ) e x n x  1 xn x n x n x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3

2 x  3 x1 1 2t ( 1) 2 1 1 4. lim ( )  lim (1  ) 2  (lim (1  ) t ) 2  lim (1  ) 2  e 2 x n 2 x  1 t n t  n t  n t t t 1

2x  3 1  1 2x 1 t

2x  3  2x  1 1  2x 1 t

a x 1  ln a x 0 x

5. lim

3

4 1  2x 1 t

4t  2 x  1 4t  1  2 x x  2t 

a x  1  t; a x  t  1; x ln  l t n1)

(

x

ln(t  1) ln a

ln a t ln a  t ln a ln a ln a 1 lim  lim  lim  lim    ln a 1 1 t 0 ln(t  1) t 0 ln(t  1) t 0 1 t 0 ln a ln(t  1) ln(1  t ) t lim (1  t ) t ln a t t 0

sin ax sin ax  a lim (  a) sin ax 1 a a x  0 ax  lim ax    6. lim x 0 sin bx x 0 sin bx sin bx 1 b b  b lim (  b) x 0 bx bx sin kx 1 tgkx cos kx 1 1   k   k 7. lim x 0 sin x cos kx cos kx k sin x 1

8. lim x 0

x sin x   lim ( sin x ) x  0 sin x sin x x0

10

1 2

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

1  cos 2 x 2 sin 2 x sin 2 x sin x 2  lim  2 lim  2(lim )  2 12  2 2 2 2 x0 x 0 x0 x0 x x x x

9. lim

10. lim x

1 x 1

1 t

lim (1  t )  e

x  1  t; x  1  t; t  0

x n

11. lim (1  2 x)

1 x

t t  2 x; x  2

x 0

x n 1 t 2

2 t

1 t 2

lim (1  t )  lim (1  t )  (lim (1  t ) )  e 2 x 0

x 0

t 0

1

12. lim (1  x) x  e x 0

1

1

1

1

 x  t; x  t lim (1  x) x  lim (1  t ) t  lim ((1  t ) t ) 1  (lim (1  t ) t ) 1  e 1  x0

x 0

x 0

x 0

1 e

Neprikinatost na funkcii

Poimot

neprikinatost

na funkcii

matematikata, [to e vo tesna vrska

e mnogu

va`en

poim vo

so poimot grani~na vrednost na

funkcii. Pred da go definirame poimot neprikinatost da go razgledame sledniot primer:

Primer:1

Ako gi najdeme grani~nite vrednosti vo to~kata h 0 =2

x2  4 funkciite: a) f ( x)  x2

 x 4 ; x  2 b) h( x)   x 2  6; x 2 2

x 4   x2 ; x 2 v) g ( x)     4; x  2

a).Imame f ( x), Df  R /2, x0  2  Df , x0  2 lim f ( x)  lim x 2

x 2

x2  4 ( x  2)( x  2)  lim  lim ( x  2)  4 x 2 x  2 x 2 x2

b). Dh  R; x  2  Dh;

lim h( x)  lim x 2

v). Dg  R; x0  2  Dg; x0  2

x 2

x2  4  4  6  h(2) x2

lim g ( x)  lim x 2

x 2

11

x2  4  4  g (2) x2

2

na

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

g( x)

f(x

)

h(x )

f ( x); g ( x); h( x) se prika`ani na crte` broj 1.

Crte` br.1

Definicija:1

Za funkcijata y  f (x) zadadena deka e neprikinata vo

to~kata x  a ako se ispolnat slednive uslovi: 10 f (x) e definirana vo to~kata x  a a  Df 20 postoi granicata lim f ( x) xa

30 lim f ( x)  f (a) xa

Primer:1 Da ispitame neprikinatosta na funkcijata a) f ( x)2 x 3  5x 2  2 vo to~kata h = -1.

b) f ( x) 

x 1 vo to~kata h=2. x 1

a) 10  1 Df  R; f (1)  2  (1) 3  5(1) 2  2  1 20 lim f ( x)  lim (2 x 3  5x 2  2)  2 lim x 3  5 lim x 2  2  1 x1

x1

x1

30 lim f ( x)  f (1)

h = -1

x1

b) R /1 10 2  Df ; f (2)  20 lim f ( x)  lim x 2

x 2

x1

1 3

x  lim 1 2  1 1 x  1 lim x 2  x 2   ; lim f ( x) x  1 lim x  lim 1 2  1 3 x2 x 2

x 2

12

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

30 lim f ( x)  x 2

1  f (2) 3

f ( x) 

x 1 e neprikinata vo h=2 x 1

Definicija 2. Za funkcijata y  f (x) zadadeni na mno`estvoto Df velime deka e neprikinata na mno`estvoto A, A Df ako e neprikinata vo sekoja to~ka a  A. Primer:2

Da ja ispitame neprekinatosta na funkcijata f ( x) 

x 1 na x 1

nejzinata definiciona oblast.

Re[enie: Df  R / 1; a  1; a  Df 20 lim f ( x)  lim x a

x a

10 f (a) 

( x  1) a  1 x  1 lim  x a  x  1 lim ( x  1) a  1

a 1 a 1

30 lim f ( x)  x a

x a

Teorema 1. Ako funkcijata

y  f (x) i y  g (x) se neprikinati vo to~kata

x  a  Df  Dg toga[ vo to~kata

y  f ( x)  g ( x); y  f ( x) g ( x); y 

a 1  f (a ) aa

f ( x) g ( x)

xa

se neprikinati i funkciite

ako g (a)  0

Zabele[ka: Od definicijata 1 i teoremata 1 sleduva deka racionalnata funkcija

y

f ( x) e prekinata vo to~kite za koi imenitelot e nula, vo g ( x)

nulite na funkcijata g (x) .

Primer: 3 Da gi opredelime to~kite na prekin na funkcijata f ( x) 

x 1 x2 1

Df  R / 1,1; x1  1; x2  1 x 1 x 1 1  lim  lim   2 x 1 x  1 x1 ( x  1)( x  1) x1 x  1

lim f ( x)  lim

x 1

1   x1 x  1

lim f ( x)  lim

x 1

x 1 x 1 1 1  lim  lim  2 x1 x  1 x1 ( x  1)( x  1) x 1 x  1 2

lim f ( x)  lim

x 1

x 1 1 1  lim  2 x1 x  1 x1 x  1 2

lim f ( x)  lim

x1

lim f ( x)  lim f ( x) 

x1

13

x1

1  lim f ( x) 2 x1

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

crte` br.2 Primer:4 Da doka`eme deka funkcijata y  f x e neprikinata na R.

 x , x  0  f ( x)  0, x  0  x, x  0  10 f (0)  0

Vo sekoj h<0, h>0 funkcijata e neprikinata.

20 lim f ( x)  lim ( x)  0 x0

lim f ( x)  lim x  0; lim f ( x)  0

x0

x0

x0

30 lim f ( x)  0  f (0); x  R x0

crte` br.3

14

x0

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

lim f ( x)  f ( x0 )

x x0

(1)

lim ( f ( x)  f ( x)  0

x x0

Dx  x  x0 ; Dy  f ( x)  f ( x0 )

narasnuvawe na argumentot funkcijata vo h0 )

vo h 0

a

Dx  0; x  x0

(

Dx pretstavuva

Dy soodvetno narasnuvawe na

lim Dy  0

(2)

xo

Toa zna~i deka funkcijata e neprikinata vo h0

ako i samo ako

narasnuvaweto Dy na funkcijata se stremi kon nula koga narasnuvaweto na argumentot Dx vo h0 se stremi kon nula. f ( x)  2 x 3  5 x 2  2

1.Da se ispita neprikinosta

lim (2 x 3  5x  2)  2  5  2  1

f (1)  2  5  2  1

x 3 ; Df  R; x2 1

1 ; Df  R /1,1; x 1

x1

2. f ( x) 

f ( x) 

2

h=1

Df  R

f (x) -neprikinosta x 1   to~ki na prekin x  1

lim(5x 2  4 x  3)  12; f (1)  5  4  3  12

3. D( x)  5x 5  4 x  3); Df  R

x1

lim f ( x)  f (1) x1

Asimptoti na kriva

Vo tesna vrska so poimot grani~na vrednost na dadena funkcija e i poimot asimptoti na kriva, so koj ve]e se sretnavme pri izu~uvawe na osnovnite elementarni funkcii.

Definicija 1. Neka grafikot na funkcijata y  f (x) ima *granka* to~ki

se

oddale~uvaat

vo

beskrajnost.

promenlivata to~ka M ( x, f ( x)) na prava r

Ako

rastojanieto

d (x)

~ii od

grafikot na funkcijata do opredelena

se stremi kon nula koga to~kata M beskrajno se oddale~uva od

15

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

koordinatniot po~etok

lim d ( x)  0

toga[ za pravata r velime deka e

x

asimptota na krivata f (x) .

Nekoi zabele[ki .

10 Pri opredeluvawe na asimptotite slu~aevite

x  ; x  

koga

potrebno e da se ispitat oddelno bidej]i ako postoi asimptota koga

x   ne sleduva deka taa postoi i za x   .

20

Ako

lim

x

f ( x)  0; lim f ( x) x  x

lim f ( x)  n

posoti

x

toga[ krivata

horizontalna asimptota y  n; n  lim f ( x) x

1. f ( x) 

x x ; x  R / 1; x  x0 ; f ( x0 )  0 x 1 x0  1

2. f ( x)  e 3. f ( x) 

1 x 1

1 x 1

x2 1 x 1

x  x0

x x  0 x  1 x0  1

x  1 h=1 vertikalna asimptota

1 x2 1 x 2 (1  2 ) 2 x  1 x 1 k  lim x  1  lim 2  lim x n x n x  1 x n 1 x x 2 (1  ) x

1 x (1  2 ) x2 1 x  n lim   lim x n 1 x  1 x n x(1  ) x 2

4. y  x  1 kosa asimptota

f ( x) 

h<2

x 2  5 x  6 ( x  2)( x  3)  x2 x2

 ( x  2)( x  3)  x  3; x  2  x2   ( x  2)( x  3)  ( x  2)( x  3)   x  3; x  2 x2  ( x  2)

 x  2; x  2  0  x  2  0; x  2  0  ( x  2); x  0   x  2; x  0   0; x  0  x; x  0 

lim

x 2  5x  6

x1, 2 

16

5 1  2;3 2

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

Primeri: a) f ( x) 

x2 x 1

b) f ( x)  1 

1 x 2

a)

h-1=0

h=1

lim f ( x)  lim

x 1

x 1

2

x  x 1

lim f ( x)  lim

x 1

x 1

f ( x) x2  lim 2  1; k  1 x  x  x  x x x2 x  lim f ( x)  k ( x)  lim ( 2  1 x)  lim  1; n  1 x x x  x x  x  1 lim

y  x 1

e kosa asimptota za dadenata funkcija (crte` br.5)

f ( x)  1 

x2 f ( x)  x 1

f ( x)  1 

1 x 1 x

y  x 1 y 1

Crte` br.5 b) h=0 e vertikalna asimtota;

Crte` br.6 y  0 e horizontalna asimtota

Funkcijata nema kosi asimtoti (crte` br.6)

2 x  3; x  0  5. f ( x)  x  x  3  3 : x  0 3; x  0 

 x; x  0  x  0; x  0  x; x  0 

17

x

1

2

y

5

7

x  x 1

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

3x 2  1 lim  lim x n x  1 x n

3x 2 f ( x)  x 1

6.

1 ) x2  3 1 1 x 2 (1  ) x

x 2 (3 

3x 2  1 1 x 2 (3  2 ) 2 3 x  1 x 3 k  lim x  1  lim 2  lim x n x n x  1 x n 1 x 1 x 2 (1  ) x n  lim ( x n

3x 2  1 3 x 2  1  x 2  x)  x)  lim x n x 1 x 1

Primer: Da go nacrtame grafikot na funkcijata y  ka`eme za pravite x  1; y  0 .

18

1 [to mo`eme da x 1

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

A3

f ( x) 

1 x 1

A2 A1 x3 x2 x1

x 1

Neko mo`ni polo`bi koga pravata x  a toga{ e vertikalna asimtota

a)

lim f ( x)  

x a 

b)

lim f ( x)  

lim f ( x)  

x a 

x a 

19

lim f ( x)   za

x a 

GRANI^NA VREDNOST NA FUNKCIJA

funkcijata y  f (x) e vertikalna asimtota. v)

g)

Neka e dadena

funkcijata y  f (x) definirana vo D  (a, ) (ili

D  (, a) ) ako e ispolnet uslovot lim f ( x)  b x n

( lim ) f ( x)  b) x

toga[

broevite y  b e horizontalna asimtota za funkcijata y  f (x) . (Crte` 7)

Crte` br.7

f ( x)  x 2

Dy  f ( x  n)  f ( x)  ( x  n) 2  x 2  2 xn  n 2 n0

20

lim Dy  0 n0