Kvadratni ravenki

Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.Definicija i vidovi kvadratni ravenki Mnogu zada~i od algebrata, geometrijata, fizikata i tehnikata se sveduvaat na ravenki kako ovie: h2+2h-15=0, 3h2 -4h-1=0, h2 -5h+6=0 Karakteristi~no za ovie ravenki e toa {to levata strana e kvadraten trinom, desnata strana e ednakva na nula. Takvite ravenki se vikaat kvadratni ravenki.

Definicija1:Ravenkata od vidot ax2 +bx+c=0 ……………………………………(1) kade {to h e nepoznata , a a,b,c se dadeni realni broevi, pri {to a 0, se vika kvadratna ravenka so edna nepoznata.

Broevite a,b,c se vikaat koeficienti na kvadratnata ravenka, i toa: akoeficient na kvadratniot ~len(ax2 ),b-koeficient na linearniot ~len(bx),csloboden ~len.

Uslovot a 0 e

od su{tinsko zna~ewe,

bidej}i vo sprotiven slu~aj

definiranata ravenkata (1) ne bi bila kvadratna, tuku linearna.

Primer 1: Da se odredat koeficientite na kvadratnata ravenka a) -9h2 +h-5=0, b) 2h -h2 =0, v) 3  4h  2h2  0 Re{enie: a) a =-9 b=1 c=-5

b) a =-1

v) a =

b=2 c=0

2

b=-4 c= 3

Ravenkata (1) e op{t vid na kvadratna ravenka . Ako vo nea a=1, toga{ velime deka ravenkata e vo normalen vid ili sveden vid, i obi~no ja zapi{uvame vo sledniov oblik: x2 +px+q=0 …………………………………………………………..(2) kade {to p, q se bilo realni broevi. Sekoja kvadratna ravenka od op{t vid mo`e da se dovede vo sveden vid , ako ravenkata (1) se podeli so a i da stavime b  p, a

c q. a

Ako barem eden od koeficientite zavisi od nekoj parametar, velime deka kvadratnata ravenka e so prametri (parametarska kvadratna ravenka) ili ravenka so op{ti koeficienti. Na pr. parametarska ravenka e (k-3)h2 +2h+5k+7=0, bidej}i koeficientite a i c zavisat od parametarot k.

Primer 2: Za koja vrednost na parametarot m ravenkata a) (m+2)h2 +5h-2m+1=0, b) (3m-6)h2 +4mh=0 e kvadratna?

Re{enie: a) a 0 t.e (m+2) 0 odnosno m -2 b) a 0 t.e (3m-6) 0 odnosno m 2Ako vo ravenkata (1) b,c se razli~ni od nula , toga{ ravenkata se vika polna kvadratna ravenka, a ako barem eden od koeficientite b ili c se ednakvi na nula, toga{ ravenkata e nepolna kvadratna ravenka.

Nepolnite kvadratni ravenki se od vidot : ax2 +bx=0 b 0 , ax2 +c=0 c 0, ax2 =0.

1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.Re{avawe na nepolni kvadratni ravenki 2.1. Re{avawe na nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2+bx=0 , a 0 Teorema 1: Nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2 +bx=0 a 0,b 0 ima re{enija h1 =0 , h2 = 

b a

Dokaz: Levata strana na ravenkata ax2 +bx=0 ja razlo`uvame na mno`iteli i dobivame deka taa e ekvivalentna na ravenkata x(ax+b)=0 , odnosno na vkupnosta ravenki  x0  ax  b  0,

a0

b , a toa se re{enijata i na po~etnata ravenka. a Diskusija 1: O~igledno deka ravenkata ax2 +bx=0 a 0,b 0 ima sekoga{ dve 0 b realni re{enija i toa se h 1 =0 , h2 =  .Jasno, ako b=0, toga{ h2 = - =0 i vo ovoj a a slu~aj velime deka h1 =h2=0 e dvoen (dvokraten) koren na ravenkata ax2 =0 , a 0.

~ie re{enie e h 1 =0 , h2 = 

Primer 3: Da se re{i ravenkata 3h2 -15h=0 Re{enie: Dadenata kvadratna ravenka e nepolna od vidot ax2 +bx=0

so

koeficienti a=3 i b=-15. Soglasno teoramata 1 nejzini re{enija se h 1 =0 , h2= -15  =3.

3 Primer 4: Za koi vrednosti na parametarot m ednoto re{enie na ravenkata h2 +5h-(2m2 +4m)=0 e ednakvo na nula.Za najdenata vrednost na opredeli go i drugoto re{enie.

Re{enie: Prvo da zabele`ime deka edno re{enie na ravenkata ax2 +bx+c=0 e ednakvo na nula ako i samo ako c=0. Navistina ako , toga{ ravenkata ax2 +bx+c=0 e nepolna od vidot ax2 +bx=0 i spored teorema 1 edno nejzino re{enie e h 1 =0.

Obratno, ako h 1 =0 e re{enie na ravenkata ax2 +bx+c=0 , toga{ a02 +b0+c=0 t.e. c=o.

Od prethodno izneseneto sleduva deka ravenkata ima edno re{enie ako i samo ako -(2m2 +4m)=0 t.e.ako i samo ako 2m2 +4m=0. Sega od teorema 1 sleduva deka 1 m1 =0 i m2 =  2 . Za najdenite vrednosti na m ravenkata go dobiva oblikot h2 +5h=0 i vtoroto nejzino re{enie e h2 =-5.

2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.2. Re{avawe na nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2+c=0 , b 0 Teorema 2: Nepolnata kvadratna ravenka od vidot ax2 +c=0 a 0, ima re{enija x1 / 2   

c . a

Dokaz: Slobodniot ~len c go prefrlame na desnata strana na ravenkata i potoa ja delime so a 0 , so {to ja dobivame ja dobivame ekvivalentnata ravenka c x 2   . Re{enijata na poslednata ravenka se x 1 / 2    c i toa se re{enija na a a dadenata ravenka.

Diskusija 2: 1) Ako



c a

>0, t.e. ako c i a se so razli~ni znaci, toga{ ravenkata ax2 +c=0 a 0 ima

realni i razli~ni re{enija i tie se ednakvi so x 1 / 2    2) Ako



c a

c . a

<0, t.e. ako c i a se so isti i znaci, toga{ ravenkata ravenkata ax2 +c=0

a 0 ima kompleksni re{enija i tie se ednakvi so x1 / 2   

c i . a

3) Ako c=0 , toga{ h1 =h2 =0 e dvoen koren na ravenkata ax2 =0 , a 0.

Primer 5: Re{i ja ravenkata: a) 4h2 -25=0, Re{enie:

b) 9h2 +49=0

a) Za dadenata ravenka imame a=4 i c=-25 t.e sleduva deka nejzini re{enija se x1 / 2    b) Za dadenata ravenka imame a=9 i c=49 t.e sleduva deka nejzini re{enija se x1 / 2   



c 25  0 a 4

pa od diskusija 2 a)

c 25 5   . a 49 2 

c 49  0 a 9

pa od diskusija 2 b)

c 49 7 i   i   i . a 9 3

Primer 6: Re{i ja ravenkata: (12-3k)h2 -17k+3=0 Re{enie: Dadenata ravenka e nepolna ako (12-3k) 0 t.e. k 4. Pritoa imame (12-3k)h2 -17k+3=0 Ako

17k  3 12  3k

x1 / 2    17k  3 12  3k

k

>0 , t.e.k (

3 17

h2 = 17k  3 12  3k

,4), ravenkata ima realni i razli~ni koreni

17k  3 3 . Ako 17-3k=0, t.e. k= ravenkata ima dvoen koren x1 / 2  0 . Ako 12-3k 17

<0 , t.e.

(  ,

3 )  (4,  ) 17

x1 / 2   

,

ravenkata

ima

kowugirano

kompleksni

koreni

17k  3 i .

12-3k

3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Re{avawe na polni kvadratni ravenki Neka e dadena ravenkata ax2 +bx+c=0 , a 0………………………………………..(1) Ja transmorfirame nejzinata leva strana na slednijov na~in: ax2  bx c 

= a  x  



= a (x 2  b x+ c ) )= a x 2  2  a

a

2

2  c b  b2 c  = a  x    2  a 2a  a  4a  

2 b  b2  4 a c  .   2a  4 a 2 

Spored

toa

,

 b  b  4ac  a  x    2a   4 a 2  2

x



2

b  b   b      x  2a  2a   2a 

2

ravenkata

ax2  bx c  0

e

ekvivalentana 2

=0, t. e. na ravenkata

b  b  4ac  x    2a  4 a2  2

na

ravenkata

od kade {to sleduva

b b2  4 a c  2a 4 a2

pa zatoa korenite na ravenkata

se x1 

ax2  bx c  0

 b b2  4 ac 2a

istite mo`eme da gi zapi{eme so pomo{ na formulata: x1 / 2 

i

x2 

 b b 2  4 ac 2a

 b b2  4 ac 2a

i

koja ja

narekuvame formula za korenite na kvadratnata ravenka ax2  bx c  0 . So toa ja doka`avme slednava teorema: Teorema 3: Korenite na polnata kvadratna ravenka ax2  bx c  0 se dadeni so formulata x1 / 2 

 b b2  4 ac …………….…………………………………………(2).

2a

Zabele{ka: Dobienata formula za korenite na kvadratnata ravenaka ax  bx c  0 mo`e da se iskoristi i za nao|awe na korenite na nepolnite kvadratni ravenki,t. e. i za onie kvadratni ravenki kaj koi b= 0 ili s=0.

Vo slu~aj koga ravenkata ax2  bx c  0 e dadena vo normalen vid imame a=1,b= p 2

i c=q, pa zatoa formulata x1 / 2  x1 / 2 

 p  p 2  4q  p   2 2

 b b2  4 ac mo`eme da ja zapi{ime vo oblikot 2a 2

p2  4q  p p     q 4 2 2

……………………………………..(3)

Primer 7: Re{i ja kvadratnata ravenkata: a) 2h2 -5h-25=0 b) h2 -2h-28=0 v) h2 -5h+6=0 Re{enie: a) Koeficientite na ravenkata se a=2, b=-5 i c=-25. So zamena vo formulata (2) za korenite na ravenkata dobivame x1 / 2 

 (  5)  (  5)2  4  2  (  25)

ravenkata se

22 5  15 5 x1   4 2

i

5  25  200 5  15  .

4 4 5  15 x2  5.

4 

Spored

toa

re{enijata

na

b) Imame p=-2 i q=-28 t.e. ravenkata e dadena vo normalen vid , pa zatoa }e ja koristimeformulata (3) i dobivame: 2

x1/ 2 

 (  2) 2     (  28)  1   29 2  2 

v) Imame p=-6 i q=58 t.e. ravenkata e dadena vo normalen vid , pa zatoa }e ja koristimeformulata (3) i dobivame:

4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

x1/ 2 

 (  6) 6     58  3  9  58  3   49  3  7 i .

2  2 

4. Diskriminanta na kvadratna ravenka Vo primerot 7 a) i b) korenite na kvadratnata ravenka se realni , a vo primerot 7 v) tie se kowugirano kompleksni broevi. Logi~no e da se zapra{ame od {to zavisi dali korenite }e bidat realni ili kowugirano kompleksni.

Definicija 2: Realniot broj

D  b2  4 ac ………………………………………………………(1) go narekuvame diskriminanta na kvadratnata ravenka ax2  bx c  0 .

Ako ja iskoristime diskriminantata , toga{ formulata (2) mo`eme da ja zapi{eme vo oblikot x1 / 2 

 b D 2a

…………………………………………………………..(2)

Bidej}i D e realen broj, mo`ni se slednive slu~ai: D>0, D=0 i D<0. ]e gi razgledame oddelno ovie slu~ai. a) Ako D>0, toga{ D toga{ e realen pozitiven broj, pa zatoa kvadratnata ravenka ax2  bx c  0 ima dva realni i razli~ni koreni koi se dadeni so (2). b) Ako D=0, toga{ D =0 toga{ pa zatoa kvadratnata ravenka b ax2  bx c  0 ima dvoen koren x1  x 2  2a

v) Ako D<0, toga{-D>0 e realen broj i D =i  D pa zatoa korenite kvadratnata ravenka ax 2  bx c  0 se kowugirano kompleksni broevi t.e.koi se dadeni

x1 / 2 

 b i D 2a

.

So toa ja doka`avme slednava teorema: Teorema 4: Korenite na polnata kvadratna ravenka ax2  bx c  0 a,b,c se: - realni i razli~ni ako D>0 - realni i ednakvi ako D=0 - kowugirano kompleksni ako D<0.

,a 0

Primer 8:Bez da ja re{ava{ kvadratnata ravenkata odrdija prirodata na nejzinite re{enija: a) 3h2 -4h+12=0 Re{enie:

b) 2h2 +5h-7=0

D  (  4) 2  4  3 12  16 144  0 , {to zna~i deka korenite na

a)

Imame

b)

ravenkata se kowugirano kompleksni.

D  5 2  4  2  (  7)  25  56  0 , {to zna~i deka korenite na Imame ravenkata se realni i razli~ni.

Primer 9:

Za koja vrednost na m, ravenkata mh2 +2(m+1)h-1-m=0 ima dvoen

koren.

Re{enie: Za ravenkata za da ima dvoen koren treba nejzinata diskriminanta da

e

ednakva

na

nula

t.e.

(2(m  1)) 2  4  m  ( 1  m)  0

odnosno

5 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4m 2  8m  4  4m  4m 2  0 . Ova kvadratna ravenka 2m 2  3m  1  0 ~ii re{enija se m1 / 2 

 3  32  4  2  1  3  9  8  3  1 1   ; m1   ; m2  1 .

22 4 4 2

Primer 10: Ispitaj ja, vo zaviasnost od parametarot m, prirodata na korenite na ravenkata h2+2h-m+1=0 Re{enie: Diskriminantata

na

kvadratnata

ravenka

e D  2 2  4 1 (  m  2)  4m  4.

Soglasno teorema 4 , ako D=0 t.e. 4m-4=0 odnosno, m=1 ravenkata ima dvoen koren. Ponatamu, ako D>0 t.e. 4m-4>0 odnosno. m>1 ravenkata ima realni i razli~ni koreni. I, ako D<0 t.e. 4m-4<0 odnosno, m<1 kowugirano kompleksni koreni.

ravenkata ima

5.Vietovi formuli Da ja razgledame kvadratnata ravenka h2 -7h+6=0 ~ii koreni se h1=1 i h2 =6.

Zabele`uvame deka h1 + h2 =-7=-(-7) i h1 h2 =6 t.e. zbirot na korenite na ravenkata e ednakov na koeficientot pred linearniot ~len zemen so znak "-", a proizvodot na nejzinite korenine ednakov na slobodniot ~len. Logi~no e da se zapra{ame dali vakvi ili sli~ni relacii va`at za korenite i koeficientite na sekoja kvadratna ravenka ili toa va`i samo za nekoi kvadratni ravenki.

Za odgovorot na prethodnoto pra{awe }e ja razgledame kvadratnata ravenka ax2 +bx+c=0 , a 0………………….………….………………………………..(1) Kako {to znaeme nejzinite koreni se : x1 

 b b2  4 ac 2a

i

x2 

 b b 2  4 ac 2a

Spored toa: x1  x 2 

 b b 2  4 ac  b b 2  4 ac  b b 2  4 ac   b b 2  4 ac 2b b     2a 2a 2a 2a a

 b b 2  4 ac  b b 2  4 ac ( b)2  b 2  4 ac x1  x 2    2a 2a 4 a2

2



b 2  b 2  4 ac 4a

2



4 ac 4a

2



c a

Poka`avme deka, ako h1 i h2 se koreni na kvadratanata ravenka (1), toga{ va`at ravenstvata x1  x 2  

b a

c a

i x1  x 2  ……………………………………………… (2)

koi se poznati kako Vietovi formuli(spored francuskiot matemati~ar Fransoa Viet, 1540-1603) ]e doka`eme deka va`i i obratnoto tvrdewe, t.e. ako za broevite h1 i h2 va`at ravenstvata (2), toga{ tie se koreni na ravenkata (1). Jasno h1 i h2 se koreni na ravenkata (h-h1 )(h- h2 )=0 …………………………………………(3) koja e ekvivalentana n aravenkata h2 -hh1 -hh2 +h1 h2 =0 t.e. na ravenkata h2 -(h1 +h2 )h+h1 h2 =0. Vo poslednata

ravenka

od

(2)

zamenuvame

6 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x1  x 2  

b a

i x1  x 2 

c a

i dobivame deka h1 i h2 se koreni na

ravenkata

c b x 2    x   0 , koja e ekvivalentna na ravenkata (1). a a

So toa ja doka`avme slednava teorema.

Teorema 5: Broevite h1 i h2 se koreni na ravenkata (1) ako i samo ako va`at ravenstvata (2) Zabele{ka 3: Ako kvadratnata ravenka e dadena vo normalen vid x2 +px+q=0, toga{ ravenstvata (2) imaat poednostaven oblik, t.e. x1  x 2  p i x1  x 2  q .

Primer 11: a) Vietovite formuli za kvadratnata ravenka 4 x2 -7x+5=0 se x1  x 2  

b)

7 7  4 4

5 4

i x1  x 2  .

Vietovite formuli za kvadratnata ravenka x2-(1+ 2 )x-2 2 =0 se

x 1  x 2  1  2 i x1  x 2  2 2 .

Zabele{ka 4: Ako se dadeni korenite na edna kvadratna ravenka , toga{ istata mo`eme da ja sostavima koristej}i ja formulata (3). Me|utoa, toa mo`eme mnogu poednostavno da go napravime koristej}i gi Vietovite formuli, {to mo`e da se vidi od sledniov primer.

Primer 12: Sostavi kvadratna ravenaka ~ii koreni se : b) h1 =  5 , h2 = 3

a) h1 =-5, h2 =7 Re{enie:

2

4

a)

Ako gi koristime formulite (3) dobivame: p  (x1  x 2 )  (5  7)  2 i q  x1  x 2  5  7  35 . {to zna~i baranata kvadratna ravenka e h2 -2h-35=0 5 2

3 4

b) Imame p  (x 1  x 2 )  (  )  7 4

ravenka e x 2  x 

5 3 15 7 i q  x1  x 2      pa zatoa baranata 2 4 8 4

15  0 , t.e. 8 x 2  14 x  15  0 .

8

Primer 13: Za koja vrednost na m, ravenkata

x 2  mx  12  0

ima eden koren

ednakov na 3? Potoa, najdi go i drugiot koren.

Re{enie: Bidej}i h1 =3 e koren na ravenkata, so zamena vo istata dobivame 9  3m  12  0 , pa zatoa m  7 .

Sega od Vietovite pravila imame x1  x 2  m  7 t.e. x 2  4 Primer 14: Za koja vrednost na parametaror r korenite h1 i h2 na ravenkata x  4x  p  5  0 go zadovoluva uslovot h 1 -h2 =0? Za taa vrednost na r, da se najdat 2

korenite na ravenkata.

Re{enie: Od Vietovite pravila imame h1 +h2 =4 i h1 h2 =r-5. Od uslovot na zada~ata imame h1 =h2 pa ako zamenime vo h1+h2 =4 nao|ame h1 =h2 =2. Kone~no so zamena vo h1 h2 =r-5 dobivame r=9.

Primer 15: Da se sostavi kvadratna ravenka ako eden nejzin koren na primer h1 =2+i.

Re{enie: Neka baranata kvadratna ravenka e x 2  px  q  0 . Ako edniot koren e h1 =2+i, toga{ imaj}i

vo

predvid

deka

drugiot koren

e

kowugiran

na

7 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------prviot ,sleduva deka h2 =2-i. Od Vietovite pravila imame r=-(h1 +h2 )=-((2+i) +(2-i)) =-4 i q =h1 h2 =(2+i) (2-i)=4+1=5 sleduva deka baranata kvadratna ravenka e x 2  4x  5  0 .

Primer 16: Bez da gi

nao|a{ korenite na

kvadratnata

ravenka

x  3x  2  0 ,sostavi kvadratna ravenka po u ~ii koreni se dvapati pogolemi od 2

korenite na ravenkata x 2  3x  2  0 .

Re{enie: Bidej}i diskriminantata na kvadratnata ravenka x 2  3x  2  0 e D=17>0, dadenata ravenka ima realni koreni. Neka baranata kvadratna ravenka po u e y 2  py  q  0 . Toga{ za nejzinite koreni od uslovot na zada~ata va`i u 1= 2h1 i u2 = 2h2 . Od Vietovite pravila za ravenkata x 2  3x  2  0 imame h1 +h2 =3 i h1 h2=-2. A od Vietovite pravila za ravenkata y 2  py  q  0 dobivame r=-(u1 +u2 )=-(2h1+2h2 )=2(h1 +h2 )=-2.3=-6 i q =u1 u2 =2h1 2h2 =4h1 h2 =4.(-2)=-8. Spored toa baranata ravenka po u e y 2  6y  8  0 .

6.Razlo`uvawe na kvadraten trinom na linearni mno`iteli Definicija 3: Neka a, b, c

i a 0. Polinomot

P( x)  ax  bx c ...........................................................................(1) 2

go narekuvame kvadraten trinom po odnos na promenlivata h. Brojot D  b 2  4 ac go narekuvame diskriminanta na kvadratniot trinom , akorenite na kvadratnata ravenka ax 2  bx c  0 gi narekuvame nuli na kvadratniot trinom (1).

Teorema 6: Neka h1 i h2 se realni nuli na kvadratniot trinom (1). Ako h1 , h2 , toga{ postoi razlo`uvawe na kvadratniot trinom (1) na linearni mno`iteli so realni koeficienti koe e dadeno so ax 2  bx c  a(x  x 1 )(x  x 2 )

Dokaz: Neka h1 i h2 se realni nuli na kvadratniot trinom (1). Od Vietovite formuli

x1  x 2  

b a

i x1  x 2 

c a

b   a(x1  x 2 ) i c  a x1 x 2 .................................................(2)

Ako od (2) zamenime vo (1) posledovatelno nao|ame





ax 2  bx c  ax 2  a(x1  x 2 )x  a x 1 x 2  a x 2  x 1 x  x 2 x  x1 x 2  ax(x  x 1 )  x 2 (x  x1 )  a(x  x1 )(x  x 2 )

{to i treba{e da se doka`e.

Od prethodnata teorema neposredno sleduva deka ako h1 =h2 , tog} 2 razlo`uvaweto na kvadratniot trinom (1) e dadeno so ax  bx c  a(x  x1 ) 2 .

Primer 17: Razlo`i go na linearni mno`iteli so realni koeficienti kvadratniot trinom: a) P( x)  2 x 2  9 x 5 b) P( x)  3 x 2  2 x 5 1 i x 2  5 . Sega od teorema 6 2 1 sleduva deka baranoto razlo`uvawe e P( x)  2 x 2  9 x 5  2(x  )(x  5)  (2x  1)(x  5) 2 5 b) Nulite na trinomot se x1  1 i x 2  . Sega od teorema 6 sleduva deka 3

Re{enie: a) Nulite na trinomot se x1  

baranoto

razlo`uvawe

e

8 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 P( x)  3 x 2  2 x 5  3(x  )(x  1)  (3x  5)(x  1) 3

Vo sledniov primer }e dademe edna primena na razlo`uvaweto na kvadratniot trinom na linearni mno`iteli so realni koeficienti.

Primer 17: Skratija dropkata, ako toa e mo`no: a)

x2  x

b)

3x 2  2x  5

x2 4 3x 2  4x  4

Re{enie: a) Spored prethodniot primer(primer 16(b)) za imenitelot na dropkata imame 3 x 2  2 x 5  (3x  5)(x  1) . Od druga strana za broitelot na dropkata dobivame h2 +h=h(h+1), pa zatoa

x2  x 3x  2x  5 2



x(x  1) x  .

(3x  5)(x  1) (3x  5)

Dropkata e definirana za sekoj realen broj razli~en od nulite na 5 imenitelot, t.e. za x  R \  1,  . 

3

b) Razlo`uvaweto na imenitelot na dropkata e : 2 2 )(x  2)  (3x  2)(x  2)bidej}i h 1  i h 2  2 se negovi nuli.

3 3 A razlo`uvaweto na briotelot e : x 2  4  (x  2)(x  2) , pa zatoa 3 x 2  4 x  4  3(x 

x2 4 3x  4x  4 2



(x  2)(x  2) x2  (3x  2)(x  2) (3x  2)

.

Dropkata e definirana za sekoj realen broj razli~en od nulite na 2 imenitelot, t.e. za x  R \  1,  . 

3

Sega da vidime od {to zavisi znakot na kvadratniot trinom (1). Za taa cel istiot }e go zapi{eme vo sledniov oblik: 2 2   b  b2  4 ac  b D  P( x)  ax 2  bx c  a  x    a x   2 ................................................................(3)     2 a a 4 a  4 a   

]e poka`eme kako so pomo{ na znakot na diskriminantata D i koeficientot a pred kvadratniot ~len mo`e da se opredeli znakot na kvadratniot trinom. Za taa cel }e gi razgledame slednive slu~ai: 1) Ako D<0, t.e nulite na trinomot se kompleksno kowugirano kompleksni broevi, toga{ 

D 4a2

2

>0, pa zatoa i

D  b  x   a 4 a2  

>0. Spored toa, x  R znakot

na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot kvadratniot ~len, t.e. a) ako D<0 i a>0, toga{ R(h)>0, x  R b) ako D<0 i a<0, toga{ R(h)<0, x  R 2) Ako D=0, t.e nulite na trinomot se realni i ednakvi, toga{  2

  zatoa i  x   

b a

D 4 a2

D 4a2

pred

=0, pa

0. Spored toa, x  R \ {x1} znakot na kvadratniot trinom

se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. a) ako D=0 i a>0, toga{ R(h)>0, x  R \ {x1} b) ako D=0 i a<0, toga{ R(h)<0, x  R \ {x1} 3) Ako D>0, t.e nulite na trinomot ima realni i razli~ni nuli h1 i h2 , toga{ spored teorema 6 trinomot mo`e da se razlo~i na linearni mno`iteli

9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------so realni koeficienti, koe razlo`uvawe e dadeno so P(x)  a(x  x1 )(x  x 2 ) .

Bez ograniu~uvawe na op{tosta mo`eme da pretpostavime deka h 1 <h2 .

Toga{ nulite na trinomot go razbivaat mno`estvoto realni broevi na tri disjunktni intervali:  , x1 ,x1 , x 2 , x 2 ,  . ]e go opredelime znakot na trinomot na sekoj od ovie intervali: a) Ako x   , x 1  , toga{ h-h1 <0 i h - h2 <0, pa zatoa (x  x1 )(x  x 2 )  0 {to zna~i deka znakot na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h)>0, x   , x 1  i ii) a<0, toga{ R(h)<0, x   , x 1  . b) Ako x  x1 , x 2  , toga{ h-h1 0 i h - h2 0, pa zatoa (x  x1 )(x  x 2 )  0 (znakot na ravenstvo va`i samo na kraevite na intervalot),{to zna~i deka znakot na kvadratniot trinom e sprotiven na znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h) 0, x  x 1 , x 2  i ii) a<0, toga{ R(h) 0, x  x 1 , x 2  v) Ako x  x 2 ,  , toga{ h-h1 >0 i h - h2 >0, pa zatoa (x  x1 )(x  x 2 )  0 {to zna~i deka znakot znakot na kvadratniot trinom se sovpa|a so znakot na koeficientot pred kvadratniot ~len, t.e. i) a>0, toga{ R(h)>0, x  x 2 ,  i ii) a<0, toga{ R(h)<0, x  x 2 ,  .

Primer 18: Opredeli go znakot na trinomot : a) P( x)  3 x 2  4 x 4 , b) P( x)  2 x 2  5 x 2 , v) P( x)  9 x 2 12 x 4 Re{enie: a) Bidej}i D  (  4) 2  4  3  4  32  0 i a=3>0, od 1 a) sleduva deka R(h)>0 x  R . b) Bidej}i D  5 2  4(  2)(2)  9  0 sleduva deka trinomot ima dve realni 1 2

razli~ni nuli h 1  i h 2  2 . Ponatamu, bidej}i a=-2<0 od 3) sleduva deka : R(h)<0 na 1 1 intervalot    ,  ,R(h) 0,na intervalot  ,2 i R(h)<0 na intervalot 2,  .

2   2  2 v) Bidej}i D  12 2  4  9  4  0 a=9>0 od 2 a) sleduva deka R(h)>0 x  R \ {  } .

3

7.Sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka so dve nepoznati Sega }e razgledame kako se re{ava sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka so dve nepoznati . Za taa cel }e definirame kvadratna ravenka so dve nepoznati.

Definicija 4: Ravenkata od vidot ax 2  bxy  cy 2  dx ey  f  0........................................(1)

kade a,b,c,d,e,f R i a 0 ili b 0 ili c 0 ja narekuvame kvadratna ravenka so dve nepoznati.

Sistemot od vidot

10 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ax 2  bxy  cy 2  dx ey  f  0 ........................................

(2)    px qy  r  0

go narekuvame sistem od edna kvadratna i edna linearna ravenka so dve neppoznati.

Podredeniot par (ho,uo) koj ja zadovoluva ravenkata (1)(sistemot (2)0 go narekuvame re{enie na ravenkata (1) (sistemot (2)).

Sistemot (2) naj~esto go re{avame so metodot na zamena . Imeno, od linearnata ravenka ja izrazuvame edna od nepoznatite i ja zamenuvame vo kvadratnata ravenka. Taka dobivame kvadratna ravenka so edna nepoznata.. Gi nao|ame re{enijata na kvadratnata ravenka , a potoa gi zamenuvame vo linearnata ravenka so {to gi nao|ame soodvetnite vrednosti na drugata nepoznata.

Primer 19: Da se re{i sistemot ravenki  x 2  2 y 2  3xy  x  2  0   2x  y  5

Re{enie: Od linearnata ravenka imame u=2h-5 i ako zamenime vo kvadratnata ravenka ja dobivame ravenkata x 2  2(2x  5) 2  3x(2x  5)  x  2  0 koja e ekvivalentna na ravenkata x 2  26x  48  0 .

Korenite na poslednata ravenka se h 1=2 i h2=24. Sega so zamena vo ravenkata u=2h-5 za soodvetnite vrednosti na nepoznatat u dobivame u 1 =-1 i h2 =43. Spored toa , dadeniot sistem ravenki ima dve re{enija, t.e. mno`estvoto re{enija na sistemot e M={(2,-1),(24,43)}.

Primer 20: Da se re{i sistemot ravenki xy  3  0  3x  2 y  11

Re{enie : Od linearnata ravenka imame kvadratnata ravenka ja dobivame ravenkata x

y

3x  11 i ako zamenime vo 2

3x  11  3  0 koja e ekvivalentna na 2

ravenkata x 2  11x  6  0 .

Korenite na poslednata ravenka se h 1 = y

2 3

i h2 =3. Sega so zamena vo ravenkata

3x  11 9 za soodvetnite vrednosti na nepoznatat u dobivame u1 =  i h2 =-1. Spored 2 2

toa , dadeniot sistem ravenki ima dve re{enija, t.e. mno`estvoto re{enija na 2 3

9 2

sistemot e M={( ,  ),(3,-1)}.

8.Primena na kvadratnite ravenki Vo razli~ni oblasti na naukata, tehnikata i praktikata, re{avaweto na problemi se sveduva na re{avawe na ravenki i sistemi. Postojat niza problemi ~ie re{avawe se sveduva na re{avawe na kvadratni ravenki. Sega }e vidimi nekolku primeri koi se sveduvaat na re{avawe na kvadratni ravenki.

Primer 21: Da se najde dvocifren broj , takov {to cifrata na edinicite e za 2 pogolema od cifrata na destkite, a proizvodot na baraniot broj i zbirot na negovite cifrite e 144.

Re{enie : Ako so h ja ozna~ime cifrata na cifrata na desetkite, toga{ cifrata na edinicite e h+2, pa zatoa baraniot broj e 10h+(h+2)=11h+2, a zbirot na negovite cifri e h+(h+2)=2h+2. Bidej}i proizvodot na baraniot broj i

11 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------zbirot na negovite cifri e 144 ja dobivame slednava ravenka (11h+2)(2h+2)=144 koja e ekvivalentna na ravenkata Re{enijata na poslednata ravenka re{enieto h1 = 

11x 2  13x  70  0 35 se h 1 =  i h2 =2.

11

No, h e cifra, pa zatoa

35 ne go zadovoluva uslovot na zada~ta. Spored toa, h=2, t.e.

11

cifrata na desetkite e 2, pa zatoa cifrata na edinicite e 4, t.e. baraniot boj e 24.

Primer 22: Dvajca planinari trgnale istovremeno na kota koja e oddale~ena 30km od niv. Brzinata na prviot planinar e za 1 km/h pogolema od brzinata na vtoriotplaninar, pa zatoa toj na kotata stignal za 1h porano od vtoriot planinar. Najdi ja brzinata na sekoj od planinarite.

Re{enie : So v da ja ozna~ime brzinata na vtoriot planinar.

Toga{ brzinata na prviot planinar }e bide v+1. Od uslovot na zada~ata imame deka vtoriot planinar na predvidenata kota stignal za vreme 30 ~asa. Toa zna~i v

deka prviot planinar, koj stignal 1h porano od vtoriot planinar , toa go napravil za 30  1 ~asovi. Spored toa, prviot planinar patpt od 30km go pominal v

za 30  1 ~asovi, dvi`ej}i se so brzina v+1 kilometar na ~as, od {to ja dobivame v

30 ravenkata   1v 1  30, koja e ekvivalentna na ravenkata v 2  v 30  0 ~ii re{enija  v



se v 1=-6 i v2 =5. No, brzinata ne mo`e da bide negativna, pa zatoa re{enieto v 1=-6 go otfrlame.

Kone~no, brzinata na vtoriot planinar e 5km/h, brzinata na prviot planinar e 6km/h.

Primer 23: Eden rabotnik sam raboti 7 dena edna rabota , a potoa doa|a vtor rabotnik i zaedno ja zavr{uvaat rabotata u{te za 8 dena. Za kolku dena, sekoj od niv, mo`e sam da ja zavr{i rabotata, ako vtoriot rabotnik ja zavr{uva rabotata za 5 dena pomalku, otkolku prviot ?

Re{enie : Neka prviot rabotnik ja zavr{uva rabotata za h dena.

Toga{ vtoriot rabotnik }e ja zavr~i rabotata za 5 dena pomalku, t.e. za h-5 denovi.

1 -ti del od rabotata, avtoriot zavr{uva x 15 1 -ti del. Prviot rabotnik raboti 15 dena i {e zavr{i -ti del od rabotaata, x x 5 8 a vtoriot raboti samo 8 dena i }e zavr{i -ti del od rabotata so {to }e bide x 5 15 8 zavr{ena celata rabota.Od dosega iznesenoto sleduva ravenkata  1 x x 5

Za eden den prviot rabotnik zavr{uva

koja e ekvivalentna na ravenkata x 2  28x  75  0 .

Re{enijata na poslednata ravenka se h 1 =3 i h2 =25. Jasno prviot koren ne gi zadovoluva uslovite na zada~ata, bidej}i vo sprotivno vtoriot rabotnik treba da ja zavr{i rabotata za -2 dena {to ne e mo`no.

Kone~no, prviot rabotnik sam bi ja zavr{il rabotata za 25 dena, a vtoriot rabotnik za 20 dena.

Primer 24: Dol`inite na stranite na eden triagolnik se 5 cm, 9 cm i 13 cm.

Za kolku treba sekoja od niv da se prodol`i, so ednakva dol`ina, za da se dobie pravoagolen triagolnik?

Re{enie : Neka so h(cm) ja ozna~ime dol`inata so koja treba da se prodol`at stranite na triagolnikot za da se dobie pravoagolen triagolnik.

12 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvadratni ravenki ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Spored toa, dol`inite na stranite na triagolnikot }e bidat h+5 cm, h+9 cm i h+13 cm. Bidej}i triagolnikot treba da bide pravoagolen, po zgolemuvaweto na stranite, za niv va`i Pitagorovata teorema, t.e. (x  5) 2  (x  9) 2  (x  13) 2 , koja e ekvivalent na na ravenkata x 2  2 x  63  0 Re{enijata na poslednata ravenka se h 1 =-9 i h2 =7. Jasno prviot koren ne go zadovoluva uslovot na zada~ata, bidej}i ne mo`e da ima negativna dol`ina. Zatoa stranite treba da se prodol`at za 7cm , za da triagolnikot bide pravoagolen.

Toaga{ stranite na tiagolnikot }e bidat 12cm, 16 cm i 20 cm.

13 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------