Kombinatorika by Reshat

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________

Voved Kombinatorikata, kako oblast na matematikata se razvila od prakti~nite potrebi na ~ovekot, kako potrebite od rasporeduvawe na predmeti, aktivnosti, znaci, bukvi i dr. Nivnoto rasporeduvawe i grupirawe se pravi spored odredeni kriteriumi na momentni i trajni potrebi i interesi. Me|utoa, i vo ovoj slu~aj postojat pravila i zakonitosti. Oblasta na matematikata koja se zanimava so izu~uvawe na mo`nite rasporedi i grupirawa na elementite na kone~ni mnoèstva se vika kombinatorika. Kombinatorikata izu~uva podmnoèstva od dadeni mnoèstva ili grupi od pove}e elementri na dadeno mnoèstvo. Od na~inot na nivnoto formirawe i od toa dali e biten ili ne, rasporedot na elementite vo niv, razlikuvame varijacii, permutacii i kombinacii.

Varijacii Neka e dadeno mnoèstvoto M={e1 ,e2 ,â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śen } ~ii elementi moàt da bidat lica, predmeti, bukvi, broevi, znaci, nastani i drugo. Sekoe rasporeduvawe(grupirawe) na daden broj elementi od mnoèstvoto M vo grupi, takvi {to se razlikuvaat edni od drugi ili po sostavot na elementite ili vo nivniot raspored, se vika varirawe. Ovie grupi od elemeenti, podmnoèstva od mnoèstvoto M, koi se razlikuvaat edni od drugi po redosledot na elementite vo niv, se vikaat varijacii. Vo zavisnost od brojot na elementite na varijacijata, taa moè da bide od prva, vtora, treta kalasa itn. Elementite vo edna varijacija moàta da bidat razli~ni i nekoi ili site da bidat isti, zatoa }e go koristime terminot varijacija bez povtoruvawe ili varijacija so povtoruvawe.

Varijacii bez povtoruvawe Definicija: Varijacii bez povtoruvawe od klasa k od n elementi(k n) sepodredeni k-torki sostaveni od razli~ni elementi na mnoèstvoto M. Brojot na varijacii bez povtoruvawe od n elementi od klasa k go beleìme so Vnk Kako se formiraat varijaciite bez povtoruvawe i kako se opredeluva nivniot broj ke pokaème na sledniov primer. Primer 1: Da se formiraat site varijacii bez povtoruvawe od mnoèstvoto M={1,2,3 } i da se opredeli nivniot broj. Re{enie: Varijaciite od prva klasa se samite elementi 1,2,3 Varijaciite od vtora klasa se site podredeni parovi 12,13,21,23,31,32 Varijaciite od treta klasa se podredeni trojki: 123,132,213,231,312,321. So dijagram ke go prikaème na~iniot na formirame na varijacii bez povtoruvawe od vtora i treta klasa.

___________________________________________________________________________ 1

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________

Kako {to rekovme varijaciite od prva klasa se samite elementi vo mnoèstvoto. Varijaciite od vtora klasa se formiraat taka {to na elementite od prva klasa im se pridruùvaat preostanatite elementi(na primer na 1 mu se pridruùva 2 i potoa 3) . i zatoa vkupno ima 3 2=6 varijacii od vtorra klasa.

Varijaciite od treta klasa se formiraat taka {to na parovite koi pretstavuvaat varijacii od vtora klasa im se pridruùvaat preostanatite elementi(tretiot) i nivniot broj e 6. Kako se presmetuva brojot na varijacii bez povtoruvawe vo op{t slu~aj ke pokaème na sledniov primer. Primer 2: Da go najdeme brojot na varijaciite bez povtoruvawe od prva , vtora, treat i n-ta klasa od elementite na mnoèstvotoM={1,2,3,…….n} Re{enie: Brojot na elementite od prva klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na elementite na mnoèstvoto. Brojot na varijacii od vtora klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na mo`nostite vo ist moment na prvo mesto da se stavi nekoj od elementite 1,2,3 …n, a na vtoro mesto nakoj od preostanatite n-1 elementi od dadenoto mnoèstvo. Zna~i toj broj }e bide n (n-1) Brojot na varijacii od treta klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na mo`nostite vo ist moment na prvo mesto da se stavi nekoj od elementite 1,2,3 …n, a na vtoro mesto nakoj od preostanatite n-1 elementi od dadenoto mnoèstvoa na treto mesto nekoj od preostanatite n-2 elementi od dadenoto mnoèstvo. Zna~i toj broj }e bide n (n-1) (n-2) Formiraweto na varijacii prodolùva se dodeka ne se iscrpat site elementi, zatoa vkupniot broj na varijacii bez povtoruvawe od k-ta klasa od n elementi e Vnk  n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1) kade n . Primer 3: Vo paraleka od 30 u~enici treba da se izbere klasno rakovodsrtvo, koe se sostoi od pretsedatel, sekretar i blagajnik. Na kolku na~ini moè da se izvr{i izborot? Re{enie:Ovde stanuva zbor za grupa od trojki u~eneici, pri {to biten e redosledot ( ne e seedno koj ke bide pretsedatel, koj sekretar, a koj blagajnik). Zna~i imame varijaciii, jasno bez povtoruvawe od treta klasa od 30 elementi. Zatoa izborot na klasnoto rakovodstvo moè da se formira na Vnk  n  (n  1)  (n  2)  24360 na~ini. Primer 4:Ako od Debar do Skopje soobra}aat 12 avtobusi dnevno, na kolku na~ini moè da patuvame od Debar do Skopje i nazad, ako se patuva : a) So istiot avtobus b) Od Debar so eden , a nazad so drug avtobus ___________________________________________________________________________ 2

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie:a) Ako se patuva samo so istiot avtobus od Debar do Skopje i nazad toga{ ima V121  12 na~ini. b)Ako se patuva od Debar do Skopje so eden avtobus, a se vra}ame so drug toga{ ima vkupno V122  12  11  132 mo`nosti. Primer 5: Kolku petcifreni broevi mo`e da se napi{at od cifrite 0,1,3,5,7,9, taka {to nulata ne e ni na prvo ni na posledno mesto? Re{enie: Ako treba da se napi{at petcifreni broevi od dadenite cifri i ako nulata ne treba da bide na prvo mesto(nema priroden broj koj po~nuva so 0) toga{ ostanuva da se formiraat varijacii od ostanatite 5 cifri od klsa 4, a nivniot broj e V54  5  4  3  2  120 . Istoto va`i ako 0 ne treba da bide na posledno mesto. Zatoa brojot na petcifreni broevi so vakvi uslovi e ednakov na vkupniot broj na petcifreni broevi formirani od site cifri minus dva pati vkupniot broj na petcifreni broevi formirani od ostanataite cifri t.e. V65  2V54  720  240  480 petcifreni broevi.

Varijacii so povtoruvawe Varijaciite vo koi eden ili pove}e elementi se povtoruvaat pove}e pati se vikaat varijacii so povtoruvawe. Brojot na varijacii so povtoruvawe od n elementi od klasa k k

se obeleùva V n  n k . Primer 1: Da se formiraat site varijacii so povtoruvawe od mnoèstvoto M={1,2,3 } i da se opredeli nivniot broj. Re{enie: Varijaciite od prva klasa se samite elementi 1,2,3 Varijaciite so povtoruvawe od vtora klasa se dobivaat taka {to na desnata strana od varijaciite od prva klasa se dopi{uva sekoj element na mnoèstvoto M pri {to se dobiva :11, 12,13,21,22,23,31,32,33. Vkupno gi ima 3 3=9 Varijaciite so povtoruvawe od od treta klasa se dobivaat taka {to na desnata strana od varijaciite so povtoruvawe od vtora klasa se dopi{uva sekoj od elementite na mnoèstvoto M pri {to dobivame: 111,112,113, 121,122,123, 131,132,133 211,212,213, 221,222,223, 231,232,233 311,312,313, 321,322,323, 331,332,333 Vkupno ima 9 3=27. Kako se presmetuva brojot na varijacii so povtoruvawe vo op{t slu~aj ke pokaème na sledniov primer. Primer 2: Da go najdeme brojot na varijaciite bez povtoruvawe od prva , vtora, treta, itn i k-ta klasa od elementite na mnoèstvoto M={1,2,3,…….n} Re{enie: Brojot na elementite od prva klasa so povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na elemeentite na mnoèstvoto. Brojot na varijacii od vtora klasa so povtoruvawe se dobiva koga na sekoja varijacija so povtoruvawe od prva klasa , niv gi ima n na broj, }e se prisoedini sekoj od 2

elementite na mno`estvoto M koi se n na broj , zatoa V n  n  n  n 2 Brojot na varijacii od treta klasa so povtoruvawe se dobiva koga na sekoja varijacija so povtoruvawe od vtora klasa , niv gi ima n2 na broj, }e se prisoedini sekoj 3

od elementite na mno`estvoto M koi se n na broj , zatoa V n  n 2  n  n 3 . Sli~no se dobiva brojot na varijacii od ~etvrta, petta,…. k-ta klasa. k

Brojot na varijacii so povtoruvawe od klasa k-ta }e bide; V n  n k Primer 2: Kolku "Morzeovi" zborovi mo`at da se formiraat od osnovnite znaci " "i "-", ako se znae deka eden "zbor" se sostoi od najmnogu ~etiri osnovni znaci? ___________________________________________________________________________ 3

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie: Ovde stanuva zbor za varijacii so povtoruvawe i pri toa imame "zborovi" so dol`ina eden, dva ,tri ili ~etiri osnovni znaci, zatoa vkupniot broj na 1

2

3

4

"zborovi" e: V 2  V 2  V 2  V 2 =2+22 +23 +24 =30 Primer 3: Na kolku razli~ni na~ini mo`e{ da popolni{ liv~e za sportsak prognoza, ako se znae deka toa sodr`i 13 fudbalski ekipi~ij rezultat e od tip 0,1 i 2? Re{enie:Ovde imame varijacii so povtoruvawe od tri elementi(0,1,2) od klsa 13, pa zatoa

3 V3

 313  1594337 na~ini.

Permutacii Sekoe rasporeduvawe(grupirawe) na daden broj na elementite od edno kone~no mno`estvo vo grupi, pri {to vo sekoja grupa se site dadeni elementi , no sekoga{ vo drug redosled se narekuva permutirawe. Grupite koi se sostojat od site elementi na dadenoto mno`estvo, a se razlikuvaat edna od druga samo po razli~niot redosled na elementite se vikaat permutacii. Vo zavisnost od toa dali elementite vo permutacijata se povtoruvaat ili ne, razlikuvame permutacii bez i so povtoruvawe.

Permutacii bez povtoruivawe Sekoj raspored {to moè da se formira od n-te elementi na dadeno mnoèstvo, taka {to vo nego se javuvaat site tie elementi samo po edna{, a eden old drug rasporedite se razlikuvaat samo po razli~niot redodsled na elementite, se vika permutacija bez povtoruvawe. taka {to nieden element ne se povtoruva se vika permutacija bez povtoruvawe na tie elelmenti. Toa zna~i deka permutaciite bez povtoruvawe se vsu{nost varijacii bez povtoruvawe od n-ta klasa na mnoèstvoto so n elementi. Definicija: Permutacii bez povtoruvawe od n elementi na mnoèstvoto M={1,2,3,……n}, se podredeni n-torki na razli~ni elementi na mnoèstvoto M. sepodredeni k-torki sostaveni od razli~ni elementi na mnoèstvoto M. Brojot na permutaciite bez povtoruvawe od n razli~ni elementi na dadeno mnoèstvo se ozna~uva so Pn. Formiraweto na permutaciite bez povtoruvawe , kako i odreduvaweto na nivniot broj }e go pokaème na sledniov primer: Primer 1: Da se formiraat permutaciite bez povtoruvawe od elementite na mnoèstvoto {1,2,3,4}. Re{enie: So dijagram }e go ilustrirame na~inot na formirawe na permutaciite bez povtoruvawe.

1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 ___________________________________________________________________________ 4

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Za prikaùvawe na na~inot na presmetuvawe na brojot na permutaciite bez povtoruvawe }e go iskoristime primerot. Pri formiraweto na permutaciite vo primerot se zabeleùva deka moàt da se smestat vo 4 grupi, od koi edena po~nuva so 1, vtorata so 2, tretata so 3 i ~etvrtata so 4. Vo sekoja grupa vtorata pozicija moàta da ja zavzemat ostanatite tri elementi, ponatamu tretata pozicija moàt da ja zavzemat ostanatite 2 elementi i na kraj ~etvrtata pozocija ja zavzema ostanatiot posleden element. Spored toa, imame vkupno =24 mo`nosti za rasporeduvawe na ~etirite elementi na na dadenoto mnoèstvo. Op{to broj na permutacii bez povtoruvawe od n elementi se presmetuva so formulata . Proizvodot na n posledovatelni prirodni broevi simboli~ki se ozna~uva so ( se ~ita n faktoriel). . Zabele{ka: Bidej}i definiravme n! , formulata za presmetuvawe na broj na varijacii bez povtoruvawe moè da dobie drug oblik koj naj~esto se koristi. Imeno ako formulata Vnk  n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1) ja pro{irime so (n  k )! se dobiva Vnk 

n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1)  (n  k )! n! n1  t.e. Vnk  . (n  k )! (n  k )! (n  k )!

Primer 2: Dadeni se elementite od mnoèstvoto {1,2,3,4,5,6}. Vo kolku permutacii elementite 3,4,5 se eden do dru, i toa a) vo redosled 345 ; b) vo proizolen redosled Re{enie: a) Bidej}i elementite 3,4,5 se bara da se vo ovoj redosled, niv moème da gi smetame za eden element i zaedno so preostanatite tri elementi moàt da se permutiraat t.te da se rasporedat na 4! Na~ini, zna~i imame 24 permutacii. b) Vo ovoj slu[~aj redosledot na elementite 3,4,5 e proizvolen. Ovie tri elementi permutiraat na 3! Na~ini. No, vo koj bilo od ovie sliu~ai niv moème da gi smetame za eden element bez razlika na nivniot redosled, i povtorno imame 4 elementi, zatoa brojot na permutsacii ovde iznesuva 3! . Primer 3: Na kolku na~ini moàt da se rasporedat 5 mom~iwa i 4 devoj~iwa vo red od 9 sedi{ta ako naizmeni~no sedat mom~e do devojka? ___________________________________________________________________________ 5

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie: 5 mom~iwa mo`at da se rasporedat na 5! na~ini, a 4 devojki na 4! na~ini.Brojot na mo`nite rasporedi vo koi mom~iwata naizmeni~no sedat do devojkite e nivniot proizvod , t.e.

Permutacii so povtoruivawe Sekoi podreduvawa na elementite od edno kone~no mnoèstvo, vo koe ima eden element ili pove}e elementi koi se povtoruvaat se vikaat permutacii so povtoruvawe na tie elelmenti. Primer 1:Da se formiraat site razli~ni permutacii so povtoruvawe od elementite {a,a,b}? Re{enie: Najnapred na ednakvite elementi da im pridruìme indeksi i potoa da gi napi{ime site permutacii , da gi izbri{ime indeksite i na kraj da gi prebroime razli~nite permutacii.taka gi dobivame permutaciite : a1 a2 b; a1 ba2 ; a2 a1 b; a2 ba1 ; ba1 a2 ; ba2 a1 od kade so bri{eweto na indeksite dobivame aab; aba; aab; aba; baa; baa kade {to se zabeleùva deka tri permutacii se povtoruvaat i pri nivno otfrlawe ostanuvaat tri t.e dvojno pomalku od vkupniot broj na permutaciite bez povtoruvawe. Spored prethodniot primer, moè da se zaklu~i deka ako vo dadeno mnoèstvo ima k ednakvi elementi toga{ brojot na permutacii so povtoruvawe e ednakov na vkupniot broj na permutacii bez povtoruvawe podelen so k!(k elemnti permutiraat na k! na~ini) t.e. So analogna postapka go odreduvame i brojot na permutacii so povtoruvawe od n elementi me|u koi ima r razli~ni (r  n), od koi prviot se povtoruva k1 pati , vtoriot k2 pati, tretiot k3 pati , ... r-tiot kr pati, pri {to brojot e ednakov na n! Pn (k1 , k 2 ,......k r ) , k1  k 2  ...... k r  n k1!k 2 !.......k r ! Primer 2: Kolku permutacii moè da se formiraat od bukvite na zborot MATEMATIKA? Re{enie: Vo zborot MATEMATIKA bukvata M se povtoruva 2 pati, A se povtoruva 3 pati i T se povtoruva 2 pati, zatoa brojot na pemutacii so povtoruvawe }e bide 10! P10 (2,3,2)  151200 2!3!2! . Primer 3: Kolku desetcifreni broevi moàt da se formiraa od cifrite 1,2,2,2,2,3,3,4,4,4 koi po~nuvaat so 1234? Re{enie: Od 10-te cifri 4 imaat opredelen redosled, pa zatoa ostanuvaat u{te 6 koi treba da permutiraat, od koi 2-ta se povtoruva 3 pati i 3-ta se povtoruva 2 pati, pa 6!  60 zatoa brojot na baranite desetcifreni borevi e P6 (3,2) 2!3!2! Primer 4: Pravoagolnikot ABCD so dimenzii 7m i 4m e podelen so horizontalni i vertikalni linii na kvadrati so plo{tina 1 m2 . Na kolku razli~ni na~ini moème da stigneme od temeto A do temeto C, ako e dozvoleno dvièwe samo na desno i nagore? Re{enie: Sekoe dvièwe od temeto A do temeto S sodrì 4 pati{ta od po 1 m gore (G) i 7 pati{ta od po 1 m desno(D). Toga{ izbraniot pat }e pretstavuva permutacija od ___________________________________________________________________________ 6

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ 11 elementi (11m pat) so povtoruvawe. Na primer izbraniot pat na crte` 1, ja pretstavuva permutacijata GDGDGDDDDGD. Vkupniot broj na permutacii }e 11! ď&#x20AC;˝ 330 bide P11(4,7) 4!ď&#x192;&#x2014;7! . D

Crt.1

Kombinacii Rasporeduvaweto (grupiraweto) na k elementi od edno mno`estvo od

elementi(kâ&#x2030;¤n) vo grupi, pri {to sekoja grupa se razlikuva od druga samo po razli~nite elementi vo nivniot sostav se narekuva kombinirawe. Grupite od elementi, podmnoèstva od dadeno mnoèstvo, koi se razlikuvaat edno od drugo samo po razli~nite elmenti vo nivniot sostav, a ne po rasporedot se narekuvaat kombinacii. Zna~i kombinaciite se podmnoèstvo od varijaciite. Sli~no kako kaj varijaciite i kombinaciite moàt da bidat od prva klasa ako imaat eden element , od vtora klasa ako imaat dva elementi itn. Isto taka, ima kombinacii so i bez povtoruvawe vo zavisnost od toa dali eden ist element vo edna grupa se povtoruva pove}e pati ili ne.

Kombinacii bez povtoruvawe Definicija: Sekoj izbor na k-elementi (sekoe podmnoèstvo) od edno kone~no mnoèstvo od n razli~ni elementi, bez ogled na nivniot redosled se vika kombinacija bez povtoruvawe od klasa k od n elementi i se obeleùva C k . n Broj na kombinacii bez povtoruvawe: Formirawetona kombinaciite bez povtoruvawe od n elementi od k-ta klasa , kako i opredeluvaweto na nivniot broj ke go prikaème na sledniov Primer 1 : Da se formiraat site

kombinacii od elementite na mno`estvoto

{a;b;c;d} od prva, vtora, treta i ~etvrta klasa i da se opredeli nivniot broj. Kombinaciite od prva klasa bez povtoruvawe se samite elementi na mno`estvoto i nivniot broj e 4.

___________________________________________________________________________ 7

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Kombinaciite od vtora klasa bez povtoruvawe }e gi dobieme ako gi formirame site varijacii i potoa gi otfrlime onie so ednakvi elementi: ab;

ac;

ad;

ba;

bc;

bd;

ca;

c b;

cd;

d a;

d b;

dc;

Kombinaciite od vtora klasa bez povtoruvawe se: ab; ac; ad; bc; bd; cd. Vkupno 6. Od prethodno ka`anoto da iznajdeme formula za presmetuvawe na kombinaciite vo primerov. Brojot na varijacii bez povtoruvawe od vtora klasa e V42 

4! 24   12 . (4  2)! 2

Spored na~inot na dobivawe na kombinaciite bez povtoruvawe od vtora klasa, gledame deka ovde pokraj sekoja kombinacija se javuvaat i site nejzini permutacii, toj broj e P2 =2! =2. Zna~i V42  P2  C 42 .Od kade C 42 

V 42 . Zatoa brojot na kombinaciite e 6. P2

Kombinaciite od treta klasa bez povtoruvawe }e gi dobieme ako gi formirame site varijacii i potoa gi otfrlime onie so ednakvi elementi: abc; abd; acb; acd; adb; adc; bac; bad; bca; bcd; bda; bdc; cab; cad; cba; cbd cda; cdb; dab; dac; dba dbc; dca; dcb. Kombinaciite od treta klasa bez povtoruvawe se: abc; abd; acd;; bcd. Vkupno 4. Brojot na kombinacii bez povtoruvawe od treta klasa }e go opredelime kako pogore: Brojot na varijacii bez povtoruvawe od treta klasa e V43 

4! 24   24 . Spored (4  3)! 1

na~inot na dobivawe na kombinaciite bez povtoruvawe od treta klasa, gledame deka i ovde pokraj sekoja kombinacija se javuvaat i site nejzini permutacii, toj broj e P3 =3! =6. Zna~i V43  P3  C 43 .Od kade C 43 

V43 24   4 . Zatoa brojot na kombinaciite e 4. P3 6

Kombinacijata bez povtoruvawe od ~etvrta klasa e abcd . Na sli~en na~in se formiraat i se doa|a do brojot na kombinacii bez povtoruvawe od n elementi od k klasa t.e. vo op{t slu~aj C nk 

V nk . Pk

n(n  1)( n  2)........(n  (k  1)) k (k  1)k  2)  ......... 3  2  1 So pro{iruvawe na dropkata so (n  k )! se doa|a do slednava formula za presmetuvawe na kombinacii bez povtoruvawe od n elementi od k klasa n(n  1)( n  2)........(n  (k  1))  (n  k )( n  (k  1))( n  (k  2))  ......... 3  2  1 n! Cnk   k (k  1)( k  2)  ......... 3  2  1  (n  k )( n  (k  1)( n  (k  2)  .....3  2  1 k!(n  k )! t.e. n! C nk  k!(n  k )! C nk 

Primer 2: Ako eden klas ima 10 predmeti i 5 razli~ni ~asovi dnevno, na kolku na~ini mo`eme da gi raspredelelime ~asovite za eden den? Re{enie: Bidej}i vo zada~ata ne se bara redosledot na ~asovite po predmeti vo denot, tuku samo brojot na na~ini za rasporeduvawe na razli~nite predmeti vo eden den.

___________________________________________________________________________ 8

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ }e imame kombinacii bez povtoruvawe i toa mo`eme da

go napravime na

10! 10! 5  C10   252 na~ini. 5!(10  5)! 5!5!

Primer 3: Od 12 ispitni pra{awa u~enikot treba da izbere 5 pra{awa. Na kolku na~ini moè da go napravi izborot? Re{enie: Bidej}i ne e vaèn redosledot na izbor na pra{awata, stanuva zbor za kombinacii bez povtoruvawe od 12 elementi od 5-ta klasa. Zatoa izborot na ispitna 5  kombinacija moè da se napravi na C12

12! 12!   792 na~ini. 5!(12  5)! 5!7!

Kombinacii so povtoruvawe Neka e dadeno mno`estvoto M={e1 ,e2 ,………en } od n elementi. Ako pri formiraweto na kombinaciite od k-ta klasa od n elementi postoi mo`nost sekoj element vo sekoja kombinacija da se pojavi 1,2,3 ... ili k pati, toga{ takvite kombinacii se narekuvaat kombinacii so povtoruvawe. Klasata k mo`e da bide pomala , ednakva ili pogolema od brojot na elementite n . k

Brojot na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od klasa k go beleìme so C n Postapkata za dobivawe na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od k-ta klasa ke ja pokaème vo sledniov primer. Primer 1: Da se formiraat kombinaciite so povtoruvawe od vtora i treta klasa od elementite na mnoèstvoto {1,2,3,4}. Re{enie: Kombinaciite so povtoruvawe od vtora klasa od dadenoto mnoèstvo se: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 Dodeka brojot na kombinaciite od treta klasa od dadednoto mnoèstvo se: 111 112 113 114 122 123 124 133 144 222 223 224 233 234 244 333 334 344 444 Brojot na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od k-ta klasase presmetuva spored formulata: k

Cn 

(n  k  1)! ovde mo`e k>n k! (n  1)!

Primer 2: Kolku triagolnici moème da formirame ako stranite na triagolnikot imaat za dolìna edna od vrednostite 4,5,6,7? Re{enie: Tuka stanuva zbor za kombinacii od 3-ta klasa, bidej}i seedno e koja strana koja dolìna }e ja ima, a bidej}i moè dve ili tri strani da imaat ista dolìna 3

}e imame kombinacii so povtoruvawe i toa C 4 

(4  3  1)! 6!   20 triagolnici. 3! (4  1)! 3!3!

Primer 3: Avtobus so 12 patnici zastanuva na 4 stanici. Na kolku na~ini moàt da izlezat patnicite na stanicite, vo zavisnost samo od brojot na patnicite koi izleguvaat na oddelni stanici? Re{enie:Neka so brojot n (n=1,2,3,4) go ozna~ime sekoj izlezen patnik na n-tata stanica. Pritoa se dobivaa grupi od po 12 elementi. Na primer, grupata elementi 111223333344 zna~i deka na prvata stanica izlegle 3, na vtorata 2, na tretata 5 i na ~etvrtata stanica izlegle 2 patnika. Bidej}i elementite vo grupata moàt da se povtoruvaat (na edna stanica moè da slezat pove}e patnici) , a redosledot na ___________________________________________________________________________ 9

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ sleguvawe na patnicite ne e va`en, zaklu~uvame deka imame kombinacii so povtoruvawe od 4 elementi od 12 klasa.  12

Nivniot broj e C 4 

(4  12  1)! 15!   455 . 12!(4  1)! 12!3!

Ova zna~i deka 12 patnici na 4 stanici moàt da izlezat na 455 na~ini. Primer 4: Vo cve}arnica ima 8 vidovi cve}iwa. Na kolku na~ini moè{ da napravi{ izbor ako vo buketoto saka{ da ima 5 cveta? Re{enie: Pri formiraweto na buketot cvetovite moè da bidat od ist vid, {to zna~i }e imame kombinacii so povtoruvawe od 5-ta klasa od 8 elementi(cvetovi). Toa se kombinacii bidej}i ne e vaèn redosledot vo praveweto na buketot . Zatoa moàt da se 5 napravat C 8



(8  5  1)! 12!   792 razli~ni buketi. 5! (8  1)! 5!7!

___________________________________________________________________________ 10