Mnoguagolnici
Voved Matematikata kako nauka se pojavuva mnogu odamna. Kako {to ne mo`e da se najde po~etokot na matematikata, toj se gubi nekade vo krajot na praistorijata, taka nemo`e da i se sogleda nitu krajot. Matematikata e kralica na naukite. Taa i slu`i na astronomijata i drugi prirodni nauki, no sekoga{ nejze i prira|a prvoto mesto. Mnogu brzo se razviva i ima golemo zna~ewe, pred se za osovremenuvaweto na samata matematika i op{to vo naukata, osobeno vo kompjuterskite nauki. Bogata e so interesna sodr`ina i izu~uva mnogu matemati~ki poimi, pravila i odnosi. So nea se zanimavale golem broj na fizi~ari, matemati~ari i filozofi. Golemite misliteli so svojata upornost i trudoqubivost, so svojata ostroumnost i intuicija, uspeale da ni otkrijat mnogu tajni na prirodata. Vo matematikata i vo sekoja druga nauka od osobeno zna~ewe e razgleduvaweto na sega{nosta vo vrska so minatoto, zatoa {to sega{nosta se razvila vo minatoto, a idninata }e se razvie od sega{nosta. A toa e predizvik za mladite, pole na nivno idno deluvawe. Golem del od matemati~arite i sega i vo minatoto se inspirirale od umetnosta na matematikata, ~esto bez da razmisluvaat za neposrednata primena, vodena, edinstveno od ~uvstvo za simetrija, ednostavnost, voop{tenost i smisla za soodvetnost. Drugi pak, od potrebite za razre{uvawe na razni problemi vo ostanatite nauki, bile prinudeni da istra`uvaat vo matematikata i da se zanimavaat so nea. Eden od niv bil i starogr~kiot filozof i matemati~ar Pitagora, koj e poznat po negovata teorema.
str1
Mnoguagolnici
1.Mnoguagolnici (iskr{ena linija) Dosega se imame zapoznato so geometriskata figura nare~ena iskr{ena linija.Defenicija za iskr{ena linija e : -Ako dve ili pove}e otse~ki se nadovrzani edna na druga i pritoa nikoi dve sosedni ne le`at na edna ista prava , toga{ nivnata unija e mno`estvo to~ki koe go vikame iskr{ena linija. Vo zavisnost od po~etnata i krajnata to~ka razlikuvame zatvorena iskr{ena linija (koga po~etnata i krajnata to~ka ne se sovpaa|at) i zatvorena iskr{ena linija (koga po~etnata i krajnata to~ka se sovpa|aat). Zatvorena isr{ena linija so najmal broj na strain se narekuva trijagolnik. Po defenicija mnoguagolnikot }e go definirame kako zatvorena iskr{ema linija , i nejziniot vnatre{en del
se vika mnoguagolnik.
Kaj sekoj mnoguagolnik razlikuvame : temiwa , strani i agli (vnater{n ili nadvore{ni) .Spored brojot na sranite mnoguagolnicite gi podelvne na : trijagolnik , ~etiriagolnik, petagolnik,{estaolnik i itn. Na crt 1. e daden ~etiriagolnikot ABCD
Crt.1
Crt.2
Vo ~etiriagolnikot ABCD temeto A ima dve sosedni temiwa B i D , i edno sprotivno teme, a toa e temeto C , isto taka sprotivna strana na stranata AB e stranata DC –na crte`ot 2. vo {estagolnikot KLMNPS temeto K e povrzano so nesosednite temiwa M i N. Taka se dobini dijagonalite KM i KN. Taka {to nie znaeme deka od edno teme na {estoagolnikot KLMNPS mo`at da se povle~at tri dijagonali dodeka pak od site temiwa mo`at da se povle~at osumnaeset dijagonali. Sekako pritoa ja koristime formukata za brojot na
str2
Mnoguagolnici
dijagonalite Dn vo mnoguagolnikot
Dn =
kade {to n e brojot na
staranite na mnoguagolnikot. Na crt 3. povle~eni se dijagonalite od edno teme vo nekolku mnoguagolnici . So {to tie se razdeleni na triagolnici.
Crt.3 Brojot na triagolnicite na koj e razdelen mnoguagolnikot so povlekuvawe na dijagonalite od edno negovo teme e za dva pomal od brojot na stranite t. e Tn=n-2 Bidej}i aglite na mnoguagolnikot se sodr`ani vo aglite na dobienite = ∢1+∢2 i ∢∁=∢3+∢4 ), a zbirot na
triagolnici ( vo ~etirijagolnokot
vnatre{nite agli vo sekoj trijagolnik e 18
, od ovde mo`ema da go dobieme
zbirot SN na vnare{nite agli vo mnoguagolnikot.
Na crt 4. o petagolnikot ABCDE ozna~eni se vnaatre{nite i nadvore{nite agli.
Crt.4
Nas poznato nie deka vnatre{niot i nadvore{niot agol se sumplementni t.e . str3
Mnoguagolnici
+ 1=18
, B+B1=18
itn..
Ako od zbirot na site vnatre{n i nadvore{ni agli go odzememe zbirot na vnatre{nite
}e
Istata postapka
go
dobieme
zbirot
na
nadvore{nite
mo`e da se sprovede za koi i da bilo mnoguagolnik.
Zbiroyt na site vnatre{ni i nadvore{ni agli e : n⋅18 2)⋅18 n⋅18
agli.
, a na vnarte{nite (n-
.Nivnata razlika e zbir na nadvore{nite agli t.e. -(n-2)⋅18
=n⋅18
-n⋅18
+2⋅18
=36
Zna~i zbirot na nadvore{nite agli vo koi i da bilo mnoguagolnik iznesuva 36
.
2.Konveksni i konkavni mnoguagolnici Vo zavisnost od crtaweto konstrukcija
mnoguagolnicite
na mnoguagolnicite , odnosno od nivnata mo`eme da
gi
podeleme
mnoguagolnici nare~eni konkavni i mnoguagolnici
vo dve
vida:
nare~eni konveksni.
Ako go nacrtame mnoguagolnikot ABCDE , za da poka`eme od koj vid e ovoj mnoguagolnik go pravime sledniot ~ekor.
Crt.5 Ako nacrtame otse~ka MN {to gi povrzuvaat dve strani na mnoguagolnikot i le`at vo negovata vnatre{nost toga{ mnoguagolnikot go narekuvame koveksen.
Crt.6 str4
Mnoguagolnici
Ako otse~kata MN {to gi povrzuva dve strani na mnoguagolnikot , i ne le`i vo vnatre{nosta , za takviot mnoguagolnik velime deka e konkaven.
3.Pravilni mnoguagolnici. Poim i svojstva Pri dosega{noto izu~uvawe na mnoguagolnicite znaeme deka site strani i site vnatre{ni agli se ednakvi .Takvi se ramnostraniot triagolnik kvadratot. Ramnostraniot triagolnok , kvadratot i site mnoguagolnici {to imaat ednakvi strani i ednakvi agli , se vikaat pravilni mnoguagolnici.
Crt.7 Mnoguagolnik na koj site strani se ednakvi i site agli se ednakvi , se vika pravilen mnoguagolnik.Isto taka kaj pravilnite mnoguagolnici mo`e da se vpi{e i opi{e kru`nica, so centar vo presek simetralite na stranite.
Crt.8 NA crt8. e da den pravilen
mnoguagolnik ABCD ....N n anego }e gi
konstruirame simetralite S1 i S2 na stranite AB i BC. Tie se se~at vo edna to~ka O , koja e centar na kru`nicata na koja i pripa|aat to~kote A, B , C ,‌
str5
Mnoguagolnici
Crt.9 Od osnata simetrija vo odnos na oskata S2 , temeto B se preslikuva vo S, stranata BA vo CD
temeto
A vo D
i otse~kata OA
vo otse~kata
OD.
od simeetrijata sleduva OA=OD , odnosno i temeto D pripa|a na istata kru`nica. Po ista postapka mo`eme da doka`eme deka i ostanatite temiwa na pravilniot mnoguagolnik pripa|at na istata kru`nica. So toa doka`uvame deka : -okolu
sekoj
pravilen
mnoguagolnik mo`e
da
se
opi{e
kru`nica.
isto taka so crt 4. mo`eme da doka`eme deka vo sekoj mnoguagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica .
Crt.10
4.Podelba na mnoguagolnicite Spored brojot na stranite mnoguagolnicite gi podelivne na : triagolnik , ~etiriagolnik. petagolnik. {estagolnik i itn.. mnoguagolnokot {to ima ~etiri agli go vikame ~etiriagolnik . Kaj ~etiriagolnikot (i samo kaj nego ) ne sosednite temiwa gi vikame sprotivni temiwa
,
a
nesosednite
strani
sprotivni
strani.
Otse~kata ~ii krajni to~ki se dve sprotivni temiwa na ~etiriagolnikot ja vikame dijagonala na ~etiriagolnik.
str6
Mnoguagolnici
Crt.11 Sekoj ~etirijagolnik ima dva para sprotivni strani i dva para sprotivni agli.
Crt.12 Zbirot od dol`inite na stranite na ~etiriagolnikot go vikame perimeter na ~etiriagolnikot
L=a+b+c+d Postojat pove}e vidovi na ~etiriagolnici – spored zaemnata polo`ba na nivnite sprotivni strani i toa :
Crt.13 ~etiriagolnicite gi delime na : paralelogrami , trpezi -paralelogram
e
~etiriagolnik
{to
ima
dva
para
-Trapez e ~etiriagolnik {to ima samo eden par
i trapezoidi
paralelni
strani.
paralelni strani.
–Trapezoid e ~etiriagolnik {to nema paralelni strani Vidovi paralelogrami: -paralelogramite kako i triagolnicite gi delime spored stranite i vidot na aglite.
str7
Mnoguagolnici
Crt.14 -paralelogram na koi site agli mu se pravi go vikame pravoagolnik. –paralelogram koj nema ni pravi agli ni ednakvi sosedni strani , go vikame romboid. Vo pravoagolnikot
dijagonalite se ednakvi. Okolu pravoagolnikot
mo`e da se opi{e kru`nica i centarot na kru`nicata e
presekot na
dijagonalite vo pravoagolnikot.
Crt.15 L=2â‹…(a+b) Vo rombot mo`e da se vpi{e kru`nica. Centarot nav pi{anata kru`nica vo rombot e vo persekot na negovite dijagonali.
Crt.16
Formula za romb e : L=4â‹…a
Kvadratot e pravoagolnik so ednakvi strani , isto taka kvadratot e romb so pravi agli .
str8
Mnoguagolnici
Crt.17 Dijagonalite na kvadratot se zaemno normalni i ednakvi kaj kvadratot mo`e da se vpi{e i opi{e kru`nica. 5.Tangenten
i tetiven ~etiriagolnik
Crt.18
^etiriagolnikot , ~ii strani prestavuvaat tetivi na ista kru`nica imenuvame
kako
tetiven
~etirijagolnik.Vo
tetivniot
go
~etiriagolnik
sprotivnite agli se sumplementi . Isto
taka
va`i
i
obratna
teorema:
-~etirijagolnik vo koj sprotivnite agli se suplementni e tetiven. Okolu sekoj pravoagolnik mo`e da se opi{e kru`nica i okolu sekoj ramnokrak trapez mo`e da
se
opi{e
kru`nica.
~etirijagolnikot, ~ii strani prestavuvaat tangeti na ista kru`nica go vikame tangenten ~etiriagolnik.
Crt.19
str9
Mnoguagolnici
Vo tangenten ~etiriagolnik , zbirot na dol`inite na dve negovi sprotivni strani e ednakov na zbirot na dol`inite na drugite dve strani.
str10