Kvadratna funkcija

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

Voved Poim i defenicija Ako dve promenlivi veli~ini se svrzani pome|u sebe taka {to na sekoja proizvolna dadena dopu{tena vrednost na edna od niv, sekoga{ da i odgovara edna to~no opredeleno vrednost na drugata, veleme deka me|u tie dve promenlivi veli~ini postoi funkcionalna zavisnost.

Velei~inita na koja i davame proizvolna dopu{tena vrednost se vika nezavisna promenliva veli~ina ili argument, dodeka funkcijata ja narekuvame promenliva veli~ina u od promenliva veli~ina h opredeleno so mno`estvoto D, odgovara, se pridru`uva po nekoj zakon (pravilo) od opredelenata vrednost na zavisnata veli~ina y od mno`estvoto M. M se narekuva i u{te kodomen(mno`estvo na vrednosti) na funkcijata y  f (x) , a D se narekuva domen(definiciona oblast) na funkcijata.

Toa simboli~no mo`e da se zapi{e y  f (x) , a go ~itame y e funkcija od h. ]e navedeme nekolku primeri od funkcii.

Primer 1: Izminatiot pat s za t sekundi pri ramnomerno dvi`ewe se opredeluva spored formulata s  v  t kade {to so v se ozna~uva brzinata so koe se dvi`i teloto.

Primer 2: Plo{tinata na krug se presmetuva po formulata P  r 2 od kade {to se zaklu~uva deka taa zavisi od promenata na radiusot na krugot.

Od razgledanive primeri 1 i 2 kako zavisno promenlivi veli~ini ili funkcii se s i R, a kako nezavisna promenliva veli~ina ili argument se t, r.

Obi~no nezavisnata promenliva }e ja ozna~uvam so h, a zavisnata veli~ina ili funkcija so u.

So cel da ja predo~ime funkcijalnata veska me|u promenlivite h i u obi~no }e gi upotrbuvame simbolite y  y(x) ili y  f (x) . Zakonskata vrska pome|u y  y(x) se vika u{te i analiti~ki izraz na funkcijata. Vo funkcionalnata vrska mo`e e da vleguvaat dve ili pove}e promenlivi.

Primer 3: Ako go zememe primerot so povr{inata na triagolnikot, }e zabele`ime deka R e zavisna od dvete promenlivi i toa: Promenlivata a (strana) i promenlivata h (visina). Vo ovaa funkcionalna vrska vleguvaat tri promenlivi od koi dve nezavisni promenlivi ili argumenti a i h i funkcijata R. Za R velime daka funkcija od dve promenlivi.

Postojat funkcii od pove}e promenlivi.Funkciite se zadavaat na tri na~ini i toa: so formula ili analiti~ki, so grafik i tabelarno.

Klasifikacija na funkciite Da se klasificiraat funkciite zna~i da se razdelat na grupi so razli~ni karakteristiki. Op{to znaeme deka site funkcii ~ii argument h na realnoto mno`estvo ( x  R) i vrednostite se realni broevi gi vikame realni funkcii. Vo zavisnost od operaciite koi se izvr{uvaat so argumentot h ovie funkcii gi delime na: A. Algebarski funkcii i B.Transcedentni funkcii.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ Algebarski funkcii se onie pri koi so argumentot h se izveduvaat samo algebraski operacii (~etiri osnovi t. e. mno`ewe, delewe, sobirawe, i odzemawe i operacite stepenuvawe i korenuvawe).

Vo zavisnost od ovaa, tie se delat na: a). Iracionalni funkcii b). Racionalni funkcii Vo zavisnost od funkcijata, ako taa e postavena kako polinom i dropka, gi delime na celi i drobno racionalni funkcii.

Transcedentnite funkcii gi vikame finkcii {to ne se algebriski t. e.o nie {to ne mo`eme da gi pretstavime so algebraski operacii. Ovie funkcii mo`e da gi podelime na nekolku vida: A. Eksponencijalna funkcija B. Logaritamska funkcija i V. Trigonometriska funkcija.

Definiciona oblast na funkcijata Mno`estvoto D na vrednostite na argumentot na koi e opredelena funkcija se vika oblast na opredelnost ili definiciona oblast (domen) na funkcija.

Definicionata oblast simboli~ki se ozna~uva so Df ili DO. Konstantite so koi gi zamenuvame argumentite gi vikame vrednosti na argument.

Vrednostite pri koi po ovaa zamenuvawe ja dobiva funkcijata gi vikame vrednosti na funkcija. Logi~no e deka nizata vrednosti na argumentot mu pripa|aat na edno mno`estvo. Mno`estvata na takvite vrednosti ili Df mo`e da se pretstavat so interval.

Vo slu~aj funkcijata y=f(x) da e definirana vo celo mno`estvo realni broevi, toga{ podra~jeto na definicionata oblast e opredeleno vo intervalot  , .

Nekoi svojstva na funkciite 1. Parni funkcii Defenicija 1. Za edna funkcija y(x) veleme deka e parna ako sekoja vrednost na argumentot h od nejzinata oblast na opredelenost e ispolneto praviloto f ( x)  f ( x).

Op{tata karakteristika za site parni funkcii e toa {to grafikot na site funkcii e simetri~en vo odnos na koordinatnata oska. Ovoj fakt pretstavuva olesnuvawe za crtawe na grafik na dadena parna funkcija.

Primer 4: Ispitaj ja funkcijata f ( x)  x 6  3x 4  2 x 2  3x. f ( x)  ( x) 6  3( x) 4  ( x) 2  3  x 6  3x 4  2 x 2  3.

Funkcijata e parna bidej}i e ispolneto ravenstvoto za parnost na funkcijata.

2. Neparna funkcija.

Definicija. 2 Funkcijata f(x) se vika neparna, ako za sekoja vrednost na h od nejzinata oblast na opredelenost e ispolneto ravenstvoto f ( x)   f ( x).

Ottuka mo`emw da zakuu~ime deka to~kata M 1 ( x, f ( x) i M 2 ( x; f ( x)) mu pripa|aat na grafikot.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 3. Nitu parni nitu neparni funkcii.

Postojat funkcii za koe neva`at ravenstvata: a) f ( x)  f ( x), b) f ( x)   f ( x), odnosno f ( x) e razli~no od f (x) i  f (x).

Ovie funkcii se nitu parni nitu neparni funkcii. Vakvite funkcii vo najlo{ slu~aj ne se simetri~ni po ni{to.

4. Ekstremni vrednosti na funkcija Definicija 3: Za funkcijata f(x) velime deka ima minimum na intervalot (a,b) vo to~kata xo ako za sekoj x  (a, b) f ( x0 )  f ( x) .

Za funkcijata f(x) velime deka ima maksimum na intervalot (a,b) vo to~kata xo ako za sekoj x  (a, b) f ( x0 )  f ( x) .

5. Nuli na funkcija Definicija 4: Brojot x0  D f za koj va`i f ( x0 )  0 se vika nula na funkcija(geometriski toa zna~i deka funkcijata ja se~e h-oskata vo to~ka so apcisa xo )

Poim za kvadratna funkcija

График на функцијата f ( x)  ax 2

1. Поим за квадратна функција So formulite P(a)  a 2 , kade што а  R  presmetuvame plo{tina na kvadrat so g strana a , so formulata s(t)  t 2 go presmetuvame izminatiot pat za vreme t pri 2 slobodno pa|awe na telo bez po~etna brzina. Vo fizikata i matematikata se poznati u{te mnogu vakvi formuli koi pretstavuvaat primeri za kvadratna funkcija, koja se definira na sledniov na~in: Definicija 1: Ako a, b, c  R, a  0 , toga{ funkcijata f(x) : R  R oprerdelena so f(x)  ax 2  bx  c ja narekuvame kvadrana funkcija.

Primer 1: a) Dadena e funkcijata f(x)  2 x 2  x  5, presmetaj f (0), f (1), f (2) и f (3) . b) Koi od funkciite se kvadratni : f(x)  x( x  1) , f(x)  2 x 2  3x 1  1 i f(x)  3  2 x  4 x 2 se kvadratni?

Re{enie: a) Za dadenite funkcii imame : f( 0)  2  0 2  0  5  5, f( 1)  2  12  1  5  4, f( 2)  2  2 2  2  5  1 i f( 3)  2  32  3  5  10

b) Funkciite f(x)  x( x  1)  x 2  x , f(x)  3  2 x  4 x 2 se kvadratni a funkcijata f(x)  2 x 2  3x 1  1 ne e kvadratna.

Primer 2: Za koja vrednost na parametarot m fuinkcijata f(x)  (m  2) x 2  2 x  5 i f(x)  2 x 2  (m  1) x  5 se kvadratni?

Re{enie: Soglasno definicijata 1 funkcijata f(x)  (m  2) x 2  2 x  5 e kvadratna ako i samo ako za funkcijata m  2  0, t.e. m  2 , f(x)  2 x 2  (m  1) x  5 , a  2  0, sleduva deka taa e kvadratna za sekoj realen broj.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ Definicionata oblast na kvadratnata funkcija e sekoj realen broj t.e Df  R .

Primer 3: Odredija kvadratnata funkcija f(x)  ax 2  bx  c ako se znae deka f (1)  6, f (1)  2 i f (2)  3 Re{enie: Od uslovot na zada~ata go dobivame sistemot  abc  6   a  b  c  2 ~ie re{enie e a=1,b=-2 i c=3 , pa zatoa baranata funkcija e 4a  2b  c  3  f(x)  x 2  2 x  3 2. График на функцијата f ( x)  ax 2 Ako b=c=0 , toga{ f(x)  ax 2  bx  c go dobiva vidot f ( x)  ax 2 . Ispituvaweto na funkcijata f ( x)  ax 2 }e go zapo~neme so osnovnata kvadratna funkcija f ( x)  x 2 , a potoa }e gi razgledame slu~aite a>0 i a<0.

Primer 1: Nacrtaj go grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 .

Re{enie: Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi vrednosti na h. Imame: 1 1 1 1 x …… -3 -2 -1  0 1 2 3 …….  3 3 2 2 1 1 1 1 x2 …… 9 4 1 0 1 4 9 …….

4 9 9 4 Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 . Grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 e kriva koja se vika parabola. (crt. 1)

crt. 1

Od podatcite vo tabelata i od grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najmala vrednost ednakva na 0. To~kata O(0,0) ja narekuvame teme na parabolata.

Od h1 <h2 <0 sleduva deka x12  x1 x2 i x1 x2  x22 . Od poslednite dve neravenstva sleduva deka 2 2 zna~i funkcijata x1  x2 t.e. f ( x1 )  f ( x2 ) {to

f ( x)  x 2 monotono opa|a na intervalot (,0) .

Od 0<h1 <h2 sleduva deka x12  x1 x2 i x1 x2  x22 . Od poslednite dve neravenstva sleduva deka 2 2 2 x1  x2 t.e. f ( x1 )  f ( x2 ) {to zna~i funkcijata f ( x)  x monotono raste na intervalot (0,) .

Za grafikot funkcijata f ( x)  x 2 va`i f ( x)  f ( x) funkcija (taa e simetri~na vo odnos na u-oskata).

zatoa taa e parna

Primer 2: Nacrtaj go grafikot na funkcijata a) f ( x)  2 x 2 b) f ( x) 

1 2 x 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi vrednosti na h. Imame: 1 1 1 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …….   3 3 2 1 2 2 1 f(x) …… 18 8 2 0 2 8 18 …….

2 9 9 2

crt. 2

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata f ( x)  2 x 2 . (crt. 2) Od podatcite vo tabelata i od grafikot na funkcijata mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najmala vrednost ednakva na 0. Potoa, na intervalot (,0) monotono opa|a, a na intervalot (0,) monotono raste. Od prethodnata tabela , i od crt. 2 mo`e da se zabele`i deka grafikot na funkcijata f ( x)  2 x 2 mo`e da se dobie ako vrednostite na funkcijata f ( x)  x 2 se pomno`at so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i deka parabolata f ( x)  2 x 2 e potesna od

parabolata f ( x)  x 2 i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nagore.

1 b) Analogno, grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata 2 najmala vrednost, ednakva na 0. Potoa, na intervalot (,0) monotono opa|a, a na 1 intervalot (0,) monotono raste. Grafikot na funkcijata f ( x)  x 2 mo`e da se 2 2 dobie ako vrednostite na funkcijata f ( x)  x se podelat so 2. Isto taka mo`e da se 1 zabele`i deka parabolata f ( x)  x 2 e po{iroka parabolata f ( x)  x 2 i deka dvete 2 se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nagore. (crt. 3) Od razgledanite primeri mo`e dac se zaklu~i deka: r  grafikot na funkcijata f (tx)  ax 2 , a  0 e . parabola, koja e otvorena nagore i koja e crt. 3 simetri~na vo odnos na u-oskata  za a>1 parabolata e potesna ,3 a za 0<a<1 e po{iroka vo odnos na parabolata na funkcijata f ( x)  x 2 .  vo to~kata ho=0 funkcijata

f ( x)  x 2 ja

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ dostignuva svojata najmala vrednost (minimum) f(xo )=0 t.e. to~kata O(0,0) e teme na parabolata f ( x)  ax 2  na intervalot (,0) monotono opa|a, a na intervalot (0,) monotono raste.

Primer 3: Nacrtaj go grafikot na funkcijata f ( x)   x 2 .

Re{enie: Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi vrednosti na h. Imame: 1 1 1 1 x …… -3 -2 -1  0 1 2 3 …….  3 3 2 2 1 1 1 1 f(x) …… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …….

4 9 9 4 Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata f ( x)   x 2 . (crt. 4) crt. 4 Od podatcite vo tabelata i od grafikot na funkcijata f ( x)   x 2 mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najgolema vrednost ednakva na 0. Od h1 <h2 <0 sleduva deka  x12   x1 x2 i - x1 x2   x22 . Od poslednite dve neravenstva sleduva deka 2 2 zna~i  x1   x2 t.e. f ( x1 )  f ( x2 ) {to funkcijata f ( x)   x 2 monotono raste na intervalot (,0) .

0<h1 <h2 sleduva deka  x12   x1 x2 Od poslednite dve i - x1 x2   x22 . neravenstva sleduva deka 2 2 zna~i  x1   x2 t.e. f ( x1 )  f ( x2 ) {to Od

funkcijata f ( x)   x 2 monotono opa|a na intervalot (0,) .

Za grafikot funkcijata f ( x)   x 2 va`i f ( x)  f ( x) funkcija (taa e simetri~na vo odnos na u-oskata).

zatoa taa e parna

1 Primer 4: Nacrtaj go grafikot na funkcijata a) f ( x)  2 x 2 b) f ( x)   x 2 2 Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na funkcijata zanekoi vrednosti na h. Imame: 1 1 1   x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …….

3 3 2 1 2 2 1 f(x) …… -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …….

2 9 9 2

Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkcijata f ( x)  2 x 2 . (crt. 5)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

crt. 5

Od podatcite vo tabelata i od grafikot na funkcijata mo`e da se zaklu~i deka vo to~kata h=0 ja dostignuva svojata najgolema vrednost ednakva na 0. Potoa, na intervalot (,0) monotono raste, a na intervalot (0,) monotono opa|a. Od prethodnata tabela , i od crt. 5 mo`e da se zabele`i deka grafikot na funkcijata f ( x)  2 x 2 mo`e da se dobie ako vrednostite na funkcijata f ( x)   x 2 se pomno`at so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i deka parabolata f ( x)  2 x 2 e potesna od

parabolata f ( x)   x 2 i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nadolu.

1 b) Analogno, grafikot na funkcijata f ( x)   x 2 vo to~kata h=0 ja 2 dostignuva svojata najgolema vrednost, ednakva na 0. Potoa, na intervalot (,0) monotono raste, a na intervalot (0,) monotono opa|a. Grafikot na funkcijata 1 f ( x)   x 2 mo`e da se dobie ako vrednostite na funkcijata f ( x)   x 2 se podelat 2 1 so 2. Isto taka mo`e da se zabele`i deka parabolata f ( x)   x 2 e po{iroka 2 2 parabolata f ( x)   x i deka dvete se simetri~ni vo odnos na u-oskata. Temeto na parabolata e to~kata O(0,0). Grafikot na funkcijata e parabola, koja e otvorena nadolu. (crt. 6) Od razgledanite primeri mo`e da se zaklu~i deka:  grafikot na funkcijata 2 f ( x)  ax , a  0 e parabola, koja e otvorena nadolu i koja e simetri~na vo odnos na u-oskata  za a<-1 parabolata e potesna , a za crt. 6 1<a<0 e po{iroka vo odnos na parabolata na funkcijata f ( x)   x 2 .  vo to~kata ho=0 funkcijata 2 f ( x)   x ja dostignuva svojata najgolema vrednost (maksimum) f(xo )=0 t.e. to~kata O(0,0) e teme na parabolata f ( x)  ax 2  na intervalot (,0) monotono raste, a na intervalot (0,) monotono opa|a.

3.Grafik na funkcijata f ( x)  ax 2  c i f ( x)  a( x  x0 ) 2 Sega }e konstruirame graficite funkciite f ( x)  ax 2  c i f ( x)  a( x  x0 ) 2 koi ednostavno se konstruiraat so pomo{ na funkcijata f ( x)  ax 2 .

Prvo da vidime kako se konstruira grafikot na funkcijata f ( x)  ax 2  c _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ Primer 1: Vo ist koordinaten sistem nacrtaj gi graficite na funkciite: 1 1 1 a) f ( x)  x 2 b) f ( x)  x 2  2 ,v) f ( x)  x 2  2 4 4 4 Re{enie: a) Prvo sostavuvame tablica na vrednosti na daenite funkciii za nekoi vrednosti na h. Imame: x 0 ……. 3 1 2 4 1 2 1 9 f ( x)  x 0 1 4 …….

4 4 4 1 9 17 f ( x)  x 2  2 2 3 6 …….

4 4 4 1 1 7 f ( x)  x 2  2 -2  -1 2 …….

4 4 4 Dobienite to~ki gi crtame vo koordinatna ramnina hOu i gi svrzuvame so neprekinata linija so {to go dobivame grafikot na funkciite f ( x)  2 x 2 . (crt. 7)

crt.7

Od formulata za na razgleduvanite funkcii zabele`uvame deka oddelenite 1 vrednosti na funkcijata f ( x)  x 2  2 , 4 1 2 odnosno na funkcijata f ( x)  x  2 gi 4 dobivame taka {to na soodvetnite vrednosti 1 na funkcijata f ( x)  x 2 im go dodavame brojot 4 2, odnosno brojot -2, t. e. odzemame 2. Ottuka sleduva deka parabolata 1 1 y  x 2  2, odnosno y  x 2  2 ja dobivame so 4 4

1 translacija na parabolata y  x 2 za vektor OT koj e so dol`ina 2 i e vo nasoka na 4 y- oskata, odnosno za vektorot OT 1 koj e so dol`ina 2 i vo sprotivnata nasoka od nasokata y- oskata.

Ponatamu, zabele`uvame deka deka site tri funkcii se parni, opa|aat na 1 intervalot (,0) i rastat na intervalot (0,) ,Temeto na parabolata y  x 2 e 4 1 1 to~kata O(0,0), a dodeka na parabolite f ( x)  x 2  2 i f ( x)  x 2  2 se to~kite 4 4 T (0,2) i T1 (0,2), soodvetno i ovie to~ki se to~ki na minimum za razgledanite funkcii.

Od crt.7 mo`eme da zabele`ime deka graficite na site tri funkcii se otvoreni nagore.

1 1 Funkcijata y  x 2 ima nula vo to~kata x0  0. Pomatamu, ravenkata x 2  2  0 4 4 1 nema realni re{enija, pa zatoa funkcijata f ( x)  x 2  2 nema nuli. Me|u toa 4

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 1 ravenkata f ( x)  x 2  2  0 ima re{enie i nejzini koreni se x1\ 2  2 2 i toa se 4 1 nuli na funkcijata f ( x)  x 2  2. Grafikot na ovaa funkcija, t. e. parabolata 4 1 f ( x)  x 2  2 ja se~e h- oskata vo to~kite (2 2,0) i (2 2,0 ) 4 3 Primer 2: Na crt. 8 se nacrtani graficite na funkciite f ( x)   x 2 , 4 3 2 3 2 f ( x)   x +3 i f ( x)   x -2.

4 4 x 3 2  x 4 3 2  x 3 4 3 2  x 2 4

0 0 3 -2

1 1 4 9 4 11  4

2

-3 0 -5

3 27  4 15  4 35  4

4

…….

-12

…….

-9

…….

-14

…….

Pritoa e koristena slednata tablica za vrednostite na funkciiite vo odelni to~ki.

Od formulite na razgleduvanite funkcii zabele`uvme deka oddelnite vrednosti na 3 funkcijata f ( x)   x 2  3, odnosno na 4 3 funkcijata f ( x)   x 2  2, gi dobivame 4 crt. 8 taka {to na soodvetnite vrednosti na 3 funkcijata f ( x)   x 2 im go dodavame 4 brojot 3, odnosno brojot -2, t. e. odzemame 2.

Ottuka sleduva deka parabolata 3 odnosno y   x 2  2 ja dobivasme so translacija na parabolata 4

3 y   x 2  3, 4 3 2 y   x za 3 i e vo nasoka na y-oskata, odnosno za vektor 2 vo sprotivna nasoka 4 od nasokata na y-oskata.

Ponatamu, zabele`uvame deka site tri funkcii se parni, rastat na intervalot 3 (,0) i opa|aat na intervalot (0,) Temeto na parabolata y   x 2 e to~kata 4 3 3 O (0,0), a dodeka na parabolite y   x 2  3, i y   x 2  2 se to~kite (0,3) i 4 4 (0,-2), soodvetno i ovie to~ki se to~ki na maksimum za razgleduvanite funkcii.

Od crt.8 mo`eme da zabele`ime graficite na site tri funkcii se otvoreni 3 nadolu. Funkcijata f ( x)   x 2 ima nula vo to~kata x0  0, funkcijata 4

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 3 y   x 2  3, vo to~kite (-2,0) i (2,0), a dodeka funkcijata nema nuli , bidej}i ne 4 ja se~e h-oskata.

Od dosega iznesenoto za grafikot na funkcijata od vidot f ( x)  ax 2  c mo`eme da zaklu~ime: - grfikot na funkcijata f ( x)  ax 2  c e parabolta y  ax 2  c i se dobiva so translacija na parabolata y  ax 2 za c vo nasoka na y-oskata ako s>0, a vo sprotivna nasoka od nasokata na y-oskata ako s<0, -parabolata y  ax 2  c e simetri~na vo odnos na y-oskata, a nejzinoto teme e T(0,s), -ako a>0, toga{ parabolata e otvorena nagore, funkcijata f opa|a na intervalot (,0) , raste na intervalot (0,) i za x0  0, ima minimum koj iznesuva f(0)=c , -ako a<0, toga{ parabolata e otvorena nadolu funkcijata f расте na intervalot (,0) , opa|a na intervalot (0,) i za x0  0, ima mаксиум koj iznesuva f(0)=c и

-ако коефициентите а и с се со исти знаци, тогаш функцијата f нема нули, а ако се со спротивни знаци таа има две нули кои се решение на квадратната равенка ax 2  c  0.

4. Grafik na funkcijata f ( x)  a( x  x0 ) 2

Во овој дел ќе покажеме како графикот на функцијата f ( x)  a( x  x0 ) 2 се добива со транслација по х-оската од графикот на функцијата f ( x)  ax 2 . За таа цел прво ќе разгледаме еден пример. Пример1: Нацартај го графикот на функцијата а) f ( x)  ( x  1) 2 , б) f ( x)  ( x  2) 2 и в) f ( x)  2( x  1) 2 . Решение: а) Ја формираме следната таблица за вредностите на функцијата за некои вредности на аргументот х:

х ( x  1)

х2

2

… … …

-2 9 4

cрт. 9

-1 4 1

0 1 0

1 0 1

2 1 4

3 4 9

4 9 16

… … …

Ако ги нанесеме точките во координате н систем и ги поврземе со непрекината линија ќе забележиме дека граfикот на функцијата f ( x)  ( x  1) 2 , е парабола отворена нагоре, која се добива од графикот на функцијата f ( x)  x 2 , ако параболата y  x 2 ја транслатираме за еден во насока на х-оската (црт. 9).Темето на параболата y  ( x  1) 2 е точката (1,0), а правата х=1 е нејзина оска на симетрија. Понатаму, на интервалот (,1) функцијата монотоно опаѓа, а на интервалот (1,) таа монотоно расте и во

точката x0  1 има минимум f (1)  0. б) Ја составуваме таблицата: х …

-4 -3 -2

-1

0

1

2

…

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _10 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ …

4 1 0 1 4 9 16 … ( x  2) 2

х2

…

16

9

4

1

0

1

4

…

Како и во задачата под а) заклучуваме дека графикот на функцијата f ( x)  ( x  2) 2 е парабола отворена нагоре, која се добива од графикот на функцијата f ( x)  x 2 , ако параболата y  x 2 ја транслатираме за 2 спротивно од насоката на х-оската (црт. 10). Темето на параболата (-2,0), а правата х= -2 е y  ( x  2) 2 е точката нејзина оска на симетрија. Понатаму, на интервалот crt. 10 (,2) функцијата монотоно опаѓа, а на интервалот (2,) таа монотоно расте и во точката x0  2 има минимум f (2)  0. в) За да го нацртаме графикот на функцијата f ( x)  2( x  1) 2 . доволно е да го нацртаме графикот на функцијата f ( x)  2 x 2 и истиот да го трансластираме за еден спротивно од насоката на хcrt. 11 оската (црт. 11). Значи, графикот е парабола отворена надолу и со теме во точката (-1,0). Правата х= -1е нејзина оска на симетрија. Понатаму, на интервалот (,1) функцијата монотоно расте, а на интервалот (1,) таа монотоно опаѓа и во точката x0  1 има максимум f (1)  0. Од досега изнесеното за графикот на функцијата од видот f ( x)  a( x  x0 ) 2 можеме да заклучиме: -графикот на функцијата f ( x)  a( x  x0 ) 2 е параболата y  a( x  x0 ) 2 и се добива со транслација на параболата y  ax 2 за x 0 во насока на х-оската ако x 0 >0, а во спротивна насока од насоката на х-оската ако x 0 < 0, -параболата y  a( x  x0 ) 2 е симетрична во однос на правата x  x0 , а нејзиното теме е T ( x0 ,0), -ако а>0, тогаш параболата е отворена нагоре, функцијата f и опаѓа на интервалот, (, x0 ), расте на интервалот ( x0 ,) и во x 0 има минимум која изнесува f ( x0 )  0 и -ако а< 0, тогаш параболата е отворена нодолу, функцијата f расте на интервалот (, x0 ), опаѓа на интервалот ( x0 ,) и за x 0 има максимум кој изнесува f ( x0 )  0 .

5.Grafik na funkcijata f ( x)  ax 2  bx  c Vo predhodnite razgleduvawa nau~ivme da gi konstruirame graficite na funkciite od vidovite f ( x)  ax 2 , f ( x)  ax 2  c i f ( x)  a( x  x0 ) 2 . Vo ovoj del }e se osvrneme na konstrukcijata na grafikot na funkcijata f ( x)  ax 2  bx  c . Za taa cel _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ prvo }e razgledame kako se konstruira grafikot na funkcija od vidot f ( x)  a ( x  x 0 ) 2  y 0 .

Ako funkcijata f ( x)  a( x  x0 ) 2  y0 . ja sporedime so funkcijata g ( x)  a( x  x0 ) 2 zabele`uvame deka tie se razlikuvaat za konstanta y 0 . Toa, pak, zna~i deka grafikot na funkcijata f }e go dobieme od grafikot na funkcijata g so translacija po yoskata za y 0 edinici i toa vo nasoka na y-oskata ako y 0 >0 i vo nasoka sprotivna od nasokata na y-oskata ako y 0 <0. Da razgledame dva primeri.

Primer 1: Nacartaj go grafikot na funkcijata f ( x)  3( x  1) 2  2.

Re{enie: Prvo go crtame grafikot na funkcijata f 0 ( x)  3x 2 . So translacija za 1 vo nasoka na h-oskata go dbivame grafikot na funkcijata f1 ( x)  3( x  1) 2 (crt. 12).

Sega so u{te edna translacija za 2 vo nasoka na y-oskata, no na grafikot na funkcijata f 1 go dobivame grafikot na funkcijata f . Zna~i, grafikot na funkcijata f go dobivame od parabolata y  3x 2 , so dve nejzini translacii: vo nasoka na h-oskata za 1 i vo nasoka na y-oskata za 2.

Temeto na parabolata y  3( x  1) 2  2 e vo to~kata (1,2), a pravata h=1 e nejzina oska na simetrija . Funkcijata ima minimum za h=1 i toj e f (1)  2.

Primer 2: Nacartaj go grafikot na funkcijata f ( x)  (2 x  1) 2  2.

Re{enie: Prvo dadenata vikcija }e ja zapi{eme vo vidot f ( x)  a( x  x0 ) 2  y0 . Imame crt. 12 2 1  1  2 f ( x)  (2 x  1)  2  2( x  )  2  4( x  ) 2  2.

2  2  Sega analogno kako vo primerot 14 grafikot na funkcijata go dobivame so translacija na 1 parabolata y  4 x 2 za vo nasoka sprotivna od 2 nasokata na h-oskata, a potoa so translacija za 2 vo nasoka sprotivna od nasokata na y1 1 oskata. Temeto na parabolata y  4( x  ) 2  2 e vo to~kata ( ,2), a pravata 2 2 1 x   e nejzina oska na simetrija (crt.13) 2 1 2 Funkcijata ima nuli x1 / 2  i toa se 2 korenite na ravenkata 2 (2 x  1)  2  0. Funkcijata ima minimum za 1 1 x   i toj e f ( )  2.

2 2 Od dosega iznesenoto za grafikot na funkcijata od vidot f ( x)  a( x  x0 ) 2  y0 .

Mo`eme da zaklu~ime: -grafik na funkcijata f ( x)  a( x  x0 ) 2  y0 . e crt. 13

parabolata y  a( x  x0 ) 2  y0 i toj se dobiva, prvo so transilacija na parabolata y  ax 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ za x 0 vo nasoka na h-oskata ako x 0 >0, a vo sprotivna nasoka od nasokata na h-oskata ako x 0 <0, a potoa dobienata parabola y  a( x  x0 ) 2 se translatira za y 0 vo nasokata na y-oskata ako y 0 >0, a vo sprotivna nasoka od nasokata na y-oskata ako y 0 <0, -parabolata y  a( x  x0 ) 2  y0 e simetri~na vo odnos na pravata x  x0 , a nejzinoto teme e T ( x0 , y0 ), -ako a>0, toga{ parabolata e otvorena nagore, funkcijata f opa|a na intervalot (, x0 ), raste na intervalot ( x0 ,), i vo x 0 ima minimum koj iznesuva f ( x0 )  y0 , -ako a<0, toga{ parabolata e otvorena nadolu, , funkcijata f raste na intervalot (, x0 ), opa|a na intervalot ( x0 ,), i za x 0 ima maksimum koj iznesuva

f ( x0 )  y 0 , i -ako a i y 0 se so isti znaci, toga{ funkcijata nema nuli, - ako a i y 0 se so sprotivni znaci, toga{ taa ima nuli x1 i x 2 I toa se korenit na ravenkata a( x  x0 ) 2  0, {to zna~i deka parabolata y  a( x  x0 ) 2  y0 ja se~e hoskata vo to~kite ( x1 ,0) i ( x2 ,0). Predhodnite razgleduvawa ni ovozmo`uvaat da go nacrtame grafikot na kvadratnata funkcija f ( x)  ax 2  bx  c . ]e razgledame dva primera.

Primer 2: Nacartaj go grafikot na funkcijata f ( x)  3x 2  6 x  1.

Re{enie: So dopolnuvawe do poln kvadrat imame: 2 2 f ( x)  3x  6 x  1  3( x  2 x)  1  3( x 2  2 x  1  1)  1  3( x  1) 2  3  1  3( x  1) 2  2 t. e. f ( x)  3( x  1) 2  2 .

Spored toa, grafikot na funkcijata f se dobiva od parabolata y  3x 2 so translacija crt. 14 vo nasoka na h-oskata za 1 i vo nasoka sprotivna od nasokata na y-oskata za 2.

Parabolata e otvorena y  3x 2  6 x  1 nagore, nejzino teme e to~kata (1,2), taa e simetri~na vo odnos na pravata h=1 i f ima minimum za h=1 itoa f(1)=-2. Bidej}i vo funkcijata koeficientite 3 i -2 se so sprotiven znak funkcijata f ima nuli i toa se korenite na ravenkata 3( x  1) 2  2  0. Spored toa, nuli na funkcijata se 3 6 , {to zna~i deka grafikot na funkcijata f ja se~e h-oskata vo to~kite 3 3 6 3 6 ( ,0) i ( ,0) (crt. 14).

3 3 1 Primer 3: Nacartaj go grafikot na funkcijata f ( x)   x 2  4 x  5.

2 Re{enie: So dopolnuvawe do poln kvadrat imame: 1 1 1 1 f ( x)   x 2  4 x  5   ( x 2  8 x)  5   ( x 2  8 x  16)  3   ( x  4) 2  3 t. e.

2 2 2 2 1 f ( x)   ( x  4) 2  3 2 x1 / 2 

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _13 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 1 Spored toa, grafikot na funkcijata f se dobiva od parabolata y   x 2 so 2 translacija vo nasoka na h-oskata za 4 i vo nasoka na y-oskata za 3. Parabolata 1 y   x 2  4 x  5 e otvoreno nadolu, nejzino teme e to~kata (4,3), taa e simetri~na 2 vo odnos na pravata h=4 i f ima minimum za h=4 i toa f(4)=3. Bidej}i vo funkcijata koeficientite 1 i 3 se so sprotiven znak funkcijata f ima  2 nuli i toa se korenite na ravenkata 1  ( x  4) 2  3  0. Spored toa, nuli na funkcijata 2 se x1 / 2  4  6 , {to zna~i deka grafikot na funkcijata f ja se~e h-oskata vo to~kite (4  6 ,0) i (4  6 ,0) (crt. 15). crt. 15

Da se vratime na op{tiot slu~aj. ]e go koristime spomenatiot metod na dopolnuvawe do poln kvadrat. Pri izu~uvaweto na kvadratnata ravenka vidovme deka  b c b b 2  4ac  b 2 4ac  b 2 f ( x)  ax 2  bx  c  a( x 2  x  )  a ( x  ) 2   a ( x  )  .  a a 2a 2a 4a 4a 2   Ako poslednoto ravenstvo go sporedime so ravenstvoto f ( x)  a( x  x0 ) 2  y0 od prethodnite razgleduvawa zaklu~uvame deka: -grafikot na kvadratnata funkcija e parabola koja se dobiva so translacija na parbolata y  ax 2 , b 4ac  b 2 ), -teme na parabolata e to~kata T ( , 2a 4a b -oska na simetrija e pravata x   i 2a -parabolata y  ax 2 bx  c e otvorena nagore ako a>0, odnosno nadolu ako a<0.

SVOJSTVO NA KVADRATNATA FUNKCIJA f ( x)  ax 2 bx  c Vo predhodnite razgleduvawa so pomo{ na frafikot na osnovnata kvadratna funkcija f ( x)  x 2 go konstruiravme grafikot na funkcijata od vidot f ( x)  ax 2 , a potoa na translacija i elementarni algebarski transformaciki go konstruiravme grafikot na kvadranata funkcija f ( x)  ax 2 bx  c .

Vo ovaa to~ka da se navratime na svojstvoto na kvadratnata funkcija i istite }e gi izvedeme na na~in na koj ~esto se prou~uvaat i drugite funkciite. Pritoa _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _14 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ }e poka`ime kako grafikot na kvadratnata funkcija mo`e da se nacrta so pomo{ na nejzinite karakteristi~ni to~ki.

A) EKSTREM, OSKA NA SIMETRIJA I MNO@ESTVO VREDNOSTI NA KVADRATNATA FUNKCIJA Da ja razgledame kvadratnata funkcija f ( x)  ax 2 bx  c .Vo prethodnata to~ka b 2 4ac  b 2 )  , koj go 2a 4a narekuvame kanoni~en vid na kvadratnata funkcija f ( x)  ax 2 bx  c .

Vo razgledanite primeri vidovme deka nekoi kvadratni funkcii imaat najmala vrednost (minimum), a nekoi imaat najgolema vrednost (maksimum). Minimum i maksimum na edna funkcija so zaedni~ko ime }e gi narekuvame ekstremi ili ekstremni vrednosti na funkcijata.

poka`avme deka istata mo`e da se zapi{e vo vidot f ( x)  a( x 

Во

врска со екстремните вредности на квадратната f ( x)  ax bx  c ќе ја докажеме следната теорема. Теорема: Нека е дадена квадратната функција f ( x)  ax 2 bx  c .

функција

2

4ac  b 2 b има минимум f ( x0 )  .

4a 2a 4ac  b 2 b б) Ако a  0, тогаш f во точката x0   има минимум f ( x0 )  .

4a 2a Доказ: a ) Neka a>0. Bidej}и kvadrat na realen broj e negativen realen broj i znakot na neravenstvoto ne se menuva ako go pomno`ime so pozitiven broj ili ako dvete strani dodademe proizvolen realen broj posledovatelno dobivame: b ( x  ) 2  0, за секој x  R ; 2a b a( x  ) 2  0, за секој x  R и 2a b 4ac  b 2 4ac  b 2 a( x  ) 2   , за секој x  R .

2a 4a 4a Понатаму, ако се искористи канони~niot вид на квадратната равенка 2   b  4ac  b b добиваме дека f    , па од последнот неравенство следува f    f ( x), 4a  2a   2a  b за секој x  R , што значи функцијата f во точката x0   има минимум еднакво на 2a 2 4ac  b .

4a

а) Ако a  0, тогаш f во точката x0  

Тврдењето под б) се докажува аналогно. Обиди се самостојно да го докажеш, користејќи го знакот на неравенството се менува, ако тоа се помножи со не гативен број. Пример 1: Најди ги екстремните вредности на квадратната функција: а) f ( x) 

1 2 x  4x  5 и 2

б)

f ( x) 

3 2 x  x  2.

2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _15 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 1 b Решение: а) Бидејќи a   0 од теорема (1) следува дека за x0    4 2 2a 2 4  1  (5)  4 2 16 2 функцијата има минимум f ( x0 )  f (4)     8.

1 2 4 2 3 b б) Бидејќи a   0 од теорема (1) следува дека за x0    4 функцијата 2 2a 3 4  ( )  (5)  4 2 1 11 2 има минимум f ( x0 )  f ( )   .

3 3 6 4  ( ) 2

Пример 2: Од парче лим кој има форма на остроаголен триаголник АВС (црт 16), треба да се исече правоаголник така, што едната страна да лежи на страната АВ на триаголникот и да има најголема можна површина. Најди ги должините на страните на crt.16 триаголникот.

C Решение: Нека DEFG е правоаголник впишан во триаголникот АВС така што една h негова страна лежи на страната АВ и нека G F x должините на неговите страни се х и y . y Бидејќи ABC ~ GFC имаме c : h  x : (h  y), а A

D

c

E

B

h x  h. Sега плоштината на c h добиваме P( x)   x 2  h, и тоа е c

отука следува y  

правоаголникот е P  xy и ако заменеме за y

h  0, според теорема (1), следува дека ова функција c c  h2 hc h c  . Втората страна на правоаголникот за x    има максимум P( )  h 2 4 2a 2 4  ( ) c h c h има должина y     h  . c 2 2

квадратната функција по х. Од 

Во предходните разгледувања видовме дека графикот на квадратната функција е парабола и истата има оска на симетрија. Во следната теорема ќе го докажеме оваа тврдење, без притоа да ја користеме транслацијата. Теорема 2: Правата x  

b е оска на симетрија на графикот на квадратната 2a

функција f ( x)  ax 2 bx  c . Доказ:Доволно е да докажеме дека за секој t  R е исполнето равенството f (

b b  t )  f (  t) .

2a 2a

Ако го искористеме каночниот вид на квадратната функција добиваме b b b 2 4ac  b 2 4ac  b 2 b b 2 4ac  b 2 b 2 f (  t )  a( t  )   at   a( t  )   f (  t ), 2a 2a 2a 4a 4a 2a 2a 4a 2a

што и требаше да се докаже. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _16 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

Пример 3: Најди ја оската на симетрија на фрагикот на квадратната функција: а) f ( x) 

1 2 x  4x  5 i 2

3 b) f ( x)   x 2  x  2.

2

1 , b  4 i c  5, pa od 2 teorema (2) sleduva deka oskata na simetrijata na nejziniot grafik e pravata b f ( x)    4.

2a b) Analogno kako vo zada~ata pod a) nao|ame deka oskata na simetrijata e b 1 pravata x    .

2a 3 Teorema 3: Za kvadratnata funkcija f ( x)  ax 2 bx  c mno`estvo vrednosti e:

Re{enie: a) Koeficientite na funkcijata se a 

 4ac  b 2  , , ako a>0.  4a 

a) V f  f ( D)  



b) V f  f ( D)    , 

4ac  b 2   ako a  0.

4a 

Пример 4: Определи го множеството вредности на функцијата: а) f ( x)  x 2  2 x  5 и б) f ( x)   x 2  4 x  3. Решение: а) Бидејќи a  1  0, од теорема (1) следува за

x0  

b 1 2a

4ac  b 2  4. Сега, од теорема (3) под б) следува дека 4a множеството вредности на функција е V f  4,.

функцијата има минимум y 0 

4ac  b 2 12  16   1, од теорема (3) под б) следува дека 4a 4 множеството вредности на функцијата е V f   ,1.

б) Бидејќи a  1  0 и

Б) РАСТЕЊЕ И ОПАЃАЊЕ, НУЛИ И ЗНАК НА КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА Во теорема (1) докажавме: -ако a  0, тогаш квадратната функција f ( x)  ax 2 bx  c има минимум кој се достигнува во точката x0  

b и 2a

- ако a  0, тогаш квадратната функција f ( x)  ax 2 bx  c има макцимум кој се достигнува во точката x0  

b .

2a

Логично е да се запрашаме како функцијата се однесува за вредности на аргумент помали, односно поголеми од x0  

b . Во следната теорема ќе докажеме 2a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _17 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ b b дека интервалот (, ) и ( ,) квадратната функција f ( x)  ax 2 bx  c расте 2a 2a

или опаѓа, во зависност од знакот на коефициентот а. За таа цел прво попрецизно ќе кажеме што значи функцијата монотоно да расте, односно монотоно да опаѓа. Дефениција 4: Нека f : R  R. За функцијата f ќе велеме дека: а) монотоно расте во интервалот (а, b ) ако од x1  x 2 следува f ( x1 )  f ( x2 ), за секои x1 , x2  (a, b) и б) монотоно опаѓа во интервалот (а, b ) ако од x1  x 2 следува f ( x1 )  f ( x2 ), за секои x1 , x2  (a, b) . Како што знаеме, линеарната функција f ( x)  ax  b монотоно расте на велиот интервалот ако a  0, а опѓа на овој интервал ако a  0. Теорема 4: а) Ако a  0, тогаш квадратната функција f ( x)  ax 2 bx  c е b b ) и монотоно расте на интервалот ( ,).

2a 2a 2 б) Ако a  0, тогаш квадратната функција f ( x)  ax bx  c е монотоно расте на b b интервалот (, ) и монотоно опаѓа на интервалот ( ,).

2a 2a Пример 5:Определи ги интервалите на монотоност на функцијата: а) f ( x)  7 x 2  8x  5 б) f ( x)  2 x 2  4 x  3. b 8 4 Re{enie: a) Bidej}i a  7  0 i    , od teoremata (4) pod a) 2a 27 7 4 4 sleduva deka intervalot (, ) funkcijata monotono opa|a, a na intervalot ( ,) 7 7 taa monotono raste. b 4 b) Bidej}i a  2  0 i    1, od teoremata (4) pod a) sleduva deka 2a 2  (2) intervalot (,1) funkcijata monotono raste, a na intervalot (1,) taa monotono opa|a.

Vo definicijata 2 nulite na funkcijata f gi definiravme kako realni re{enija na ravenkata f ( x)  0. Spored toa, nuli na kvadratnata funkcija

монотоно опаѓа на интервалот (,

f ( x)  ax 2 bx  c se realni koreni na kvadratnata ravenka ax 2 bx  c  0.

So D povtorno ja ozna~uvame diskriminantata na ravenkata . Imame: -ako D  0, toga{ korenite na ravenkata se kowugira kompleksi broevi, {to zna~i grafikot na funkcijata nema zaedni~ki to~ki so h-oskata, - ako D  0, toga{ ravenkata ima realni i ednakvi koreni, t. e. x1  x2 , {to zna~i grafikot na funkcijata ja dopira h-oskata i - ako D  0, toga{ ravenkata ima realni i razli~ni koreni x1 i x 2 , {to zna~i grafikot na funkcijata ja se~e vo dve to~ki so h-oskata.

Primer 6: Opredeli gi nulite na funkcijata: 63 a) f ( x)  7 x 2  8x  5 , b) f ( x)  2 x 2  4 x  3 i v) f ( x)  7 x 2  63x  .

4 Re{enie: a) Bidej}i D  64  140  0 funkcijata nema nuli.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _18 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ b) D  16  24  0 sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa  4  40  4  2 10 10 x1 / 2    1 . 4 4 2 v) Od D  632  63  7  0 sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa

 63  632  63  7  63  42 2  9  6 2   .

14 14 2 Primer 7: Neka e dadena familijata kvadratni funkcii f ( x)  kx2  2 x  k  2, f  R \ 0. Doka`i deka sekoja od ovie funkcii ima realni nuli.

Re{enie: Za diskriminantata D na sekoja funkcija od familijata imame D  (2) 2  4 x(k  2)  4  8k  4k 2  (2  2k ) 2  0, {to zna~i deka nejzinite nuli se realni. Jasno, za k  1 nulite se realni i ednakvi, a za k  1 tie se realni i razli~ni.

Da se potsetime, pri prou~uvawe na kvadratnite ravenki go razgleduvame pra{aweto na znakot na kvadratniot trinom ax 2 bx  c . Pritoa poka`avme deka: 1.

Ako D  0, t. e. trinomot nema realni koreni, toga{ a) za a  0, va`i R(h)>0, za sekoj x  R i b) za a  0, va`i R(h)<0, za sekoj x  R .

2.

Ako D  0, trinomot ima dvoen koren x1  x2 , toga{ a) za a  0, va`i R(h)>0, za sekoj x  R \ x1  i b) za a  0, va`i R(h)<0, za sekoj x  R \ x1  .

3.

Ako D  0, t. e. trinomot ima dva realni i razli~ni koreni x1 i x 2 , x1  x2 , koi go razbivaat mno`estvoto na realni brojevi na tri disjuktni intervali: (, x1 ), x1 , x2  i ( x2 ,), toga{ a) za a  0, va`i R(h)>0, za sekoj x  (, x1 ), P( x)  0, za sekoj x  x1 , x2  i P( x)  0, za sekoj x  ( x2 ,). b) za a  0, va`i R(h)<0, za sekoj x  (, x1 ), P( x)  0, za sekoj x  x1 , x2  i P( x)  0, za sekoj x  ( x2 ,).

Bidej}i pra{aweto na kvadratnata trinom ax 2 bx  c e ekvivalentno na pra{aweto za znakot na kvadratnata funkcija f ( x)  ax 2 bx  c , tvrdewata 1, 2, i 3 va`i za znakot na kvadratnata funkcija i istite se ilustracii na crte` 17,18,19 x1 / 2 

crt. 17

crt. 18

crt. 19

Primer 8: Opredeli go znakot na funkcijata: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _19 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ 63 a) f ( x)  7 x 2  8x  5 , b) f ( x)  2 x 2  4 x  3 i v) f ( x)  7 x 2  21x  .

4 Re{enie: a) od D  64  140  0 i a  7  0 sleduva f ( x)  0, za sekoj x  R .

Od D  16  24  0 sleduva  4  40  4  2 10 10 toa x1 / 2    1 . 4 4 2 Ponatamu, a  2  0, pa zatoa:

b)

- f ( x)  0, za sekoj x  (,1  - f ( x)  0, za sekoj x  (1 

deka

funkcijata

ima

dve

nuli

i

10 10 12 ), - f ( x)  0, za sekoj x  (1  ,1  ) i 2 2 2

10 ,).

2

2 v) Od D  212  63  7  0 i a  7  0 sleduva deka f ( x)  0, za sekoj x  R \  . 3 1 Primer 9: Za koja vrednost na h dropkata 2 ima najgolema vrednost. x  2x  2 Re{enie: Broitelot na dropkata e pozitivna konstanta, a imenitelot e kvadratna funkcija so a  1  0 i D  (2) 2  4  1  2  4  0, t. e. koga kvadratnata

funkcija f ( x)  x 2  2 x  2 dostignuva maksimum, a toa e za h=1 i pritoa vrednosta na dropkata 1.

Na krajot od ovoj del da doka`eme kako so pomo{ na svojstvata na kvadratnata funkcija mo`e da se konstruira grafikot na kvadratnata funkcija.

Peimer 10: Konstruiraj go grafikot na 1 crt. 20 funkcijata f ( x)  x 2  4 x  6.

2 Re{enie: Za dadenata funkcija imame 1 a  , b  4 i s=6.

2 a) a)Oskata na simetrijata na grafikot na b funkcijata (parabolata) e pravata x    4.

2a b) Bidej}i a  0, funkcijata ima minumum 4ac  b 2 b  2, pa zatoa temeto  4 i toa f ( x0 )  4a 2a na parabolata O ' (4,2) и parabolata e otvorena nagore.

42 , v) Od D  b 2  4ac  4 sleduva deka funkcijata ima dve nuli i toa x1 / 2  1 {to zna~i parabolata ja se~e h-oskata vo to~kite R(2,0) i P ' (6,0). g) Za х=0 добиваме дека y =6, што зна~ и дека параболта ја сече y -оската во то~ката Q(0,6) а исто така и то ~ката R(8,6) е то ~ка од параболата . д) Функцијата монотоно опаѓа на интервалот (,2) и (6,), а f ( x)  0 на интервалот (4, ), потоа f ( x)  0 на интервалите (,2) и (6,), а f ( x)  0 на интервалот (2,6). x0  

Сега, во координатниот систем ги нанесуваме најдените елементи и го конструираме графикот на функцијата, водејќи сметка за D)(crt.20) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _20 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ Дефениција: Неравенката од видот ax 2 bx  c  0 или ax 2 bx  c  0, односно ax 2 bx  c  0 или ax 2 bx  c  0 каде што a, b, c  R, a  0 ја нарекуваме квадратна неравенка со една непозната. Забелешка Ако ставиме f ( x)  ax 2  bx  c, тогаш соодветните неравенки од дефиницијата можеме да ги запишиме во облик f ( x)  0 или f ( x)  0, односно f ( x)  0 или Пред да преминеме на разгледување на примери за забележиме дека ако f (x) и g (x) се квадратни триноми со различни коефициенти пред квадратниот член, тогаш неарвенакта од облик f ( x)  g ( x) е квадратна неравенка. Последната неравенка е еквивилентна на неравенката f ( x)  g ( x)  0, т. е. на неравенката f ( x)  g ( x)  0, за кои }е велеме дека се запишани во нормален вид. Во нашите разгледувања квадратните неравенки }е ги рашиме со помош на знакот на квадратната функција, но важно е да се знае дека истите можеме да ги решаваме и со разложување на квадратниот трином f ( x)  ax 2 bx  c , при што треба да ги користиме тврдењета:  f ( x)  0  f ( x)  0 а) f ( x) g ( x)  0 ако и само ако  или  и  g ( x)  0  g ( x)  0  f ( x)  0  f ( x)  0 б) f ( x) g ( x)  0 ако и само ако  или   g ( x)  0  g ( x)  0

при што во случај кога во неравенките фигура еден од знаците  или  , тогаш истите знаци соодветно се појавуваат и во системите во тврдењета а) и б). Пример 1:Реши ја квадратната неравенка x 2  2 x  3  0. Решение: Ја разгледуваме функцијата 2 Нулите на функцијата се f ( x)  x  2 x  3. решенијана квадратната равенка x 2  2 x  3  0 и тоа се x1  1 и x2  3. Графикот на функцијата е crt. 21 парабола отворена нагоре која ја сечи х-оската во точките (-1,0) и (3,0). Ова ни е доволно да ја скицираме параболата y  x 2  2 x  3 (црт. 21) и од графикот за заклучиме за кои реални броеви х функцијата прима негативни вредности, f односно за кои вредности на х параболата е под хоската. Тоа се точките чии апциси се меѓу -1 и 3. Според тоа, f ( x)  0 ако и само ако x  (1,3), па затоа решение на равенката x  (1,3), е x 2  2 x  3  0.

Пример2:

Реши ја квадратната неравенка

x  2 x  15  0.

2

Решение:

графикот на функцијата f ( x)  x  2 x  15 е параболата отворена нагоре која ја сечи х-оската во точките (-5,0) и (3,0).На црт. 22 е 2

_ _ _ _ _ _crt. _ _ _22_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _21 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ даден графикот на ова функција од кој се гледа f ( x)  0 ако и само ако x  (,5)

и x  (3,). Според тоа, решение на неравенката x 2  2 x  15  0 е множеството (,5)  (3,), т. е. множеството R \  5,3. Ќе покажеме како дадена равенка може да се реши и без kористење на графикот на функцијата f ( x)  x 2  2 x  15 . Го разгледуваме квадратниот трином x 2  2 x  15 чии нули се x1  5 и x2  3. Според тоа, x 2  2 x  15  ( x  5)( x  3), па дадената разлика го добива обликот ( x  5)( x  3)  0. Ако се искористи тврдењето под а) ги добиваме дека неравенката е еквиле нтна на севкупноста систем неравенки x  5  0 x  5  0 и .  x  3  0 x  3  0  x  5  x  5  x  3 или   x  3 т.  x3  x3 е. множеството (,5)  (3,)  R \  5,3.

Според тоа, 

crt. 23

Пример 3: Реши ја квадратната неравенка x  x  2  5.

2

Решение: По средувањето на неравенката го добиваме видот x 2  x  2  0. Графикот на функцијата f ( x)  x 2  x  2 ја сече х-оската во апциси x1  2 и x2  1. Гледаме дека f ( x)  0 за x   2,1. Според тоа, решение на неравенката x 2  x  3  5 е множество  2,1 (црт.23) Пример 4: реши ја квадратната неравенка  2 x 2  2 x  x  1.

Решение: По средувањето на неравенката го добиваме видот  2 x 2  x  1  0. Графикот на функцијата f ( x)   x 2  x  1 ја сече х-оската во апциси x1   crt. 24

1 и x2  1. Гледаме дека f ( x)  0 за 2

1  x    ,   1,. Според тоа, решение на 2  x2  x  3  5 неравенката е множество 1  x    ,   1,. , т. е. множеството 2  1 R \ ( ,1) (црт.24).

2

Пример 5: Реши ги квадратните неравенки 4 x 2  4 x  1  0 и в) а) x 2  2 x  1  0, б) crt. 25

9 x 2  6 x  1  0.

Решение: а) Дадената неравенка е еквивалента на неравенката ( x  1) 2  0 која нема решение бидејќи квадрат на реаллен број

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _22 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

не

може да биде негативен број . б) Дадена е неравенката е е еквивалентна на неравенката (2 x  1) 2  0 чие решение е x 

1 .

2

в) Неравенката е еквивалентна на неравенката тие решени е множеството (3x  1) 2  0 1  R \   (crt. 26) 3

crt. 26

СИСТЕМ КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ Defenicija : Sistemot od vidot

 a1 x 2  b1 x  c1  0 ( ili  0, ili  0, ili  0) .go narekuvame sistem od dve  2 ( ili  0, ili  0, ili  0) a 2 x  b2 x  c 2  0 kvadratni neravenki so edna nepoznata.

Naka M 1 i M 2 se mno`estva re{enija na prvata i neravenka na sistemot soodvetno. Realniot broj h e re{enie na sistemot ako i samo ako toj e re{enie i na dvete negovi neravenki, t. e. ako i samo ako x  M 1  M 2 . Spored toa, mno`estvoto re{enija na sistemot e M  M 1  M 2 . - x 2  3x  2  0 .

Primer 1: Re{igo sistemot kvadratni neravenki  2  x x20 Решение: Прво да ја решиме неравенката - h 2  3x  2  0 ,nулите на функцијата f ( x)   x 2  3x  2 се x1  1и x2  2 и нејзиниот график параболта е отворена надолу (24). Според тоа, нејзиното решение е множеството M 1  1,3 . Аналогно, нулите на функцијата g ( x)   x 2  x  2 се x1  1 и x2  2 и нејзиниот

график е патаболата отворена нагоре . Според тоа, нејзиното решение е множеството M 2  (1,2) (црт. 27). Конечно решение на дадениот систем е множеството M  M 1  M 2  1,2  (1,2)  [1,2). При решавање на многу задачи често пати се користат следните тврдења: а)

f ( x) 0 g ( x)

 f ( x)  0  g ( x)  0

или

 f ( x)  0   g ( x)  0

или

ако и само ако 

 f ( x)  0 и   g ( x)  0

б)

f ( x)  0 ако и само ако g ( x)

 f ( x)  0 .   g ( x)  0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 ___________________________

crt. 27

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ при што во случај кога во нервенките фигура еден од знаците  или  , тогаш истите

знаци соодветно се појавуваат и во неравенките за броител во системот во тврдењета а) и б). Пример 2: Реши ја неравенкта

x 2  2x 0 x 2  2x

Решение: Согалсно тврдењето а) дадена неравенка е еквивалентна на вкупноста од системите неравенки x 2  2x  0  x 2  2x  0 или Ги разгледуваме функциите  2  2 x  2x  0  x  2 x  0. f ( x)  x 2  2 x и g ( x)  x 2  2 x , чии графици се параболи отворени нагоре. Нулите на f se x1  2 и x2  0 , a na g se x1  2 и x2  0 (црт. 28). Решение на неравенкта x 2  2 x  0 е множеството M 1  R \ (0,2), а неравенката x 2  2 x  0 е множеството M 2  R \  2,0. Според тоа, решение на системот x 2  2x  0 е множеството M  M 1  M 2  R \  2,2.  2 x  2x  0

Понатаму, решение на неравенката е множеството а на x  2x  0 N1  0,2, 2 неравенката x  2 x  0 е множеството N 2  (2,0). Според тоа, решението на системот 2

x 2  2x  0 е множеството  2 x  2x  0

N  N1  N 2  (2,0)  0.2   , што значи дека тој нема решенија. Конечно решеније на неравенкта x 2  2x  0 е множеството A  M  N  R \  2,2. x 2  2x  x 2  2x  5  1. Пример 3: Реши ја квадратната неравенка x2  x 1  x2  2x  5  x2  2x  5   1  1  0 Решение: Имаме x2  x 1 2x2  x 1  x 2  2x  5  2x 2  x  1 x2  x  6   0   0. x2  x 1 x2  x 1 crt. 28

Согласно тврдењето под б) дадената неравенка е екв ивалнтна на вкупноста од системите неравенки  x2  x  6  0  2 2 x  x  1  0

множеството

 x2  x  6  0 . Решението или  2 2 x  x  1  0 M 1  (3,2), а неравенката

на

x2  x  6  0 е

неравенката

x2  x 1  0

1 M 2  (, )  (1,). Според тоа, решение на системот 2 1 множеството M  M 1  M 2  (3, )  (1,2).

2

е

множеството

x  x6 0  2 2 x  x  1  0 2

е

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _24 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________ Понатаму, решение на неравенката x 2  x  6  0 е N1 (,3)  (2, ), а 1 неравенката 2 x 2  x  1  0 е множеството N 2  ( ,1).

2

Според тоа, решение на системот

 x2  x  6  0 е множеството N  N1  N 2  .  2 2 x  x  1  0

Конечно решение на неравенката

 x 2  2x  5  1. е x2  x 1

1 2

множеството A  M  N  (3, )  (1,2). (crt.29) crt. 29

ПРИМЕНА НА КВАДРАТНИТЕ НЕРАВЕНКИ И НА СИСТЕМИТЕ КВАДРАТНИ НЕРАВЕНКИ На крајот на оваа тема ќе се осврнеме на примената на квадратните наравенки. За таа цел ќе разгледаме неколку примери. Пример 1: Определи ја дефиниционата област на функцијата f ( x) x 2  2 x  3.

Решение: Како што знаеме квадратниот корен има смисла za sekoj pozitiven реален број i nulata t.e. , ако и само ако поткоренoviot израз е neнегативен, добиваме дека dефинационата област на функцијата f ја наоѓаме од условот x 2  2 x  3  0. Корените на равенката x 2  2 x  3  0. се x1  1 и x2  3, што значи решение на неравенката (1) е множеството  ,1  3,. Соодветно, доменот на функцијата f е множеството D f  R \ (1,3). (crt.30) Пример 2: определи го параметарот m така што корените crt. 30 на равенката (k  1) x 2  (k  5) x  k  2  0 да бидат различни и реални. функцијата f ја наоѓаме од условот Решение: Kорените на квадратната равенка се различни и реални ако и само ако нејзината дискриминатнта е позитивана. За дадената равенка ја добиваме неравенката D  (k  5) 2  4(k  1)(k  2)  0 која е евивалентна неравенка na 3k 2  14k  33  0

Корените на равенката 3k 2  14k  33  0 се k1 / 2 

 7  2 37 , што значи дека решение на 3

неравенката е множеството   7  2 37  7  2 37   . Конечно, дадената равенка има ,   3 3  

реални и различни решенија за секој _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _25 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________  7  2 37  7  2 37 , ). (crt.31) 3 3 Пример 3: Во равенката (k  1) x 2  (k  5) x  k  2  0 определи го параметарот k така да x1 x22  x2 xx12  2, каде x1 и x 2 се корените на m(

crt. 31

равенката. k 5 k 2 и x1 x2   . k 1 k 1 k  5  k  25 k 2  3k  10 Понатаму, x1 x22  x2 xx12  x1 x2 ( x1  x2 )     2 , па од условот на k 1 k 1 k  2k  1 k 2  3k  10 k 2  3k  10 задачата ја добиваме неравенката 2 2 2 20 k  2k  1 k  2k  1 k 2  kk  12 k 2  k  12  2 0 2  0. k  2k  1 k  2k  1

Решение: Од Виетовите формули добиваме x1  x2  

Дискриминантата на броителот на дропката на левата страна на неравенката е D  47  0 бидејќи коефициентите пред квадратниот член е позитивeн добиваме дека k 2  k  12  0 за секој k  R. Од другата страна, именителот на дропката е полн квадрат, т. е. k 2  2k  1  (k  1) 2 и тој е позитивен ако и само ако k  1. Конечно, x1 x22  x2 xx12  2, ако и само ако k  R \ 1. Пример 4: За кои вредности на параметарот функцијата f ( x)  (k  2) x 2  (k  1) x  4 е позитивна за секој k  R. Решение: Квадратната функциаја f ( x)  ax 2 bx  c е позитивна за секој k  R. ако и само ако a  0 и D  0. За дадената функција го добиваме системот неравенки k 20  кој е еквивллентен на системот  2 (k  1)  16(k  2)  0

k 2  .  2 k  14k  33  0 Решението на неравенката на системот е множеството M 1  (2,), а на втората е множеството M 2  (3,11), па затоа решението на последиот систем е множеството M  M 1  M 2  (3,11). Конечно, функцијата f е позитивна за секој k  R. ако и само ако k  (3,11).

Пример 5: Во равенката (k  2) x 2  2kx  2k  3  0 определи го параметарот k така што нејзините решенија де се со спротивни знаци. Решение: За корените x1 и x 2 на дадената равенка да се спротивни знаци потребно е нејзината дискриминанта да е позитивен и x1 x2  0. Според тоа, бараните вредности на параметарот k е множеството решенија на системот неравенки (2k ) 2  4(k  2)(2k  3)  0  кој е еквивжалентен на системот 2k  3   0.  k 2 

2  k  k  6  0  2k  3  0.   k 2 Решение на правата неравенка од системот е множеството M 1  (2, ), а на 3 втората неравенка е множествот M 2 ( ,2), па затоа решението на системот е 2 3 множеството M  M 1  M 2  ( ,2).

2

Конечно, решенијата на дадената равенка се со спротивни знаци ако и само ако 3 k  ( ,2).

2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _26 ___________________________

Кв а др а тна ф унк ц ија _____________________________________________________

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _27 ___________________________