Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.Definicija i vidovi kvadratni ravenki Mnogu zada~i od algebrata, geometrijata, fizikata i tehnikata se sveduvaat na ravenki kako ovie: h2+2h-15=0, 3h2 -4h-1=0, h2 -5h+6=0 Karakteristi~no za ovie ravenki e toa {to levata strana e kvadraten trinom, desnata strana e ednakva na nula. Takvite ravenki se vikaat kvadratni ravenki. Definicija1:Ravenkata od vidot ax2 +bx+c=0 ……………………………………(1) kade {to h e nepoznata , a a,b,c se dadeni realni broevi, pri {to a 0, se vika kvadratna ravenka so edna nepoznata. Broevite a,b,c se vikaat koeficienti na kvadratnata ravenka, i toa: akoeficient na kvadratniot ~len(ax2 ),b-koeficient na linearniot ~len(bx),csloboden ~len. Uslovot a 0 e
od su{tinsko zna~ewe,
bidej}i vo sprotiven slu~aj
definiranata ravenkata (1) ne bi bila kvadratna, tuku linearna. Primer 1: Da se odredat koeficientite na kvadratnata ravenka a) -9h2 +h-5=0, b) 2h -h2 =0, v) 3 4h 2h2 0 Re{enie: a) a =-9 b=1 c=-5
b) a =-1
v) a =
b=2 c=0
2
b=-4 c= 3
Ravenkata (1) e op{t vid na kvadratna ravenka . Ako vo nea a=1, toga{ velime deka ravenkata e vo normalen vid ili sveden vid, i obi~no ja zapi{uvame vo sledniov oblik: x2 +px+q=0 …………………………………………………………..(2) kade {to p, q se bilo realni broevi. Sekoja kvadratna ravenka od op{t vid mo`e da se dovede vo sveden vid , ako ravenkata (1) se podeli so a i da stavime b p, a
c q. a
Ako barem eden od koeficientite zavisi od nekoj parametar, velime deka kvadratnata ravenka e so prametri (parametarska kvadratna ravenka) ili ravenka so op{ti koeficienti. Na pr. parametarska ravenka e (k-3)h2 +2h+5k+7=0, bidej}i koeficientite a i c zavisat od parametarot k. Primer 2: Za koja vrednost na parametarot m ravenkata a) (m+2)h2 +5h-2m+1=0, b) (3m-6)h2 +4mh=0 e kvadratna? Re{enie: a) a 0 t.e (m+2) 0 odnosno m -2 b) a 0 t.e (3m-6) 0 odnosno m 2Ako vo ravenkata (1) b,c se razli~ni od nula , toga{ ravenkata se vika polna kvadratna ravenka, a ako barem eden od koeficientite b ili c se ednakvi na nula, toga{ ravenkata e nepolna kvadratna ravenka. Nepolnite kvadratni ravenki se od vidot : ax2 +bx=0 b 0 , ax2 +c=0 c 0, ax2 =0.
1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.Re{avawe na nepolni kvadratni ravenki 2.1. Re{avawe na nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2+bx=0 , a 0 Teorema 1: Nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2 +bx=0 a 0,b 0 ima re{enija h1 =0 , h2 =
b a
Dokaz: Levata strana na ravenkata ax2 +bx=0 ja razlo`uvame na mno`iteli i dobivame deka taa e ekvivalentna na ravenkata x(ax+b)=0 , odnosno na vkupnosta ravenki x0 ax b 0,
a0
b , a toa se re{enijata i na po~etnata ravenka. a Diskusija 1: O~igledno deka ravenkata ax2 +bx=0 a 0,b 0 ima sekoga{ dve 0 b realni re{enija i toa se h 1 =0 , h2 = .Jasno, ako b=0, toga{ h2 = - =0 i vo ovoj a a slu~aj velime deka h1 =h2=0 e dvoen (dvokraten) koren na ravenkata ax2 =0 , a 0.
~ie re{enie e h 1 =0 , h2 =
Primer 3: Da se re{i ravenkata 3h2 -15h=0 Re{enie: Dadenata kvadratna ravenka e nepolna od vidot ax2 +bx=0
so
koeficienti a=3 i b=-15. Soglasno teoramata 1 nejzini re{enija se h 1 =0 , h2= -15 =3. 3 Primer 4: Za koi vrednosti na parametarot m ednoto re{enie na ravenkata h2 +5h-(2m2 +4m)=0 e ednakvo na nula.Za najdenata vrednost na opredeli go i drugoto re{enie. Re{enie: Prvo da zabele`ime deka edno re{enie na ravenkata ax2 +bx+c=0 e ednakvo na nula ako i samo ako c=0. Navistina ako , toga{ ravenkata ax2 +bx+c=0 e nepolna od vidot ax2 +bx=0 i spored teorema 1 edno nejzino re{enie e h 1 =0. Obratno, ako h 1 =0 e re{enie na ravenkata ax2 +bx+c=0 , toga{ a02 +b0+c=0 t.e. c=o. Od prethodno izneseneto sleduva deka ravenkata ima edno re{enie ako i samo ako -(2m2 +4m)=0 t.e.ako i samo ako 2m2 +4m=0. Sega od teorema 1 sleduva deka 1 m1 =0 i m2 = 2 . Za najdenite vrednosti na m ravenkata go dobiva oblikot h2 +5h=0 i vtoroto nejzino re{enie e h2 =-5.
2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.2. Re{avawe na nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2+c=0 , b 0 Teorema 2: Nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2 +c=0 a 0, ima re{enija x1 / 2
c . a
Dokaz: Slobodniot ~len c go prefrlame na desnata strana na ravenkata i potoa ja delime so a 0 , so {to ja dobivame ja dobivame ekvivalentnata ravenka c x 2 . Re{enijata na poslednata ravenka se x 1 / 2 c i toa se re{enija na a a dadenata ravenka. Diskusija 2: 1) Ako
c a
>0, t.e. ako c i a se so razli~ni znaci, toga{ ravenkata ax2 +c=0 a 0 ima
realni i razli~ni re{enija i tie se ednakvi so x 1 / 2 2) Ako
c a
c . a
<0, t.e. ako c i a se so isti i znaci, toga{ ravenkata ravenkata ax2 +c=0
a 0 ima kompleksni re{enija i tie se ednakvi so x1 / 2
c i . a
3) Ako c=0 , toga{ h1 =h2 =0 e dvoen koren na ravenkata ax2 =0 , a 0. Primer 5: Re{i ja ravenkata: a) 4h2 -25=0, Re{enie:
b) 9h2 +49=0
a) Za dadenata ravenka imame a=4 i c=-25 t.e sleduva deka nejzini re{enija se x1 / 2 b) Za dadenata ravenka imame a=9 i c=49 t.e sleduva deka nejzini re{enija se x1 / 2
c 25 0 a 4
pa od diskusija 2 a)
c 25 5 . a 49 2
c 49 0 a 9
pa od diskusija 2 b)
c 49 7 i i i . a 9 3
Primer 6: Re{i ja ravenkata: (12-3k)h2 -17k+3=0 Re{enie: Dadenata ravenka e nepolna ako (12-3k) 0 t.e. k 4. Pritoa imame (12-3k)h2 -17k+3=0 Ako
17k 3 12 3k
x1 / 2 17k 3 12 3k
k
>0 , t.e.k (
3 17
h2 = 17k 3 12 3k
,4), ravenkata ima realni i razli~ni koreni
17k 3 3 . Ako 17-3k=0, t.e. k= ravenkata ima dvoen koren x1 / 2 0 . Ako 12-3k 17
<0 , t.e.
( ,
3 ) (4, ) 17
x1 / 2
,
ravenkata
ima
kowugirano
kompleksni
koreni
17k 3 i . 12-3k
3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Re{avawe na polni kvadratni ravenki Neka e dadena ravenkata ax2 +bx+c=0 , a 0………………………………………..(1) Ja transmorfirame nejzinata leva strana na slednijov na~in: ax2 bx c
= a x
= a (x 2 b x+ c ) )= a x 2 2 a
a
2
2 c b b2 c = a x 2 a 2a a 4a
2 b b2 4 a c . 2a 4 a 2
Spored
toa
,
b b 4ac a x 2a 4 a 2 2
x
2
b b b x 2a 2a 2a
2
ravenkata
ax2 bx c 0
e
ekvivalentana 2
=0, t. e. na ravenkata
b b 4ac x 2a 4 a2 2
na
ravenkata
od kade {to sleduva
b b2 4 a c 2a 4 a2
pa zatoa korenite na ravenkata
se x1
ax2 bx c 0
b b2 4 ac 2a
istite mo`eme da gi zapi{eme so pomo{ na formulata: x1 / 2
i
x2
b b 2 4 ac 2a
b b2 4 ac 2a
i
koja ja
narekuvame formula za korenite na kvadratnata ravenka ax2 bx c 0 . So toa ja doka`avme slednava teorema: Teorema 3: Korenite na polnata kvadratna ravenka ax2 bx c 0 se dadeni so formulata x1 / 2
b b2 4 ac …………….…………………………………………(2). 2a
Zabele{ka: Dobienata formula za korenite na kvadratnata ravenaka ax bx c 0 mo`e da se iskoristi i za nao|awe na korenite na nepolnite kvadratni ravenki,t. e. i za onie kvadratni ravenki kaj koi b= 0 ili s=0. Vo slu~aj koga ravenkata ax2 bx c 0 e dadena vo normalen vid imame a=1,b= p 2
i c=q, pa zatoa formulata x1 / 2 x1 / 2
p p 2 4q p 2 2
b b2 4 ac mo`eme da ja zapi{ime vo oblikot 2a 2
p2 4q p p q 4 2 2
……………………………………..(3)
Primer 7: Re{i ja kvadratnata ravenkata: a) 2h2 -5h-25=0 b) h2 -2h-28=0 v) h2 -5h+6=0 Re{enie: a) Koeficientite na ravenkata se a=2, b=-5 i c=-25. So zamena vo formulata (2) za korenite na ravenkata dobivame x1 / 2
( 5) ( 5)2 4 2 ( 25)
ravenkata se
22 5 15 5 x1 4 2
i
5 25 200 5 15 . 4 4 5 15 x2 5. 4
Spored
toa
re{enijata
na
b) Imame p=-2 i q=-28 t.e. ravenkata e dadena vo normalen vid , pa zatoa }e ja koristimeformulata (3) i dobivame: 2
x1/ 2
( 2) 2 ( 28) 1 29 2 2
v) Imame p=-6 i q=58 t.e. ravenkata e dadena vo normalen vid , pa zatoa }e ja koristimeformulata (3) i dobivame:
4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
x1/ 2
( 6) 6 58 3 9 58 3 49 3 7 i . 2 2
4. Diskriminanta na kvadratna ravenka Vo primerot 7 a) i b) korenite na kvadratnata ravenka se realni , a vo primerot 7 v) tie se kowugirano kompleksni broevi. Logi~no e da se zapra{ame od {to zavisi dali korenite }e bidat realni ili kowugirano kompleksni. Definicija 2: Realniot broj
D b2 4 ac ………………………………………………………(1) go narekuvame diskriminanta na kvadratnata ravenka ax2 bx c 0 . Ako ja iskoristime diskriminantata , toga{ formulata (2) mo`eme da ja zapi{eme vo oblikot x1 / 2
b D 2a
…………………………………………………………..(2)
Bidej}i D e realen broj, mo`ni se slednive slu~ai: D>0, D=0 i D<0. ]e gi razgledame oddelno ovie slu~ai. a) Ako D>0, toga{ D toga{ e realen pozitiven broj, pa zatoa kvadratnata ravenka ax2 bx c 0 ima dva realni i razli~ni koreni koi se dadeni so (2). b) Ako D=0, toga{ D =0 toga{ pa zatoa kvadratnata ravenka b ax2 bx c 0 ima dvoen koren x1 x 2 2a
v) Ako D<0, toga{-D>0 e realen broj i D =i D pa zatoa korenite kvadratnata ravenka ax 2 bx c 0 se kowugirano kompleksni broevi t.e.koi se dadeni
x1 / 2
b i D 2a
.
So toa ja doka`avme slednava teorema: Teorema 4: Korenite na polnata kvadratna ravenka ax2 bx c 0 a,b,c se: - realni i razli~ni ako D>0 - realni i ednakvi ako D=0 - kowugirano kompleksni ako D<0.
,a 0
Primer 8:Bez da ja re{ava{ kvadratnata ravenkata odrdija prirodata na nejzinite re{enija: a) 3h2 -4h+12=0 Re{enie:
b) 2h2 +5h-7=0
D ( 4) 2 4 3 12 16 144 0 , {to zna~i deka korenite na
a)
Imame
b)
ravenkata se kowugirano kompleksni. D 5 2 4 2 ( 7) 25 56 0 , {to zna~i deka korenite na Imame ravenkata se realni i razli~ni.
Primer 9:
Za koja vrednost na m, ravenkata mh2 +2(m+1)h-1-m=0 ima dvoen
koren. Re{enie: Za ravenkata za da ima dvoen koren treba nejzinata diskriminanta da
e
ednakva
na
nula
t.e.
(2(m 1)) 2 4 m ( 1 m) 0
odnosno
5 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4m 2 8m 4 4m 4m 2 0 . Ova kvadratna ravenka 2m 2 3m 1 0 ~ii re{enija se m1 / 2
3 32 4 2 1 3 9 8 3 1 1 ; m1 ; m2 1 . 22 4 4 2
Primer 10: Ispitaj ja, vo zaviasnost od parametarot m, prirodata na korenite na ravenkata h2+2h-m+1=0 Re{enie: Diskriminantata
na
kvadratnata
ravenka
e D 2 2 4 1 ( m 2) 4m 4.
Soglasno teorema 4 , ako D=0 t.e. 4m-4=0 odnosno, m=1 ravenkata ima dvoen koren. Ponatamu, ako D>0 t.e. 4m-4>0 odnosno. m>1 ravenkata ima realni i razli~ni koreni. I, ako D<0 t.e. 4m-4<0 odnosno, m<1 kowugirano kompleksni koreni.
ravenkata ima
5.Vietovi formuli Da ja razgledame kvadratnata ravenka h2 -7h+6=0 ~ii koreni se h1=1 i h2 =6. Zabele`uvame deka h1 + h2 =-7=-(-7) i h1 h2 =6 t.e. zbirot na korenite na ravenkata e ednakov na koeficientot pred linearniot ~len zemen so znak "-", a proizvodot na nejzinite korenine ednakov na slobodniot ~len. Logi~no e da se zapra{ame dali vakvi ili sli~ni relacii va`at za korenite i koeficientite na sekoja kvadratna ravenka ili toa va`i samo za nekoi kvadratni ravenki. Za odgovorot na prethodnoto pra{awe }e ja razgledame kvadratnata ravenka ax2 +bx+c=0 , a 0………………….………….………………………………..(1) Kako {to znaeme nejzinite koreni se : x1
b b2 4 ac 2a
i
x2
b b 2 4 ac 2a
Spored toa: x1 x 2
b b 2 4 ac b b 2 4 ac b b 2 4 ac b b 2 4 ac 2b b 2a 2a 2a 2a a
b b 2 4 ac b b 2 4 ac ( b)2 b 2 4 ac x1 x 2 2a 2a 4 a2
2
b 2 b 2 4 ac 4a
2
4 ac 4a
2
c a
Poka`avme deka, ako h1 i h2 se koreni na kvadratanata ravenka (1), toga{ va`at ravenstvata x1 x 2
b a
c a
i x1 x 2 ……………………………………………… (2)
koi se poznati kako Vietovi formuli(spored francuskiot matemati~ar Fransoa Viet, 1540-1603) ]e doka`eme deka va`i i obratnoto tvrdewe, t.e. ako za broevite h1 i h2 va`at ravenstvata (2), toga{ tie se koreni na ravenkata (1). Jasno h1 i h2 se koreni na ravenkata (h-h1 )(h- h2 )=0 …………………………………………(3) koja e ekvivalentana n aravenkata h2 -hh1 -hh2 +h1 h2 =0 t.e. na ravenkata h2 -(h1 +h2 )h+h1 h2 =0. Vo poslednata
ravenka
od
(2)
zamenuvame
6 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x1 x 2
b a
i x1 x 2
c a
i dobivame deka h1 i h2 se koreni na
ravenkata
c b x 2 x 0 , koja e ekvivalentna na ravenkata (1). a a
So toa ja doka`avme slednava teorema. Teorema 5: Broevite h1 i h2 se koreni na ravenkata (1) ako i samo ako va`at ravenstvata (2) Zabele{ka 3: Ako kvadratnata ravenka e dadena vo normalen vid x2 +px+q=0, toga{ ravenstvata (2) imaat poednostaven oblik, t.e. x1 x 2 p i x1 x 2 q . Primer 11: a) Vietovite formuli za kvadratnata ravenka 4 x2 -7x+5=0 se x1 x 2
b)
7 7 4 4
5 4
i x1 x 2 .
Vietovite formuli za kvadratnata ravenka x2-(1+ 2 )x-2 2 =0 se
x 1 x 2 1 2 i x1 x 2 2 2 .
Zabele{ka 4: Ako se dadeni korenite na edna kvadratna ravenka , toga{ istata mo`eme da ja sostavima koristej}i ja formulata (3). Me|utoa, toa mo`eme mnogu poednostavno da go napravime koristej}i gi Vietovite formuli, {to mo`e da se vidi od sledniov primer. Primer 12: Sostavi kvadratna ravenaka ~ii koreni se : b) h1 = 5 , h2 = 3
a) h1 =-5, h2 =7 Re{enie:
2
4
a)
Ako gi koristime formulite (3) dobivame: p (x1 x 2 ) (5 7) 2 i q x1 x 2 5 7 35 . {to zna~i baranata kvadratna ravenka e h2 -2h-35=0 5 2
3 4
b) Imame p (x 1 x 2 ) ( ) 7 4
ravenka e x 2 x
5 3 15 7 i q x1 x 2 pa zatoa baranata 2 4 8 4
15 0 , t.e. 8 x 2 14 x 15 0 . 8
Primer 13: Za koja vrednost na m, ravenkata
x 2 mx 12 0
ima eden koren
ednakov na 3? Potoa, najdi go i drugiot koren. Re{enie: Bidej}i h1 =3 e koren na ravenkata, so zamena vo istata dobivame 9 3m 12 0 , pa zatoa m 7 . Sega od Vietovite pravila imame x1 x 2 m 7 t.e. x 2 4 Primer 14: Za koja vrednost na parametaror r korenite h1 i h2 na ravenkata x 4x p 5 0 go zadovoluva uslovot h 1 -h2 =0? Za taa vrednost na r, da se najdat 2
korenite na ravenkata. Re{enie: Od Vietovite pravila imame h1 +h2 =4 i h1 h2 =r-5. Od uslovot na zada~ata imame h1 =h2 pa ako zamenime vo h1+h2 =4 nao|ame h1 =h2 =2. Kone~no so zamena vo h1 h2 =r-5 dobivame r=9. Primer 15: Da se sostavi kvadratna ravenka ako eden nejzin koren na primer h1 =2+i. Re{enie: Neka baranata kvadratna ravenka e x 2 px q 0 . Ako edniot koren e h1 =2+i, toga{ imaj}i
vo
predvid
deka
drugiot koren
e
kowugiran
na
7 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------prviot ,sleduva deka h2 =2-i. Od Vietovite pravila imame r=-(h1 +h2 )=-((2+i) +(2-i)) =-4 i q =h1 h2 =(2+i) (2-i)=4+1=5 sleduva deka baranata kvadratna ravenka e x 2 4x 5 0 . Primer 16: Bez da gi
nao|a{ korenite na
kvadratnata
ravenka
x 3x 2 0 ,sostavi kvadratna ravenka po u ~ii koreni se dvapati pogolemi od 2
korenite na ravenkata x 2 3x 2 0 . Re{enie: Bidej}i diskriminantata na kvadratnata ravenka x 2 3x 2 0 e D=17>0, dadenata ravenka ima realni koreni. Neka baranata kvadratna ravenka po u e y 2 py q 0 . Toga{ za nejzinite koreni od uslovot na zada~ata va`i u 1= 2h1 i u2 = 2h2 . Od Vietovite pravila za ravenkata x 2 3x 2 0 imame h1 +h2 =3 i h1 h2=-2. A od Vietovite pravila za ravenkata y 2 py q 0 dobivame r=-(u1 +u2 )=-(2h1+2h2 )=2(h1 +h2 )=-2.3=-6 i q =u1 u2 =2h1 2h2 =4h1 h2 =4.(-2)=-8. Spored toa baranata ravenka po u e y 2 6y 8 0 .
6.Razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli Definicija 3: Neka a, b, c
i a 0. Polinomot
P( x) ax bx c ...........................................................................(1) 2
go narekuvame kvadraten trinom po odnos na promenlivata h. Brojot D b 2 4 ac go narekuvame diskriminanta na kvadratniot trinom , akorenite na kvadratnata ravenka ax 2 bx c 0 gi narekuvame nuli na kvadratniot trinom (1). Teorema 6: Neka h1 i h2 se realni nuli na kvadratniot trinom (1). Ako h1 , h2 , toga{ postoi razlo`uvawe na kvadratniot trinom (1) na linearni mno`iteli so realni koeficienti koe e dadeno so ax 2 bx c a(x x 1 )(x x 2 )
Dokaz: Neka h1 i h2 se realni nuli na kvadratniot trinom (1). Od Vietovite formuli
x1 x 2
b a
i x1 x 2
c a
b a(x1 x 2 ) i c a x1 x 2 .................................................(2)
Ako od (2) zamenime vo (1) posledovatelno nao|ame
ax 2 bx c ax 2 a(x1 x 2 )x a x 1 x 2 a x 2 x 1 x x 2 x x1 x 2 ax(x x 1 ) x 2 (x x1 ) a(x x1 )(x x 2 )
{to i treba{e da se doka`e. Od prethodnata teorema neposredno sleduva deka ako h1 =h2 , tog} 2 razlo`uvaweto na kvadratniot trinom (1) e dadeno so ax bx c a(x x1 ) 2 . Primer 17: Razlo`i go na linearni mno`iteli so realni koeficienti kvadratniot trinom: a) P( x) 2 x 2 9 x 5 b) P( x) 3 x 2 2 x 5 1 i x 2 5 . Sega od teorema 6 2 1 sleduva deka baranoto razlo`uvawe e P( x) 2 x 2 9 x 5 2(x )(x 5) (2x 1)(x 5) 2 5 b) Nulite na trinomot se x1 1 i x 2 . Sega od teorema 6 sleduva deka 3
Re{enie: a) Nulite na trinomot se x1
baranoto
razlo`uvawe
e
8 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 P( x) 3 x 2 2 x 5 3(x )(x 1) (3x 5)(x 1) 3
Vo sledniov primer }e dademe edna primena na razlo`uvaweto na kvadratniot trinom na linearni mno`iteli so realni koeficienti. Primer 17: Skratija dropkata, ako toa e mo`no: a)
x2 x
b)
3x 2 2x 5
x2 4 3x 2 4x 4
Re{enie: a) Spored prethodniot primer(primer 16(b)) za imenitelot na dropkata imame 3 x 2 2 x 5 (3x 5)(x 1) . Od druga strana za broitelot na dropkata dobivame h2 +h=h(h+1), pa zatoa
x2 x 3x 2x 5 2
x(x 1) x . (3x 5)(x 1) (3x 5)
Dropkata e definirana za sekoj realen broj razli~en od nulite na 5 imenitelot, t.e. za x R \ 1, .
3
b) Razlo`uvaweto na imenitelot na dropkata e : 2 2 )(x 2) (3x 2)(x 2)bidej}i h 1 i h 2 2 se negovi nuli. 3 3 A razlo`uvaweto na briotelot e : x 2 4 (x 2)(x 2) , pa zatoa 3 x 2 4 x 4 3(x
x2 4 3x 4x 4 2
(x 2)(x 2) x2 (3x 2)(x 2) (3x 2)
.
Dropkata e definirana za sekoj realen broj razli~en od nulite na 2 imenitelot, t.e. za x R \ 1, .
3
Sega da vidime od {to zavisi znakot na kvadratniot trinom (1). Za taa cel istiot }e go zapi{eme vo sledniov oblik: 2 2 b b2 4 ac b D P( x) ax 2 bx c a x a x 2 ................................................................(3) 2 a a 4 a 4 a
]e poka`eme kako so pomo{ na znakot na diskriminantata D i koeficientot a pred kvadratniot ~len mo`e da se opredeli znakot na kvadratniot trinom. Za taa cel }e gi razgledame slednive slu~ai: 1) Ako D<0, t.e nulite na trinomot se kompleksno kowugirano kompleksni broevi, toga{
D 4a2
2
>0, pa zatoa i
D b x a 4 a2
>0. Spored toa, x R znakot
na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot kvadratniot ~len, t.e. a) ako D<0 i a>0, toga{ R(h)>0, x R b) ako D<0 i a<0, toga{ R(h)<0, x R 2) Ako D=0, t.e nulite na trinomot se realni i ednakvi, toga{ 2
zatoa i x
b a
D 4 a2
D 4a2
pred
=0, pa
0. Spored toa, x R \ {x1} znakot na kvadratniot trinom
se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. a) ako D=0 i a>0, toga{ R(h)>0, x R \ {x1} b) ako D=0 i a<0, toga{ R(h)<0, x R \ {x1} 3) Ako D>0, t.e nulite na trinomot ima realni i razli~ni nuli h1 i h2 , toga{ spored teorema 6 trinomot mo`e da se razlo~i na linearni mno`iteli
9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------so realni koeficienti, koe razlo`uvawe e dadeno so P(x) a(x x1 )(x x 2 ) . Bez ograniu~uvawe na op{tosta mo`eme da pretpostavime deka h 1 <h2 . Toga{ nulite na trinomot go razbivaat mno`estvoto realni broevi na tri disjunktni intervali: , x1 ,x1 , x 2 , x 2 , . ]e go opredelime znakot na trinomot na sekoj od ovie intervali: a) Ako x , x 1 , toga{ h-h1 <0 i h - h2 <0, pa zatoa (x x1 )(x x 2 ) 0 {to zna~i deka znakot na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h)>0, x , x 1 i ii) a<0, toga{ R(h)<0, x , x 1 . b) Ako x x1 , x 2 , toga{ h-h1 0 i h - h2 0, pa zatoa (x x1 )(x x 2 ) 0 (znakot na ravenstvo va`i samo na kraevite na intervalot),{to zna~i deka znakot na kvadratniot trinom e sprotiven na znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h) 0, x x 1 , x 2 i ii) a<0, toga{ R(h) 0, x x 1 , x 2 v) Ako x x 2 , , toga{ h-h1 >0 i h - h2 >0, pa zatoa (x x1 )(x x 2 ) 0 {to zna~i deka znakot znakot na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h)>0, x x 2 , i ii) a<0, toga{ R(h)<0, x x 2 , . Primer 18: Opredeli go znakot na trinomot : a) P( x) 3 x 2 4 x 4 , b) P( x) 2 x 2 5 x 2 , v) P( x) 9 x 2 12 x 4 Re{enie: a) Bidej}i D ( 4) 2 4 3 4 32 0 i a=3>0, od 1 a) sleduva deka R(h)>0 x R . b) Bidej}i D 5 2 4( 2)(2) 9 0 sleduva deka trinomot ima dve realni 1 2
razli~ni nuli h 1 i h 2 2 . Ponatamu, bidej}i a=-2<0 od 3) sleduva deka : R(h)<0 na 1 1 intervalot , ,R(h) 0,na intervalot ,2 i R(h)<0 na intervalot 2, . 2 2 2 v) Bidej}i D 12 2 4 9 4 0 a=9>0 od 2 a) sleduva deka R(h)>0 x R \ { } . 3
7.Sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka so dve nepoznati Sega }e razgledame kako se re{ava sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka so dve nepoznati . Za taa cel }e definirame kvadratna ravenka so dve nepoznati. Definicija 4: Ravenkata od vidot ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0........................................(1)
kade a,b,c,d,e,f R i a 0 ili b 0 ili c 0 ja narekuvame kvadratna ravenka so dve nepoznati. Sistemot od vidot
10 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 ........................................ (2) px qy r 0
go narekuvame sistem od edna kvadratna i edna linearna ravenka so dve neppoznati. Podredeniot par (ho,uo) koj ja zadovoluva ravenkata (1)(sistemot (2)0 go narekuvame re{enie na ravenkata (1) (sistemot (2)). Sistemot (2) naj~esto go re{avame so metodot na zamena . Imeno, od linearnata ravenka ja izrazuvame edna od nepoznatite i ja zamenuvame vo kvadratnata ravenka. Taka dobivame kvadratna ravenka so edna nepoznata.. Gi nao|ame re{enijata na kvadratnata ravenka , a potoa gi zamenuvame vo linearnata ravenka so {to gi nao|ame soodvetnite vrednosti na drugata nepoznata. Primer 19: Da se re{i sistemot ravenki x 2 2 y 2 3xy x 2 0 2x y 5
Re{enie: Od linearnata ravenka imame u=2h-5 i ako zamenime vo kvadratnata ravenka ja dobivame ravenkata x 2 2(2x 5) 2 3x(2x 5) x 2 0 koja e ekvivalentna na ravenkata x 2 26x 48 0 . Korenite na poslednata ravenka se h 1=2 i h2=24. Sega so zamena vo ravenkata u=2h-5 za soodvetnite vrednosti na nepoznatat u dobivame u 1 =-1 i h2 =43. Spored toa , dadeniot sistem ravenki ima dve re{enija, t.e. mno`estvoto re{enija na sistemot e M={(2,-1),(24,43)}. Primer 20: Da se re{i sistemot ravenki xy 3 0 3x 2 y 11
Re{enie : Od linearnata ravenka imame kvadratnata ravenka ja dobivame ravenkata x
y
3x 11 i ako zamenime vo 2
3x 11 3 0 koja e ekvivalentna na 2
ravenkata x 2 11x 6 0 . Korenite na poslednata ravenka se h 1 = y
2 3
i h2 =3. Sega so zamena vo ravenkata
3x 11 9 za soodvetnite vrednosti na nepoznatat u dobivame u1 = i h2 =-1. Spored 2 2
toa , dadeniot sistem ravenki ima dve re{enija, t.e. mno`estvoto re{enija na 2 3
9 2
sistemot e M={( , ),(3,-1)}.
8.Primena na kvadratnite ravenki Vo razli~ni oblasti na naukata, tehnikata i praktikata, re{avaweto na problemi se sveduva na re{avawe na ravenki i sistemi. Postojat niza problemi ~ie re{avawe se sveduva na re{avawe na kvadratni ravenki. Sega }e vidimi nekolku primeri koi se sveduvaat na re{avawe na kvadratni ravenki. Primer 21: Da se najde dvocifren broj , takov {to cifrata na edinicite e za 2 pogolema od cifrata na destkite, a proizvodot na baraniot broj i zbirot na negovite cifrite e 144. Re{enie : Ako so h ja ozna~ime cifrata na cifrata na desetkite, toga{ cifrata na edinicite e h+2, pa zatoa baraniot broj e 10h+(h+2)=11h+2, a zbirot na negovite cifri e h+(h+2)=2h+2. Bidej}i proizvodot na baraniot broj i
11 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------zbirot na negovite cifri e 144 ja dobivame slednava ravenka (11h+2)(2h+2)=144 koja e ekvivalentna na ravenkata Re{enijata na poslednata ravenka re{enieto h1 =
11x 2 13x 70 0 35 se h 1 = i h2 =2. 11
No, h e cifra, pa zatoa
35 ne go zadovoluva uslovot na zada~ta. Spored toa, h=2, t.e. 11
cifrata na desetkite e 2, pa zatoa cifrata na edinicite e 4, t.e. baraniot boj e 24. Primer 22: Dvajca planinari trgnale istovremeno na kota koja e oddale~ena 30km od niv. Brzinata na prviot planinar e za 1 km/h pogolema od brzinata na vtoriotplaninar, pa zatoa toj na kotata stignal za 1h porano od vtoriot planinar. Najdi ja brzinata na sekoj od planinarite. Re{enie : So v da ja ozna~ime brzinata na vtoriot planinar. Toga{ brzinata na prviot planinar }e bide v+1. Od uslovot na zada~ata imame deka vtoriot planinar na predvidenata kota stignal za vreme 30 ~asa. Toa zna~i v
deka prviot planinar, koj stignal 1h porano od vtoriot planinar , toa go napravil za 30 1 ~asovi. Spored toa, prviot planinar patpt od 30km go pominal v
za 30 1 ~asovi, dvi`ej}i se so brzina v+1 kilometar na ~as, od {to ja dobivame v
30 ravenkata 1v 1 30, koja e ekvivalentna na ravenkata v 2 v 30 0 ~ii re{enija v
se v 1=-6 i v2 =5. No, brzinata ne mo`e da bide negativna, pa zatoa re{enieto v 1=-6 go otfrlame. Kone~no, brzinata na vtoriot planinar e 5km/h, brzinata na prviot planinar e 6km/h. Primer 23: Eden rabotnik sam raboti 7 dena edna rabota , a potoa doa|a vtor rabotnik i zaedno ja zavr{uvaat rabotata u{te za 8 dena. Za kolku dena, sekoj od niv, mo`e sam da ja zavr{i rabotata, ako vtoriot rabotnik ja zavr{uva rabotata za 5 dena pomalku, otkolku prviot ? Re{enie : Neka prviot rabotnik ja zavr{uva rabotata za h dena. Toga{ vtoriot rabotnik }e ja zavr~i rabotata za 5 dena pomalku, t.e. za h-5 denovi. 1 -ti del od rabotata, avtoriot zavr{uva x 15 1 -ti del. Prviot rabotnik raboti 15 dena i {e zavr{i -ti del od rabotaata, x x 5 8 a vtoriot raboti samo 8 dena i }e zavr{i -ti del od rabotata so {to }e bide x 5 15 8 zavr{ena celata rabota.Od dosega iznesenoto sleduva ravenkata 1 x x 5
Za eden den prviot rabotnik zavr{uva
koja e ekvivalentna na ravenkata x 2 28x 75 0 . Re{enijata na poslednata ravenka se h 1 =3 i h2 =25. Jasno prviot koren ne gi zadovoluva uslovite na zada~ata, bidej}i vo sprotivno vtoriot rabotnik treba da ja zavr{i rabotata za -2 dena {to ne e mo`no. Kone~no, prviot rabotnik sam bi ja zavr{il rabotata za 25 dena, a vtoriot rabotnik za 20 dena. Primer 24: Dol`inite na stranite na eden triagolnik se 5 cm, 9 cm i 13 cm. Za kolku treba sekoja od niv da se prodol`i, so ednakva dol`ina, za da se dobie pravoagolen triagolnik? Re{enie : Neka so h(cm) ja ozna~ime dol`inata so koja treba da se prodol`at stranite na triagolnikot za da se dobie pravoagolen triagolnik.
12 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Spored toa, dol`inite na stranite na triagolnikot }e bidat h+5 cm, h+9 cm i h+13 cm. Bidej}i triagolnikot treba da bide pravoagolen, po zgolemuvaweto na stranite, za niv va`i Pitagorovata teorema, t.e. (x 5) 2 (x 9) 2 (x 13) 2 , koja e ekvivalent na na ravenkata x 2 2 x 63 0 Re{enijata na poslednata ravenka se h 1 =-9 i h2 =7. Jasno prviot koren ne go zadovoluva uslovot na zada~ata, bidej}i ne mo`e da ima negativna dol`ina. Zatoa stranite treba da se prodol`at za 7cm , za da triagolnikot bide pravoagolen. Toaga{ stranite na tiagolnikot }e bidat 12cm, 16 cm i 20 cm.
13 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------