Pitagorova teorema by Reshat

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________

Voved Matematikata kako nauka se pojavuva mnogu odamna. Kako {to ne moè da se najde po~etokot na matematikata, toj se gubi nekade vo krajot na praistorijata, taka nemoè da i se sogleda nitu krajot. Matematikata e kralica na naukite. Taa i sluì na astronomijata i drugi prirodni nauki, no sekoga{ nejze i prira|a prvoto mesto. Mnogu brzo se razviva i ima golemo zna~ewe, pred se za osovremenuvaweto na samata matematika i op{to vo naukata, osobeno vo kompjuterskite nauki. Bogata e so interesna sodrìna i izu~uva mnogu matemati~ki poimi, pravila i odnosi. So nea se zanimavale golem broj na fizi~ari, matemati~ari i filozofi. Golemite misliteli so svojata upornost i trudoqubivost, so svojata ostroumnost i intuicija, uspeale da ni otkrijat mnogu tajni na prirodata. Vo matematikata i vo sekoja druga nauka od osobeno zna~ewe e razgleduvaweto na sega{nosta vo vrska so minatoto, zatoa {to sega{nosta se razvila vo minatoto, a idninata }e se razvie od sega{nosta. A toa e predizvik za mladite, pole na nivno idno deluvawe. Golem del od matemati~arite i sega i vo minatoto se inspirirale od umetnosta na matematikata, ~esto bez da razmisluvaat za neposrednata primena, vodena, edinstveno od ~uvstvo za simetrija, ednostavnost, voop{tenost i smisla za soodvetnost. Drugi pak, od potrebite za razre{uvawe na razni problemi vo ostanatite nauki, bile prinudeni da istraùvaat vo matematikata i da se zanimavaat so nea. Eden od niv bil i starogr~kiot filozof i matemati~ar Pitagora, koj e poznat po negovata teorema.

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ 1. Pitagora i pitagorejcite Od grupata sofisti se oddelila grupa filozpfi so osobeno interesirawe za matematikata. Tie samite se narekuvale pitagorejci, vo ~est na nivmiot osnova~ Pitagora (580-500 godina pred n.e.), od ostrovot Samos, vo blizina na Milet, najverojatno u~enik na miletskite filozofi. Patuval niz celiot toga{en poznat svet, se zapoznal so razni u~ewa i obredi. Okolu 530 godina prebegnal vo Ju`na Italija, begaj}i od tiraninot Polikrad, vo gradot Kroton. Tuka se zdobil so najgolemo nau~no i filozofsko ime. Go napi{al i ustavot na gradot. Osnoval religiozno, moralno i misti~no bratstvo so cel da se usovar{uvaat znaewata, verata i moralot kako najdlaboki vrednosti za ~ovekot. Samiot Pitagora si pridaval sebesi poluboèstven karakter, odel vo dolga bela obleka, imal dolga kosa so zlatni lenti na nea. Prv za sebe kaàl deka e filozof, taka sozdavaj}i go ovoj termin. Koga mu rekle deka e znalec (sofist), toj odgovoril deka ne e toa, tuku prijatel i qubitel na mudrosta. Vo Kroton ja osnoval Pitagorejskata {kola, koja go napravi negovoto ime besmartno. Spored legendata, Pitagora umrel vo poàrot na sopstvenata {kola, {to go podmetnale politi~ki i verski fanatici, koi ne se soglasuvale so ideite i dejstvuvaweto na pitagorejcite. Po sebe ne ostavil pi{ani trudovi i zatoa te{ko e da se odredi {to mu pripa|a nemu, a {to na negovite u~enaci i sledbenici. Poznato e deka Pitagora imal golem broj na istomislenici, koi se zanimavale so filozofija, matematika, astronomija i so muzika. Matematikata i geometrijata gi smetale za osnovni orudija na znaeweto, se zafatile so nea i ja unapredile. Pitagorejcite gi dovele vo nekoj vid korespondencija geometriskite objekti i broevite, pa to~kata ja narekle "eden", linijata "dva", ramninskite likovi "tri", a teloto "~etiri", spored najmaliot broj to~ki nu`ni za opredeluvawe

sekoj od

ovie

~etiri geometriski objekti.

Obrazovani vo

matematikata pomislile deka nejzinite na~ela se na~ela na site ne{ta. Bidej}i broevite me|u (matemati~kite na~ela) se prvi, se ~ini deka vo broevite tie gledale

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ mnogu sli~nosti so ne{tata {to su{testvuvaat i nastanuvaat. Pitagorejcite do{le do potpolna apstrekcija na brojot. Broevite i brojnite odnosi kaùvaat mnogu.Tie im prethodat logi~ki na ne{tata pred ovie da postojat. Da se poznava ne{to, toa zna~i da se znae negovit broj, brojniot odnos {to vladee vo toa ne{to. Brojot e zakonitost na svetot {to se iskaùva so preporcii kako brojni odnosi. Za niv sekoj broj e mnoèstvo od edinici. Broevite gi delele na klasi: parni, neparni, parni-parni, neparni-neparni, prosti i sloèni, sovr{eni, prijatelski, triagolni, ~etiragolni, petagolni, itn. Pitagorejcite na broevite im davale misti~ni svojstva. Smetale deka nekoi broevi zna~at sprovedlivost (9 i 4, nastanati so mnoèwe na ednakvite mnoìteli 2  2 i 3 3 ), brakot go prestavuvale so brojot 5 (spojot na prviot paren broj 2 so prviot neparen broj 3), i sl. Najva`ni bile broevite 1,2,3,4-koga }e se soberat

davaat

(desetkata),

koja

niv

imala

posebno

zna~ewe.

Najinteresni rezultati postignale vo prou~uvaweto na"triagolni broevi"(crt.1), koi gi povarzuvale aritmetikata i geometrijata. ● ● ● ● 1, ●

●

● ● 3,

●

● ●

● 6,

● ●

●

● ●

● 10,. ..........

Crt.1 Na{iot termin kvadratni broevi poteknuva od pitagorejskata konstrukcija(crt.2):

● ● 1,

●

● ● ● ● 4,

● ● ● 9, ........ Crt.2

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Samite figuri se mnogu postari. Nekoi od niv gi sretnuvame i na neolitska keramika. No, pitagorejcite gi ispituvale nivnite svojstva i tuka go vnele svojot numeri~ki mesticizam. Broevite stanale osnova na nivnata filozofija na vselenata. Nastojuvale site odnosi da gi svedat na numeri~ki odnosi, poa|aj}i od pretpostavkata deka se e broj. Za niv bil osobeno zna~aen odnosot na broevite. razlikuvale

aritmeti~ka

proporcija( =

(2b=a+c),

geometriska(

=ac),

Vo taa smisla tie i

harmoniska

Na pitagorejcite im bile poznati nekoi svojstva na pravilni mnoguagolnici i pravilni poliedari. Tie poka`ale kako ramninata mo`e da se popolni so sistem na ramnostrani triagolnici, kvadrati, ili pravilni {estagolnici, a prostorot so sistem na kocki. Mo`no e pitagorejcite da znaele za pravilen tetraedar i dodekaedar. Na Pitagora i pitagorejcite im se prepi{uvaat zaslugite za sistematsko voveduvawe na dokazot vo geometrijata i izgradba na teorijata na proporcii i sli~nost. Tie ja gradat geometrijata kako apstraktna nauka, ~ii vistini se izveduvaat so pomo{ na dokazo i od mal broj pojdovni aksiomi. Pitagora e prv koj baral vo geometrijata najnapred da se postavat postulati, a potoa so primena deduaktivno razmisluvawe da se dojde do dokaz na tvrdeweto. Pred nego geometrijata se sostoela od zbirka na pravila, nastanati empiriski, bez jasna slika za vrskata ne|u niv. Pitagorejskite u~ewa ostanalo nekolku veka i ostavilo dlaboki tragi kako vo filozofijata

taka

matematikata

drugi

nau~ni

celi.

Pitagora otkril edno od najpoznatite matemati~ki pravila, nare~eno Pitagorova teorema. 2. Istoriski razvoj Pitagorova teorema Pitagorovata teorema niz sredniot vek se vikala "hekatomba". Poradi toa {to koga ja otkril teoremata Pitagora prinesol vo `rtva na bogovite 100 bikovi (hekatomba

{to

prevedeno

starogr~ki

zna~i

100

bikovi).

Istorijata na teoremata ne zapo~nuva so Pitagora. Vo stariot Egipet (2000 do 3000 g.p.n.e.) od kade {to zapo~nuva istoriskiot razvoj na Pitagorovata teorema. Tuka e 4

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ interesna matemati~kata kniga û-pei. Vo taa kniga za Pitagorovata teorema se kaùva deka: "Ako razloìme prav agol vrz vkrsteni pravi, vo linija srede kracite i obrazloìme triagolnik so strani: osnova 3, visina 4 i sprotivna 5" , bilo izvedeno od egip}anite okolu 2300 god.

Zadadeno e ravenstvoto

p.n.e. Triagolnikot so strani 3, 4 i 5 go koristele drevnite Egip}ani pri premeruvawe na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstruacija na praf agol. Tie zemale ja`e i so pomo{ na jazli ozna~uvale na nego dvanaeset ednakvi delovi, a potoa go obrazuvale triagolnikot so strani 3,4,5. Teoremata im bila poznata na Vaviloncite(okolu 1200 god.p.n.e.) i na Kinezite (okolu 1000 god.p.n.e.) vo drevna Indija. 3. Pitagorova teorema Edna od najstarite i najva`nite teoremi vo geometrijata i vo matematikata voop{to e teoremata na Pitagora. Taa ja postavuva vrskata me}u dol`inite na pravoagolen triagolnik. B b

c a

a C

Crt.3 Pravoagolen triagolnik se narekuva triagolnikot (crt.3) koj ima eden prav agol (t.e. ednakov na 90o ), koj go obrazuvaat katetite (se nao|a vo spojot na dvete kateti), a hipotenuzata se nao|a sproti praviot agol. Vo pravoagolniot triagolnik najdolga

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ strana se vika hipotenuza ,a drugite dve se narekuvaat kateti i drugite agli se ostri agli za koi va`i relacijata     90 0 . Pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 koj go koristele drevnite Egip}ani pri premeruvawe na zemji{teto, za {to im bila potrebna konstrukcija na prav agol. Denes ovoj triagolnik e poznat kako egipetski triagolnik. Dodeka triagolnikot so strani 5, 12, 13 se vika indiski triagolnik. Za pravoagolniot triagolnik so strani 3, 4, 5 va`i ravenstvoto: 32  4 2  52 pri proverka dobivame deka 9+16=25.

B 25 16

Crt.4 Na stranite na egipetskiot triagolnik (crt.4) konstruriranite kvadrati ja doka`uvaat proverkata deka 32  4 2  52 [to zna~i deka zbirot od plo{tinite na kvadratite i{rafirani so kosi liniie ednakva na plo{tinata na kvadratot i{rafiran so to~ki, t.e plo{tinite na kvadratot konstruiran nad hipotenuzata e ednakov na zbirot od plo{tinite na kvadratite konstruirani nad katetite. Ova vrska me|u stranite va`i za sekoj pravoagolen triagolnik, koja mu se prepi{uva na starogr~kiot matemati~ar Pitagora. Vo negova ~est teoremata ja narekuvame Pitagorova teorema koja glasi: Vo sekoj pravoagolen triagolnik,

kvadratot na hipotenuzata e ednakov na

zbirot na kvadratite na katetite.

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Vo pravoagolen triagolnik so kateti a i b i hipotenuza c Pitagorovata teorema ja izrazuvame so formulata: Od ovaa ravenstvo sleduvaat i ravenstvata so koi mo`eme da ja presmetame i nepoznatata kateta ako ni e dadena hipotenuzata i drugata kateta , a tie se: a2  c2  b2 i b2  c2  a2

Od ovie tri ravenstva sleduvaat ravenstvata:

a  c2  b2 → i b  c2  a2 Va`i i obratnata teorema na Pitagora: Ako vo eden triagolnik kvadratot na najdolgata strana e ednakov na zbirot od kvadratite na drugite strani, toga{ toj triagolnik e pravoagolen. 4. Dokazi na Pitagorovata teorema To~no ne se znae kako Pitagora ja doka`al teoremata no postojat podatoci deka 500 pred nego u~eni vo Kina imale nekakov dokaz. Poradi golemoto zna~ewe na teo Pitagorovata teorema se

izvr{eni mnogu dokazalstva (pronajdeni se preku 350).

Otoga{ niz vekovite mnogu matemati~ari se zanimavale so dokazot na teoremata i sporet edno matemati~ko spisanie, kako sto spomenavme pronajdeni se preku 350 dokazi. ]e dademe nekoi od niv: 4.1.Dokazot na Pitagorevata teorema od Indiskiot matemati~ar Bhaskara( 1114 ) c

a-b a-b c a-b a a-b

Crt.5

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Na crt.5 e nacrtan pravoagolen triagolnik ABC, potoa kvadratot so strana s. Plo{tinata na kvadratit e

. Toj e sostaven od 4 pravoagolni triagolnici so kateti a

i b i eden kvadrat so strana a-b. Spored toa: c2  4 

ab  (a  b) 2  2ab  a 2  2ab  b 2  a 2  b 2 2

4.2. a

b c

a c

c a

c b b

Crt.6 Na crt.6 nacrtan e prvo proizvolen pravoagolen triagolnik so kateti a i b i hipotenuzata c, a potoa e nacrtan kvadratot so strana a+b. Spored ovoj crte` utvrdeno e deka plo{tinata na kvadratot so strana a+b e ednakva na zbirot od plo{tinite na ~etirite pravoagolni triagolnici , plus plo{tinata na kvadratot so strana c, t.e (a  b) 2  4 

ab  c 2  a 2  2ab  b 2  2ab  c 2 2

deka e doka`ana teoremata.

 a 2  b 2  c 2 . Spored toa se zaklu~uva

4.3.Sledniov dokaz se misli deka e od Pitagora Na stranite na proizvolen pravoagolen triagolnik ABC (crt.7) se konstruirani kvadratite CBIJ, ACMN i ABKL. Za da ja doka`eme Pitagorovata teorema treba da se doka`e PCBIL  PACMN  PABKL

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ J M I

C N

a c P

Crt.7 Dokaz: Za taa cel crtame CQ  AB . Potoa doka`uvame deka PACMN  PAPKQ . Za taa cel gi crtame otse~kite CK i BN . PABN 

AN  NM b 2   PABMN  2 PABN . ABN  ACK 2 2

PACK 

AK  AP PAPKQ   PAPKQ  2 PACK . Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka 2 2

PABMN  PAPKQ

.Sli~no, PABI 

spored

priznakot

SAS.

BI  IJ a 2   PBIJC  2 PABI . ABI  BCL spored priznakot 2 2

SAS. PBCL 

BL  BP PBPLQ   PBPLQ  2 PBCL . Od skladnosta na triagolnicite sleduva deka 2 2

PBCIJ  PBPLQ

Od prethodnoto sleduva deka PBPLQ  PAPLK  2PACK  2PABI  PABMN  PBCIJ , t.e.

c 2  a 2  b 2 so {to e doka`ana Pitagorovata teorema.

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ 4.4.

F 3

B c

3 a

N C

Crt.8

b 5

Crt.9

Naredniov dokaz se izveduva so dadenite crteì (crt.8 i crt.9) i so reàwe, pri {to utvrduvame deka zbirot od plo{tinite nad kvadratite nad katetite e ednakov na plo{tinata na kvadratot nad hipotenuzata. Na crt.8 ( FN || AB, ND ď &#x17E; AB , a AM e prodolènie na stranata AE). Na nacrtaniot proizvolen pravoagolen triagolnik (crt.9) mu se konstruirani kvadratite nad negovite strani. Odreden e i presekot Y na dijagonalite na kvadratot nad edna od katetite, niz taa to~ka povlekuvame prava {to }e bide pararelna so hipotenuzata i prava {to }e bide normalna na hipotenuzata. Taka gi dobivame delovite 1, 2, 3, 4. Od koi i od kvadratot so stranata b moè da sostavime kvadrat so strana s. 5.Sli~nost vo pravoagolen triagolnik. Evklidovi teoremi Vo sekojdnevniot ìvot, a osobeno vo tehnikata, mnogu ~esto sre}avame predmeti {to imaat ista forma i ista ili razli~na golemina. Poradi toa, mo{ne va`ni se svojstvata na geometriskite figuri {to imaat ista forma i koi se koristat za re{avawe problemi vo praktika. Za dve geometriski figuri {to imaat sosema ista forma, obi~no se veli deka se sli~ni, pritoa, tie moè da bidat razli~ni po golemina, moè da bidat i ednakvi

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ 5.1. Sli~ni triagolnici Za dva triagolnici se veli deka se sli~ni, ako postoi biekcija me|u nivnite temiwa, taka {to: 1.soodvetnite agli da im se ednakvi; 2.soodvetnite strani da im se proporcionalni.

C a

b b

a h

a p

Crt.10 Na pravoagolniot triagolnik ABC (crt.10) spu{tena e visinata CC1 kon hipotenuzata AB. Taa go deli triagolnikot na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i CBC1 . Od sli~nosta na pravoagolnite triagolnici ABC, ACC1 i CBC1 se dobivaat nekoi interesni vrski me|u stranite, visinata i otse~kite AC1 i BC1 na hipotenuzata AB. Za otse~kata AC1 }e velime deka e proekcija na katetata AC vrs hipotenuzata, a za otse~kata BC1 â&#x20AC;&#x201C; proekcija na katetata BC vrs hipotenuzata. Od sli~nosta na triagolnicite ABC i CBC1 sporet crte`ot sleduva deka: p:a=a:c a, od sli~nosta na triagolnicite ABC i ACC1 : q:b=b:c

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Vnatre{nite ~lenovi na proporciite se ednakvi. Tie proporcii mo`eme da gi zapi{ime vo vid na slednive ravenstva: a 2  cp i b 2  cq

so koi se iska`uva teoremata: Sekoja od katetite vo eden pravoagolen triagolnik e geometriska sredina od hipotenuzata i proekcija na taa kateta vrz hipotenuzata. Za visinata

i proekciite i na katetite, va`i vrskata

, so koja se iska`uva

teoremata: Visinata spu{tena kon hipotenuzata vo eden pravoagolen triagolnik e geometriskoa sredina na proekcijata od katetite vrz hipotenuzata. Dokaz: Od sli~nosta na triagolnicite ACC1 i CBC1 , sleduva deka od sli~nosta na triagolnicite ABC i ACC1 : p:h=h:q od kade se dobiva ravenstvoto h 2  pq bidej}i vnatre{nite ~lenovi se ednakvi. Vrskite a 2  cp , b 2  cq i h 2  pq gi doka`al gr~kiot matemati~ar Evklild (365-310 g.p..e) i poradi nego teoremite se vikaat u{te Evklidovi teoremi. 5.2. Dokaz na Pitagorovata teorema so pomo{ na Evklidovite formuli Vrskata me}u sekoja kateta so hipotenuzata i soodvetnata proekcija, t.e vrskata spored (Evklidovite teoremi). Zbirot od levata i zbirot od desnata strana e sporedena so slednive dokazi: 1. CC1  AB (crt.10) →visinata na triagolnikot e normalna na hipotenuzata 2. a 2  cp i b 2  cq →katetata e geometriska sredina od hipotenuzata i soodvetnata proekcija.

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ 3. a 2  b 2  cp  cq →svojstno na sobirawe ravenstva 4.

a 2  b 2  c( p  q )

distrubutivnost

mno`ewe

odnos

sobirawe

5. a 2  b 2  cc t.e principot na zamena p  q  c i sleduva ravenstvoto t.e Pitagorovata .

teorema

Od ovaa ravenstvo so primeri }e dokaìme deka tvrdeweto na Pitagora e to~no i deka od Pitagorovata teorema moème da gi izrazime i katetite, ako imame edna od niv i hipotenuzata lesno moème da ja najdeme drugata kateta. Primer 1: So primena na Pitegorova teorema odredi ja hipotenuzata na pravoagolniot triagolnik so kateti

cm i

Re{enie: a 2  b2  c 2

cm . 25 + 144 =

c  169  13

t.e hopotenuzata s=13 cm Primer 2: Odredi ja ednata kateta na pravoagolen triagolnik, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta

cm ; s=25 cm

Re{enie:

=7 t.e drugata kateta e

6.Pitagorovi trojki Interesno e pra{aweto za trojkite prirodni broevi a, b, c {to go zadovoluvaat t.e trojkite prirodni broevi {to se strani na pravoagolen

ravenstvoto

triagolnik. Takvi trojki se: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; i drugi. Ovie se pitagorovi trojki. ]e navedeme nekolku izrazi so koi mo`e da se dobijat pitagorovite trojki: 1. 2n+1, 2

+2n, 2

+2n+1

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Za sekoj priroden broj n }e se dobie po edna pitagorova trojka. Se smeta deka ovie izrazi gi otkril Pitagora(no sepak, toj gi zapi{al so drugi simboli). Za proverka, treba samo da se doka`e ravenstvoto

e identitet . Primer 3: Najdi gi pitagorovite trojki na brojot 7.

2  7  12  2  7 2  2  72  2  7 2  2  7  12 ; 225+12544=12769; 12769=12769 t.e 15, 112, 113 pitagorovi trojki. 2. 2mn,

za sekoj m i n pri {to m > n

3. n,

;

4. n,

-1,

za sekoj neparen broj {to e pogolem od 2. +1 za sekoj broj pogolem od 3. 7. Primena na pitagorova teorema

Pitagirovata teorema nao|a primena kaj site figuri kaj koi mo`e da se formira pravoagolen triagolnik. Takvi kako {to se: pravoagolnik, kvadrat, ramnokrak i ramnostran triagolnik i kaj drugi pravilni i nepravilni mnoguagolnici, isto taka Pitagorovata teorema ja koristime i pri konstrukcija na otse~ki ~ii meren broj na dol`enata e iracionalen broj.

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________

7.1.Primena na Pitagorova teorema kaj pravoagolnik a

Crt.11 Na nacrtaniot pravoagolnik e povle~ena negovata dijagonalata d,(crt.11) kade {to so nejzino povlekuvawe dobivame dva skladni pravoagolni triagolnici â&#x2C6;&#x2020;ABC i â&#x2C6;&#x2020;ACD. Kaj dvata triagolnici diagonalata d prestavuva hipotenuza a stranite

aib

kateti. So primena na Pitagorovata teorema mo`eme da ja najdime dol`inata na dijagonalata ako gi znaeme stranite na pravoagolnikot, t.e ravenstvoto za nao|awe na dijagonalata e;

Isto taka mo`eme da ja najdeme i ednata strana ako ni e ;

poznata dijagonalata i drugata strana t.e ravenstvata:

7.2. Primena na Pitagorova teorema kaj kvadratot a

d a

Crt.12

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Na nacartaniot kvadrat povle~ena e dijaginalata AS (crt.12) na kvadratot kade {to go deli na dva pravoagolni triagolnici ∆ABC i ∆ACD. So primenana teoremata mo`eme da ja izrazime diagonalata t.e ravenstvoto e: =

Isto taka mo`eme da ja izrazime i stranata ravenstvoto za stranata e:

t.e

ako e poznata dijagonalata

t.e

7.3.Primena na Pitagorova teorema kaj ramnokrak i ramnostran triagolnik C

C1 A

a 2

Crt.13

a 2

Crt.14

Na crt.13 e povle~ena visinata od temeto S na ramnokrakiot triagolnik ∆ABC. Taa go deli na dva pravoagolni triagolnici ACC1 i

BCC1 . Otuka mo`eme da ja

zapi{ime Pitagorovata teorema za triagolnikot ABC kade hipotenuzata e krakot

a kateti se visinata i polovina od osnovata t.e ravenstvoto e: b     h 2 . 2 2

Isto taka mo`eme da gi najdime visinata i stranite na ramnokrakiot triagolnik t.e a ravenstvata se: h  b    2 2

, a  2 b2  h2 .

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ [to zna~i ako gi znaeme dvete strani mo`eme da ja najdime visinata na triagolnikot, a ako ja znaeme visinata i krakot na ramnokrakiot triagolnik mo`eme da ja presmetame osnovata. Primer 4: Da se najdi visinata na ramnokrak triagolnik so dadeni negovata osnova i krakot a=18 ; b=41 ; h=? Re{enie: od kade {to =

=40

=1681-81=1600 ;

t.e h=40

Od kade {to h prestavuva hipotenuza na ∆ ABC. Primer 5: Da se presmeta stranata na ramnostraniot triagolnik so plo{tina 43,25 cm2 . Re{enie:

Plo{tinata na ramnostran triagolnik se presmetuva so formulata 2

a a 3a2 a a2    aha a2 3 2 2 . P    2 2 2 4 a

tuka

stranata

4 P 3 4  43,24  1,73   99,76cm . 3 3

7.4.Primena na Pitagorova teorema kaj romb D

d1 2

d2 2 B

Crt.15

presmetuva

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ Na crt.15 e nacrtan e romb i se povle~eni negovite dijagonali. Dijagonalite kaj rombot se zaemno normalni. Tie obrazuvaat ~etiri pravoagolni triagolnici. Na dadeniot crte` pravoagolniot ∆ ABS e so hipotenuza a i kateti

d d1 i 2 . 2 2

Primer 6: Da se presmeta plo{tinata na rombot so strana a=10cm i dijagonala d1 =12cm . Re{enie: Za da ja opredelime plo{tinata potrebno e prethodno da ja opredelime i drugata dijagonala. Od pravoagolniot triagolnik OAV (crt 8) 2

d2 16  12 d   a 2   1   100  36  8cm  d 2  16cm..Spored toa P   96cm 2 2 2 2 Primer 7: Da se najde perimetarot L na rombot ABCD so dijagonali d 1 =70cm ; d 2 =24 cm

d d1 =35 cm i 2 =12 cm 2 2

Re{enie:

Parimetarot na rombot e L=4a, pa treba da ja najdeme stranata a. od ∆ ABC so primena na Pitagirova teorema imame:

d  d  a   1    2   35 2  12 2  1225  144  1369  37.Spored toa L  4  37  148cm 2  2  7.5.Primena na Pitagorova teorema za pretstavuvawe na iracionalen broj na brojna oska Na crt.16 e poka`ana konstrukcijata na nekoi iracionalni broevi na brojna oska. Postapkata za nivno konstruirawe e slednava: Za konstrukcija na

2 se konstruira pravoagolen triagolnik so kateti so

dol`ina edna edinica, pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzata e ednakva na So rotacija na to~kata V vrz pozitivnata nasoka na h-oskata se nao|a oska. A, za konstrukcijata na

2 na brojnata

3 na d hipotenuzata na triagolnikot OAV se konstruira

Pitagorova teorema __________________________________________________________________________________ pravoagolen triagolni so kateti 1 i

2 , pa spored Pitagorovata teorema hipotenuzta

OS na triagolnikot OVS e ednakva na nasoka na h-oskata se nao|a

3 . So rotacija na to~kata S vrz pozitivnata

3 na brojnata oska.

C 1 3

1 A O

-1

Crt.16

Pitagorovata teorema dosta mnogu se koristi i pri re{avawe na prakti~ni problemi vo sekojdnevniot `ivot. Primer 8: Skala so dol`ina 7,4m e nasloneta na yidot taka {to dolniot kraj na skalata e odale~en 2,4m od yidot. Do koja visina dostignala skalata? Re{enie: Baranata visina h e katetata na triagolnikot {to go obrazuva skalata pa

=7 t.e

Baranata visina do koja dostignala skalata obrazuvaj}i pravoagolen triagolnik e 7m.