Krivi od vtor red

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________

Voved Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekt (to~ki, linii, ramnini i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algebrata.

Prv najva`en ~ekor na analita~kata geometrija e napraven so voveduvaweto na koordinatniot sistem i opredeluvawe na polo`bata na koja bilo to~ka vo ramninata (prostorot) so pomo{ na broevi nare~eni koordinati na taa to~ka. Na ovoj na~in ima mo`nost da so broevi i brojni izrazi da se izrazuvaat i poslo`eni geometriski objekti. Vakviot na~in e nare~en metod na analiti~kata geometrija ili metod na koodinati.

Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i, toa se:

1.

Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite svojstva, i 2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so nejzinata ravenka .

Da go razgledame pra{aweto na sostavuvawe na ravenki na nekoi krivi linii poznati kako krivi od vtor red ili konusni preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola.

Ovie krivi, kako {to se gleda od crt. 1 se dobivaat vo presekot na ispravena konusna povr{ina so ramnina vo razli~na polo`ba, pa ottamu i imeto konusni preseci.

Crt. 1 Ravenkite na ovie krivi se ravenki od vtor stepen po promenlivite h i u ( koordinati na to~kite) t.e. ravenki od vidot:

Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 kade {to A,B,C,D,E,F se realni broevi , barem eden od koeficientite A,B,C e razli~en od nula. Zatoa ovie krivi se poznati u{te i kako krivi od vtor red.

Zabele{ka : Krivite od vtor red bile izu~uvani u{te od starogr~kite matemati~ari (Arhimed, Evklid, Apolonij i dr.) i tie glavno girazgleduvale kako presek na konus so ramnina.

Apolonioj od Perga vo svoeto delo "Konusni preseci" vo osum knigi, ja razviva teorijata na krivite od vtor red, strogo i sistematski, so tolkava celosnost , taka {to dva mileniuma nemalo {to da i se dodade ili odzeme. Toj gi razgleduval krivite od vtor red kako preseci na k onus so ramnina, a voedno toj gi dal i aktuelnite imiwa na tie preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola. .

Interesot za nivno detalno izu~uvawe osobeno se zgolemil po otkritieto deka planetite se dvi`at po krivi (traektorii) {to pretstavuvaat elipsi ( vo po~etokot na XVII vek), i ottoga{ po~nalo izu~uvaweto na krivite od vtor red so metodite na analiti~kata geometrija.

Kru`nica. Ravenka na kru`nica

y M(x,y)

Definicija: Kru`nica e mno`estvo na site to~ki M (x,y) vo ramninata xOy koi se na ednakvo rastojanie r od dadena to~ka S( p,q) vo taa ramnina.

So drugi zborovi, kru`nica K e mno`estvoto K  M ( x, y) | SM  r …………………..……………….... (1) To~kata S ja vikame centar, a rastojanieto r radius na kru`nicata.

Sega }e vidime kako se nao|a ravenkata na kru`nicat a. Od definicijata sleduva deka za koja bilo to~ka M(x,y) K va`i:



r S(p,q) x Crt.1



2

SM  r odnosno SM  r 2 . Koristej}i ja formulata za rastojanie me|u dve to~ki t. e.

M 1 M 2  d(M1 ,M 2 )  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 rastojanieto SM go izrazuvame so koordinatite na to~kite M(x,y) i S(p,q) i ravenstvoto (1) go zapi{uvame vo vidot: (x  p) 2  (y  q) 2  r 2 ……………………………………………………………………....……………….(2)

1 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Ravenkata (2) pretstavuva ravenka na k ru`nica so centar vo to~kata S(p,q) i radius r vo normalen vid. Ako centarot na kru`nicata se sovpa|aa so koordinatniot po~etok O, toga{ p=q=0 i ravenkata (2) na kru`nicata go dobiva vidot:

x 2  y 2  r 2 …………………..………………………..………………………………….(3) i se narekuva centralna ravenka na kru`nicata.

Primer 1: Da ja sostaveme ravenkata na kru`nicata so radius r =5 i centar vo S (2,-4).

M(x,y) Re{enie: Ako vo ravenkata (2) zamenime r=5, p=2, q=-4 , dobivame ( x  2) 2  ( y  4) 2  25 r Primer 2: Ravenkata na kru`nicata so centar vo koordinatniot OS x po~etok i radius 7 }e glasi: x 2  y 2  49 Sega }e poka`eme deka, ravenkata na kru`nicata e specijalen slu~aj na op{tata ravenka od vtor stepen Ax 2  Bxy Cy2  Dx  Ey F  0 ……………………..………...………………..(4) Crt.2 Navistina, ako vo ravenkata na kru`nicata (2) gi razvieme kvadratite na binomite, dobivame: x 2  y 2  2 px  2qy  p 2  q 2  r 2  0 ……………………….………..…………………….(5) Sporeduvaj}i gi ravenkite (4) i (5) zaklu~uvame deka, ravenkata (4) mo`ebi }e pretstavuva ravenka na kru`nica ako se ispolneti relaciite: A  C  0, B  0 pri koi taa ima vid : Ax 2  Ay 2  Dx  Ey F  0 ………………………….………………………………………….…………(6) ili ako dvete strani gi podeleme so A dobivame: D E F x 2  y 2  x  y  0 ………………………….…………….……..…..………………….(7) A A A Sporeduvaj}i ravenkite (5) i (6) sleduva deka: D D   2p   p    A 2A  E E  2q   q    ………………………...…………………………….…..…………..(8) A 2A  F F p2  q2  r 2   r 2  p2  q2   A A  od kade {to sleduva: F D2 E2 F D 2  E 2  4 AF 1      D 2  E 2  4 AF ………..….....…(9) 2 2 2 A A 2A 4A 4A 4A Zna~i, (4) pri uslov ravenkata A  C  0, B  0 , geometriski mo`e da pretstavuva: r

1.

2.

p2  q2 

kru`nica-ako D 2  E 2  4 AF >0; to~ka-ako D 2  E 2  4 AF =0

3. prazno mno`estvo(ni{to)- ako D 2  E 2  4 AF <0.

Ravenkata na kru`nicata vo oblikot (6) ja vikame op{t vid ravenka na kru`nica.

Primer 3: Da gi opredeleme centarot i radiusot na kru`nicata.

4 x 2  4 y 2  80 x  12 y  9  0 Re{enie: Prvo da proverime dali e ispolnet uslovot dadenata ravenka da pretstavuva kru`nica. Za koeficientite na dadenata kru`nica imame: A=C=4, B=0, D=80, E=12, F=9, {to zna~i prviot uslov (6) e zadovolen.

Bidej}i D 2  E 2  4 AF  80 2  12 2  4  40  9  6400  144  1440  0, zadovolen e i vtoriot uslov, pa sleduva deka dadenata ravenka e ravenka na kru`nica. Ako koeficientite A,D E i F gi zamenime vo relaciite 12 3 80 9 9   , r 2  100    100, a potoa niv gi zamenuvame so  10, q   (9) dobivame: p   24 2 24 4 4 3 2 2 ravenkata (2) i ja zapi{uvame ravenkata na kru`nicata vo normale n vid: ( x  10)  ( y  )  100 .

2 Zabele{ka : Vo praktikata, naj~esto op{tiot vid na ravenkata na kru`nicata go sveduvame vo normalen vid taka {to kvadratniot i liniarniot ~len po x i y gi nadopolnuvame do poln kvadrat . Taka za dadenata ravenka imame: 9 4 x 2  4 y 2  80 x  12 x  9  0 x 2  y 2  20 x  3x   0 4

x

2

2

 20   20   20 x       2   2 

2

+

3 3 y 2  3y       2   2 2

2

  94  0

2 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ 2

2

3 3   (x  10) 2   y    100  0 t. e. (x  10) 2   y    100  0 2 2   Primer 4: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata {to gi dopira dvete koordinantni oski i minuva niz to~kata A (2,1).

Re{enie: Vo ovoj slu~aj o~igledno e deka p=q=r, pa so zamena na x,y so koordinatite na to~kata A vo ravenkata na kru`nicata (2) dobivame: (2  r ) 2  (1  r ) 2  r 2 4  4r  r 2  1  2r  r 2  r 2 r 2  6r  5  0 t. e. r1  1 i r2  5.

Spored toa, dobivame dve kru`nici koi gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata. Nivnite ravenki se: ( x  1) 2  ( y  1) 2  1 i ( x  5) 2  ( y  5) 2  25 Primer 5: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata koja minuva niz to~kite A(-1,2) i B (6,9), a centarot i e na x-oskata.

Re{enie: Bidej}i centarot S le`i na x -oskata, negovite koordinati se p i q=0, t. e. S(p,0 ), pa ravenkata na kru`nicata }e bide: ( x  p) 2  ( y  0) 2  r 2 t. e. ( x  p) 2  y 2  r 2 . So ogled na toa deka kru`nicata minuva niz to~kite A i B, nivnite koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na kru`nicata, pa imame:

(1  p) 2  2 2  r 2

i

(6  p) 2  9 2  r 2 ,

od

kade

1  2 p  p 2  2  36  12 p  p 2  81 ,14 p  112

p  8.

Ako vrednosta

p  8 ja zamenime vo edna od prethodnite ravenki go dobivame radiusot na

kru`nicata r, t. e. r 2  (1  8)  2 2  81  4  85 . Ravenkata na baranata kru`ni ca e ( x  8) 2  y 2  85.

Primer 6: Da ja opredeleme ravenkata na kru`nicata {to minuva niz to~kite A(2,3) i B(-1,1), a centarot i le`i na pravata l : x  3 y  11  0 .

Re{enie: Da ja ozna~ime so K baranata kru`nica. Bidej}i centarot S (p,q) le`i na dadenata prava imame: p  3q  11  0. Od uslovot A K (2  p) 2  (3  q) 2  r 2 , a od B  K (1  p) 2  (1  q) 2  r 2 .

Zna~i, za opredeluvawe p,q i r dobivame s istem od tri ravenki so tri nepoznati: 7  p  2  p  3q  11  p  3q  11  5  2  2 2  p  q  4 p  6q  13  r  6 p  4q  11 q   .

2  p 2  q 2  2 p  2q  2  r 2  p 2  q 2  2 p  2q  2  r 2  65   2 r   2 7 2 5 2 65 Sleduva, ravenkata na baranata kru`nica e: ( x  )  ( y  )  2 2 2

2. Zaemna polo`ba na prava i kru`nica Od dosega{noto izu~uvawe na geometrijata poznato ti e dek a dadena prava l i kru`nica K mo`e da imaat edna od slednive tri zaemni polo`bi: 1. pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, odnosno pravata ja se~e kru`nicata, 2. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka, odnosno pravata ja dopira kru`nicata , 3. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Ako pravata i kru`nicata se zadadeni so nivnite ravenki, toga{ postapkata za utvarduvawe na ovie odnosi se sveduva na re{avawe sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka  y  kx  n  2 2  Ax  Ay  Dx  Ey  F  0 Imeno, vidovme deka sistemot mo`e da ima: dve realni re{enija (pravata ja se~e kru`nicata); edno re{enie (pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka) i nema re{enie (pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki).

Sega }e ja razgledame zaemnata polo`ba na p rava i kru`nica koristej}i go aparatot na K : ( x  p) 2  ( y  q) 2  r 2 ili analiti~kata geometrija . Neka se dadeni kru`nicata i pravata

l : y  kx  n - vo ekspliciten vid, kx  y  n  0 - vo op{t vid.

Ako so d go ozna~ime rastojanieto na centarot S (p,q ) na kru`nicata K do pravata l mo`ni se slednite tri slu~ai: a) ako d > r, toga{ l  K   , t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki (crt. 1); b) ako d = r, toga{ l  K  T  , t. e. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka (dopirna) to~ka T, odnosno pravata l e tangentana kru`nicata K (crt.2);

3 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________

v) ako d < r, toga{ l  K  M , N  , pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, t. e. pravata ja se~e kru`nicata K, i vikame l e sekanta na kru`nicata K (crt.3).

y

y

y M

T l

d=r

d<r

l

d>r

S

N

S

O

x k

S

O

Crt.1

l

O k

k

Crt.2

Crt.3

Spored formulate za rastojanie od to~ka do prava, za rastojanieto d od centarot S (p,q) na kru`nicata K do pravata l imame: | kp  q  n | ………………………………………………………………………………………………...…(1) d k 2 1 pa pogore iska`anite uslovi za zaemnata polo`ba na pravata i kru`nicata ja dobivaat slednava analiti~ka forma: a) ako d > r | kp  q  n | r k 2  1 , odnosno nemaat zaedni~ki to~ki; b) ako d = r | kp  q  n | r k 2  1 , odnosno kru`nicata K, i toga{ relacijata

(kp  q  n) 2  r 2 (k 2  1), pravata l i kru`nicata K (kp  q  n) 2  r 2 (k 2  1), pravata l }e ja dopira

(kp  q  n) 2  r 2 (k 2  1) …...………………………………………………………………………………(2) }e pretstavuva uslov za dopir na prava l i kru`nica K, v) ako d < r | kp  q  n | r k 2  1 , odnosno (kp  q  n) 2  r 2 (k 2  1), pravata l i kru`nicata K imaat dve zaedni~ki to~ki.

Specijalno, ako kru`nicata K e so centar vo koordinatniot po~etok, toga{ p=q=0 , pa gornite uslovi vo ovoj slu~aj glasat: a) ako d > r

n 2  r 2 (k 2  1) , pravata l i kru`nicata K nemaat zaedni~ki to~ki;

b) ako d = r

n 2  r 2 (k 2  1) , pravata l ja dopira kru`nicata K i relacijata

r 2 (k 2  1)  n 2 ………………………………………..…………………………………………………..………(3) pretstavuva uslov za dopir na pravata l i centralna kru`nica K; v) ako d < r n 2  r 2 (k 2  1) , pravata l i kru`nicata K imaat zaedni~ki to~ki.

Primer 1: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata l : x  y  5  0 i kru`nicata K : ( x  1) 2  ( y  2) 2  25 .

Re{enie: Kru`nicata e so centar vo to~kata S (1,2) i radius r=5 . Rastojanieto d od centarot S (1,2) do pravata e: |1 2  5 | 8 d 2  32 d  4 2 2 2 2 1 1 Bidej}i d 2  32  25  r 2 sleduva d > r, t. e. pravata l i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Zabele{ka : Do istiot zaklu~ok }e dojdeme i ako go razgledame re{enieto na sistemot ravenki: x  y  5  0  y  x  5  y  x  5    2 2 2 2 2 ( x  1)  ( y  2)  25  0 ( x  1)  ( x  5  2)  25  0 2 x  12 x  25  0 Diskriminatata D na kvadratnata ravenka e: D  144  200  56  0 , pa sleduva deka sistemot nema realni re{enija, t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Primer 2: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata l : x  y  2  0 i kru`nicata

K : x 2  y 2  2 x  8 y  2  0.

Re{enie: Koordinatite na centarot i radiusot na kru`nicata se: p  1, q  4, r 2  15. Za rastojanieto od centarot do dadenata prava imame: d 

|1 4  2 | 11



1

.

2

4 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ 1  15  r 2 , t. e. d  r , {to zna~i pravata ja se~e kru`nicata. Neka 2  M , N . Da gi opredelime koordinatite na prese~nite to~ki M i N. Imame: Sleduva:

lK

d2 

y  x  2  2 2 x  y  2x  8 y  2  0

y  x  2  2 2  x  ( x  2)  2 x  8( x  2)  2  0  y  x2  3  29  x1, 2   2 

y  x  2  2  x  3x  5  0

3  29 7  29 3  29 7  29 , ) i N( , ) 2 2 2 2 Primer 3: Z a pravata l : y  kx da gi opredeleme verdnostitena parametarot k taka {to taa:

Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata M (

a) ja presekuva kru`nicata K : x  y  10 x  16  0; b) ja dopira kru`nicata; v) nema zaedni~ka to~ka so taa kru`nica.

Re{enie: Koordinatite na centarot na kru `nicata 2

2

se

p  5,

q  0 i r  9. Rastojanieto d od centarot na kru`nicata do pravata e: 2

l1

y

d

T1 k

S

O

x

| k  (5)  0 | k 2  (1) 2



| 5k | k 2 1

a) Uslovot d < r ,odnosno

ili d 2 

25k 2 k 2 1

.

d 2  r 2 e ispolnet ako

25k 2 k 2 1

9

3 . Zna~i, pravata ja presekuva 4 l2 Crt.4 3 3 kru`nicata za site vrednosti na k takvi {to:   k  .

4 4 3 b) Sli~no kako pod a), od uslovot d = r, dobivame k   . Zna~i, imame dve pravi {to ja dopiraat 4 3 3 kru`nicata; l1 : y  x i l 2 : y   x. Dopirnite to~ki T1  l1  K , T2  l2  K }e gi najdeme kako 4 4 re{enija na sistemite: 3 3   y  x y   x i 4 4   2 2 2 2    x  y  10 x  16  0  x  y  10 x  16  0 T2

25k 2  9k 2  9

16k 2  9

| k |

16 12 16 12 , ) i T2 ( , ) (crt. 4).

5 5 5 5 3 3 3 v) Za | k | , t. e. k   ili k  , pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

4 4 4 Primer 4: Da ja opredelime zaemnata polo`ba na pravata l : x  y  10  0 i kru`nicata soodvetno, od kade dobivame: T1 (

K : x 2  y 2  1.

Re{enie: Da go re{ime sistemot ravenki:  x  y  10  0  y  x  10  2  2 2 x  y  1 2 x  20 x  99  0 Bidej}i diskriminanta na kvadratnata ravenka 2 x 2  20 x  99  0 e D  392  0, zaklu~uvame deka pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.

Primer 5: Da ja opredelime ordinatata q na centarot S na kru`nicata (k ) : ( x  5) 2  ( y  q) 2  20,

taka {to kru`nicata ja dopira pravata (l ) : x  2 y  1  0 .

Re{enie: ]e go koristime uslovot (2) za dopir na prava i kru`nica. Od ravenkite na pravata i 1 1 kru`nicata nao|ame: k  , n  ; centarot na kru`nicata e vo to~kata S (5,q) i r 2  20. Sega, od uslovot 2 2 5 1 2 1 za dopir imame: (  q  )  20(  1) (3  q) 2  25, od kade dobivame q1  8 i q 2  2. Zna~i, postojat 2 2 4 dve kru`nici koi go ispolnuvaat dadenipt uslov: K1 : ( x  5) 2  ( y  8) 2  20 i K 2 : ( x  5) 2  ( y  2) 2  20.

3.Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od kru`nicata 5 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Vo prethodnata to~ka go razgledavme slu~ajot koga pravata l dopira dadena kru`nica K vo edna nejzina to~ka M, koja ja narekuvame dopirna to~ka. Od geometrijata znaeme deka tangentata t m vo dadena to~ka M od kru`nicata e normalna na pravata {to minuva niz centarot S na kru`nicata i to~kata M, t. e. t m  SM (crt. 1). Vrz osnova na ovie fakti }e ja odredime ravenkata na tangentata vo dadena to~ka M od kru`nicata.

Neka se dadeni kru`nicata K so ravenka vo normalen vid

K : ( x  p) 2  ( y  q) 2  r 2 ………………………….…………..…………….………………………(1) i to~kata M ( x1 , y1 )  K . Pravata niz centarot na kru`nicata S (p,q) i

y

T d=r

M ( x1 , y1 ) ima ravenka: SM : y  y1 

tM

y1  q ( x  x1 ). Od uslovot x1  p

go nao|ame koeficientot na pravecot na tangentata

S

kt  

O k Crt.1

x p 1  1 y1  q y1  q x1  p

pa

ravenkata

na

tangentata

t m  SM , k t , t. e. glasi:

x1  p ( x  x1 ) ili y1  q ( x1  p)( x  x1 )  ( y1  q)( y  y1)  0 ……………………………………………..…….…….……………(2) ]e ja trans formirame ravenkata (2) vo vod pogoden za pamtewe i primena. Bidej}i M ( x1 , y1 )  K , va`i:

t m : y  y1  

( x1  p) 2  ( y1  q) 2  r 2 ………………………………………………………….….………………………….(3) Ako gi sobereme ravenkite (2) i (3), po sreduvawe, dobivame: ( x1  p)( x  x1 )  ( y1  q)( y  y1 )  ( x1  p) 2  ( y1  q) 2  r 2 ( x1  p)x  x1  x1  p  ( y1  q)y  y1  y1  q  r 2

( x1  p)( x  p)  ( y1  q)( y  q)  r 2 ………………………..…………….……..……………………….(4) Ravenkata(4) e ravenka na tangenta na kru`nica vo to~kata M ( x1 , y1 )  K .

Specijalno, ako K e centralna kru`nica, t. e. K : x 2  y 2  r 2 , toga{ p  q  0, pa ravenkata na tangentata (4) dobiva vid: x1 x  y1 y  r 2 ………………………………………..……………………………………..….(5) Primer 1: Da napi{eme ravenka na tangenta na kru`nicata K : x 2  y 2  2 x  19  0, vo to~kata

T (1, y  0)(T  K ).

Re{enie: Prvo ja opredeluvame ordinatata na to~kata T od uslovot

y  4. Poradi uslovot

T  K : 12  y 2  2  1  19  0

y  0, go zemame samo re{enieto y  4, pa sleduva dopirnata to~ka da e

T (1,4). Sega ravenkata na kru`nicata K ja sveduvame normalen vid ( x  1) 2  y 2  20, od koj, soglasno so ravenkata (4), ja dobivame ravenkata na baranata tangenta: (1  1)( x  1)  (4  0)( y  4)  20 ili t t : x  2 y  17  0 .

Primer 2: Vo presekot na pravata l : 7 x  y  25  0 i kru`nicata x 2  y 2  25 se konstruirani tangenti.

Da gi napi{eme nivnite ravenki.

Re{enie: Prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata se re{enijata na sistemio ravenki: 7 x  y  25  0  x1  4, x 2  3 . Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i  2  2 y  x  y  25  y1  3, y 2  4

T1 (4,3), T2 (3,4), pa ravenkite na tangentite }e bidat t1 : 4 x  3 y  25  0 i t 2 : 3x  4 y  25  0.

Primer 3: Od to~kata M (1,6) se konstruirani tangenti na kru`nicata

M T1 r

r

T2

se:

kru`nicata x 2  y 2  2 x  19  0. Da gi najdeme ravenkite na tangentite.

S O Crt.2

Re{enie: Poznato e deka od edna nadvore{na to~ka M na kru`nicata K mo`e da se konstruiraat dve tangenti (crt. 2). So dopolnuvawe do poln kvadrat ja zapi{uvame kru`nicata vo normalen vid K : ( x  1) 2  y 2  20,

za koja S (1,0) i r 2  20. Neka ravenkata na tangentata e

t : y  kx  n. ……………………………………………………………….(1) vo koja treba da gi opredelime koeficijentite k i n . Bidej}i M zadovoluvaat ravenkata (1), t. e . imame: 6  k  n ……………………………………………..………………………….……….(2)

t

nejzinite koordinati ja

6 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Uslovot za dopir na pravata (1) i kru`nicata K vo dadeniov slu~aj e (k  (1)  0  n) 2  20(k 2  1), odnosno (k  n) 2  20k 2  20 ili

19k 2  2kn  n 2  20  0. …………………………….……………………..…....(3) Zna~i, za opredeluvawe na k i n go imame sistemot ravenki: k  n  6 ..................................................................(4)  2 2 19k  2kn  n  20  0

1 11 , k 2  2 i n1  , n2  8. So zamena vo (1) gi dobivame tangentite: 2 2 t1 : x  2 y  11  0 i t 2 : 2 x  y  8  0 Pred da go re{ime sledniot primer da se potsetime na defenicijata za normala na kru`nica:normala na kru`nicata vo dadena to~ka od nea e pravata {to e normalna na tangentata vo dadenata to~ka.

Primer 4: Niz to~kata N (2,3), da povle~eme normala na kru`nicata K : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 .

Re{enie: Prvo da proverime dali to~kata N (2,3) pripa|a na kru`nicata. Bidej}i 2 2  32  2  2  4  3  1  20  0 Sleduva deka to~kata N ne e na kru`nicata. Od definicijata za normala na kru`nica sleduva deka normalata mora da minuva niz centarot na kru`nicata. Ravenkata na kru`nicata K vo normalen vid e ( x  1) 2  ( y  2) 2  6 od kade nao|ame S (1,2), r 2  6. Ravenkata na normalata n }e ja opredelime kako ~ii re{enija

se:

k1 

3 2 ( x  1) t. e. 5x  y  7  0 2 1 Primer 5: Da opredelime pod koj agol se gleda kru`nicata K : ( x  2) 2  ( y  1) 2  13 od to~kata M (3,6)?

Re{enie: Baraniot agol e agolot me|u tangentite konstruirani od to~kata M  K do kru`nicata K .Neka ravenkata na tangentata e l : y  kx  n. Od uslovot M  l , dobivame 6=3k + n, a od uslovot za ravenka na prava niz dve to~ki N i S

N (2,3, S (1,2) . Sleduva

n: y2 

dopir na pravata l i kru`nicata K imame: (2k  1  n) 2  13(k 2  1). Zna~i za da gi opredelime k i n, go

3k  n  6 . Otkako }e go re{ime gorniot sistem gi nao|ame tangentite: dobivame sistemot  2 2 (2k  1  n)  13(k  1) 2 t1 : 2 x  3 y  12  0 i t 2 : 3x  2 y  21  0. Koeficientite na pravci na tangentite t1 i t 2 se k1  i 3 3 k 2   soodvetno. Bidej}i k1  k 2  1, sleduva t1  t 2 . Zna~i, od to~kata M kru`nicata se gleda pod 2 prav agol.

4. Elipsa. Centralna ravenka na elipsa 1. Poimot elipsa ti e poznat od geometrijata, geografijata, fizikata i dr. Ovaa kriva e od golema prakti~na va`nost vo mnogu oblasti, od umetnosta do astronomijata. Na primer, kru`en objekt gledan od persperktiva prestsvuva elipsa, prirodnite i ve{ta~kite sateliti se dvi`at po elipti~ni pateki.

Ottamu proizleguva i potrebata za nejzino detalno prou~uvawe.

Geometriskata definicija na elipsata e slednata.

Definicija: Elipsa e mno`estvo so site to~ki M ( x,y ) vo ramninata takvi {to zbirot od

rastojanijata do dve fiksni to~ki F1 i F2 od istata ramninae konstanten.

F1 i F2 se vikaat fokusni to~ki ili fokusi na elipsata, a F1 F2 - centar na elipsata. Zna~ki, elipsa e mno`estvoto

To~kite otse~kata



sredi{nata to~ka S na



E  M ( x, y) MF1  MF2  2a

Ovaa definicija za elipsata mo`eme da ja potvrdime nagledno so edna mnogu ednostavna prakti~na postapka, ilustrirana na crt. 1. Izbirame dve fiksni to~ki F1 i F2 i okolu niv zavitkuvame jamka od konec so dol`ina l, taka {to konecot da ne e optegnat, odnosno M l  2  F1 F2 . So vrvot na moliv go optegnuvame konecot do to~kata M, a potoa go vle~eme po ramninata dr`ej}i go konecot optegnat. Na ovoj F1 F2 na~in }e iscrtame elipsa (crt. 1), pri {to za proizvolna to~ka M va`i: Crt.1

MF1  MF2  F1 F2  l ili MF1  MF2  l  F1 F2 .

Zna~i, ako to~kata M se dvi`i po elipsata zbirot MF1  MF2 sekoga{

ila konsntantna vrednost l  F1 F2 .

7 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ y B1

M

b

c

c

F1 A1

Za da ja ispitame elipsata i da ja opredelime nejzinata ravenka vo poednostaven vid, najpogodno e da ja razgleduvame vo izbran pravoagolen koordinaten sistem za koj koordinatniot po~etok e vo centarot S na elipsata, a xoskata minuva niz fokusite F1 i F2 (crt. 2). Ako rastojanieto od centarot O do edniot i drugiot fokus e s ,

a

O

F2 A2 x

a

toga{

F1 (c,0) i F2 (c,0).

Prese~nite to~ki na elipsata so

koordinatnite oski se temiwa na elipsata: oskata i

B2

dol`inata

na

so y- oskata. Otse~kata

so x-

se vika golema

A1 A2

oska, a otse~kata B1 B2 mala oska za elipsata. Zabele`uvame deka, spored gornite opredeluvawa, elipsata e simetri~na kako vo odnos na golemata, taka i vo odnos na malata oska. oska e 2a(a  c), a dol`inata na malata oska 2b t. e.

Crt.2

Neka

B1 , B2

A1 , A2

golemata

A1 A2  2a, B1 B2  2b.

Brojot a go vikame golema poluoska , a b mala poluoska za elipsata.

Rastojaniata na to~kata M  E do fokusite, MF1  r1 i MF2  r2 , gi narekuvame fokusni radiusi za to~kata M (crt. 3). ]e poka`eme deka za proizvolna to~ka M ( x, y)  E, va`i

y B1 r1 r1

M r2

r2

F2

F1 A1

A2 x

O

MF1  MF2  2a ….……………………………………….(1) Navistina, ako to~kata M se dvi`i po elipsata, spored definicijata, sumata MF1  MF2 ne se menuva {to zna~i deka taa e ista i za to~kite

B2

A1 i B1

t. e. va`i:

A1 F1  A1 F2  B1 F1  B1 F2 ………..…...…………(2)

Crt.3

Poradi simitri~nosta

F1

i

F2

vo odnos na S

imame

B1 F1  B1 F2 …………………………………………………………………………...…(3) pa so zamena vo (2) nao|ame:

A1 F1  A1 F2  2  B1 F2 …………..………..….…..……………………………………………(4) No, isto taka (poradi simetrija) va`i A1 F2  A2 F `2 pa toga{ od (4) dobivame: 2  B1 F2  A1 F1  A1 F2  A1 F1  A2 F1  A1 A2  2a od kade sleduva:

y B1 a

a b F2

F1 A1

O

c

A2

x

B1 F2  a …………………………………………….………(5) Sega, primenuvaj}i ja Pitagorovata za triagolnikot B1CF2 nao|ame:

a 2  b 2  c 2 …………………………………………………....(6)

B2 Crt.4

1. Da ja najdeme ravenkata na elipsata. Od seto gore ka`ano sleduva deka za proizvolna to~ka M ( x, y) od

elipsata va`i:

MF1  MF2  2a ………………………………………………………………………(7) Koristej}i ja formulate za rastojanie me|u dve to~ki poslednoto ravenstvo go zapi{uvame vo vid: ( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a …………………………………….…………(8) Ravenkata (8) e ravenka na elipsa vo izbraniot koordinaten sistem, no toj oblik ne e pogoden za prakti~na primena, pa zatoa ravenkata (2) }e ja dovedeme do oblik popogoden za primena. Za ta a cel, najnapred ravenkata (2) mo`eme da ja zapi{ime vo ekvivalenten oblik: ( x  c) 2  y 2  2a  ( x  c) 2  y 2 Po kvadrirawe na dvete strain i po sreduvawe dobivame:

a 2  cx  a ( x  c) 2  y 2 , a so povtorno kvadrirawe i sreduvawe, dobivame:

8 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ (a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 ).

Bidej}i a 2  c 2  b 2 , odnosno a 2  c 2  b 2 , poslednoto ravenstvo go dobiva oblikot

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 …………………………………………………………………….….……….(9) Ako dvete strain na ravenkata (9) gi podelime so a 2 b 2  0, ja dobivame ravenkata:

x2 y2   1 ……………………………………..………………………………………………(10) a2 b2

Ravenkata (9), odnosno (10), e najednostaven vid ravenka na elipsa ja narekuvame centralna ili kanoni~na ravenka na elipsata.

Bidej}i dvete promenlivi se stepenuvani samo na paren stepen, od ravenkata na elipsata (10) neposredno sleduva nejzinata simetrija vo odnos na koordinatniot po~etok i koordinatnite oski.

Taka, ako to~kata M ( x, y)  E, sleduva deka to~kite M 1 ( x, y), M 2 ( x, y) i M 3 ( x, y) isto taka pripa|aat na elipsata E. Na primer, to~kata M (3,2) le`i na elipsata E : 8x 2  18 y 2  144, bidej}i y kade vedna{ sleduva deka i to~kite 8  9  18  4  144, od B isto taka le`at na elipsata.

Bidej}i temiwata na M (  3 ,  2 ), M (  3 , 2 ), M ( 3 ,  2 ) 1 2 3 F elipsata se prese~nite to~ki na elipsata so koordinatnite oski, nivnite koordinati gi dobivame kako re{enija na sistemite ravenki: 1

y  0, b 2 x 2  a 2 0  a 2 b 2 O

A1

A2

x  0, b 0  a x  a b 2

2 2

2 2

x2  a2

x  a, pa A1 (a,0), A2 (a,0); isto taka, za

y b

y  b, pa B1 (b,0) i B2 (b,0).

2

2

Zabele{ka : Za broevite a i b vo ravenkata (10), jasno e deka, spored (6), va`i a > b. Ako fokusite na elipsata se na y-oskata, toga{ }e va`i b > a(crt.

5).

B Ako od ravenkite na elipsata (9) ili (10) go izrazime y preku x, dobivame: Crt.5 b y a 2  x 2 . ……………..……………………………..…………………….(11) a Od ravenkata (11) sleduva uslovot a 2  x 2  0, odnosno x 2  a 2 t. e. a  x  a. Zna~i x   a, a.

Sleduva deka to~kite na elipsata se nao|aat vo pravoagolnik ograni~en so pravite: x  a i y  b.

F

2

Primer 1: Da gi opredelime oskite, temiwata i fokusite na elipsata E : x 2  4 y 2  16.

x2 y2   1, od kade a 2  16 i 16 4 b 2  4, zna~i golemata oska e 2a  8, a malata oska e 2b  4, temiwata se vo to~kite: A1 (4,0), A2 (4,0), B1 (0,2) i B2 (0,2). Koordinatite na fokusite gi nao|ame od uslovot: a 2  c 2  b 2 Re{enie: Ravenkata na elipsata E ja sveduvame vo normalen vid, t. e.

c   a 2  b 2 , od kade dobivame: c   16  4  2 3 , pa F1 (2 3, 0) i F2 (2 3, 0.

Primer 2: Da sostavime ravenka na elipsa ako se dadeni poluoskata a  5 i rastojanieto na fokusite do centarot na elipsata c  3 .

Re{enie: Potrebno e da ja opredelime poluoskata b . Bidej}i b 2  a 2  c 2  25  9  16 ravenkata na

x2 y2  1 25 16 Primer 3: Da sostavime ravenka na elipsa, ako se doznae deka a  b  25 i c  5.

Re{enie: Treba da gi opredelime poluoskite a i b. Od sistemot a  b  25 a  b  25  2  2 2 2  a b  5 a  b  25

elipsata glasi:

x2 y2  1 169 144 Primer 4: Na elipsata E : 4 x 2  25 y 2  100, da opredelime to~ka ~ija apscisa e - 3.

Re{enie: So direkna zamena vo ravenkata na elipsata, dobivame: 64 8 y2  , t. e. y   .

4(3) 2  25 y 2  100 25 5 8 8 Zna~i, dobivame dve to~ki M 1 (3, ) i M 2 (3, ), koi se simetri~ini vo odnos na x- oskata.

5 5 Zabele{ka : Koli~nikot od fokusnoto rastojanie 2 s i golemata oska 2 a, se vika numeri~ki (broen) 2c c  ekscentricitet t. e.   i bidej}i c < a , sleduva   1.   0, toga{ c  0, pa b  a, i vo toj 2a a dobivame

a  13, b  12, pa ravenkata na elipsata e:

9 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ x2

y2

=1 ili x 2  y 2  a 2 {to pretstavuva ravenka na a2 a2 kru`nica. Zna~i, kru`nicata e specijalen slu~aj na elipsa so numeri~ki ekscentricitet nula, t. e. slu~aj ravenkata (4) preminuva vo



a  b.

Primer 5: Dadena e ravenkata na elipsata E : 9 x 2  36 y 2  324. Da ja opredelime dol`inata na

tetivata {to minuva niz fokusot F2 (c,0) i e paralelna so orbinatnata oska.

Re{enie: Tetivata {to minuva niz F2 (c,0), ja se~e elipsata vo

y

to~kite P1 (c, y0 ) i P2 (c, y0 ) (crt. 6). Ordinatata

P1

b a 2  x 2 . To~kite P1 i a b b b2 a2  c2   b   . elipsata, pa zatoa y 0  a a a Toga{ baranite krajni to~ki na tetivata se: od ravenkata:

F2

O

F1

y 0 }e ja odredime

x

P2

E:y

P2

le`at na

b2 b2 ), P2 (c, ), a dol`inata na otse~kata e P1 P2  2 p, t. e. a a 2 2b b2 2p  . Ovaa dol`ina se vika parameter na elipsata, a p  e poluparametar. a a 9 3 x2 y2  1i p   .

Za dadenata elipsa dobivame 36 9 6 2 Crt.6

P1 (c,

5. Zaemna polo`ba na prava i elipsa Polo`bata na pravata l : y  kx  n vo odnos na elipsata E : b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 se odreduva vo zavisnost od re{enijata od sistemot ravenki:  y  kx  n  y  kx  n ……………………….…….(1)  2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b x  a y  a b  (a k  b ) x  2a knx  a (n  b )  0 Diskriminatata na kvadratnata ravenka e D  4a 2 b 2 (a 2 k 2  b 2  n 2 ) i od nea zavisi kakvi se re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se mo`ni slednive tri slu~aji: D  0, D  0 i

D  0. Bidrj}i 4a 2 b 2  0, znakot na D zavidi zamo od znakot na izrazot a 2 k 2  b 2  n 2 , ………………………………………………..…………………..….(2)

pa sleduva:

1. ako D  0 t . e. a 2 k 2  b 2  n 2 , kvadratnata ravenka ima dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e elipsata vo dve to~ki, t. e. l  E  M1 , M 2 .

y

M1

T O

x

M2

l

Crt.1

D0

a 2 k 2  b 2  n 2 , toga{ pravata l i elipsata E imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e. l  E  T , a relacijata a 2 k 2  b 2  n 2 ………………………………………..(3) pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i elipsata E; 2. ako

l

l

t. e.

D0

3. ako

t. e.

a 2 k 2  b 2  n 2 , toga{ pravata l i

elipsata e nemaat zaedni~ka to~ka, t. e. l  K  .

Primer 1: Dadeni se pravata l : 3x  y  2  0 i elipsata E : 4 x 2  16 y 2  64. Kakva e nivnata zaemna

polo`ba? x2 y2   1, od kade a  4, b  2, a od 16 4 i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

Re{enie: Ravenkata na elipsata ja sveduvame vo oblik ravenkata na pravata

y  3x  2 imame

k  3, n  2

16  9  4  4, zna~i pravata l ja prese~kuva elipsata e vo dve to~ki t. e. l  E  M1 , M 2 . Koordinatite na

M 1 i M 2 gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki:

10 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ 3x  y  2  0  2 2 4 x  16 y  64

 y  3x  2  2 37 x  48 x  64

70   y1  2, y 2   37 48 70 . Zna~i M 1 (0,2) i M 2 ( , )  48 37 37  x1  0, x 2   37 

Primer 2: Dadena e pravata (l ) : x  y  n  0 i elipsata E : 9 x 2  16 y 2  144. Da go opredelime n taka {to pravata l da ja dopira elipsata E. Re{enie: Od ravenkata na elipsata E dobivame deka a 2  16, b 2  9, a od ravenkata na pravata l imame k  1, pa toga{ so zamena na ravenstvoto (3) dobivame

16(1) 2  9  n 2 t. e. n  5.

Ravenkata na pravata e x  y  5  0 Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot

k

pravata

l : kx  y  11  0, i

elipsata

E : 7 x  9 y  1, nemaat zaedni~ki to~ki?

Re{enie: Eksplicitniot vid na ravenkata na pravata (l) e y  kx  11, od kade n  11, a ravenkata na 2

2

1 1 x2 y2 2 2   1, od kade nao|ame a  i b  .

1 1 7 9 7 9 8 8 8 119 t. e.  119  k , 199 Toga{, od uslovot a 2 k 2  b 2  n 2 imame k  3 3 3 Primer 4: Od to~kata M (2,7) povle~eni se tagentite na elipsata E : x 2  4 y 2  100. Kako glasat nivnite ravenki?

Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na elipsata, mo`at da se povle~at dve tagenti do nea (analogno kako na kru`nica). Neka baranata ravenka na tagentata e (l ) : y  kx  n. Od ravenkata na elipsata vo kanoni~en vid e

elipsata x 2  4 y 2  100 imame a 2  100 i b 2  25. To~kata M  l , pa zatoa 7  2 x  n. So re{avawe na sistemot ravenki  2 x  n  7 2 3 25 25 k1  , k 2   , n1  , n2  . Sleduva, ravenkite na tagentite se:  2 2 , dobivame 100 k  25  n 3 8 3 4 

t1 : 2 x  3 y  25  0 i t 2 3x  8 y  50  0 Primer 5: Kako glasi ravenkata na elipsata E, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti: t1 : 3x  8 y  25  0 i t 2 : 4 x  6 y  25  0 ?

3 25 Re{enie: Bidej}i elipsata gi dopira dvete pravi, so zamena na k1  , n1   i 8 8  9a 2 625  b2   2 25 64 64 , ~ie re{enie e k 2   , n2  vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite:  2 3 6 4 a 625   b2   9 36 a 2  25 i b2 

25 x2 4y2  1 , pa ravenkata na elipsata e: E : 4 25 25

6. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka na elipsata

Neka se dadeni elipsata E so ravenkata E : b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 i to~kata T ( x1 , y1 ) od elipsata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na elipsata vo to~kata T (crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid t : y  kx  n ………………………………………………………………(1) n Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna) to~ka, odnosno y T sistemot ravenki t

O x

Crt.1

 y  kx  n …………………………………………..…..(2)  2 2 2 2 2 2 b x  a y  a b

da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja dobivame ravenkata (a 2 k 2  b 2 ) x 2  2a 2 knx  a 2 n 2  a 2b 2  0

11 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ ~ii

re{enija

x1, 2 

se

 a 2 kn  ab a 2 k 2  b 2  n 2 a2k 2  b2

,

……………………….………………………..…………….…..…….(3) Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata y  kx  n, dobivame

y1,2 

b 2 n  abk a 2 k 2  b 2  n 2

. ……………..…………………………………………………..….(4) a 2k 2  b2 Od uslovot, pravata e tangenta na elipsata, imame D  a 2 k 2  b 2  n 2  0 t. e. .a 2 k 2  b 2  n 2 ..………………………………..…………….(5) kn ka 2 b2 , y1  , od kade k   12 , Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se x1  n n a

n

b2 , odnosno y1

k

b 2 x1 a 2 y1

, n

b2 …………………………………………………..…………………………………….………………….(6) y1

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:

y

b 2 x1 a 2 y1

x

b2 , ……………………………………………………………..………..…………..(7) y1

b 2 x1 x  a 2 y1 y  a 2 b 2 , ………………..………………………………………….……..……….(8) ili

x1 x



y1 y

 1 ………………………………………………………………………….(9) a b2 Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na elipsata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka na tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.

Normalata na elipsata vo to~kata T ( x1 , y1 ) e pravata {to e normalna na tagentata na elipsata vo to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e: 2

y  y1 

a 2 y1 b 2 x1

( x  x1 ) …………………………………………………………….…………(10)

Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(8,3) od elipsata E : x 2  4 y 2  100.

Re{enie: Od ravenkata na elipsata imame a 2  100, b 2  25, a koordinatite na dopirna to~ka se 25  8x  100  3 y  100  25, odnosno x1  8, y1  3. Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (6) dobivame: t : 2x  3 y  25  0 Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata T (2, y  0) od elipsata

( E) : 2 x 2  8 y 2  16.

Re{enie: Bidej}i T  E 2  2 2  8 y 2  16, od kade y  1. Od uslovot y  0 sleduva deka dopirnata to~ka e T (2,1). Toga{ ravenkata na tagentata e: t : x  2 y  4  0.

Normalata na elipsata vo to~kata T ima ravenka n : y  1  2( x  2), odnosno 2 x  y  3  0.

Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na tanentata na elipsata E : 2 x 2  3 y 2  120, koi od

koordinatnite oski otsekuvaat ednakvi otse~ki. x y   1, odnosno m m x  y  m  0, od kade dobivame deka koeficientite na pravecote k  1, a otse~okot na y- oskata

Re{enie: Pravata koja otsekuva ednakvi otse~ki na koordinatnite oski ima ravenka:

e n  m. Od ravenkata na elipsata dobivame a 2  60 i b 2  40. Ako najdenite golemini gi zamenime vo

m  10. uslovot za dopir na prava i elipsa (a 2 k 2  b 2  n 2 ), dobivame 60  (1) 2  4  m 2 , Zna~i imame dve tangenti koi go zadovoluvaat uslovot na zada~ata. Nivnite ravenki se: t1 : x  y  10  0 i t 2 : x  y  10  0 Primer 4: Da ja sostavime ravenkata na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata l : x  2 y  7  0 i

elipsata E : x 2  4 y 2  25.

Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se repenija ma s istemot ravenki

12 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ x  2 y  7  2 2  x  4 y  25

 x1  3, x 2  4   y  2, y  3 .

2  1 2

x  7  2 y  2 2 (7  2 y )  4 y  25

Zna~i, prese~nite to~ki se

3 M 1 (3,2) i M 2 (4, ), pa ravenkite na tangentite se t1 : 3x  8 y  25  0 i t 2 : 4 x  6 y  25  0 2

7. Hiperbola. Ravenka na hiperbola

Za razlika od kru`nicata i elipsata , vo dosega{noto izu~uvawe na matamatikata hiperbolata kako kriva od vtor red e spomnuvana mnogu malku. No, toa ne zna~i deka taa e od pomala prakti~na va`nost. Izu~uvaweto na hiperbata e osobeno zna~ajno za astronomijata, radio navigaciskite sistemi, i dr. Geometriskata definicija za hiperbolata e slednata.

Definicija: Neka F1 i F2 se dve fikasni to~ki vo ramninata  i neka e F1 F2  2c. Hiperbola e

mno`estvo od site to~ki M (x,y) vo ramninata  takvi {to apsolutnosta golemina na razlikata od rastojanijata od M do F1 i F2 e konstantna i ednakva na 2 a (a < c).d istata ramninae konstanten.

y

A1 F1(-c,0)

A2 O

Zna~i, niperbolata e mno`estvo



F2(c,0) x

H  M ( x, y)  To~kite

Crt.1

F1 i

F2





MF1  MF2  2a

se vikaat fok usi na hiperbolata, a

rastojanieto me|u fokusite F1 F2 se vika fokusno rastojanie.

Sredi{nata to~ka O za otse~ka F1 F2 se vika centar na hiperbolata. Analogno kako kaj elipsata, za da ja opredeleme ravenkata na hiperbolata, koordinatniot sistem xOy go izberime taka {to fokusite da le`at na x-oskata, y-oskata e simetrala na fokusnoto rastojanie

F1 F2 , a koordinatniot po~etok e vo centarot C na hiperbolata.Toga{ fokusite imaaat koordinati F1 (c,0) i F2 (c,0). To~kite A1 i A2 vo koi hiperbolata ja se~e x-oskata, se temiwa na hiperbolata. ]e poka`eme deka rastojanieto A1 A2  2a. Navistina, spored definicijata, za proizvolna to~ka

MF1  MF2 ima konstantni

M od edna granka na hiperbolata, na primer od desnata, razlikata vrednosti 2a. No, toa treba da va`i i koga namesto M }e ja zememe to~kata

A2

, a toga{ imame:

A2 F 1  A2 F2  A2 F 1  A1 F1  A1 A2  2a.

Sleduva koordinatite temiwa se A1 (a,0) i Rastojanijata MF1  r1 i hiperbolata imame:

A2 (a,0).

MF2  r2 si vikame fokusni radiusi za to~kata M. Od definicijata na

MF1  MF2  2a t. e. r1  r 2  2a(a  0) ……………….………………………………………….(1) no, za stranite na triagolnikot F1

F2 M

va`i neravenstvoto r1  r 2  2c, pa sleduva 2a  2c. t. e.

a  c. Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, od relacijata (1) ja dobivame ravenkata

( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a ………………………………..………….…………………….(2) Ravenkata (2) pretstsvuva ravenka na hiperbola. No, oblikot (2) ne e pogolem za prakti~na primena, pa zatoa ravenkata (2) }e ja transformirame do poednostaven oblik.

Najnapred, ravenkata (2) ja zapi{uvame vo vid:

( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a odnosno

( x  c) 2  y 2  2a  ( x  c) 2  y 2 .

Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame

cx  a 2  a ( x  c) 2  y 2 So povtorno kvadirawe i sreduvawe ja dobivame ravenkata (c 2  a 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (c 2  a 2 ).

Bidej}i c > a sleduva c 2  a 2  0, pa stavaj}i c 2  a 2  b 2 poslednata ravenka go dobiva vidot:

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2 b 2 …………………………………..…………..………………………….(3) x2 a

2



y2 b2

 1 ………………………………………………..……………………………………..(4)

13 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Ravenkata (3) odnosno (4) ja vikame k anoni~na (centralna) ravenkana hiperbola.

Bidej}i vo ravenkata (3) i dvete promenlivi x i y se javuvaat samo na paren stepen (kvadrat), sleduva deka hiperbolata N e simetri~na vo odnos i na koordinatnite oski i na koordinatniot po~etok. Imeno, ako M ( x, y)  H , sleduva deka i to~kite M 1 ( x, y), M 2 ( x, y) i M 3 ( x, y) isto taka pripa|aat na hiperbolata.

Na primer, to~kata M (3 2, 2), le`i na hiperbolata

x2 y2 (3 2 ) 2 2 2 18 4   1, bidej}i     2  1  1, no 9 4 9 4 9 4 y

B1 c

A1 F1(-c,0)

c

b

a

O

a

A2

c

F2(c,0)

B2

x

i

M 1 (3 2, 2), M 2 (3 2,  2)

i

M 3 (3 2,  2) isto taka le`at na hiperbolata .

Ako ravenkata na hiperbolata (3) ja re{ime y, dobivame: b y x 2  a 2 . …… a ………………………………………………………………..………..(5) Od ovaa ravenka mo`e da zaklu~ime deka hiperbolata e definirana za

Crt.2

to~kite

x2  a2  0

x  a, t. e. za x  a ili

x  a, [to zna~i deka nejzinite to~ki vo desno od x  a.

Zna~i, hiperbolata e kriva od vtor red koja se sostoi od dve granki, {t o ne be{e slu~aj so kru`nicata i elipsata. Prese~ni to~ki na hiperbolata so x-oskata se to~kite A1 (a,0) i A2 (a,0), temiwa na hiperbolata. Dol`inata A1 A2  2a ja vikame realna oska, a dol`inata B1 B2  2b, kade B1 (0,b), B2 (0, b) i b 2  c 2  a 2 ja vikame imaginarna oska (bidej}i taa ne sodar`i to~ki od hiperbolata)(crt. 2).

Zabele{ka: Koli~nikot od fokusnoto rastojanie F1 F2  2c i dol`inata na realnata poluoska se vika numeri~ki ( broen) ekscentricitet t. e.

2c c   . ……………………………………………….……………....(6) 2a a Bidej}i za hiperbolata imame c > a, sleduva   1. Isto taka, y bidej}i c 2  a 2  b 2 , t. e. b1

c  a 2  b 2 , va`i

b2

A1

A2 O

a

Crt.3

x

c a2  b2 b2   1  2 . ………………………………….(7) a a a Numeri~kiot ekscentricitet  za hiperbolata ja opredeluva otvorenosta na grankite na hiperbolata. Imeno, ako pri fiksirana poluoska a se zgolemuva eks centricitet, toga{ se b zgolemuva odnosot (odnosno b), a so toa se zgolemuva a



otvorenosta na hiperbolata(crt. 3).

Primer 1: Dadeni se realnata poluoska a=4 i i imagiarnata poluoska b=3. Da ja najdeme ravenkata

na hiperbolata, koordinatite na fokusite i brojniot ekscentricitet. x2 y2   1 ili c   16  9  5, pa fokusite se Re{enie: ravenkata na hiperbolata }e bide 16 9 5 F1 (5,0) i F2 (5,0) , a numeri~kiot eks centricitet   4 Hiperbolata ima u{te edno svojstvo, koi dosega izu~enite krivi od vtor red go nemaat. Imeno, koga apscistite na to~kite na hiperbolata neograni~no rastat po apsolutna vrednost soodvetnite ordinate b b se dobli`uvaat do ordinatitena pravite y  x i y   x, a toa se pravite {to gi sodr`at a a dijagonalite na paralelogramot PQRS se strain 2a i 2b (crt. 4). Zna~i, ako to~kata M ( x, y) se dvi`i po hiperbolata stremej}i se kon beskone~nost, toga{ taa se dobli`uva do edna od pravite y  

b x ili a

b x . Pravite koi go imaat ovaa svojstvo se vikaat asimptoti na hiperbolata. Sleduva, pravite a b b y   x i y  x se asimptoti za hiperbolata zadadena so ravenkata a a x2 y2   1. a2 b2

y

14 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Primer 2: Dadena e hiperbolata 4 x 2  9 y 2  36. Da gi opredelime poluoskite, koordinatite na

fokusite i ravenkite na asimptotite, a potoa da ja nacrtame hiperbolata. x2 y2   1, od kade gi opredeluvame Re{enie: Ja zapi{uvame hiperbolata vo kanoni~en vid 9 4 poluoskite a=3, b=2, i c   9  4   13, pa fokusite se F1 ( 13, 0) i F2 ( 13, 0). Ravenkite na b b asimptotite se y  x i y   x . a a Primer 3: Dadena e niperbola so ravenkata H : x 2  4 y 2  12. Da ja opredelime dol`inata na tetivata {to minuva niz eden od fokusite na hiperbolata i e paralelna so y-oskata.

Re{enie: Analogno kako kaj elipsata i ode dol`inata na baranata tetiva se narekuva parameter na

2b 2 b2 , dodeka p  se vika poluparametar na 2 a 3 x2 y2 , ili   1 imame a 2  12, b 2  3, pa dobivame p  hiperbolata N. Od ravenkata na hiperbolata 12 3 2 3 hiperbolata N, koj se ozna~uva so 2 r i za nego va`i 2 p 

3 .

2 Primer 4: da napi{eme ravenka na hiperbola N, ako se dadeni ravenkite na najzinite asimptoti 4 y   x i fokusnoto rastojanie 2s=20.

3 4 Re{enie: Bidej}i 2s=20 s=10 , a a 2  b 2  100. Potoa od ravenkata na asimptotite y   x imame 3 2 2 b 4 a  b  100  . Od sistemot ravenki  dobivame a 2  36, b 2  64. Sleduva, ravenkata na hiperbolata a 3 3b  4a p

e

x2 y2  1 36 64 Primer 5: Da ja napi{ime ravenkata na hiperbolata {to minuva noz to~kite M 1 (2,1) i M 2 (10,7).

Re{enie: Od uslovot deka to~kite

M 1 i M 2 pripa|aat

na hiperbolata sleduva deka nivnite

koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na hiperbolata b x  a 2 y 2  a 2 b 2 , t. e. go dobivame sistemot ravenki: 2 2

 4b 2  a 2  a 2 b 2 , ~ie re{enie e a 2  2, b 2  1, pa ravenkata na hiperbolata e x 2  2 y 2  2  2 2 2 2  100 b  49 a  a b  Primer 6: Da ja opredelime ravrnkata na ramnostrana y hipermola {to minuva niz to~kata M(3,-1).

F2(c,0) Re{enie: Ramnostrana hiperbla e onaa hiperbla za koja realnata i imaginalnata oska se ednakvi me|u sebe t. e. a x2 y2 2a  2b. Zna~i nejzinata ravenka e H : 2  2  1. Bidej}i b O x a b 9 1  2 1 M H a 2  8, pa ravenkata na hiperbolata N 2 a a Crt.4

F1 (-c,0)

x2 y2   1 ili x 2  y 2  8.

8 8 Zabele{ka: Ako fokusite na hiperbolata se na y-oskata, t. e. vo to~kite F1 (0,c) F2 (0, c), realna poluoska e a, a imaginarnata oska e b , toga{ ravenkata na hiperbolata glasi x2 y2 a 2 x 2  b 2 y 2  a 2 b 2 ili 2  2  1. b a a c Vo ovoj slu~aj asimptoti se pravite: y   x, ekscentricitetot povtorno e   . grafikot e kako na b a (crt. 4). }e bide:

8. Zaemna polo`ba na prava i hiperlbola Analogno kako kaj elipsata, me|usebnata polo`ba

na pravata l : y  kx  n i hiperbolata

H : b x  a y  a b }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki: 2 2

2

2

2 2

15 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________  y  kx  n  2 2 2 2 2 2 b x  a y  a b  y  kx  n …….………………………..………….…….(1)  2 2 2 2 2 2 2 2 (b  a k ) x  2a knx  a (b  n )  0 I. Neka b 2  a 2 k 2  0 .Diskriminatata na kvadratnata ravenka e D  4a 2 b 2 (b 2  n 2  a 2 k 2 ) i od nea zavisi kakvi se re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se mo`ni slednive tri slu~aji: D  0, D  0 i D  0. Bidej}i 4a 2 b 2  0, znakot na D zavisi samo od znakot na izrazot

b 2  a 2 k 2  n 2 , ……………………………………….………….………………..…………………..….(2) pa sleduva: 1. ako D  0 t . e. a 2 k 2  b 2  n 2 , kvadratnata ravenka ima dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e hiprbolata vo dve to~ki, t. e. l  E  M1 , M 2 . (Crt.1)

D  0 t. e. a 2 k 2  b 2  n 2 , toga{ pravata l i hiperbolata N imaat edna zaedni~ka to~ka,

2. ako

t

. e. l  H  T , a relacijata a k  b  n …………………………..……………………………………………….………………………..(3) pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i hiperbolata N. (Crt.2) 2 2

2

2

3. ako D  0 t. e. a 2 k 2  b 2  n 2 , toga{ pravata l i hiperbolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e.

l  H  . (Crt.3)

y

l

y

y

l

l

l

M2 M1 O

x

T

O

x

O

x

P Crt.3

Crt.1

Crt.2

II. Neka b 2  a 2 k 2  0 ., kvadratnata ravenka vo sistemot (1) preminuva vo linearna ravenka i ima edinstveno rte{enie, pa pravata i hiperbolata imaat edna zaedni~ka to~ka , a toa e slu~ajot koga b k   , t.e. koga pravata l e paralelna so edna od asimtotite(Crt.2). a Primer 1: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata l : 2 x  y  1  0 i hiperbolata

H : 3x 2  y 2  3. x2 y2   1 od kade a 2  1, b 2  3 a od 1 3 k  2, n  1 i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik ravenkata na pravata

y  2 x  1 imame

3  1  1 (2)  0 zna~i pravata l ja dopira hiperbolata N. Koordinatite na dopirnata to~ka gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki: 2 x  y  1  0  y  3 . Zna~i dopirnta to~ka e T (2,3) , a pravata e tangenta na ~ie re{enie e  2  2 3x  y  3  x2 hiperbolata.

Primer 2: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata l : 2 x  y  10  0 i hiperbolata 2

H : x 2  4 y 2  20 x2 y2   1 od kade a 2  20, b 2  5 , a od 20 5 y  2 x  10 imame k  2, n  10 i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame

Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik ravenkata na pravata

5  100  20  2 2  25  0 t.e D  0 , {to zna~i pravata l ja se~e hiperbolata N. Koordinatite na Prese~nite to~ki gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki: 2  2 x  y  10  0  y  2 x  10 2  y1  3, y 2    ~ie re{enie e .Zna~i M 1 (6,2) i M 2 (3, )  2   3 2 2 3  x  4 y  20 3x  32 x  84  0  x1  6, x 2  2

16 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot k pravata l : y  kx 

9 ja dopira hiperbolata 2

H : 4 x 2  y 2  36 ?

9 , a za da pravata ja dopira hiperbolata 2 81 5 x2 y2 2 2 2 2 2 od kade k   .   1 treba da bide ispolnet uslovot za dopir a k  b  n t.e. 9k  36  4 2 9 36 5 9 Zna~i , pri dadeniot uslov postojat dve pravi: y   x  koi se tangenti na hiperbolata 2 2 Primer 4: Od to~kata M (5,9) povle~eni se tagentite na hiperbolata H : 3x 2  y 2  3 Kako glasat nivnite ravenki?

Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na hiperbolata mo`at da se povle~at dve tagenti do nea .

Neka baranata ravenka na tagentata e (t ) : y  kx  n. Od ravenkata na hiperbolata H : 3x 2  y 2  3 imame Re{enie: Od ravenkata na pravata sleduva deka n  

a 2  1 i b 2  3 . Od uslovot za dopir na pravata i hiperbolata sleduva deka k 2  n 2  3 , a toa {to to~kata M  t sleduva 9  5k  n. So re{avawe na sistemot ravenki 5k  n  9 7 1 dobivame k1  2, k 2   , n1  1, n 2  . Sleduva, ravenkite na tagentite se: t1 : 2 x  y  1  0  2 2 k  n  3 4 4  i t 2 : 7x  4 y 1  0 Primer 5: Kako glasi ravenkata na hiperbolata N, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti: t1 : 2 x  y  1  0 i t 2 : 7 x  4 y  1  0 ?

Re{enie:

Bidej}i

hiperbolata

gi

dopira

dvete

pravi,

so

zamena

na

k1  2, n1  1 i

 a2  b2  1 7 1  k 2  , n 2   vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite:  49a 2 1 ~ie re{enie e  b2  4 4  16 16 

a 2  1 i b2  3, pa ravenkata na hiperbolata e : H :

x2 y2  1 1 3

9. Ravenka na tangenta i normala vo to~a od hiperlbolata Neka se dadeni hiperbolata N so ravenkata H : b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 i to~kata T ( x1 , y1 ) od hiperbolata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo to~kata T (crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid t : y  kx  n …………………………………………………………………………..……………………………(1) b Koeficientite k   i n }e gi opredelime od uslovot a y praveta i elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna) t to~ka, odnosno sistemot ravenki n  y  kx  n  2 2 2 2 2 2 ………………………………………….…………………..…..(2) b x  a y  a b x T(x1,y1) O da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja dobivame ravenkata 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (b  a k ) x  2a knx  a n  a b  0

Crt.1

~ii re{enija se

x1, 2 

a 2 kn  ab b 2  a 2 k 2  n 2

, ………………………….………………………..…………….…..…….(3) b2  a 2k 2 Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata y  kx  n, dobivame y1,2 

b 2 n  abk a 2 k 2  b 2  n 2

. ……………………………………………………..…………..….(4) b2  a2k 2 Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame D  b 2  a 2 k 2  n 2  0 t. e. a 2 k 2  b 2  n 2 ..…………………………..……………………….(5)

17 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se x1 

k

x1n a2

, n

ka 2 , n

y1  

b2 , od kade n

b2 , odnosno y1 k

b 2 x1 a 2 y1

, n

b2 …….....…………………………………………..…….….………………….(6) y1

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:

y

b 2 x1 a 2 y1

x

b2 , ………………………………….………………..………….…..………..…………..(7) y1

b 2 x1 x  a 2 y1 y  a 2 b 2 , ………………………………………………..……………….……..……….(8) ili

x1 x a

2



y1 y b2

 1 ……………………………………………………………….

…………………….(9) Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na hiperbolata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka na tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.

Normalata na hiperbolata vo to~kata T ( x1 , y1 ) e pravata {to e normalna na tagentata na hiperbolata vo to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e:

y  y1  

a 2 y1

( x  x1 ) ………………………………………………………….…………(10) b 2 x1 Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(5,-4) od hiperbolata 2 2 H : 4 x  5 y  20.

Re{enie: Od ravenkata na hiperbolata imame a 2  5, b 2  4 a koordinatite na dopirna to~ka se x1  5, y1  4 Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (8) dobivame: 20 x  20 y  20 odnosno t : x  y  1  0 Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata T (4, y  0) od

hiperbolata H : 3x 2  4 y 2  12.

Re{enie: Bidej}i T  H sleduva 3  4 2  4 y 2  12 od kade

y  3 . Od uslovot y  0 sleduva deka

dopirnata to~ka e T (4,3) Toga{ ravenkata na tagentata e: t : x  y  1  0.

Normalata na hiperbolata vo to~kata T ima ravenka n : y  3  1( x  4) odnosno x  y  7  0.

Primer 3: Vo to~kata R na hiperbolata H : 9 x 2  16 y 2  144 vo prviot kvadrant, ~ija ordinata e

ednakva na poluparametarot na hiperbolata, e povle~ena tangenta ravenkata na tangentata.

na hiperbolata. Da se najde

Re{enie: Spored uslovot na zada~ata dopirnata to~ka e R(s,r) , ~ija apcisa se sovpa|a so apcisata na fokusot na desnata granka na hiperbolata i ja opredeluvame od uslovot: c 2  a 2  b 2 . Od ravenkata na hiperbolata dobivame a 2  16 i

b 2  9 . Pa

c  16  9  5, p 

b2 9  . Zna~i, dopirnata to~ka e a 4

9 P(5, ) , pa ravenkata na tangentata e t : 5x  4 y  16  0 .

4 Primer 4: Da se odredi agolot me|u tangentite {to se povle~eni vo prese~nite to~ki na pravata l : x  2 y  10  0 i hiperbolata H : 3x 2  4 y 2  12.

Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se re{enija na sistemot ravenki  x  2 y  10  x  10  2 y  x1  14, x 2  4 Zna~i, prese~nite to~ki se  2   2 2 2 3x  4 y  12 (10  2 y )  4 y  12  y1  12, y 2  3

M 1 (14,12) i M 2 (4,3), pa ravenkite na tangentite se t1 : 7 x  8 y  2  0 i t 2 : x  y  1  0 . Koeficientite na pravecot na tangentite se k1  

7 , k 2  1 , pa od formulate za agol me|u dve pravi dobivame: 8

7 8  15    arctg15 . tg  7 1 8 1

18 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________

10. Parabola.Ravenka na parabola Krivata parabola e poznata kako grafik na kvadratnata funkcija. Sega }e dademe geometriska definicija na parabolata.

Definicija: Parabola e mno`estvo od site M (x,y) vo ramninata koi se na ednakvo rastojanie od dadena prava d doi od dadena to~ka F , takva {to F  d .





P  M ( x, y) | MF  MP Pravata d se vika direktrisa, to~kata F se vika fok us na parabolata.

Zna~i, parabolata e mno`estvoto

d

P

M

Rastojanieto r od fokusot do direktrisata d se vika parametar na parabolata. (Crt.1 ). Neka D e prese~nata to~ka na normala povle~ena od x D to~kata F do pravata d. Toga{, soglasno definicijata, za srednata to~ka A F na otse~kata DF va`i:: AD  AF , pa seleduva deka A e to~ka od parabolata.

Ova to~ka ja vikame teme na parabolata. (Crt.1) Za da najdeme ravenkata na parabolata so parameter r vo {to e mo`no Crt.1 poednostaven vid, koordinatniot sistem vo ramninata go izbirame taka {to h-oskata da minuva niz fokusot F i e normalan a na direktrisata d, a koordinatniot po~etok vo sredi{nata to~ka A me|u fokusot i direktrisata (crt.2). p Toga{, od definicijata na parabolata imame OF  OD  , pa sleduva y 2 d p P M deka fokusot e vo to~kata F ( ,0) , a ravenkata na direktrisata e 2 p p p 2 2 x   .Ako M e proizvolna to~ka od parabolata , ortogonalnata 2 O x D F p proekcija na M vrz direktrisata e to~kata P( , y ) , pa od definicijata 2 na parabola imame: Crt.2

MP  MF …….................................................……………….(1) Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, dobivame ravenkata p p 2 )  y 2 i MP  x  2 2 pa ravenstvoto (1) vo kordinatna forma glasi: MF  ( x 

p p 2 )  y 2  x  …………………..(2) 2 2 Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame: y 2  2 px ………………………….………..………………………….(3) Ravenkata (3) ja vikame k anoni~na (temena) ravenka na parabola.

Ako pak fokusot na parabolata e na negativniot del na h oskata(Crt.3) toga{ kanoni~nata ravenka }e glasi: y 2  2 px ……………………………..………………………….(4) (x 

y

P

M p 2

O

p 2

F

D

x

d Crt.3

M

y

F

D

O

P

Crt.4

p 2 x

p 2

Bidej}i vo ravenkata y 2  2 px promenlivata y se javuvaat samo na paren stepen (kvadrat), sleduva deka parabolite se simetri~ni vo odnos na h-oskata, koja oska se vika oska na simetrija . Toa zna~i deka ako M ( x, y)  P, sleduva deka i to~kata M 1 ( x, y) pripa|a na parabolata.

Ako go izberime kordinatniot sistem taka {to fokusot F na parabolata pripa|a na u-oskata, toga{ kanoni~nata ravenka na parabolata }e glasi:

x 2  2 py ili y 

d

x2 …………………….…………….............…….(5) 2p

Ako F le`i na pozitivniot del od u-oskata (Crt.4), i

x 2  2 py ili y  

x2 ………………………………….…….(6) 2p

Ako F le`i na negativniott del od u-oskata (Crt.5).

Primer 1: Da se opredelat koordinatite na fokusot, parametarot i ravenkata na direk trisata na 1 parabolata P : y 2  x 2

19 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Re{enie: Od ravenkata na parabolata y 2  2 px imame 2 p 

y

P

d

p 2

O D

x

p 2

1 1 , p  , 2 4

1 1 pa fokusot e F ( ,0) , aravenkata na direktrisata e x   .

8 8 Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae

nejziniot parameter r=8.

Re{enie: So direktna zamena vo ravenkata na parabolata y 2  2 px dobivame deka y 2  16 x Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae nejziniot nejziniot fokus F (9,0)

F M Crt.5

9 Re{enie: Fokusot na parabolata y 2  2 px ima koordinati F ( ,0) od kade {to sleduva deka r=18, pa 2 ravenkata na parabolata e y 2  36 x .

Primer 4: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata M (3,2) ~ij fokus e na h-oskata.

Re{enie: Kanoni~nata ravenka na parabolata e y 2  2 px . Od uslovot deka to~kata M le`i na

9 9 , pa ravenkata na parabolata }e bide y 2   x .

2 4 Primer 5: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata M (2,3) ~ij fokus e na h-oskata.

Re{enie: Vo ovoj slu~aj kanoni~nata ravenka na parabolata e y 2  2 px , zatoa {to za da minuva niz dadenata to~ka taa treba da se nao|a levo od u-oskata.. Od uslovot deka to~kata M le`i na parabolata, 4 2 sleduva (3) 2  2 p  (2) od kade p  , pa ravenkata na parabolata }e bide y 2  x .

3 3 Primer 6: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata, ~ija direktrisa e 2 x  5  0 . p 5 Re{enie: Od 2 x  5  0 sleduva deka x   , a znaej}i deka ravenkata na direktrisata e x   2 2 y 2  2 px , sleduva deka r=5. Pa zatoa ravenkata na parabolata od y 2  2 px }e bide y 2  10 x . parabolata, sleduva 2 2  2 p  3 od kade p 

11. Zaemna polo`ba na prava i parabola Kako i kaj drugite krivi od vtor red me|usebnata polo`ba na pravata l : y  kx  n i parabolata

P : y  2 px }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki: 2

 y  kx  n ……….……………………………………………………….……….….………….…….(1)  2  y  2 px So zamena na promenlivata u od linernata ravenka vo kvadratnata ravenka se dobiva rav enkata

y

t

l

M1

s

T

O M2

x

y=n Crt.1

P

l  P  M 1 , M 2 . (Crt.1) 2. ako

k 2 x 2  2(kn  p) x  n 2  0 ……………………………………….…………….………………….…..….(2) ~ija diskriminanta e: D  4(kn  p) 2  4k 2 n 2  4( p 2  2knp ) … …………….……………..…..….…………….…..….(3) I. Neka k  0 . Vo zavisnost od znakot na diskriminatata na kvadratnata ravenka, zavisat i re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se mo`ni slednive tri slu~aji: D  0, D  0 i D  0.

1. ako D  0 t . e. p 2  2knp  0 kvadratnata ravenka ima dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e parabolatavo dve to~ki, t. e.

D  0 t. e. p 2  2knp  0 toga{ pravata l i parabolata R imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e.

l  P  T , a relacijata p 2  2knp  0 ili p  2kn ………………………………………………………………….………………………..(4) pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i parabolata R. (Crt.1) D  0 t. e. p 2  2knp  0 toga{ pravata l i parabolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e. l  P  . (Crt.1) II. Ako k=0, ravenkata (2) e linearna i ima edinstveno re{enie t.e. pravata i parabolata imaat edna zaedni~ka to~ka . Vo ovoj slu~aj pravata l ima ravenka y =n, t.e. e paralelna so h-oskata. (Crt.1) 3.ako

20 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ Primer 1: Dadeni se pravata l : 2 x  2 y  5  0 i parabolata P : y 2  10 x Kakva e nivnata zaemna

polo`ba?

5 5 od kade k  1, n  i r=5 . So 2 2 5 zamena na ovie vrednosti vo relacijata (3) dobivame p 2  2knp  25  2  (1)   5  50  0 od kade {to 2 sleduva deka pravata l i parabolata imaat dve zaedni~ki to~ki.

Primer 2: Da se opredeli vrednosta na parametarot m, taka {to pravata l : mx  3 y  m  7  0 ja dopira y  x 

Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e

parabolata P : y 2  8x . m m7 m m7 od kade k  , n  , a od x 3 3 3 3 m m7 parabolata r=4 . So zamena na ovie vrednosti vo uslovot za dopir p  2kn dobivame 4  2   ili 3 3 Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e

y

m 2  7m  18  0 od kade dobivame m1  2, m2  9 .

Primer 3: Dadena e pravata l : x  2 y  8  0 koja ja dopira parabolata P : y 2  2 px . Da se opredeli

ravenkata na parabolata.

Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e ovie vrednosti vo uslovot za dopir p  2kn dobivame

1 1 x  4 od kade k  , n  4 . So zamena na 2 2 1 p  2   4  4 pa ravenkata na parabolata }e 2 y

bide y 2  8 x .

12. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od parabolata Neka se dadeni parabolata

P : y 2  2 px i to~kata T ( x1 , y1 ) od parabola.Da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo to~kata T (crt .1).

Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid t : y  kx  n ………………………………………………………….……………..…….……………(1) Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i parbolata da imaat edna zaedni~ka (dopirna) to~ka, odnosno sistemot ravenki  y  kx  n ………………………………………………..……………….…....(2)  2  y  2 px y t da ima edno edninstveno re{enie.

Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja dobivame ravenkata k 2 x 2  2(kn  p) x  n 2  0 T ~ii re{enija se O

n

x

x1,2 

Crt.1

p  kn 

p 2  2knp

p

p 2  2knp

, .........…………………………..…..…….(3) k2 Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata y  kx  n, dobivame

y1,2 

k

. …………………………………………..….(4)

Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame p 2  2knp  0 ..……………………………………….……………..………….(5) Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se x1 

px n  1 , odnosno y1

p  kn 2

,

y1 

p p , od kade k  , y1 k

k px1 p k , n , …….....……………………………………………….………….(6) y1 y1

Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame: yy1  p( x  x1 ) ………………………….……………………..……………..………..…………..(7) Normalata na parabolata vo to~kata vo to~ka T, pa nejzinata ravenka e:

T ( x1 , y1 ) e pravata {to e normalna na tagentata na parabolata

21 ______________________________________________________________________________

Krivi od vtor red _____________________________________________________________________________ y  y1  

y1 ( x  x1 ) p

……………….…………………………………………….…………(8) ili p( y  y1 )  y1 ( x  x1 )  0 …………………………………………………………..………(9) Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(3,6) od parabolata P : y 2  12 x Re{enie: Od ravenkata na parabolata P : y 2  12 x sleduva deka r=6. So zamena na koordinatite na dopirna to~ka se x1  3, y1  6 i r=6 vo ravenkata t : x y 3  0

yy1  p( x  x1 )

dobivame:

Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata T (

6 y  6( x  3) odnosno

25 ,5) od parabolata 4

P : y 2  4x .

Re{enie: So zamena na koordinatite na to~kata x1 

25 , y1  5 i r=6 vo ravenkata na tangentata 4

25 ) odnosno t : 4 x  10 y  25  0 i vo ravenkata na normalata 4 25 p( y  y1 )  y1 ( x  x1 )  0 dobivame: 2( y  5)  5( x  )  0 odnosno n : 20 x  8 y  165  0 4 Primer 3: Da se sostavat ravenkite na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata l : y  4 x  5 i

yy1  p( x  x1 ) dobivame:

5 y  2( x 

parabolata P : y 2  10 x .

Re{enie: So re{avawe na sistemot ravenki

 y  4x  5 , gi dobivame prese~nite to~ki na  2  y  10 x

5 5 5 pravata i parabolata: M 1 ( ,5) i M 2 ( , ), pa so zamena vo ravenkata na tangentata 2 8 2 gi dobivame ravenkite na baranite tangenti: t1 : 2 x  2 y  5  0 i t 2 : 8x  4 y  5  0 Primer 4: Dadeni se parabolata P : y 2 

yy1  p( x  x1 )

x2 y2 20   1 Da se opredelat ravenkite x i elipsata E : 45 20 3

na zaedni~kite tangenti.

Re{enie: Neka ravenkite na tangentite se od vidot y  kx  n . So koristewe na uslovot za dopir na prava i parabola p  2kn , odnosno na prava i elipsa a 2 k 2  b 2  n 2 go dobivame sistemot ravenki:

10   p  2kn 1 2kn   ~ii re{enija se k   , n  5 . Zaedni~kite tangenti se pravite 3  2 2  2 2 a k  b  n 3 2 2   45k  20  n t1 : x  3 y  15  0 i t 2 : x  3 y  15  0 .

22 ______________________________________________________________________________