Konstrukcija na grafici

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Voved Elementarnite postapki za utvrduvawe na nekoi svojstva na funkciite, na primer, monotonost , ili postoewe na ekstremi seu{te ne ni ovozmo`uvaat da go utvrdime tekot na dadena funkcija vo nejzinata oblast na opredelenost. Precizno ispituvawe na tekot na diferencijabilnite funkcii se vr{i so pomo{ na prviot i vtoriot izvod. So nivna pomo{ }e go ispituvame povedenieto na dadena funkcija, ne samo vo nekoja to~ka od oblasta na opredelenost tuku i vo celata oblast na opredelenost. Ovde pred sé, }e se zadr`ime na ispituvawe na monotonost na funkcijata i opredeluvawe na ekstreminite vrednosti.Prethodno }e gi dademe osnovnite pravila za opredeluvawe na monotonost na funkcija i ekstremni vrednosti na funkcija , potoa }e razgledame pove}e primeri, vo koi {to }e treba da go konstruirame grafikot na dadenata funkcija preku op{ta {ema.

1. Rastewe i opa|awe na funkcija Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b).

Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i monotono

raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{: f’(x)

1)

0 (f’(x) 0) x (a,b) Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i neka se x, x+h (a,b).(Crt.1)

y f(x) f(x+h)-f(x)

O

x

x+h

x

Crt.1 Toga{: f(x+h)-f(x)>0 k oga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{: f( x  h) f( x) f ( x  h) f ( x)  0 od kade {to sleduva: lim  f ' ( x )  0 {to h  0 h h treba{e da se doka`e.

Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka.

Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako f’(x)<0 .

Primer 1: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2 , x R. Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na intervalot  0    b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot    0 v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika stacionarna to~ka (Crt. 2).

1)

Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)

1 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________ Crt.2 y

4

2

x

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni to~ki na funkcijata f(x).

Primer 2: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, ) Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;     a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za x  0,  b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za x   ,  v) f'(x) =0 t.e cosx=0,  2 2   za x  .

2   Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot 0,  , monotono  2    opa|a na intervalot  ,  , a stagnira vo to~kata x  . (Crt. 3).

2 2  Crt.3 y

1

x 



-1

   Primer 3: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot   ,  .  2 2 1    Re{enie: Bidej}i f' (x)  f'(x) za x    ,  zaklu~uvame deka funkcijata 2 cos x  2 2    f(x)=tgx monotono raste na intervalot   ,  (Crt. 4).  2 2 Crt.4 y

5

x 

-5

Primer 4: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x .

2 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Re{enie: Bidej}i f' (x)  2 x ln2  0 za sekoj x  R zaklu~uvame deka funkcijata f(x)=2x monotono raste na intervalot  , (Crt. 5).

Crt.5 y

8

6

4

2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

Primer 5: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 .

Re{enie: Bidej}i f' (x)  3x 2  0 za sekoj x  R \ {0} zaklu~uvame deka funkcijata f(x)=x3 monotono raste na intervalot  , (Crt. 6).

Crt.6 y

25

x

-5

0

5

-25

Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore izlo`enite teoremi: a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x  (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7a). b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, x  (a, b) , toga{ tangentata vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7b).

y

 O

b)

y

a)



 x

O

 x

Crt.7

3 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

2. Ekstremni vrednosti na funkcija

Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za x0  (a, b) , ako postoi x  ( x0   , x0   ) i x  x0 va`i neravenstvoto f ( x)  f ( x0 ), ( f ( x)  f ( x0 )) (Crt.8). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa x0 vo koja {to funkcijata ima maksimum (Crt.8/a) go odeluva intervalot na rastewe od intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa x0 (Crt.8/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.

broj

takov

{to

za

sekoj

y

y

a)

O

x0  

x0

x0  

x

b)

O

x0  

x0

x0  

x

Crt.8 Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa x0 toj e dnakov na 0 t.e. f’(x)=0.

Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa x0 e paralena so apcisnata oska .

Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo: Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata x  x0  D , toga{ f’(x)=0.

No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema ekstrem. Na primer, funkcijata f(x)=x3 vo to~kata x0 =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za x0 =0, nema ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost.

Od prethodniov primer mo`e da se zaklu~i deka f’(x0 )=0 e samo potreben uslov, no, ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo x0 ima ekstrem. .

Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka x0 za koja f’(x0 )=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od definiciite za ekstremi i glasat: a) Ako f ’(x)>0 za x < x0 i f ’(x)<0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata x0 raste, a desno od to~kata x0 opa|a, toga{ f(x0 ) e najgolema vrednost na f(x) vo intervalot ( x0   , x0   ) i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata. b) Ako f ’(x)<0 za x < x0 i f ’(x)>0 za x > x0 , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata x0 opa|a, a desno od to~kata x0 raste, toga{ f(x0 ) e najmala vrednost na f(x) vo intervalot ( x0   , x0   ) i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata. v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj x  ( x0   , x0   ) , t.e. f ’(x) ne go menuva znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata x0 , toga{ funkcijata nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 .

Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0 , vo koja f’(x)=0, 4 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

 prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{ funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum.  prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum.  prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti.

Primer 6: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula vo to~kata x0 =0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x0 =0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.9)

Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata x  D mo`e da ima ekstrem iako vo taa to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot .  x, x  0

 1, x  0

Primer 7: Funkcijata f (x)  x   ima prv izvod f ' (x)   koj {to go  x, x  0  1, x  0 menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0 =0, pa spored toa vo to~kata ima minimum, iako f’(0) ne postoi.(Crt.10) y

5

4

3

2

1

x -3

-2

-1

0

1

2

3

Crt.10 Primer 8: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata x3 f (x)   2x 2  3x  1 3 Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: f ' (x)  x 2  4x  3 . So re{avawe na ravenkata x 2  4x  3  0 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa f ' (x)  (x  1)(x  3) .

Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat stacionarni to~ki na funkcijata.

Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima 7 maksimum {to e ednakov na f ( x )  . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata 3 ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.11)

5 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Crt.11 Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka.

Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka x0 i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se utvduva, vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0 . dali funkcijata raste ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e da se utvrdi dali funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0 .

O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ nejziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0.

Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0.

Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo: Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum.

Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0 )=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na prviot izvod na funkcijata.

Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3 , {to ednakov na nula vo to~kata x0 =0. No vo taa to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne dava mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0 =0 i od koj vid e toj ekstrem. So utvrduvawe na znakot na prviot izvod vo taa to~ka (go menuva znakot od negativen vo poziteven) zaklu~uvame deka funkcijata vo x0 =0 ima minimum. (Crt.12)

6 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________ y

5

4

3

2

1

x

0 -1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Crt.12 Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na sveduva na slednovo pravilo: 1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).

funkcijata f(x) se

2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se opredeluvaat stacionarnite to~ki.

3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja stacionarna to~ka, posebno.

Primer 9: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata: f(x)=2x3 -9x2 +12x.

Re{enie: 1o: f’(x)=6x2 -18x+12 2o f(‘x)=0 sleduva 6x2 -18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1 =1 i x2 =2 3o f’’(x)=12x-18 Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1 =1 ednakov na f(1) =5, f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2 =2 ednakov na f(2) =4.(Crt.13)

Crt.13

Primer 11: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx , x[0,].

Re{enie: 1o: f’(x)=cosx  3 2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1 = i x2 = 2 2 3o f’’(x)=-sinx

7 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(

 )=2

  =-1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1 = ednakov na 2 2  3 3 f( ) =1, f”( )=sin =-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata 2 2 2 3 3 x2 = ednakov na f( ) =-1.(Crt.14) 2 2

sin

Crt.14

3. Asimtoti Pri konstrukcijata na grafikot na funkcijata f(x) treba da se odredat i asimtotite (ako funkcijata ima ) koi davaat mo`nost z a poprecizno konstruirawe na grafikot. Za taa cel }e definirame koja prava e asiptota (vertikalna, horizontalna i kosa ), a vo ispituvaweto na tekot na funkcijata (vo dolunavedinite primeri) }e poka`eme i kako tie se nao|aat.

1. Pravata x=a e vertikalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako lim f ( x)   x a

2. Pravata x=b e horizontalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako lim f ( x)  b x 

3.Pravata y=kx+n e kosa asimtota na funkcijata y=f(x) ako f ( x) k  lim , n  lim ( f ( x)  kx) x  x  x

4. Op{ta {ema za ispituvawe na funkcii Kako {to vidovme prethodno, prviot i vtoriot izvod na funkcijata, ni davaa mo`nost za ispituvawe na monotonosta i ekstremnite vrednosti na funkcijata.

Koristej}i gi elementarnite postapki za ispituvawe na drugite svojstva na funkcijata (parnost, periodi~nost i dr) i odreduvaweto na asimptotite na grafikot dobivame celosna slika za tekot na funkcijata i mo`eme nego grafi~ki da go pretstavime.

Ispituvaweto na tekot na funkcijata }e go vr{ime po slednava op{ta {ema za ispituvawe na funkcijata: 1) Se opredeluva oblasta na opredelenost; 2) Se nao|aat prese~nite to~ki na grafikot so koordinatnite oski; 8 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

3) Se ispituva parnosta ili neparnosta na funkcijata, ako taa e opredelena na simetri~na oblast; 4) Se ispituva periodi~nosta na funkcijata, ako ima smisla za toad a se zboruva za dadena funkcija; 5) Se nao|aat to~kite na prekin, ako postojat i se ispituva povedenieto na funkcijata vo blizina na tie to~ki; 6) Se nao|aat asimtotite na grafikot na funkcijata (ako ima); 7) Se presmetuva prviot izvod na funkcijata i se opredeluvaat stacionarnite to~ki; 8) Se ispituva znakot na prviot izvod i se opredeluvaat intervalite na monotonost; 9) Se nao|aat ekstremnite vrednosti i se odreduva nivnata priroda.

Sega }e go ispitame tekot na pove}e funkcii, so redosled iska`an vo op{tata {ema i }e go konstruirame grafikot na dadenata funkcija.

Primer 12 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 2  4 x  3 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin. Prese~nite to~ki so koordinatnite oski se A(0,3)(so y-oskata) i B(1,0) i C(3,0) ( presek so x-oskata koi se dobivaat so re{avawe na ravenkata x2  4x  3=0) .

Prviot f'(x)= 2 x  4 koj e ednakov na nula za x=2. o~igledno f'(x)<0 za x<0 i f'(x)>0 za x>2, {to zna~i prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven i zatoa ima minimum za x=2 f(2)=-1. Za sekoj x  (,2] funkcija monotono opa|a , a za sekoj x  [2,) . Koga x    f (x)   . (Crt. 15)

Crt.15 Primer 13 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 3  3x 2  1 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.

Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,1). Prviot f'(x)= f'(x)= 3 x2  3 ,a od f'(x)= =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x =-1 i x =1 .

Vtoriot izvod na 3(x  1) (x  1) 1 2 funkcijata e f''(x)= 6 x . f(1)=1>0 sleduva deka funkcijata ima minimum ednalov na -1 , a f’’(-1) =-6<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima maksimum ednakov na 3. Za sekoj x  (1,1) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x  (,1)  (1,) funkcijata raste. Koga x    f (x)   ,a koga x    f (x)   . (Crt. 16)

9 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Crt.16 Primer 14 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 3  x  2 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.

Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,-2), a so h-oskata prese~nata to~ka e V(1,0). Prviot f'(x)= 3 x2  1>0 za sekoj realen broj {to zna~i deka funkcijata raste vo celata obast na opredelenost i nema ekstremni vrednosti. Koga x    f (x)   ,a koga x    f (x)   x    f (x)   . (Crt. 17)

Crt. 17 Primer 15 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 4  4 x 2  2 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.

Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,2), a so h-oskata prese~ni to~ki se V( S(

2

2 ,0), D(

2

2 ,0), E (

2

2 ,0). Prviot

2

2 ,0),

3 f'(x)= 8 x 4 x , a od

2

2 i x2 =0, x3 = 2 . f'(x)= 4 x 2 x =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1 = 2 Vtoriot izvod na funkcijata e f''(x)= 8 12 x . f’’(0)=-8<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 2 , a f’’( 2 ) =16>0 i f’’( 2 ) =16<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -2., Za sekoj x  (, 2 )  (0, 2 ) funkcija

monotono opa|a , a za sekoj x  ( 2 ,0)  ( 2 ,0) . Koga x    f (x)   . (Crt. 18)

10 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Crt. 18 Primer 16 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

2x  1 i da se nacrta x 1

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}. Taa e prekinata vo to~kata h=1 i pravata h=1 e vertikalna asimtota i grafikot na funkcijata }e se pribli`uva do asimptotata na sledniov na~in: Od

lim

2x  1

x  x 1

2

2x  1 2 x 1 lim   lim       x 1 x 1 x 1 x  1 .

sleduva deka pravata u=2 e horizontalna asimtota. Prese~nita

to~ka so y-oskata e A(0,-1), a so h-oskata prese~ni to~ki se V(  2 ( x  1)



( 2 x  1) ( x  1)

1 ,0). Prviot f'(x)= 2

<0 sleduva deka prviot izvod e negativen za sekoj h od definicionata

2

oblast , {to zna~i funkcijata nema ekstrem t.e. funkcijata monotono opa|a co celata oblast na oredelenost. (Crt. 19)

Crt. 19 Primer 17 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

x i da se nacrta x 1 2

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i x 2  1  0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od

lim

x

x   x2  1

0

sleduva deka pravata u=0 e

11 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

horizontalna asimtota.

Funkcijata e neparna zatoa {to x x f (  x)   2   f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e simetri~en vo 2 (  x)  1 x 1 1 x2 (1  x)(1  x) . Od f’(x)=0  2 2 (1  x ) (1  x 2 ) 2 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=-1 i h2=1 prviot izvod e negativen za sekoj x  (,1)  (1,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj x  (1,1) e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na 1 1  , a vo to~kata so apcisa h=1 ima maksimum ednakov na . Koga x    f ( x)  0 .

2 2 (Crt. 20)

odnos na koordinatniot po~etok. Prviot izvod e f'(x)=

Crt. 20 Primer 18 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  xe  x i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i e  x  0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim xe  x  0 sleduva deka pravata u=0 e horizontalna x 

asimtota. Prviot izvod e f'(x)= (1  x)e  x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarna to~ka se h=1, prviot izvod e pozitiven negativen za sekoj x  (,1) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x  (1,) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata 1 so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na e 1  . Koga x    f (x)   ,a koga e x    f (x)   x    f ( x)  0 . (Crt. 21)

Crt. 21 12 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Primer 19: Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 3  x 2  4 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.

Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,4), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-1,0) i C(4,0).

Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= 3x 2  6 x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 i h2=2.. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 6x-6. f(0)=6<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 4 , a f’’(2) =6>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 0. Za sekoj x  (0,2) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x  (,0)  (2,) funkcijata raste. Koga x    f (x)   ,a koga x    f (x)   . (Crt. 22)

Crt. 22 Primer 20: Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  x 4  8x 2  7 i da se nacrta nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.

Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,7), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-3,0) C(-1,0), D(1,0). i E(3,0). Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= 4 x 3  16 x . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 , h2=-2. i h3=2. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 12x2 -16. f(0)=-16<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 7 , a f’’(  2) =32>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -9. Za sekoj x  (,2)  (0,2) funkcija monotono opa|a , a za sekoj x  (2,0)  (2,) funkcijata raste. Koga x    f (x)   . (Crt. 23)

Crt. 23 13 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Primer 21 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

1 i da se nacrta x 1 2

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i x 2  1  0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata 1 A(0,1). Od lim 2  0 sleduva deka pravata u=0 e horizontalna asimtota. Funkcijata x  x  1 1 1 e parna zatoa {to f ( x)   2  f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e 2 (  x)  1 x  1  2x simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 (1  x 2 ) 2 sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e negativen za sekoj x  (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj x  (,0) e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima maksimum ednakov na 1.

Koga x    f ( x)  0 . (Crt. 24)

Crt. 24 x2 1 Primer 22 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x)  2 i da se nacrta x 1 nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i x 2  1  0 . Taa e neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata x2 1  1 sleduva deka pravata u=1 e horizontalna asimtota. Funkcijata A(0,-1). Od lim 2 x  x  1 ( x) 2  1 x 2  1   f ( x) , {to zna~i deka nejziniot grafik e e parna zatoa {to f ( x)  ( x) 2  1 x 2  1 4x simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 (1  x 2 ) 2 sleduva deka stacionarna to~ka e h 1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj x  (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x  (,0) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 1. Koga x    f ( x)  1 . (Crt. 25)

14 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Crt. 24 Primer 23 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

1 x i da se nacrta 1 x

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e 1 x to~kata A(0,1). Od lim  1 sleduva deka pravata u=-1 e horizontalna asimtota. x  1  x Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga x  1  f ( x)   , a koga 2 . Prviot izvod e pozitiven za sekoj x  1  f ( x)   . Prviot izvod e f'(x)= (1  x) 2 realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema ekstremi. Koga x    f ( x)  1 . (Crt. 25)

Crt. 25 Primer 24 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

x i da se nacrta 1 x2

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so x  0 sleduva deka koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim x  1  x 2 pravata u=0 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti. Koga x  1  f ( x)   , a koga x  1  f ( x)   . Koga x  1  f ( x)   , a koga x2 1 . Prviot izvod e pozitiven za sekoj x  1  f ( x)   . Prviot izvod e f'(x)= (1  x 2 ) 2 realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema ekstremi. Koga x    f ( x)  0 . (Crt. 26) 

15 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

Crt. 26 Primer 25 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

x2 i da se nacrta 1 x2

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so x2 koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od lim  1 sleduva deka x  1  x 2 pravata u=-1 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti.

Koga x  1  f ( x)   , a koga x  1  f ( x)   . Koga x  1  f ( x)   , a koga 2x . Od f’(x)=0 sleduva deka x  1  f ( x)   . Prviot izvod e f'(x)= (1  x 2 ) 2 stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj x  (0,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x  (,0) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 0. Koga x    f ( x)  0 . (Crt. 27)

Crt. 27 Primer 26 : Da se ispita grafikot na funkcijata f ( x) 

x2 i da se nacrta x 1

nejziniot grafik.

Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0).Funkcijata nema horizontalna asimtota. Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga x  1  f ( x)   , a koga x  1  f ( x)   . Za kosata asimptota y=kx+n dobivame 16 _____________________________________________________________________________

Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite _____________________________________________________________________________

k  lim

x 

f ( x) x2 1  lim 2  lim  1, x  x  x x  1 x 1 x

 x2  1 n  lim [ f ( x)  kx]  lim   x   lim  1 {to zna~i deka y=x+1 e kosa asimtota. x  x  x  1 x  1   1 x 2 x  2x Prviot izvod e f'(x)= . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=0 i h2=2 .

(1  x) 2 2 Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= . f(0)=-2<0 sleduva deka funkcijata ima (1  x) 3 maksimum ednalov na 0 , a f’’(2) =2>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 4. Prviot izvod e pozitiven za sekoj x  (,0)  (2,) {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj x  (0,2) e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. (Crt. 28)

Crt. 28

17 _____________________________________________________________________________