Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Voved Elementarnite postapki za utvrduvawe na nekoi svojstva na funkciite, na primer, monotonost , ili postoewe na ekstremi seu{te ne ni ovozmo`uvaat da go utvrdime tekot na dadena funkcija vo nejzinata oblast na opredelenost. Precizno ispituvawe na tekot na diferencijabilnite funkcii se vr{i so pomo{ na prviot i vtoriot izvod. So nivna pomo{ }e go ispituvame povedenieto na dadena funkcija, ne samo vo nekoja to~ka od oblasta na opredelenost tuku i vo celata oblast na opredelenost. Ovde pred sé, }e se zadr`ime na ispituvawe na monotonost na funkcijata i opredeluvawe na ekstreminite vrednosti.Prethodno }e gi dademe osnovnite pravila za opredeluvawe na monotonost na funkcija i ekstremni vrednosti na funkcija , potoa }e razgledame pove}e primeri, vo koi {to }e treba da go konstruirame grafikot na dadenata funkcija preku op{ta {ema.
1. Rastewe i opa|awe na funkcija Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b). Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i monotono
raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{: f’(x)
1)
0 (f’(x) 0) x (a,b) Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i neka se x, x+h (a,b).(Crt.1)
y f(x) f(x+h)-f(x)
O
x
x+h
x
Crt.1 Toga{: f(x+h)-f(x)>0 k oga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{: f( x h) f( x) f ( x h) f ( x) 0 od kade {to sleduva: lim f ' ( x ) 0 {to h 0 h h treba{e da se doka`e. Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka. Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako f’(x)<0 . Primer 1: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2 , x R. Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na intervalot 0 b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0 v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika stacionarna to~ka (Crt. 2).
1)
Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)
1 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________ Crt.2 y
4
2
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni to~ki na funkcijata f(x). Primer 2: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, ) Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ; a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za x 0, b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za x , v) f'(x) =0 t.e cosx=0, 2 2 za x . 2 Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot 0, , monotono 2 opa|a na intervalot , , a stagnira vo to~kata x . (Crt. 3). 2 2 Crt.3 y
1
x
-1
Primer 3: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot , . 2 2 1 Re{enie: Bidej}i f' (x) f'(x) za x , zaklu~uvame deka funkcijata 2 cos x 2 2 f(x)=tgx monotono raste na intervalot , (Crt. 4). 2 2 Crt.4 y
5
x
-5
Primer 4: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x . 2 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Re{enie: Bidej}i f' (x) 2 x ln2 0 za sekoj x R zaklu~uvame deka funkcijata f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 5). Crt.5 y
8
6
4
2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Primer 5: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 . Re{enie: Bidej}i f' (x) 3x 2 0 za sekoj x R \ {0} zaklu~uvame deka funkcijata f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 6). Crt.6 y
25
x
-5
0
5
-25
Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore izlo`enite teoremi: a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7a). b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7b).
y
O
b)
y
a)
x
O
x
Crt.7
3 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
2. Ekstremni vrednosti na funkcija
Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za x0 (a, b) , ako postoi x ( x0 , x0 ) i x x0 va`i neravenstvoto f ( x) f ( x0 ), ( f ( x) f ( x0 )) (Crt.8). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa x0 vo koja {to funkcijata ima maksimum (Crt.8/a) go odeluva intervalot na rastewe od intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa x0 (Crt.8/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.
broj
takov
{to
za
sekoj
y
y
a)
O
x0
x0
x0
x
b)
O
x0
x0
x0
x
Crt.8 Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa x0 toj e dnakov na 0 t.e. f’(x)=0.
Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa x0 e paralena so apcisnata oska . Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo: Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata x x0 D , toga{ f’(x)=0. No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema ekstrem. Na primer, funkcijata f(x)=x3 vo to~kata x0 =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za x0 =0, nema ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost. Od prethodniov primer mo`e da se zaklu~i deka f’(x0 )=0 e samo potreben uslov, no, ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo x0 ima ekstrem. . Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka x0 za koja f’(x0 )=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od definiciite za ekstremi i glasat: a) Ako f ’(x)>0 za x < x0 i f ’(x)<0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata x0 raste, a desno od to~kata x0 opa|a, toga{ f(x0 ) e najgolema vrednost na f(x) vo intervalot ( x0 , x0 ) i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata. b) Ako f ’(x)<0 za x < x0 i f ’(x)>0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata x0 opa|a, a desno od to~kata x0 raste, toga{ f(x0 ) e najmala vrednost na f(x) vo intervalot ( x0 , x0 ) i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata. v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj x ( x0 , x0 ) , t.e. f ’(x) ne go menuva znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata x0 , toga{ funkcijata nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 . Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0 , vo koja f’(x)=0, 4 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{ funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum. prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum. prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti. Primer 6: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula vo to~kata x0 =0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x0 =0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.9)
Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata x D mo`e da ima ekstrem iako vo taa to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot . x, x 0
1, x 0
Primer 7: Funkcijata f (x) x ima prv izvod f ' (x) koj {to go x, x 0 1, x 0 menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0 =0, pa spored toa vo to~kata ima minimum, iako f’(0) ne postoi.(Crt.10) y
5
4
3
2
1
x -3
-2
-1
0
1
2
3
Crt.10 Primer 8: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata x3 f (x) 2x 2 3x 1 3 Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: f ' (x) x 2 4x 3 . So re{avawe na ravenkata x 2 4x 3 0 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa f ' (x) (x 1)(x 3) . Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat stacionarni to~ki na funkcijata. Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima 7 maksimum {to e ednakov na f ( x ) . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata 3 ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.11)
5 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Crt.11 Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka. Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka x0 i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se utvduva, vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0 . dali funkcijata raste ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e da se utvrdi dali funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0 . O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ nejziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0. Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0. Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo: Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum. Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0 )=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na prviot izvod na funkcijata. Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3 , {to ednakov na nula vo to~kata x0 =0. No vo taa to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne dava mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0 =0 i od koj vid e toj ekstrem. So utvrduvawe na znakot na prviot izvod vo taa to~ka (go menuva znakot od negativen vo poziteven) zaklu~uvame deka funkcijata vo x0 =0 ima minimum. (Crt.12)
6 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________ y
5
4
3
2
1
x
0 -1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Crt.12 Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na sveduva na slednovo pravilo: 1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).
funkcijata f(x) se
2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se opredeluvaat stacionarnite to~ki. 3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja stacionarna to~ka, posebno. Primer 9: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata: f(x)=2x3 -9x2 +12x. Re{enie: 1o: f’(x)=6x2 -18x+12 2o f(‘x)=0 sleduva 6x2 -18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1 =1 i x2 =2 3o f’’(x)=12x-18 Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1 =1 ednakov na f(1) =5, f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2 =2 ednakov na f(2) =4.(Crt.13)
Crt.13
Primer 11: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx , x[0,]. Re{enie: 1o: f’(x)=cosx 3 2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1 = i x2 = 2 2 3o f’’(x)=-sinx
7 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(
)=2
=-1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1 = ednakov na 2 2 3 3 f( ) =1, f”( )=sin =-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata 2 2 2 3 3 x2 = ednakov na f( ) =-1.(Crt.14) 2 2
sin
Crt.14
3. Asimtoti Pri konstrukcijata na grafikot na funkcijata f(x) treba da se odredat i asimtotite (ako funkcijata ima ) koi davaat mo`nost z a poprecizno konstruirawe na grafikot. Za taa cel }e definirame koja prava e asiptota (vertikalna, horizontalna i kosa ), a vo ispituvaweto na tekot na funkcijata (vo dolunavedinite primeri) }e poka`eme i kako tie se nao|aat. 1. Pravata x=a e vertikalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako lim f ( x) x a
2. Pravata x=b e horizontalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako lim f ( x) b x
3.Pravata y=kx+n e kosa asimtota na funkcijata y=f(x) ako f ( x) k lim , n lim ( f ( x) kx) x x x
4. Op{ta {ema za ispituvawe na funkcii Kako {to vidovme prethodno, prviot i vtoriot izvod na funkcijata, ni davaa mo`nost za ispituvawe na monotonosta i ekstremnite vrednosti na funkcijata. Koristej}i gi elementarnite postapki za ispituvawe na drugite svojstva na funkcijata (parnost, periodi~nost i dr) i odreduvaweto na asimptotite na grafikot dobivame celosna slika za tekot na funkcijata i mo`eme nego grafi~ki da go pretstavime. Ispituvaweto na tekot na funkcijata }e go vr{ime po slednava op{ta {ema za ispituvawe na funkcijata: 1) Se opredeluva oblasta na opredelenost; 2) Se nao|aat prese~nite to~ki na grafikot so koordinatnite oski; 8 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
3) Se ispituva parnosta ili neparnosta na funkcijata, ako taa e opredelena na simetri~na oblast; 4) Se ispituva periodi~nosta na funkcijata, ako ima smisla za toad a se zboruva za dadena funkcija; 5) Se nao|aat to~kite na prekin, ako postojat i se ispituva povedenieto na funkcijata vo blizina na tie to~ki; 6) Se nao|aat asimtotite na grafikot na funkcijata (ako ima); 7) Se presmetuva prviot izvod na funkcijata i se opredeluvaat stacionarnite to~ki; 8) Se ispituva znakot na prviot izvod i se opredeluvaat intervalite na monotonost; 9) Se nao|aat ekstremnite vrednosti i se odreduva nivnata priroda. Sega }e go ispitame tekot na pove}e funkcii, so redosled iska`an vo op{tata {ema i }e go konstruirame grafikot na dadenata funkcija. Primer 12 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 2 4 x 3 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin. Prese~nite to~ki so koordinatnite oski se A(0,3)(so y-oskata) i B(1,0) i C(3,0) ( presek so x-oskata koi se dobivaat so re{avawe na ravenkata x2 4x 3=0) . Prviot f'(x)= 2 x 4 koj e ednakov na nula za x=2. o~igledno f'(x)<0 za x<0 i f'(x)>0 za x>2, {to zna~i prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven i zatoa ima minimum za x=2 f(2)=-1. Za sekoj x (,2] funkcija monotono opa|a , a za sekoj x [2,) . Koga x f (x) . (Crt. 15)
Crt.15 Primer 13 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 3 3x 2 1 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti. Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,1). Prviot f'(x)= f'(x)= 3 x2 3 ,a od f'(x)= =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x =-1 i x =1 . Vtoriot izvod na 3(x 1) (x 1) 1 2 funkcijata e f''(x)= 6 x . f(1)=1>0 sleduva deka funkcijata ima minimum ednalov na -1 , a f’’(-1) =-6<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima maksimum ednakov na 3. Za sekoj x (1,1) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x (,1) (1,) funkcijata raste. Koga x f (x) ,a koga x f (x) . (Crt. 16)
9 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Crt.16 Primer 14 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 3 x 2 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti. Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,-2), a so h-oskata prese~nata to~ka e V(1,0). Prviot f'(x)= 3 x2 1>0 za sekoj realen broj {to zna~i deka funkcijata raste vo celata obast na opredelenost i nema ekstremni vrednosti. Koga x f (x) ,a koga x f (x) x f (x) . (Crt. 17)
Crt. 17 Primer 15 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 4 4 x 2 2 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti. Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,2), a so h-oskata prese~ni to~ki se V( S(
2
2 ,0), D(
2
2 ,0), E (
2
2 ,0). Prviot
2
2 ,0),
3 f'(x)= 8 x 4 x , a od
2
2 i x2 =0, x3 = 2 . f'(x)= 4 x 2 x =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1 = 2 Vtoriot izvod na funkcijata e f''(x)= 8 12 x . f’’(0)=-8<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 2 , a f’’( 2 ) =16>0 i f’’( 2 ) =16<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -2., Za sekoj x (, 2 ) (0, 2 ) funkcija
monotono opa|a , a za sekoj x ( 2 ,0) ( 2 ,0) . Koga x f (x) . (Crt. 18)
10 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Crt. 18 Primer 16 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
2x 1 i da se nacrta x 1
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}. Taa e prekinata vo to~kata h=1 i pravata h=1 e vertikalna asimtota i grafikot na funkcijata }e se pribli`uva do asimptotata na sledniov na~in: Od
lim
2x 1
x x 1
2
2x 1 2 x 1 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 .
sleduva deka pravata u=2 e horizontalna asimtota. Prese~nita
to~ka so y-oskata e A(0,-1), a so h-oskata prese~ni to~ki se V( 2 ( x 1)
( 2 x 1) ( x 1)
1 ,0). Prviot f'(x)= 2
<0 sleduva deka prviot izvod e negativen za sekoj h od definicionata
2
oblast , {to zna~i funkcijata nema ekstrem t.e. funkcijata monotono opa|a co celata oblast na oredelenost. (Crt. 19)
Crt. 19 Primer 17 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
x i da se nacrta x 1 2
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i x 2 1 0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od
lim
x
x x2 1
0
sleduva deka pravata u=0 e
11 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
horizontalna asimtota. Funkcijata e neparna zatoa {to x x f ( x) 2 f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e simetri~en vo 2 ( x) 1 x 1 1 x2 (1 x)(1 x) . Od f’(x)=0 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 2 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=-1 i h2=1 prviot izvod e negativen za sekoj x (,1) (1,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj x (1,1) e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na 1 1 , a vo to~kata so apcisa h=1 ima maksimum ednakov na . Koga x f ( x) 0 . 2 2 (Crt. 20)
odnos na koordinatniot po~etok. Prviot izvod e f'(x)=
Crt. 20 Primer 18 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) xe x i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i e x 0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim xe x 0 sleduva deka pravata u=0 e horizontalna x
asimtota. Prviot izvod e f'(x)= (1 x)e x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarna to~ka se h=1, prviot izvod e pozitiven negativen za sekoj x (,1) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x (1,) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata 1 so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na e 1 . Koga x f (x) ,a koga e x f (x) x f ( x) 0 . (Crt. 21)
Crt. 21 12 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Primer 19: Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 3 x 2 4 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata. Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,4), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-1,0) i C(4,0). Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= 3x 2 6 x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 i h2=2.. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 6x-6. f(0)=6<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 4 , a f’’(2) =6>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 0. Za sekoj x (0,2) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x (,0) (2,) funkcijata raste. Koga x f (x) ,a koga x f (x) . (Crt. 22)
Crt. 22 Primer 20: Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) x 4 8x 2 7 i da se nacrta nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata. Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,7), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-3,0) C(-1,0), D(1,0). i E(3,0). Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= 4 x 3 16 x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 , h2=-2. i h3=2. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 12x2 -16. f(0)=-16<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 7 , a f’’( 2) =32>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -9. Za sekoj x (,2) (0,2) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x (2,0) (2,) funkcijata raste. Koga x f (x) . (Crt. 23)
Crt. 23 13 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Primer 21 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
1 i da se nacrta x 1 2
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i x 2 1 0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata 1 A(0,1). Od lim 2 0 sleduva deka pravata u=0 e horizontalna asimtota. Funkcijata x x 1 1 1 e parna zatoa {to f ( x) 2 f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e 2 ( x) 1 x 1 2x simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 (1 x 2 ) 2 sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e negativen za sekoj x (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj x (,0) e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima maksimum ednakov na 1. Koga x f ( x) 0 . (Crt. 24)
Crt. 24 x2 1 Primer 22 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 2 i da se nacrta x 1 nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i x 2 1 0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata x2 1 1 sleduva deka pravata u=1 e horizontalna asimtota. Funkcijata A(0,-1). Od lim 2 x x 1 ( x) 2 1 x 2 1 f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e e parna zatoa {to f ( x) ( x) 2 1 x 2 1 4x simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 (1 x 2 ) 2 sleduva deka stacionarna to~ka e h 1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj x (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x (,0) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 1. Koga x f ( x) 1 . (Crt. 25)
14 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Crt. 24 Primer 23 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
1 x i da se nacrta 1 x
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e 1 x to~kata A(0,1). Od lim 1 sleduva deka pravata u=-1 e horizontalna asimtota. x 1 x Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga x 1 f ( x) , a koga 2 . Prviot izvod e pozitiven za sekoj x 1 f ( x) . Prviot izvod e f'(x)= (1 x) 2 realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema ekstremi. Koga x f ( x) 1 . (Crt. 25)
Crt. 25 Primer 24 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
x i da se nacrta 1 x2
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so x 0 sleduva deka koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim x 1 x 2 pravata u=0 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti. Koga x 1 f ( x) , a koga x 1 f ( x) . Koga x 1 f ( x) , a koga x2 1 . Prviot izvod e pozitiven za sekoj x 1 f ( x) . Prviot izvod e f'(x)= (1 x 2 ) 2 realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema ekstremi. Koga x f ( x) 0 . (Crt. 26)
15 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
Crt. 26 Primer 25 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
x2 i da se nacrta 1 x2
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so x2 koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim 1 sleduva deka x 1 x 2 pravata u=-1 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti. Koga x 1 f ( x) , a koga x 1 f ( x) . Koga x 1 f ( x) , a koga 2x . Od f’(x)=0 sleduva deka x 1 f ( x) . Prviot izvod e f'(x)= (1 x 2 ) 2 stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj x (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x (,0) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 0. Koga x f ( x) 0 . (Crt. 27)
Crt. 27 Primer 26 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)
x2 i da se nacrta x 1
nejziniot grafik. Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0).Funkcijata nema horizontalna asimtota. Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga x 1 f ( x) , a koga x 1 f ( x) . Za kosata asimptota y=kx+n dobivame 16 _____________________________________________________________________________
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________
k lim
x
f ( x) x2 1 lim 2 lim 1, x x x x 1 x 1 x
x2 1 n lim [ f ( x) kx] lim x lim 1 {to zna~i deka y=x+1 e kosa asimtota. x x x 1 x 1 1 x 2 x 2x Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=0 i h2=2 . (1 x) 2 2 Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= . f(0)=-2<0 sleduva deka funkcijata ima (1 x) 3 maksimum ednalov na 0 , a f’’(2) =2>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 4. Prviot izvod e pozitiven za sekoj x (,0) (2,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x (0,2) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. (Crt. 28)
Crt. 28
17 _____________________________________________________________________________