Neravenki sistemi neravenki

NERAVENKI-SISTEM NERAVENK I

________________________________________________________________________________________________

Linearni neravenki so edna nepoznata Vidovi neravenki Dva racionalni izraza svrzani so znak na neravenstvo so~inuva neravenstvo. Ako dvata izraza vo neravenstvoto so brojni izrazi, toga[ neravensvtoto se narekuva brojno neravenstvo. Neraventstvoto vo koe barame vo eden od dvata izrazi ima edna ili pove]e promenlivi se narekuva neravenka. Mno`estvoto dopu[teni vrednosti na promenlivite se narekuva definiciono mno`estvona ravenkata.

Promenlivite vo

ravenkata se narekuvaat nepoznati i voobi~aeno se ozna~uva so bukvite x, y, z.....

Poznatite veli~ini vo ravenkata koi ne zavisat od nepoznatata, se vikaat parametric na neravenkata i niv voobi~aeno gi obele`uvame so bukvite a, b, c.....

Primer: 1 Neravenkata 6  4 x  3 preminuva neravenstvo

6  4 2  3

preminuva

vo brojnoto

za h=2. Pritoa ova neravenstvo e vistinito.

Primer: 2 Neravenkata x 2  0 e identi~no neravenstvo, bidej]i za sekoja vrednost na nepoznatata taa preminuva vo vistinito neravenstvo.

Primer: 3 Neravenkata 3x  2  3 e linearna neravenka so edna nepoznata 3x  2  3  0  3x  5  0  x 

Primer: 4

5 3

Neravenkata x 2  2 x  2  0 e kvadratna neravenka so edna

nepoznata x 2  2 x  2  0; x1, 2 

 2   4  2  i 4  2  2i  2  2i   ; x1, 2  2 2 2 2

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Ekvivalentni neravenki Dve neravenki se ekvivalentni, ako tie imaat isto definiciono mno`estvo i isto mno`estvo re[enije. Primer: x  2 i x 2  4 .

Teorema 1. Ako na dvete strani na dadena neravenka dodademe eden ist izraz koj e definiran za site dopu[teni vrednosti na nepoznatata, ]e se dobie neravenka ekvivalentna na dadenata.

Dokaz: Neka e dadena neravenkata

f ( x)  g ( x)

i izraz

 (x) ,

f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) .

Primer: 5x  2 x  3  8  2x : f ( x)  5x  3; g ( x)  8; ( x)  2x;5x  8  8 Teorema 2. Ako dvete strani na dadenata neravenka se pomno`at so eden izraz koj za site dopu[teni vrednosti na nepoznatata e definiran i dobiva

samo

pozitivni

vrednosti

]e

se

dobie

nova

neravenka

ekvivalentna na dadenata.

Dokaz: Neka e dadena enravenkata f ( x)  g ( x) i  (x) , f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) Primer: 3( x  2)  15 gi pomno`ime so 3 x  2  5 Primer:

2x  7 x  1   5;4 x  14  3x  3  30 3 2

Teorema 3. Ako dvete strani na dadenata neravenka gi pomno`ime so eden ist izraz koj za site dopu[teni vrednosti na nepoznatata e definiran i dobiva samo negativni vrednosti ako ja promenime nasokata na neravenkata

( so ;  so ;  so ;  so ) ]e

dobieme

nova

neravenka

ekvivalentna na dadenata.

Dokaz: Ako a  b i s  0

toga[ as  bc Primer: -h>7 gi pomno`ime -1; h<-7

Re[avawe na linearna neravenka so edna nepoznata So site gorenavedeni transformacii edna linearna neravenka so edna nepoznata e ekvivalentna so neravenka od vidot ax  b  0

(ili

ax  b  0 ) nare~en op[t ili normalen vid na linearna neravenka so edna

2

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ nepoznata a, b se slobodni ~lenovi. Da go ispitame nejzinoto mno`estvo re[enija: b b b b 1. a  0; x   ; ( x   ); ( , ); (  , ) a a a  a

b b b b 2. a  0; x   ; ( x   ); (, ); (, ) a a a a

3. a  0;0  x  b  0; (0  x  b  0) Primer:1 2( x  3)  6  3( x  1)  12 2 x  3 x  3  12  6  6  x  3 x3 ( ,3)

Primer:2

x  22  3x  x( x  3)  4 x  4 x 1

1,   Primer:3 mx  5  3x  m

m -realen parameter

Re[enie: mx  3x  5  m (m  3) x  5  m

1.Ako m  3  0 odnosno m  3 toga[ x 

5m m3

2. Ako m  3  0 odnosno m  3 toga[ x 

5m m3

3

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ 3. Ako m  3 odnosno m  3

toga[ 0∙h >2 nejzinoto re[enie e prazno

mno`estvo.

Sistem linearni neravenki so edna nepoznata

Definicija 1. Mno`estvo od dve ili pove]e linearni neravenki so edna ista nepoznata se vika sistem linearni neravenki so edna nepoznata.

Primer: 1 Da se re[i sistemot neravenki.

3x  5  7  x x  3 Re[enie:    x  8  0 x  8

x  2 Primer:2  x  5

Primer:3

5x 2 2x  1

5x 20 2x  1

x  2 x  2 x  2  0 x  2  0   ; ;  1;  1 2 x  1  0 2 x  1  0  x    x   2  2 

Пример 4.

 1   1   2 ,2; R /  2 ,2    

x  x2 6 4

x2 0 2x  1

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ x Решение: x    x

x0 x0

x  2; x  2  0; x  2 x2    x  2; x  2  0; x  2

3x  m  2  x m -реален параметар ќе биде позитивно помало од 5 m  2  4  0 m  2 Решение:   m  8 m  2  5  4 Пример 5.

Квадратни неравенки Дефиниција 1: Неравенката од видот ax 2  bx  c  0 или ax 2  bx  c  0 односно ax 2  bx  c  0 или ax 2  bx  c  0 каде што a, b, c  R; a  0 ја нарекуваме квадратна неравенка со една непозната. Забелешка: Ако ставиме f ( x)  ax 2  bx  c тогаш соодветната неравенка од дефиниција 1 можеме да запишиме во обликот f ( x)  0 или f ( x)  0 односно f ( x)  0 или f ( x)  0.  f ( x)  0  f ( x)  0 а) f ( x) g ( x)  0 ако и само ако  или   g ( x)  0  g ( x)  0  f ( x)  0  f ( x)  0 б) а) f ( x) g ( x)  0 ако и само ако  или   g ( x)  0  g ( x)  0 x2  2x  3  0

Пример 1: Решија квадратната неравенка Решение:

f ( x)  x 2  2 x  3

x1  1; x2  3

x1, 2 

b  b 2  4ac 2  4  12 2  4    3;1 2a 2 2

x -оската (-1; 0) и (3; 0)

f ( x)  0; x  (1;3) Па затоа x   1;3 е решение на неравенката x 2  2 x  3  0

5

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Пример 2: 5  4 x  8  2 x  17 Решение: 5  8  17  4 x  2x 30  2 x; x  15 Пример 3: x 2  2 x  24  0 ; Решение: f ( x)  x 2  2 x  24; x1, 2 

2  4  96 2  10   6;4 2 2

x 2  2 x  24  0

x1  4; x2  6

Пример 4: x 2  2 x  15  0 решија квадратната неравенка. Решение: x1, 2 

 2  4  60  2  8   3;5 2 2

x1  5; x2  3

6

f ( x)  x 2  2 x  15;

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

x  (3;); x  (;5); R / 5,3

Пример 5: Решија квадратната неравенка  2 x 2  2 x  x  1 Решение:  2x 2  2x  x  1  2x 2  x  1  0 x1, 2 

1 1 8 1 3 1   1; 4 4 2

1  x    ,   1, 2 

7

f ( x)  2 x 2  x  1;

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Систем квадратни неравенки 2   0 : 0;  0 a1 x  b1 x  c1  0 или  2  0;  0;  0  a 2 x  b2 x  c2  0 нарекуваме систем од две квадратни неравенки со една непозната.

Дефиниција 1. Систем од видот

2   x  3x  2  0 Пример 1.  2  x  x  2  0

Решение:  x 2  3x  2  0 x1  1; x2  2; M 1  1,2

f ( x)   x 2  3x  2;

g ( x)  x 2  x  2; x1  1; x2  2; M  M 1  M 2  1,2   1,2  1,2

 f ( x)  0  f ( x)  0 f ( x) или   0 ако и само ако  g ( x)  g ( x)  0  g ( x)  0  f ( x)  0  f ( x)  0 f ( x) б) или   0 ако и само ако  g ( x)  g ( x)  0  g ( x)  0

а)

Пример 2.Решија квадратната неравенки

 x 2  2x  5  1 2x 2  x  1

Решение:  x 2  2x  5  x 2  2x  5  x  2x  5  2x 2  x  1 x2  x  6   1  0   0 2x 2  x  1 2x 2  x  1 2x 2  x  1 2x 2  x  1 2 2  x  x  6  0  x  x  6  0 ; 2 ;  2  2 x  x  1  0  2 x  x  1  0

2  x  x  6  0  2  2 x  x  1  0

x2  x  6  0 2x 2  x  1  0

M 1  (3,2) 1 M 2  (,  1,) 2

1 M  M 1  M 2  (3, )  (1,2) 2

1 N  (,3)  (2,);2 x 2  x  1  0; N 2  ( ,1) 2 2  x  x  6  0; N  N1  N 2     2 1 2 x  x  1  0; A  M  N  (3, )  (1,2) 2 

x 2  x  6  0;

8

го

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

x 2  2x 0 x 2  2x 2 2   x  2x  0 x  2x  0 Решение:  2 или f ( x)  x 2  2 x; g ( x)  x 2  2 x  2   x  2x  0 x  2x  0  2  4  4 1 0  2  2  2  4  4 1 0  2  2 x1, 2    0;2 x1, 2    0;2 2 2 2 2 Пример 3: Реши ја неравенката

Примена на квадратни неравенки и на системите квадратни неравенки Пример 1: Определија дефиниционата област на функцијата f ( x)  x 2  2 x  3

9

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Решение: x 2  2 x  3  0; x 2  2 x  3  0; x1, 2 

(,1)  3,; Df  R /( 1,3)

24  3,1 2

Пример 2: Одредиго параметарот m така што корените на равенката да бидат реално различни.

k  1x 2  k  5x  k  2  0 3k 3  14k  33  0;3k 3  14k  33  0; k1, 2 

m(

D  k  5  4k  1k  2  0 2

 7  2 37  7  2 37  7  2 37 ; k1  ; k2  6 6 6

 7  2 37  7  2 37 ; ) 6 6

Пример 2: Определи ја дефиниционата област на функцијата f ( x)  3x 2  8x  3 8  10 1 1 3x 2  8 x  3  0;3x 2  8 x  3  0; x1, 2  3, ; x(, )  3,; 6 3 3 1 1 Df  R /(  ,3);  0;3  0 3 3 Пример 4: k  1x 2  k  5x  k  2  0 k 5 k 2 Решение: или x1  x2   x1  x2   k 1 k 1 2 2 k  5  k  2 k  3k  10 k  3k  10 2 x1 x 2  x 2 x1  x1 x 2 ( x 2  x1 )     2 2 2 20 k 1 k 1 k  2k  1 k  2k  1 k 2  3k  12  2; k 2  k  12  0; D  b 2  4ac  1  48  47  0 k 2  2k  1 k 2  2k  1  (k  1) 2 ; k  1 x1 x 2  x 2 x1  2; k  R /1 2

2

10

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Дробно рационални неравенки со една непозната Дробно рационалните неравенки видот

R1 ( x)  R2 ( x)

или

со една непозната х се вика неравенка од

R1 ( x)  R2 ( x)

во која левата и десната страна се

рационални изрази и притоа х се содржи именителот на барем еден од нив. По поднесувањето на R2 ( x) на левата и доведувањето на разликата R1 ( x)  R2 ( x) во конечен вид, дробнорационалната равенка може да се доведе во вид

f ( x)  0 или f ( x)

f ( x)  0 каде што f (x) и g (x) се полиноми по однос на х. f ( x) f ( x) f ( x) односно 0 0 g ( x) g ( x) неравенката f ( x)  g ( x)  0 односно f ( x)  g ( x)  0

Теорема 1.

Неравенката

е еквивалентна со

x2  7x  6  1 x2 1 x  1 е еквивалентна на неравенката 2 2 x  7x  6 x  7x  5  1  0 или 0 (2 x 2  7 x  5)( x 2  1)  0 x  1 2 x 1 x2 1 Ако триномот x 2  7 x  5 и биномот x 2  1 ги разложуваме на линеарни

Пример:1 Решија неравенката:

5 множители го добиваат видот 2( x  1) 2 ( x  )( x  1)  0; x  1 множителот ( x  1) 2 2

Ако ја делиме двете страни на неравенката 2( x  1) 2 е еквивалентна x  1

5 ( x  )( x  1)  0 каде што х 2

5  5  M  (1;1)  1;  т.е. M    1;  /1 2  2 

Пример 2: Решија неравенката

6 3 7   x 1 x 1 x  2

11

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Решение:

6 3 7   0 x 1 x 1 x  2

5 ( x  )( x  5) 4 0 ( x  1)( x  1)( x  2)

 4 x  15 x  25 0 ( x  1)( x  1)( x  2) 2

5  4( x  )( x  5) 4 0 ( x  1)( x  1)( x  2)

5 ( x  )( x  5)( x  1)( x  1)( x  2)  0 4

5 нули на оваа неравенка  2, ,1;1;5 4

за

x  1,1,2

5 M  (,2)  ( ,1)  (1;5) 4

Експоненцијални неравенки – систем експоненцијални неравенки Дефиниција 1: Неравенката во кои непознатата се јавува само во степенов показател се нарекува експоненционална неравенка. Пример1: Реши ги експоненционалните неравенки а) 5 x  3

5 x  3  x  log 53 ; a  5  1; (, log 53 )

б) 6 x  5

6 x  5  x  log 65 ; a  6  1; (, log 65 )

в) (0,25) 6 xx  0,25 2

(0,25) 6 x  x  0,25  6 x  x 2  1; a  0,25  1; x 2  6 x  1  0; x1, 2  3  2 2 ; 2

 ,3  2 2  2



2 ,

Пример 2: Реши го системот неравенки

3 x 1  9   1 x 1 (0,5)  32 

Решение: 3 x 1  9 3 x 1  3 2 x  1  2 x  1 x  1 x  1       1   1 x 1  5 x 1 x 1 1  x  5 x  1  5 x  6 2  2 (0,5)  (0,5)  5 32 2   x  (1,6) т.е. (1,6) е множество на решенија.

12

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

Пример3: 3 5x 1



3 5 1 x



5x 5x  2

5x 5 2 x

 3 

 3 ;

5 x  t; t  0

3 t 3t  6  t 2  t  3t 2  9  6 t (4t  7)   3  0 0 t 1 t  2 (t  1)(t  2) (t  1)(t  2) t (4t  7)  0  (t  1)(t  2)  0

Добиваме систем квадратни неравенки

0  t  1 или

7 t 2 4

t (4t  7)  0 или  (t  1)(t  2)  0

7 7 7  5 x  2  ( ) 2  5 x  2 2  log 5  x  2 log 5 2 4 4 4

7 x   ,0  (2 log 5 ;2 log 5 2 ) 4

Пример 4:

8x

2

x 2  2x  2  x  2

2 x  2

 2 3 x6

x 2  2x  x

(2 3 ) x

2

2 x  2

x 2  3x  0

 2 3 x 6

x( x  3)  0

(2 3 ) x

2

2 x  2

 2 3( x 2)

x   ,0  3,

Логаритамски неравенки систем логаритамски неравенки Дефиниција 1:

Неравенките во кои непознатата е само под знакот на

логаритам (како аргумент или основа) се вика логаритамска неравенка. Пример 1: Реши ги логаритамските неравенки а) log 5 x  log 5 2  x  2; (2,)

б) log 4 x1  log 45 x

log 4 x1  log 45 x  x  1  5  x  0

x  1  5  x x  2  ; x  (2;5)  5  x  0 x  5

Пример 2: а) log 2 ( x  1)  log 2 (11  x)  5

13

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ x  1  0 Решение:  ;1  x  11 11  x  0 log 2 ( x  1)  log 2 (11  x)  log 2 ( x  1)(11  x);5  log 2 25 log 2 ( x  1)(11  x)  log 2 25  ( x  5)(11  x)  32;

11x  11  x 2  x  32

x 2  10 x  21  0; x1, 2  5  2; x1  3; x2  7; x  (,3)  (7,);1  x  11; x  (1,3)  (7,11)

б)

log 5 x  1 1  1 log 5 x  2 log 5 x

log 5 x  t

t 1 1 t 2  t  t  2  t 2  2t t 1  1 0 t2 t t (t  2) t (t  2)

t   2,0  1, x(

t  1  0 t  1  0 или   t (t  2)  0 t (t  2)  0

log 5 5 2  log 5 1 

1  x  1; log 55  x  5 25

1 ,1)  (5,) 25

2 1 Пример 3: а) ( ) log 0,5( x 1)  3 2

Решение:

1 ( )l 2

x 2  1  0; x  1

0, 5( x 2 o1)

 x 2 g 1

x 2  1  3; x 2  4  x  2; x  (2,1)  (1,2) б) 7 log0,1( x1)  49 Решение:

7 log0,1( x1)  7 2  log 0,1( x  1)  2  x  1  0,12

x  1  0,01; x  0,99; x  (0,99,)

log 2 (2 x  3)  log 2 x Пример 4:  2 log 3 ( x  3)  log 2 6 log 2 (2 x  3)  log 2 x 0  (2 x  3)  x  Решение:  2 2 0  ( x  3)  6 log 3 ( x  3)  log 2 6 3   x3  3  x  3; x  ( 3, 3) 2  2  x 3 

14

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

1 Пример 5: log 5 x1, 2 

( 2 x 2 8)

 log

7 1 3  2; 4 2

1 5

( 7 x 14)

(2 x 2  8)  (7 x  14)

3 x  (, )  (2,) 2

6 log  log( x  5) x

Пример 6:

(2 x 2  7 x  6)  0

6  x 2  5 x; x 2  5 x  6  0; x1, 2 

6  1; x  5  0; x  6; x  5 x 57  6;1 2

6  x  5; / x x

x  (6,1)

Тригонометриски неравенки Дефиниција 1: Неравенката во кои променливата е само под знакот на тригонемтриска функција се вика тригонометриска неравенка. Пример 1: Реши ги тригонометриските неравенки Решение: а) 0;2 

а) sin x 

3 2

y  sin x

со период 2

x(

 3

sin x 

 2k ,

3  2 ;x  ;x  2 3 3

 2 x( ; ) 3 3

2  2k ); x  Z 3

y

x

Пример 2: Реши ја неравенката 2 cos 2 x  cos x  1  0 Решение: t1, 2 

cos x  t; t   1;2  2  t  1  0

1 9 1 3 1   t1  ; t 2  1 4 4 2

2t 2  t  1  0

1  t 

15

1 2

односно

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ

 1  cos x 

1 ;   ;   2









x  ( ; )  ( ;  ); x  (  2k ;  2k )  (  2k ;   2k ); k  Z 3 3 3 3

Пример 3: 3 sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x  1 Решение: Дадена е равенката хомогено sin x  cos x 3 sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x ; 2 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  0

1. cos x  0 x

 2

2

 k ; k  Z ;2 s in2 x  0; s inx  0

кога cos x  0 решенија 6

 k ; k  Z

2. cos x  0 t1, 2 



x

x

 2

 k ;2 s i 2nx  0;

3 1 1  t1  1; t  ; 4 2

за x  (

t

1 2

или

2t 2  3t  1  0

2tg 2 x  3t g x1; t g x t

t  1 ; tgx 

1 или tgx  0 2

тогаш tgx 

1 2



1   k  k ); tg  ;0    ; k  Z 2 2 4

tgx  1 за x  (

Пример

4:

 4

 k ;

 2

Реши

 k ); k  Z

ја

тригономтриската

cos x  3 sin x  1

неравенка

/ : 12  ( 3 ) 2  2 Решение:

1 2 1 cos x  sin x  2 2 2

sin

 6

5  13  2k   x   2k ; k  Z 6 6 6 x  (2k ;



1  1 sin x  ; sin( , x)  6 2 6 2

 2  2k  x  c 

4  2k ); k  Z 3

Пример 5: sin Решение:

cos x  cos

x 1  2 2

x   2 6

x

2   6 3

x  



16

3



2 3

 3

x

2 3

2  2k ; k  Z 3

НЕРАВЕНКИ - СИСТЕМ НЕРАВЕНКИ Пример 6: sin( x  20 0 )  sin 70 0 Решение: 110 0  x  20 0  2 9 17 x 18 9 

 9

x

 2

x

11     x  2  18 9 9

11   x   2 18 9 17 9

0 x

5 18

17

 9

 70 0

0

 9

x

5 18