Ravenka na prava

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

Voved Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekti (to~ka, liniii , ramnina i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algrbrata. Prv i najva`en ~ekor na analiti~kata geometrija e napraven so voveduvawe na koordinatniot sistem i opredeluvaweto na polo`bata na bilo koja to~ka vo ramninata ( i prostorot) so pomo{ na broevinare~eni koordinati na taa to~ka.

Toa otvora mo`nost za izrazuvawe so pomo{ na broevi i brojni soodnosi i na poslo`eni geometriski objekti, kako {to se liniite ( pravi ili krivi ), ramninite, povr{inite i dr. Toa go postignuvame preku metodot na analiti~kata geometrija - nare~en metod na koordinati.

Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i , toa se: 1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite geometriski svojstva, i 2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so svijata ravenka.

Prethodno, pred da iznesam pove}e op{ti zada~i na prava i nivno re{avawe, {to e i celta na ovaa tema , treba da se iznesat nekoi poimi i formuli povrzani so re{avaweto na zada~ite.

1.Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija Definicija 1: Sistemot obrazuvan od dve zaemno normalni brojni oski (Oh, Ou) vo ramninata se vika pravoagolen koordinaten sistem ili Dekartov pravoagolen koordinaten sistem.

Oskata Oh se vika apcisna oska, a oskata Ou se vika ordinatna oska.

Prese~nata to~ka O se vika koordinaten po~etok. Ramninata zadadena so koordinatniot sistem se vika koordinatna ramnina i se ozna~uva hOu. Koordinatnata ramnina so koordinatnite oski e podelena na ~etiri delovi koi se vikaat kvadranti.

Vo ovoj koordinaten sistem e opredelena mestopolo`bata na sekoja to~ka (M-proizvolna to~ka) so podreden par broevi (h,u) t.e M (h,u), koi se vikaat koordinati na to~kata i toa h-apcisa,a u-ordinata.  Vo pravoagolen kordinaten sistem rastojanieto me|u dve to~ki M 1 (h1 ,u1 ) i M2 (h2 ,u2 ) e dadeno so formulata : M1M 2  d(M1,M 2 )  (x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 .  Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite M1 (h1 ,u1 ) i M2 (h2 ,u2 ) po odnos

M1M MM 2

  se izrazeni so formulate:

x 1  x 2 y  y 2 ,y  1 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1 M2 1  1  x  x2 y  y2 ,y 1 nejzinite kordinati se od oblik: x  1 .

2 2 x

 Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se presmetuva so formulata: P

1  x 1 ( y 2  y 3 )  x 2 ( y 3  y1 )  x 3 ( y1  y 2 ) 2

str1

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

2.Vidovi ravenki na prava 1. Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na ordinatnata oska .

2. Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ) : y 2  y1 (x  x1 ) x 2  x1 3. Snop pravi niz to~ka M1 (h1 ,u1 ): y  y1  k(x  x1 ) y  y1 

kade {to k e poznat

koeficient na pravec .

4. Segmenten vid ravenka na prava:

x y   1 , kade {to m i n se otse~kite {to m n

gi otsekuva pravata na koordinatnite oski Oh i Ou soodvetno.

5. Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0 6. Normalen vid ravenka na prava: xcos+ysin-p=0 , kade {to  e agolot {to go zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do pravata.  So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava mo`e da se presmeta rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula d 

Ax1  By 1  C A 2  B2

 Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A1 h+V1 u+S1 =0 i  A1 x  B1 y  C1  0

A2 h+V 2 u+S 2=0 se odreduvaat so re{avawe na sistemot 

 A 2 x  B 2 y  C 2  0 k  k1  Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata tg  2 kade {to k1 i 1  k1k 2

k2 se koeficienti na pravcite na pravite.  Dve pravi se paralelni ako k 1 = k2 , a normalni koga k 2  

1 . k1

 Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid: A1 x  B1 y  C1 

A12



B12

=

A 2 x  B2 y  C2  A 22  B 22

 Ako A1 h+V 1 u+S1 =0 i A2 h+V 2 u+S 2=0 se ravenkite na pravite {to se se~at vo edna to~ka R, toga{ A1 h+V 1 u+S1 + (A2 h+V 2 u+S 2 )=0 se vika snop pravi vo to~kata R.  Trite pravi A1 h+V1 u+S 1 =0 , A2 h+V 2 u+S 2=0 A3 h+V3 u+S 3 =0 minuvaat niz edna to~ka, ako me|u koeficientite na pravata postoi vrskata: A1 (V2 S3 - V3 S 2 ) +V 1 (A2 S3 - A3 S2 )+ S 1 (A2V3 - A3 V 2 )=0

str2

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

3.Op{ti zada~i za prava Zada~a 1: Da se presmeta perimetarot na triagolnikot, ako se poznati koordinatite na negovite temiwa: A(-2;1), V(2;-2) i S(8;6) Re{enie: Perimetarot na triagolnikot e zbir od dol`inite na stranite, pa zatoa }e gi presmetame tie dol`ini: AB  (x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (2  (2)) 2  (2  1) 2  16  9  25  5 ; AC  (x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (8  (2)) 2  (6  1) 2  100  25  1225  5 5 BC  (x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (8  2) 2  (6  (2)) 2  36  64  100  10

LABC =15+5 5 . Zada~a 2: Dadeni se dve sosedni temiwa na kvadratot: A(3;-7) i V(-1;4). Da se presmeta negovata plo{tina.

Re{enie: Neka stranata na kvadratot e a= AB . Dovolno e go presmetame rastojanieto(dol`inta na otse~kata) od A do V, a toa e AB  (x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (3  (1)) 2  (4  (7)) 2  16  121  137 . Spored toa

P= AB 2 =137e2 .  Zada~a 3: Na h-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite A(-1;3), V(2;5) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na h-oskata, toga{ ordinatata u=0, pa spored toa to~kata e M(h;0). Od uslovot na zada~ata sleduva deka So (x  1) 2  (0  3) 2  (x  2) 2  (0  5) 2 / 2 ; (x  1) 2  9  (x  2) 2  25 .

19 re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka x  , {to zna~i baranata to~ka e 6 19 M( ;0).  6 MA = MB

,t.e.

Zada~a 4: Na u-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite A(-3;-5), V(4;-3) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na u-oskata, toga{ apcisata h=0, pa spored toa to~kata eM(0;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka (0  (3)) 2  ( y  (5)) 2  (0  4) 2  ( y  (3)) 2 / 2 ; 9  ( y  5) 2  16  ( y  3) 2 . So 9 re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka y   , {to zna~i baranata to~ka e 4 9 M(0;  ) .  4 MA = MB ,t.e.

Zada~a 5: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba M o(3;8), se premestuva paralelno so u-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide ednakvo oddale~ena od to~kite A(4;-7), V(-3;2).

Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava paralelna so u-oskata, toga{ apcisata sekoga{ e 3, a ordinatata se menuva, pa spored toa to~kata e M(3;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA = MB ,t.e.

(4  3) 2  (7  y) 2  (3  3) 2  (2  y) 2 / 2 ; 1  (7  y) 2  36  (2  y) 2 .

So re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka y  1 , {to zna~i baranata to~ka e M(3;1) .  Zada~a 6: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba M o(2;1), se premestuva paralelno so h-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide na rastojanie 13 edinici od to~kata A(4;6).

Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava paralelna so h-oskata, toga{ ordinatata sekoga{ e 1, a apcista se menuva, pa str3

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava spored toa to~kata e M(h;1). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA =13 ,t.e. (x  4) 2  (1  6) 2  13, (x  4) 2  25  13 / 2 ; x 2  8x  16  25  169; x 2  8x  128  0 .So re{avaweto na kvadratnata ravenka se dobivaat nejzinite re{enija: h 1 =-8 i h2=16. {to zna~i postojat dve to~ki so baraniot uslov, a toa se M1 (-8;1) i M2 (16;1) . baranata to~ka e M(3;1) .  Zada~a 7: Da se opredelat kordinatite na to~kata Y {to otse~kata ja deli vo odnos 1: 3, ako se dadeni kordinatite na to~kite A(-6;-2), V(2;10).

Re{enie: Neka Y(h;u) e to~kata {to ja deli otse~kata vo dadeniot odnos. Toga{ od

x

formulata

x 1  x 2 y  y 2  6  3 2 0  2  3  10 28 x  ,y  1   0, y   7.

1  1  1 3 4 1 3 4

Baranata to~ka e Y(0;7).  Zada~a 8: Da se opredelat koordinatite na te`i{teto na triagolnikot AVS ~ii temiwa se to~kite: A(2;3), V(-10;-4) i S(2;-8) Re{enie: Kordinatite na te`i{teto T(h;u) na triagolnik so poznati kordinati na negovite temiwa A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se presmetuvaat so x1  x 2  x 3 y  y 2  y3 , spored toa ,y  1 3 3 2  (10)  2 3  (4)  (8) x  2 , y   3, T(2;3) . 3 3

formulata x 

Zada~a 9: Temiwata na triagolnikot AVS se to~kite: A(3;6), V(-1;3) i S(2;-1).

Da se presmeta visinata na triagolnikot spu{tena od temeto S. Re{enie: Prvo da ja presmetame plo{tinata na dadeniot triagolnik, a potoa od formulata h c 

2P AB

}e ja najdeme visinata, predhodno opredeluvaj}i ja i

dol`inata na stranata AB .

P

1 1 25 ,  x 1 ( y 2  y 3 )  x 2 ( y 3  y1 )  x 3 ( y1  y 2 )  3  (3  (1))  (1)  (1  6)  2  (6  3)  2 2 2

dol`inata na stranata AB  (x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (3  (1)) 2  (6  3) 2  16  9  5 .

25  2  5 . Kone~no h c  5 AB 2P

2

Zada~a 10: Plo{tinata na triagolnikot AVS zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(3;5), V(2;-6) i S(h;-3) ima plo{tina 18 e2 . Da se opredeli apcisata na to~kata S Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva 18 

1  3  (6  (3))  2  (1  5)  x  (5  (6)) ; 36   9  16  11  x 2

go koristime ravenstvoto x  x 2 , zatoa (11  x  25) 2  36 / 2  121x 2  550x  625  362

So

sreduvawe

na

ravenstvoto

se

dobiva

11x 2  50x  61  0 ~ii re{ernija se h1 =-1 i h1=

za izbor na temeto S i toa S 1 (-1;-3) i S 2 (

slednava

kvadratna

ravenka

61 . Spored toa postojat dva mo`nosti 11

61 ;-3).  11

Zada~a 11: Kakva vrska treba da postoi me|u koordinatite na to~kata N(x,y) ako taa se premestuva taka, {to da bide na postojano na ednakvo rastojanie od to~kite A(7;-3) i V(-2;1).

Re{enie: Neka N(x,y) e proizvolna to~ka koja go ima dadenoto svojstvo, toga{ NA = NB ,t.e.

(x  7) 2  ( y  3) 2  (x  2) 2  ( y  1) 2 / 2 ; (x  7) 2  ( y  3) 2  (x  2) 2  ( y  1) 2 .

str4

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava So sreduvawe na poslednata ravenka se dobiva ravenkata 18h-8u=53 koja e simetrala na otse~kata AB (to~kata treba da le`i na simetralata na AB ). Zada~a 12: Dadeni se dve sprotivni temiwa na eden kvadrat: A(3;0) i S(-4;-1).

Da se opredelat drugite dve temiwa na kvadratot.

Re{enie: Da ja presmetame dol`inata na dijagonalata d. d  (4  3) 2  (1  0) 2  49  1  50 . Neka V(h;u) e teme na kvadratot. Od relacijata

d  AC  AB  2

mo`eme

da

ja

odredime

apcisata

na

V

imame

50  (x  3)  ( y  0) ; 50  (x  3)  y / . So sreduvawe na poslednata ravenka se 2

2

2

2

2

dobiva ravenkata h2 -50h=0 ~ii re{enija se broevite h1 =1 i h2 =0, a po~etnata iracionalna ravenka ja zadovoluva samo h 2=0. Sega od relacijata AB = CB , t.e. (x  3) 2  ( y  0) 2  (x  4) 2  ( y  1) 2 / 2 ; (x  3) 2  y 2  (x  4) 2  ( y  1) 2 . Po sreduvawe na

ovaa ravenka se dobiva ravenkata u=7h+4. Ako zamenime h=0 vo u=7h+4 , sleduva u=4. Spored toa temeto Vima koordinati h=0 i u=4, t.e. V(0;4). Sega da ja odredime to~kata Y koja e sredina na dijagonalata. Taa ima koordinati x

34 1 1 0 1 1 1  ,y   , t.e.Y(- ; ) . Temeto D e simetri~na to~ka na V vo odnos na 2 2 2 2 2 2

srednata to~ka Y, pa zatoa negovite koordinati se 4y 1 0x 1    x  1;   y  3; t.e. D(-1;3) . 2 2 2 2

Zada~a 13: Za triagolnikot so temiwa vo to~kite A(5;3), V(2;-1) i S(1;4) da se presmetaat dol`inite na srednite linii(te`i{ni linii) i da se opredelat koordinatite na nivnata prese~na to~ka.

Re{enie: Neka A1 , V 1 i S 1 sredinite na stranite VS, SA i AV soodvetno na triagolnikot. Prvo da se odredat nivnite koordinati.

2 1 3 1 4 3 3 3  ;y  ; t.e. A1 ( ; ).

2 2 2 2 2 2 5 1 3 4 7 7 Za V 1 : x   3; y   ; t.e. V1 (3; ).

2 2 2 2 52 7 3 1 7 Za S 1 : x   ;y  1; t.e.S 1 ( ;1). Presekot na srednite linii e 2 2 2 2 3  (1)  4 5  2 1 8 8 te`i{teto T , a negovite koordinati se: x   ,y   2, T( ;2) .

3 3 3 3

Za A1 : x 

Sega da gi presmetame dol`inite na srednite linii: 2

2

58 7 3 AA1  ( x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2        2 2 2 2

85 9 BB1  ( x 2  x 1 )  ( y 2  y1 )  1     2 2 2

2

2

34 5 . CC 1  ( x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2     3 2  2 2  

Zada~a 14: Povr{inata na eden triagolnik e 3e 2 . Dve negovi temiwa se to~kite A(3;1) i V(1;-3). Te`i{teto na to~kite se nao|a na h-oskata. Da se opredelat koordinatite na temeto S. Re{enie: Neka T(h;u) e te`i{te na triagolnikot. Od toa {to toa le`i na hoskata sleduva deka u=0. Sega da ja odredime ordinatata u na temeto S: 0

1 3  y  y  2. Spored toa S(h,2). Apcisata h na S }e ja odredime od formulata 3

za plo{tina na triagolnik, t.e.

str5

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava 1  3  ( 6 )  1  1 )  x  4 ; 6  4  x  14 go koristime ravenstvoto x  x 2 , zatoa (4  x  14 ) 2  6 / 2 2 So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka x 2  7x  16  0

3

~ii re{ernija se h1 =2 i h1=5. Spored toa postojat dva mo`nosti za izbor na temeto S i toa S 1 (2;2) i S2 (5;2).  Zada~a 15: Da se doka`e deka vo sekoj pravoagolen triagolnik dol`inata na otse~kata {to go soedinuva temeto pri praviot agol so sredinata na hipotenuzata e ednakva na polovina od dol`inata na hipotenuzata.

Re{enie: Neka A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se temiwa na pravoagolniot triagolnik, vo koj praviot agol e vo temeto S a S 1 e sredina na hipotenuzata i nejzinite koordinati se x 

x1  x 2 y  y2 ;y 1 .

2 2

2

2

2

2

x  x2  y  y2     x  x2   y  y2  AC1   x 1  1    y1  1    1   1   2  2  2      2  ( x 1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 AC ( x 1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2   4 2 2

{to trba{e da se doka`e.  1 2

Zada~a 16: Vo triagolnikot opredelen so pravata y   x  3 i koordinatnite oski e vpi{an kvadrat taka {to, dve negovi strani se sovpa|aat so koordinatnite oski. Da se opredelat koordinatite na negovite temiwa.

Re{enie: Neka temiwata na kvadratot se O, A, V i S. Temeto V le`i na dadenata prava , pa zatoa h=u , t.e. V(h;h). Ako gi zamenime negovite temiwa vo ravenkata na dadenata prava se dobiva deka h=2. Spored toa, temiwata na kvadratot se: O(0;0); A(2;0), S(2;2) i S(0;2) .  Zada~a 17: Da se opredelat agolot me|u pravata i pozitivnata nasoka na hoskata, kako i otse~kite {to pravata gi otsekuva na u-oskata: 2 5

a) y  x 

8 5

b) u=-3h+2

v) u=-7

g) h=3

Re{enie: Od kanoni~niot vid ravenka na prava y=kx+n sleduva deka : a) k=tg =

2 2 8 =arctg 21o48’, a b= b) k=tg = -3=arctg(-3)108o26’, a b= 2; 5 5 5

v) a) k=tg = 0=arctg0=0, a b= -7 g) pravata e normalna na u-oskata, zatoa =90 , i ne otsekuva otse~ka na u-oskata.  Zada~a 18: Kako glasat ravenkite na stranite na kvadratot, ako negovite dijagonali se zemeni za koordinatni oski? Dol`inata na stranata e a.

Re{enie: Ako dijagonalite se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na kvadratot le`at na koordinatnite oski i }e bidat: o

A(

a 2 a 2 a 2 a 2 ;0), B(0 ; ), C(;0), D(0 ;). Toga{ ravenkite na stranite }e 2 2 2 2

bidat: AV:

x a 2 2 x



y

 1  y  x 

a 2 ; VS: 2

x



y

1 y  x 

a 2 ; 2

a 2 a 2 a 2  2 2 2 y y a 2 x a 2   1  y  x   1 y  x  CD: ; DA: . 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2    2 2 2 2

Zada~a 19: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz to~kata A(3;1), a na ordinatnata oska otsekuva otse~ka n=5. str6

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Re{enie: Neka baranata prava e y=kx+n . Bidej}i taa otesekuva ote~ka n=5 na uoskata i treba da minuva niz dadenata to~ka sleduva deka nejzinite koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na pravata i t.e. daenata prava glasi y= 

1=3k+5 od kade k= 

4 . Ravenkata na 3

4 x+5 t.e. 4x+3y-15=0.  3

Zada~a 20: Da se opredeli ravenka na prava {to minuva niz to~kite A(-1;2) i V(2;1) y 2  y1 ( x  x 1 ) (ravenka na prava niz dve to~ki ) x 2  x1 1 2 1 sleduva deka baranata prava e : y  2  (x  (  1))   (x  1) t.e.x  3y  5  0 . 2  (  1) 3

Re{enie: Od formulata y  y1 

Zada~a 21: Otse~kata AV ~ii krajni to~ki se A(2;-1) i V(7;9) e podelena so pravata {to minuva niz to~kata S(1;-2) vo odnos 2:3. Da se opredeli ravenkata na pravata.

Re{enie: Prvo da gi najdeme kordinatite na to~kata Y {to ja deli 2 2 7 1  9 3  4; y  3  3. Sega da ja napi{eme otse~katavo dadeniot odnos. x  2 2 1 1 3 3 2

ravenkata na pravata ni to~kata S i Y(4;3): y3

23 5 (x  4)  (x  4) t.e.5x  3y  11  0 . 1 4 3

Zada~a 22: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A, a so pozitivnata nasoka na h-oskata formira agol : a) A(2;5) , =45o b) A(-1;3) , =150o Re{enie: Od ravenka na prava u-u1 =k(h-h1 ) sleduva: a) Baranata ravenka na pravata e : u-5=tg45o (h-2)=x-2 t.e. x-y+3=0 b) Baranata ravenka na pravata e : u-3=tg150o(h-2)=

3 (x-2 )t.e.

3

3 x-y-2 3 +9=0 . 

Zada~a 23: Da se opredeli ravenka na pravata koja na kordinatnite oski otsekuva otse~ki so dol`ina: a) m=3, n= -2 b) m= -1, n= -3 Re{enie: a) Od b)

y x y x   1 sleduva   1  2x  3y  6  0 m n 3 2

y x   1  3x  y  3  0 . 1  3

Zada~a 24: Dijagonalite na rombot koi se ednakvi na 10 i 4 edinici, se zemeni za koordinatni oski. Da se opredelat ravenkite na stranite na rombot.

Re{enie: Ako dijagonalite na rombot se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na rombot le`at na koordinatnite oski i }e bidat: A(2;0), B(0 ;5), C(-2;0), D(0 ;-5). Toga{ ravenkite na stranite }e bidat: AV:

y y y x y x x x   1 ; VS:   1 ;CD:   1 ; DA:   1 . 2 5 2 5 2 5 2 5

Zada~a 25: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz to~kata A(3;-7), a otsekuva na koordinatnite oski ednakvi otse~i.

Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m=n, zatoa baranata prava e x y   1 t.e. x  y  m . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ m m

ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 3-7=m t.e. m=4.

Spored toa, baranata ravenka na pravata e h+u+4=0 .  str7

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Zada~a 26: Niz to~katas T(3;5) da se povle~e prava taka {to, otse~kite {to gi otsekuva na kordinatnite oski se odnesuvaat kako 3:4.

Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m:n=3:4 t.e m=3k i n=4k kade {to k e nekoj proizvolen broj , zatoa baranata prava e

y x   1 t.e. 4 x  3y  12k . Bidej}i 3k 4k

pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite 9 4

koordinati vo ravenkata dobivame 4  3  3  5  12k  k  . Spored toa, baranata ravenka na pravata e 4 x  3y  12 

9 t.e.4x  3y  27  0 . 4

Zada~a 27: Edna prava minuva niz to~kata N(4;1), a na kordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ii {to zbir e ednakov na 10 edinici. Da se opredeli nejzinata ravenka.

Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m+n=10 t.e n=10- m, zatoa baranata prava e

y x   1 . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata m 10  m

to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 4 1   1 , po sreduvawena ravenkatase dobiva slednava kvadratna ravenka po m : m 10  m

m2 -13m+40=0 ~ii re{enija se m1 =5 i m2 =8 . So zamena vo n=10-m dobivame n1 =2 i m2 =5 Spored toa, postojat dve pravi {to gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata, a toa se:

x y x y   1 t.e.x  y-5  0 i   1 t.e.x  4 y-8  0 . 5 5 8 2

Zada~a 28: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata B(5;-5), a otsekuva na kordinatnite oski triagolnik so plo{tina ednakva na 50 e 2 .

Re{enie: Neka baranata prava e

x y   1 . Plo{tinata na triagolnikot e m n

mn 100 . Ako n go zamenime vo ravenkata na pravata  50 t.e. m  n  100, a od tuka n  2 m x y x my   1 dobivame   1 t.e.100x  m 2 y  100m  0 Bidej}i pravata treba da m n m 100

minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame kvadratna ravenka po m : m2 +20m-100=0 ~ii re{enija se m1 =  10  10 2 i m2 =  10  10 2 . So zamena vo n 

100 i so racionalizirawe na m

imenitelot dobivame n1 =- 10( 2  1) i n2 = 10(1  2) . Pravata koja minuva niz dadenata to~ka mo`e da ima tri polo`bi i zatoa formira so koordinatnite oski tri triagolnici. Baranite dve pravi koi se dobivaat od prethodnoto razgleduvawe se: (1  2) x+ ( 2  1) y-10=0 i ( 2  1) x+ (1  2) y+10=0.

Tretata prava {to minuva niz dadenata to~ka e

x y   1 od kade {to so zamena m n

na koordinatite na dadenata to~ka se dobiva ravenkata 5m+5n=mn=100 t.e. m+n=20 . m  n  20 m  n  10

Sega re{avaj}i go sistemot ravenki 

dobivame n=-10 i m=10. spored toa

tretata prava e x-y-10=0 .  Zada~a 29: Da se presmeta plo{tinata na triagolnikot {to go obarzuva 3h-4u -12=0 pravata so koordinatnite oski.

Re{enie: Neka dadenata prava 3h-4u -12=0 ja dovedeme vo segmenten vid t.e. x y  1 .

4 3

Spored toa dol`inite otse~kite {to gi otsekuva pravata na

str8

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava koordinatnite

oski se

katetite na

pravoagolniot

triagolnik,

pa zatoa

mn 43 P   6 e 2 . 2 2

Zada~a 30: Kakva polo`ba ima vo koordinatniot sistem pravata Ah+Vu+S=0 koga e : a) A=0, b) V=0, v) S=0 Re{enie: a) Ako A=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot y  

C , pa zatoa B

pravata e paralelna so h-oskata. b) Ako V=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot x  

C , pa zatoa pravata e A

paralelna so u-oskata. v) Ako S=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot y  

A x , od kade se gleda deka B

pravata ne otsekuva segment na koordinatnite oski, zatoa pravata minuva niz koordinatniot po~etok.  Zada~a 31: Kakvi treba da bidat koeficientite A i V vo ravenkata na pravata Ah+Vu+S=0 za da formira so pozitivnata nasoka na h-oskata: a) ostar agol b) tap agol.

Re{enie: a) Neka ravenkata na pravata ja dovedime vo kanoni~en(ekspliciten) vid : y  

A C x  . Od toj vid se ot~ituva koeficientot na pravecot na pravata i toj B B

A . Imaj}i vo predvid deka k= tg i agolot  da bide ostar , sleduva deka B A A tg>0 t.e k   >0. Od tuka  0 povlekuva deka A i V treba da imaat razli~ni B B

e k

znaci. b) Od prethodno ka`anoto, sleduva deka ako agolot  e tap , toga{ tg<0 t.e k

A A <0. Od tuka  0 povlekuva deka A i V treba da imaat isti znaci.  B B

Zada~a 32: Kakva vrska treba da postoi me|u koeficientite A, V, A1 , V 1 vo ravenkite na pravite Ah+Vu+S=0 , A1 h+V 1 u+S 1 =0 za da obarzuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata Re{enie: Za da dadenite pravi obrazuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata treba da imaat ednakvi koeficienti na pravci t.e. k=k 1 od kade sleduva 

A A A A i k 1   1 se koeficienti na   1  AB1  BA 1  0 kade {to k   B B1 B1 B

pravcite na dadenite pravi, soodvetno.  Zada~a 33: Vo ravenkata na pravata 2h-(5m-2)u -3 da se opredeli m taka {to, pravata da zafa}a so h-oskata agol od 45o.

Re{enie: Koeficientot napravecot na pravata e k   Za da bide ispolnet uslovot na zada~ata trba

A 2 2   .

B  (5m  2) 5m  2

2  tg45o  1 od kade {to sleduva 5m  2

4 5

deka m  . Zada~a 34: Da se dovedat vo normalen vid ravenkite na pravite: a) 5h+3u+11=0, b) 3h-7=0 , v) 2u+3=0 , g) -3h+4u+10=0 Re{enie: Dadena prava Ah+Vu+S=0 za da se dovede vo normalen vid trebada se pomno`i so brojot  

1  A 2  B2

vo koja se zema sprotivniot znak na S.

str9

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava 1

a) Spored gore ka`anoto sleduva  

 5 3 5x  3y  11

5h+3u+11=0 ja pomno`ime so  se dobiva b) Za  dobivame λ  pomno`ime so  se dobiva

1  (  3) 2  4 2

2

 34 

2



1 34

i ako dadenata ravenka

0

1 i ako dadenata ravenka -3h+4u+10=0 ja 5

 3x  4 y  10  0 . 5

Zada~a 35: Da se presmeta rastojanieto od dadenata to~ka do dadenata prava: a) M(4;-2), 8h-15u-11=0 , b) M(2;7), 12h+5u-7=0 Re{enie: a) Ako ja iskoristime formulata za rastojanie od to~ka do prava d

Ax1  By 1  C A 2  B2

dobivame d 

8  4  (  15)  (  2)  (  11) 8 2  (  15) 2

b) Analogno kako pod a) sleduva deka d 

3

12  2  7  5  (  7) 122  5 2

 4 .

Zada~a 36: Da se presmetaat visinita na triagolnikot ako se znaat kordinatite na negovite temiwa A(-2;5), V(6;-3) i S(1;9) Re{enie: Prvo da gi opredelime ravenkite na stranite na triagolnikot, a potoa }e gi presmetame visinite na triagolnikot.  3  (  5) (x  6) ; y  3  (x  6)  x  y  3  0 6  (  2) 4 95 AS: y  3  (x  1) ; y  9  (x  1)  4x  3y  23  0 1  (  2) 3 12 39 VS: y  9  (x  1) y  9   (x  1)  12x  5y  57  0 .

5 6 1

AV: y  (  3) 

Visinata ha pretstavuva rastojanie od temeto A do pravata BC i nejzinata dol`ina e h a 

12  ( 2 )  5  5  (  57) 12  5 2

2



56 .

13

Visinata hb pretstavuva rastojanie od temeto V do pravata AC i nejzinata dol`ina e h b 

12  6  (  3)  (  3)  23 4 2  (  3) 2

5.

Visinata hc pretstavuva rastojanie od temeto S do pravata AB i nejzinata dol`ina e h c 

1  1  1  9  (  3) 12  12



7 2 . 2

Zada~a 37: To~kata A(2;-5) e teme na eden kvadrat; ednata negova strana se nao|a na pravata h-2u-7=0. Da se presmeta negovata plo{tina.

Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata treba da ja najdeme dol`inata na stranata na kvadratot, a taa mo`e da se presmeta kako rastojanie od dadenata to~ka do dadenata prava, t.e. a 

2  1  (  5)  (  2)  (  7) 1  (  2) 2

2

 

 5 . Spred toa, R=a2 = 5

2

 5 e 2 .

Zada~a 38: Da se presmeta rastojanieto me|u dvete paralelni pravi 3h-4u-10=0, 6h-8u+5=0 Re{enie: Za da se presmeta rastojanieto me|u dve paralelni pravi prvo treba da se zema edna proizvolna to~ka od ednata prava, a potoa da se presmeta rastojanie od to~ka do prava. Da ja zemame pravata 3h-4u-10=0. Neka h=0, toga{ u= 

5 . Sega da 2

str10

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava go

presmetame 6  0  (  8)  ( 

d

5 )5 2

6  (  8) 2

rastojanieto

2



od

M(0;



5 ) 2

do

pravata

6h-8u+5=0.

5 . 2

Zada~a 39: Rastojanijata na to~kata M od pravite 5h-12u-13=0 i 3h-4u-19=0 se soodvetno ednakvi na -3 i -5. Da se opredelata koordinatite na to~kata M. Re{enie: Ako iskoristeme rastojanie od to~kata M do dadenite pravi }e dobieme: 3

5x  (  12)  y  (  13) 5 2  (  12) 2 5

od kade {to se nao|a slednava ravenka 5x  12y  26

3x  (  4)  y  (  19) 3 2  (  4) 2

. od kade {to se nao|a slednava ravenka 3x  4y  6

Kordinatite na to~kata M se nao|aat so re{avawe na sistemot ravenki: 5x  12y  26 ~ie re{enie e h=2 i u=3, t.e. baranata to~ka e M(2;3).   3x  4 y  6

Zada~a 40: Da se prersmetaat koordinatite na prese~nata to~ka na pravata 2h5u+3=0 so pravata paralelna so h-oskata i e oddale~ena od istata za 3 edinici.

Re{enie: Pravata koja e oddale~ena od h-oskata 3 edinici i e paralelna so nea ima ravenka u=3. Spored toa to~kata M ima koordinati M(h;3). So zamena na u=3 vo ravenkata 2h-5u+3=0 se dobiva h=6.  Zada~a 41: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A(-3;1) i niz prese~nata to~ka na pravite 5h+7u-1=0 i 3h-2u-13=0.

Re{enie: Prvo da se odredi prese~nata to~ka M na pravite. Nejzinite 5x  7 y  1  0 ~ie 3x  2 y  13  0

koordinati se nao|aat so re{avawe na sitemot ravenki: 

re{enie e h=3 i u=-2, t.e. baranata to~ka e M(3;-2). Sega da ja odredime ravenkata na baranata prava koja minuva niz A(-3;1) i M(3;-2): y 1

1  2 1 (x  (  3)) ; y  1   (x  3)  x  2y  1  0 . 3  (  3) 2

Zada~a 42: Da se presmeta agolot me|u dvete pravi dadenis so ravenkite: a) u=h i u=3h+5 , b) 3h-5u+2=0 i h+4u+3=0 Re{enie: Agolot me|u dve pravi se presmetuva spored slednava formula tg 

k 2  k1 , {to zna~i da go presmetame agolot treba da gi znaeme 1  k1k 2

koeficientite na pravite. a) k1 =1 i k2=3 sleduva tg 

3 1  0,5    arctg0,5  26o 33' 1  3 1

3 1 i k2 =  se soodvetno koeficienti na pravec na dadenite pravi, toga{ 5 4 1 3   4 5  1    arctg(  1)  45o , t.e. agolot me|u pravite e 45o.  tg  1 3 1 (  )  4 5

b) k1 =

Zada~a 43: Niz to~kata M(3;5) da se povle~e prava pod agol 45 o kon pravata 3h-2u+7=0.

Re{enie: Neka baranata prava e y-y1 =k1 (x- x1 ).

str11

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

Od

3  k1 k 2  k1 1 1 2 tg45  1  k 1  . Baranata prava e y-5= (x-3) t.e. x3 5 1  k 2  k1 5 1  k1  2 o

5y+22=0. No, niz istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava x-5y+22=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k= 

1 1    5 ,i nejzinata ravenka 1 k1 5

e y-5=-5 (x-3) t.e. 5x+y+20=0.  Zada~a 44: Za koj agol treba da se zavrti pravata 3h+u-6=0 okolu svojata prese~na to~ka so u-oskata za da ja se~e pravata 2h-3u+5=0 pod agol od 45o ?

Re{enie: Prese~nata to~ka na pravata 3h+u-6=0 so u-oskata e A(0;6). Pravata 3h+u-6=0 mo`e da rotira okolu prerse~nata oska vo dvete nasoki i neka nejzinata ravenka e y-6=kx . Koeficientot na pravecot na pravata }e go opredelime od uslovot , deka taa treba da zafa}a agol od 45 o so pravata 2h-3u+5=0 t.e. od k  k1 tg45  2 1 1  k 2  k1 o

3 2  k  5. Baranata prava e y-6=5x t.e. 5x-y+6=0. No, niz 3 1 k  2 k

istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava 5x-y+6=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k1 = 

1 1 1 1     , i nejzinata ravenka e y-5=- x t.e.

5 k 5 5

x+5-30. Sega k  k1 tg  2  1  k 2  k1

1 3 3  k  k 2  tg  1 t.e.  45o . tg  2 1   5 2  tg  1 t.e.  135o .  3 1 3 1  k 2  k1 1 5 1  2 5 2 5

Zada~a 45: Edna prava na koordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ij {to proizvod e 12, a paralelna e so pravata h+3u-16=0. Da se opredeli nejzinata ravenka Re{enie: Neka pravata gi se~i koordinatnite oski vo to~kite A(m;0) i B(0;n), toga{ mn=12. Koeficientot na pravata {to minuva niz to~kite A i V e ednakov na n i toj treba da bide ednakov na koeficientot na pravata h+3u-16=0(zatoa {to m n  3m n 1 treba da se paralelni) t.e.     n  3m . Sega ako se re{i sistemot  gi m 3 mn  12 dobivame vrednostite za m i n t.e. n  2 i m  6 . Spored toa, baranite pravi se : y x y x   1 t.e. x  3y  6  0 i   1 t.e. x  3y  6  0 .  6 2 6 2 

Zada~a 46: Niz to~kata A(2;-3) da se povle~e prava normalna na pravata u=2h+1.

Re{enie: Neka baranata prava e u-(-3)=k(h-2), a koeficientot na pravata 1 2

1 2

u=2h+1. e 2 a na baranata prava k=- . Ravenkata na pravata e u+3=- (h-2) t.e. h+2u+4=0.  Zada~a 47: Da se opredeli podno`jeto na normalata spu{tena od to~kata A(-1;7) kon pravata 3h-5u+4=0 .

Re{enie: Baranata normala e dadena so ravenkata u-7=k(h-(-1)). Sega k se opredeluva od k=-

3 5 1 kade {to k1 = e koeficient na pravata 3h-5u+4=0, t.e. k=  .

5 3 k1

str12

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Ravenkata na normalata e u-7= 

5 (h+1), t.e 5h+3u-16=0. Podno`jeto na normalata e 3

presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot 5x  3y  16  0 ~ie re{enie e h=2 i u=2, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M(2;2).   3x  5y  4  0

Zada~a 48: Da se opredeli to~kata simetri~na so to~kata M(-2;-9) vo odnos na pravata 2h+5u-38=0 .

Re{enie: Prvo da ja najdeme ravenkata na normalata na dadenata prava {to minuva niz to~kata M(-2;-9). Neka nejzinata ravenka e u-(-9)=k(h-(-2)). Sega k se 5 2 1 kade {to k1 =  e koeficient na pravata 2h+5u-38=0, t.e. k= 2 k1 5 5 . Ravenkata na normalata e u+9= (h+2), t.e 5h-3u-8=0. Podno`jeto na normalata e 2

opredeluva od k=-

presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot 5x  2 y  8  0 ~ie re{enie e h=4 i u=6, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M’ (4;6).  2x  5y  38  0

Sega mo`e da se odredi simetri~nata to~ka Y(h2 ;u2 ) na M(-2;-9) vo odnos na poidno`nata 4

M’

to~ka

(4;6).

Od

x

x1  x 2 y  y2 , ,y  1 2 2

sleduva

 2  x2  9  y2 t.e. h2 =10 i u2=21. Simetri~na to~ka e Y(10;21).  ,6  2 2

Zada~a 49: Da se opredelat ravenkite na simetralite na aglite {to gi formiraat pravite h-3u+5=0 i 3h-u-2=0 .

Re{enie: Simetralite na aglite me|u dve pravi se opredeluvaat so formulata A1 x  B1 y  C1 

A12



x  3y  5  10

B12

=

=

A 2 x  B2 y  C2 

A 22

3x  y  2 10



B 22

.

x  3y  5

Zatoa

 1  (  3) 2

2

3x  y  2

=

3 2  (  1) 2

;

;  (x  3y  5) =  (3x  y  2) . Baranite simetrali na aglite me|u

dadenite pravi se 4h-4u+3=0 i 2h+2u-7=0.  Zada~a 50: Ravenkite na stranite na triagolnikot se: h+u-15=0, h+7u-67=0 i 7h+u+29=0. Da se opredelat koordinatite na centarot i radiusot na vpi{anata kru`nica.

Re{enie: Centarot na vpi{ana kru`nica vo triagolnik e presekot na simetralite na vnatre{nite agli. Zatoa dovolno e da gi odredime simetralite na dva agli vo triagolnikot, a potoa da go odredime nivniot presek. Simetralata na agolot x  y  15 2

me|u x  y  15 2

me|u =

pravite

x  y  67 50

7 x  y  29 50

i

; 5(x  y  15) = x  y  67

pravite =

h+u-15=0

h+u-15=0

i

h+7u-67=0

:

x  y  15 12  12

=

x  7 y  67 12  7 2

;

 2x  y  4  0 . Simetralata na agolot

7h+u+29=0

; 5(x  y  15) = 7x  y  29

e

e

x  y  15

:

1 1 2

 x  2y  52  0 .

2

=

7 x  y  29 7 2  12

Koordinatite

;

na

2x  y  4  0 ,t.e. h=20 i x  2 y  52  0

prese~nata to~ka(centarot) se re{enijata na sistemot 

u=36, t.e. S (20;36). Radiusot na vi{anata kru`nica e rasojanieto od centarot do

str13

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava starnite na triagolnikot (za da go

presmetame r dovolno e da presmetame

rastojanie do edna strana (do h+u-15=0)) ,t .e. r 

1  20  1  36  15 1 1 2

2



41 2

.

Zada~a 51: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 i ja prepolovuva otse~kata ograni~ena so to~kite A(5;-6) i B(-1;-4) .

Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 2x  y  2  0 ,t.e. h=3 i u=-4, t.e. Y (3;-4). Sredinata na x  5y  23  0

se re{enijata na sistemot 

otse~kata AV ima koordinati x 

5  (  1)  4  (  6)  2,y   5 t.e. h =2 i u=-5;M(2;-5).

2 2

Ravenkata na dadenata prava e pravata {to minuva niz to~kite Y i M: y  (  5) 

 4  (  5) (x  2) , t.e. h-u-7=0.  32

Zada~a 52: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 4h+3u+17=0 i e paralelna so pravata 2h+7u-4=0 .

Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 3x  5y  21  0 ,t.e. h=-2 i u=-3, t.e. Y (-2;-3). 4x  3y  17  0

4h+3u+17=0 se re{enijata na sistemot 

Koeficientot na pravata 2h+7u-4=0 e k  

2 7

od kade {to sleduva deka i 2 7

koeficientot na baranata prava mora da bide k   (bidej}i pralelni). Zatoa

tie treba da se

ravenkata na baranata prava so dadenite

uslovi e :

2 y  (  3)   (x  (  4)) , t.e. 2h+7u+25=0.  7

Zada~a 53: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-2u+10=0, a e na rastojanie d=5 edinici od to~kata M(-1;-2) Re{enie: Neka baranata prava {to treba da minuva niz prese~nata to~ka na pravite e u=kh+n. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i hu+10=0

se re{enijata na

3x  y  5  0 ,t.e. h=0 i u=5, t.e. Y (0;5). x  y  10  0

sistemot 

Kordinatite na Y gi zmenime vo ravenkata u=kh+n se dobiva deka n=5. Baranata prava go dobiva kh-u+5=0. Od uslovot , deka baranata prava treba da bide na rastojanie ednakvo na 5 do to~kata M(-1;-2), se odreduva k, t.e.

5

k  (  1)  1  (  2)  5 k  (  1) 2

2

;5 k 2  1  2  k  5 . Od

x  x 2 sleduva

ravenstvoto

5 k 2  1  ( 2  k  5 ) 2 / 2 , a od tuka se dobiva slednava kvadratna ravenka po k , ~ii

4 3

3 4

re{enija se k 1   i k 2  . Spored toa baranite ravenki na pravi se dobivaat so zamena na k1 i k2 vo kh-u+5=0 , a tie se 4h+3u-15=0 i 3h-4u+20=0.  Zada~a 54: Da se doka`e deka ~etirite to~ki A(-2;-2), V(-3;1), S7;7) i D(3;1) se temiwa na trapez, i potoa da se sostavi ravenkata na srednata linija .

Re{enie: Za da se doka`e deka dadenite to~ki se temiwa na trapez, dovolno e da proverime dali dve ravenki na pravite {to minuvaat niz to~kite A i V, V i S, S i D; i D i A imaat ednakvi koeficienti na pravci (toa zna~i deka tie pravi se pralelni).

k AB 

1 2  3 ; 3 2

k BC 

7 1 3  ; 73 5

k CD 

1 7 3  ; 37 2

k DA 

 2 1 3  . 23 5

Od

str14

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava poslednoto se zaklu~uva deka pravite VS i DA se paralelni, {to zna~i ~etiriagolnokot ABCD e trapez. Sredinata na stranata AV, M ima koordinati 5 1 i u=  , a sredinata na stranata DS, N ima koordinati h=5 i u=4. Ravenkata 2 2 1 4 2 (x  4) , t.e. 3h+5u-5=0.  na srednata linija na trapezot MN e : y  4  5 5 2

h= 

Zada~a 55: Dve strani na eden parallelogram se dadeni so ravenkite h+u-1=0 i 3h-u+4=0. Prese~nata to~ka na dijagonalite e Y(3;3). Da se opredelata ravenkite na drugite strani.

Re{enie: Dadenite pravi ne se paralelni strani, zatoa {to nemaat ednakvi koeficienti na pravci i tie mora da se se~at. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravaite AV: h+u-1=0 i AD: 3h-u+4=0 se re{enijata na sistemot x  y  1  0 7 3 3 7 ,t.e. h=  i u= , t.e. A (  ; ). Simetri~nata to~ka(teme) na A vo  4 4 4 4 3x  y  4  0 3 7 x y 27 4 x 4  y  17 . Da ja napi{ime odnos na Y e S so kordinati  i3 2 4 2 4

ravenkita na pravite VS koja minuva niz S i ma ednakov pravesc so pravata AD: 17 27  3(x  ) , t.e. 3h-u-16=0, i ravenkita na pravite DC koja minuva niz S i ma 4 4 17 27 ednakov pravesc so pravata AB: y   (x  ) , t.e. h+u-11=0.  4 4 y

str15

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

LITERATURA

1. Matematika za III godina- (tehni~ki struki)â&#x20AC;&#x201C;Gligor Tren~evski "Prosvetno delo"-Skopje,1991 godina.

2. Zbirka zada~i od Analiti~ka geometrijaâ&#x20AC;&#x201C;Dimitar Bitrakov "Prosvetno delo"-Skopje,1987 godina. .

str16

Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava

S O D R @ I N A

Voved.................................................................................................................................str. 1 1. Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija ....................................str. 1 2. Vidovi ravenki na prava ........................................................................................ str. 2 3. Op{ti zada~i za prava .............................................................................................str. 3 Literatura .....................................................................................................................str.16

str17