Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
Voved Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekti (to~ka, liniii , ramnina i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algrbrata. Prv i najva`en ~ekor na analiti~kata geometrija e napraven so voveduvawe na koordinatniot sistem i opredeluvaweto na polo`bata na bilo koja to~ka vo ramninata ( i prostorot) so pomo{ na broevinare~eni koordinati na taa to~ka. Toa otvora mo`nost za izrazuvawe so pomo{ na broevi i brojni soodnosi i na poslo`eni geometriski objekti, kako {to se liniite ( pravi ili krivi ), ramninite, povr{inite i dr. Toa go postignuvame preku metodot na analiti~kata geometrija - nare~en metod na koordinati. Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i , toa se: 1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili prostorot, {to e opredelena so svoite geometriski svojstva, i 2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena so svijata ravenka. Prethodno, pred da iznesam pove}e op{ti zada~i na prava i nivno re{avawe, {to e i celta na ovaa tema , treba da se iznesat nekoi poimi i formuli povrzani so re{avaweto na zada~ite.
1.Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija Definicija 1: Sistemot obrazuvan od dve zaemno normalni brojni oski (Oh, Ou) vo ramninata se vika pravoagolen koordinaten sistem ili Dekartov pravoagolen koordinaten sistem. Oskata Oh se vika apcisna oska, a oskata Ou se vika ordinatna oska. Prese~nata to~ka O se vika koordinaten po~etok. Ramninata zadadena so koordinatniot sistem se vika koordinatna ramnina i se ozna~uva hOu. Koordinatnata ramnina so koordinatnite oski e podelena na ~etiri delovi koi se vikaat kvadranti. Vo ovoj koordinaten sistem e opredelena mestopolo`bata na sekoja to~ka (M-proizvolna to~ka) so podreden par broevi (h,u) t.e M (h,u), koi se vikaat koordinati na to~kata i toa h-apcisa,a u-ordinata. Vo pravoagolen kordinaten sistem rastojanieto me|u dve to~ki M 1 (h1 ,u1 ) i M2 (h2 ,u2 ) e dadeno so formulata : M1M 2 d(M1,M 2 ) (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 . Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite M1 (h1 ,u1 ) i M2 (h2 ,u2 ) po odnos
M1M MM 2
se izrazeni so formulate:
x 1 x 2 y y 2 ,y 1 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1 M2 1 1 x x2 y y2 ,y 1 nejzinite kordinati se od oblik: x 1 . 2 2 x
Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se presmetuva so formulata: P
1 x 1 ( y 2 y 3 ) x 2 ( y 3 y1 ) x 3 ( y1 y 2 ) 2
str1
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
2.Vidovi ravenki na prava 1. Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na ordinatnata oska . 2. Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ) : y 2 y1 (x x1 ) x 2 x1 3. Snop pravi niz to~ka M1 (h1 ,u1 ): y y1 k(x x1 ) y y1
kade {to k e poznat
koeficient na pravec . 4. Segmenten vid ravenka na prava:
x y 1 , kade {to m i n se otse~kite {to m n
gi otsekuva pravata na koordinatnite oski Oh i Ou soodvetno. 5. Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0 6. Normalen vid ravenka na prava: xcos+ysin-p=0 , kade {to e agolot {to go zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do pravata. So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava mo`e da se presmeta rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula d
Ax1 By 1 C A 2 B2
Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A1 h+V1 u+S1 =0 i A1 x B1 y C1 0
A2 h+V 2 u+S 2=0 se odreduvaat so re{avawe na sistemot
A 2 x B 2 y C 2 0 k k1 Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata tg 2 kade {to k1 i 1 k1k 2
k2 se koeficienti na pravcite na pravite. Dve pravi se paralelni ako k 1 = k2 , a normalni koga k 2
1 . k1
Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid: A1 x B1 y C1
A12
B12
=
A 2 x B2 y C2 A 22 B 22
Ako A1 h+V 1 u+S1 =0 i A2 h+V 2 u+S 2=0 se ravenkite na pravite {to se se~at vo edna to~ka R, toga{ A1 h+V 1 u+S1 + (A2 h+V 2 u+S 2 )=0 se vika snop pravi vo to~kata R. Trite pravi A1 h+V1 u+S 1 =0 , A2 h+V 2 u+S 2=0 A3 h+V3 u+S 3 =0 minuvaat niz edna to~ka, ako me|u koeficientite na pravata postoi vrskata: A1 (V2 S3 - V3 S 2 ) +V 1 (A2 S3 - A3 S2 )+ S 1 (A2V3 - A3 V 2 )=0
str2
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
3.Op{ti zada~i za prava Zada~a 1: Da se presmeta perimetarot na triagolnikot, ako se poznati koordinatite na negovite temiwa: A(-2;1), V(2;-2) i S(8;6) Re{enie: Perimetarot na triagolnikot e zbir od dol`inite na stranite, pa zatoa }e gi presmetame tie dol`ini: AB (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 (2 (2)) 2 (2 1) 2 16 9 25 5 ; AC (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 (8 (2)) 2 (6 1) 2 100 25 1225 5 5 BC (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 (8 2) 2 (6 (2)) 2 36 64 100 10
LABC =15+5 5 . Zada~a 2: Dadeni se dve sosedni temiwa na kvadratot: A(3;-7) i V(-1;4). Da se presmeta negovata plo{tina. Re{enie: Neka stranata na kvadratot e a= AB . Dovolno e go presmetame rastojanieto(dol`inta na otse~kata) od A do V, a toa e AB (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 (3 (1)) 2 (4 (7)) 2 16 121 137 . Spored toa
P= AB 2 =137e2 . Zada~a 3: Na h-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite A(-1;3), V(2;5) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na h-oskata, toga{ ordinatata u=0, pa spored toa to~kata e M(h;0). Od uslovot na zada~ata sleduva deka So (x 1) 2 (0 3) 2 (x 2) 2 (0 5) 2 / 2 ; (x 1) 2 9 (x 2) 2 25 . 19 re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka x , {to zna~i baranata to~ka e 6 19 M( ;0). 6 MA = MB
,t.e.
Zada~a 4: Na u-oskata da se najde to~ka ednakvo oddale~~ena od to~kite A(-3;-5), V(4;-3) Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i le`i na u-oskata, toga{ apcisata h=0, pa spored toa to~kata eM(0;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka (0 (3)) 2 ( y (5)) 2 (0 4) 2 ( y (3)) 2 / 2 ; 9 ( y 5) 2 16 ( y 3) 2 . So 9 re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka y , {to zna~i baranata to~ka e 4 9 M(0; ) . 4 MA = MB ,t.e.
Zada~a 5: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba M o(3;8), se premestuva paralelno so u-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide ednakvo oddale~ena od to~kite A(4;-7), V(-3;2). Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava paralelna so u-oskata, toga{ apcisata sekoga{ e 3, a ordinatata se menuva, pa spored toa to~kata e M(3;u). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA = MB ,t.e. (4 3) 2 (7 y) 2 (3 3) 2 (2 y) 2 / 2 ; 1 (7 y) 2 36 (2 y) 2 .
So re{avaweto na ovaa ravenka dobivame deka y 1 , {to zna~i baranata to~ka e M(3;1) . Zada~a 6: Edna podvi`na to~ka, {to imala po~etna polo`ba M o(2;1), se premestuva paralelno so h-oskata. Da se opredeli nejzinata polo`ba koga taa }e bide na rastojanie 13 edinici od to~kata A(4;6). Re{enie: Neka M(h,u) e baranata to~ka. Bidej}i se pomestuva po prava paralelna so h-oskata, toga{ ordinatata sekoga{ e 1, a apcista se menuva, pa str3
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava spored toa to~kata e M(h;1). Od uslovot na zada~ata sleduva deka MA =13 ,t.e. (x 4) 2 (1 6) 2 13, (x 4) 2 25 13 / 2 ; x 2 8x 16 25 169; x 2 8x 128 0 .So re{avaweto na kvadratnata ravenka se dobivaat nejzinite re{enija: h 1 =-8 i h2=16. {to zna~i postojat dve to~ki so baraniot uslov, a toa se M1 (-8;1) i M2 (16;1) . baranata to~ka e M(3;1) . Zada~a 7: Da se opredelat kordinatite na to~kata Y {to otse~kata ja deli vo odnos 1: 3, ako se dadeni kordinatite na to~kite A(-6;-2), V(2;10). Re{enie: Neka Y(h;u) e to~kata {to ja deli otse~kata vo dadeniot odnos. Toga{ od
x
formulata
x 1 x 2 y y 2 6 3 2 0 2 3 10 28 x ,y 1 0, y 7. 1 1 1 3 4 1 3 4
Baranata to~ka e Y(0;7). Zada~a 8: Da se opredelat koordinatite na te`i{teto na triagolnikot AVS ~ii temiwa se to~kite: A(2;3), V(-10;-4) i S(2;-8) Re{enie: Kordinatite na te`i{teto T(h;u) na triagolnik so poznati kordinati na negovite temiwa A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se presmetuvaat so x1 x 2 x 3 y y 2 y3 , spored toa ,y 1 3 3 2 (10) 2 3 (4) (8) x 2 , y 3, T(2;3) . 3 3
formulata x
Zada~a 9: Temiwata na triagolnikot AVS se to~kite: A(3;6), V(-1;3) i S(2;-1). Da se presmeta visinata na triagolnikot spu{tena od temeto S. Re{enie: Prvo da ja presmetame plo{tinata na dadeniot triagolnik, a potoa od formulata h c
2P AB
}e ja najdeme visinata, predhodno opredeluvaj}i ja i
dol`inata na stranata AB . P
1 1 25 , x 1 ( y 2 y 3 ) x 2 ( y 3 y1 ) x 3 ( y1 y 2 ) 3 (3 (1)) (1) (1 6) 2 (6 3) 2 2 2
dol`inata na stranata AB (x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 (3 (1)) 2 (6 3) 2 16 9 5 . 25 2 5 . Kone~no h c 5 AB 2P
2
Zada~a 10: Plo{tinata na triagolnikot AVS zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(3;5), V(2;-6) i S(h;-3) ima plo{tina 18 e2 . Da se opredeli apcisata na to~kata S Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva 18
1 3 (6 (3)) 2 (1 5) x (5 (6)) ; 36 9 16 11 x 2
go koristime ravenstvoto x x 2 , zatoa (11 x 25) 2 36 / 2 121x 2 550x 625 362
So
sreduvawe
na
ravenstvoto
se
dobiva
11x 2 50x 61 0 ~ii re{ernija se h1 =-1 i h1=
za izbor na temeto S i toa S 1 (-1;-3) i S 2 (
slednava
kvadratna
ravenka
61 . Spored toa postojat dva mo`nosti 11
61 ;-3). 11
Zada~a 11: Kakva vrska treba da postoi me|u koordinatite na to~kata N(x,y) ako taa se premestuva taka, {to da bide na postojano na ednakvo rastojanie od to~kite A(7;-3) i V(-2;1). Re{enie: Neka N(x,y) e proizvolna to~ka koja go ima dadenoto svojstvo, toga{ NA = NB ,t.e.
(x 7) 2 ( y 3) 2 (x 2) 2 ( y 1) 2 / 2 ; (x 7) 2 ( y 3) 2 (x 2) 2 ( y 1) 2 .
str4
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava So sreduvawe na poslednata ravenka se dobiva ravenkata 18h-8u=53 koja e simetrala na otse~kata AB (to~kata treba da le`i na simetralata na AB ). Zada~a 12: Dadeni se dve sprotivni temiwa na eden kvadrat: A(3;0) i S(-4;-1). Da se opredelat drugite dve temiwa na kvadratot. Re{enie: Da ja presmetame dol`inata na dijagonalata d. d (4 3) 2 (1 0) 2 49 1 50 . Neka V(h;u) e teme na kvadratot. Od relacijata
d AC AB 2
mo`eme
da
ja
odredime
apcisata
na
V
imame
50 (x 3) ( y 0) ; 50 (x 3) y / . So sreduvawe na poslednata ravenka se 2
2
2
2
2
dobiva ravenkata h2 -50h=0 ~ii re{enija se broevite h1 =1 i h2 =0, a po~etnata iracionalna ravenka ja zadovoluva samo h 2=0. Sega od relacijata AB = CB , t.e. (x 3) 2 ( y 0) 2 (x 4) 2 ( y 1) 2 / 2 ; (x 3) 2 y 2 (x 4) 2 ( y 1) 2 . Po sreduvawe na
ovaa ravenka se dobiva ravenkata u=7h+4. Ako zamenime h=0 vo u=7h+4 , sleduva u=4. Spored toa temeto Vima koordinati h=0 i u=4, t.e. V(0;4). Sega da ja odredime to~kata Y koja e sredina na dijagonalata. Taa ima koordinati x
34 1 1 0 1 1 1 ,y , t.e.Y(- ; ) . Temeto D e simetri~na to~ka na V vo odnos na 2 2 2 2 2 2
srednata to~ka Y, pa zatoa negovite koordinati se 4y 1 0x 1 x 1; y 3; t.e. D(-1;3) . 2 2 2 2
Zada~a 13: Za triagolnikot so temiwa vo to~kite A(5;3), V(2;-1) i S(1;4) da se presmetaat dol`inite na srednite linii(te`i{ni linii) i da se opredelat koordinatite na nivnata prese~na to~ka. Re{enie: Neka A1 , V 1 i S 1 sredinite na stranite VS, SA i AV soodvetno na triagolnikot. Prvo da se odredat nivnite koordinati. 2 1 3 1 4 3 3 3 ;y ; t.e. A1 ( ; ). 2 2 2 2 2 2 5 1 3 4 7 7 Za V 1 : x 3; y ; t.e. V1 (3; ). 2 2 2 2 52 7 3 1 7 Za S 1 : x ;y 1; t.e.S 1 ( ;1). Presekot na srednite linii e 2 2 2 2 3 (1) 4 5 2 1 8 8 te`i{teto T , a negovite koordinati se: x ,y 2, T( ;2) . 3 3 3 3
Za A1 : x
Sega da gi presmetame dol`inite na srednite linii: 2
2
58 7 3 AA1 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 2 2 2 2
85 9 BB1 ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 ) 1 2 2 2
2
2
34 5 . CC 1 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 3 2 2 2
Zada~a 14: Povr{inata na eden triagolnik e 3e 2 . Dve negovi temiwa se to~kite A(3;1) i V(1;-3). Te`i{teto na to~kite se nao|a na h-oskata. Da se opredelat koordinatite na temeto S. Re{enie: Neka T(h;u) e te`i{te na triagolnikot. Od toa {to toa le`i na hoskata sleduva deka u=0. Sega da ja odredime ordinatata u na temeto S: 0
1 3 y y 2. Spored toa S(h,2). Apcisata h na S }e ja odredime od formulata 3
za plo{tina na triagolnik, t.e.
str5
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava 1 3 ( 6 ) 1 1 ) x 4 ; 6 4 x 14 go koristime ravenstvoto x x 2 , zatoa (4 x 14 ) 2 6 / 2 2 So sreduvawe na ravenstvoto se dobiva slednava kvadratna ravenka x 2 7x 16 0
3
~ii re{ernija se h1 =2 i h1=5. Spored toa postojat dva mo`nosti za izbor na temeto S i toa S 1 (2;2) i S2 (5;2). Zada~a 15: Da se doka`e deka vo sekoj pravoagolen triagolnik dol`inata na otse~kata {to go soedinuva temeto pri praviot agol so sredinata na hipotenuzata e ednakva na polovina od dol`inata na hipotenuzata. Re{enie: Neka A(h1 ,u1 ), V(h2 ,u2 ), S(h3 ,u3 ) se temiwa na pravoagolniot triagolnik, vo koj praviot agol e vo temeto S a S 1 e sredina na hipotenuzata i nejzinite koordinati se x
x1 x 2 y y2 ;y 1 . 2 2
2
2
2
2
x x2 y y2 x x2 y y2 AC1 x 1 1 y1 1 1 1 2 2 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 AC ( x 1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 4 2 2
{to trba{e da se doka`e. 1 2
Zada~a 16: Vo triagolnikot opredelen so pravata y x 3 i koordinatnite oski e vpi{an kvadrat taka {to, dve negovi strani se sovpa|aat so koordinatnite oski. Da se opredelat koordinatite na negovite temiwa. Re{enie: Neka temiwata na kvadratot se O, A, V i S. Temeto V le`i na dadenata prava , pa zatoa h=u , t.e. V(h;h). Ako gi zamenime negovite temiwa vo ravenkata na dadenata prava se dobiva deka h=2. Spored toa, temiwata na kvadratot se: O(0;0); A(2;0), S(2;2) i S(0;2) . Zada~a 17: Da se opredelat agolot me|u pravata i pozitivnata nasoka na hoskata, kako i otse~kite {to pravata gi otsekuva na u-oskata: 2 5
a) y x
8 5
b) u=-3h+2
v) u=-7
g) h=3
Re{enie: Od kanoni~niot vid ravenka na prava y=kx+n sleduva deka : a) k=tg =
2 2 8 =arctg 21o48’, a b= b) k=tg = -3=arctg(-3)108o26’, a b= 2; 5 5 5
v) a) k=tg = 0=arctg0=0, a b= -7 g) pravata e normalna na u-oskata, zatoa =90 , i ne otsekuva otse~ka na u-oskata. Zada~a 18: Kako glasat ravenkite na stranite na kvadratot, ako negovite dijagonali se zemeni za koordinatni oski? Dol`inata na stranata e a. Re{enie: Ako dijagonalite se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na kvadratot le`at na koordinatnite oski i }e bidat: o
A(
a 2 a 2 a 2 a 2 ;0), B(0 ; ), C(;0), D(0 ;). Toga{ ravenkite na stranite }e 2 2 2 2
bidat: AV:
x a 2 2 x
y
1 y x
a 2 ; VS: 2
x
y
1 y x
a 2 ; 2
a 2 a 2 a 2 2 2 2 y y a 2 x a 2 1 y x 1 y x CD: ; DA: . 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 2 2 2
Zada~a 19: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz to~kata A(3;1), a na ordinatnata oska otsekuva otse~ka n=5. str6
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Re{enie: Neka baranata prava e y=kx+n . Bidej}i taa otesekuva ote~ka n=5 na uoskata i treba da minuva niz dadenata to~ka sleduva deka nejzinite koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na pravata i t.e. daenata prava glasi y=
1=3k+5 od kade k=
4 . Ravenkata na 3
4 x+5 t.e. 4x+3y-15=0. 3
Zada~a 20: Da se opredeli ravenka na prava {to minuva niz to~kite A(-1;2) i V(2;1) y 2 y1 ( x x 1 ) (ravenka na prava niz dve to~ki ) x 2 x1 1 2 1 sleduva deka baranata prava e : y 2 (x ( 1)) (x 1) t.e.x 3y 5 0 . 2 ( 1) 3
Re{enie: Od formulata y y1
Zada~a 21: Otse~kata AV ~ii krajni to~ki se A(2;-1) i V(7;9) e podelena so pravata {to minuva niz to~kata S(1;-2) vo odnos 2:3. Da se opredeli ravenkata na pravata. Re{enie: Prvo da gi najdeme kordinatite na to~kata Y {to ja deli 2 2 7 1 9 3 4; y 3 3. Sega da ja napi{eme otse~katavo dadeniot odnos. x 2 2 1 1 3 3 2
ravenkata na pravata ni to~kata S i Y(4;3): y3
23 5 (x 4) (x 4) t.e.5x 3y 11 0 . 1 4 3
Zada~a 22: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A, a so pozitivnata nasoka na h-oskata formira agol : a) A(2;5) , =45o b) A(-1;3) , =150o Re{enie: Od ravenka na prava u-u1 =k(h-h1 ) sleduva: a) Baranata ravenka na pravata e : u-5=tg45o (h-2)=x-2 t.e. x-y+3=0 b) Baranata ravenka na pravata e : u-3=tg150o(h-2)=
3 (x-2 )t.e. 3
3 x-y-2 3 +9=0 .
Zada~a 23: Da se opredeli ravenka na pravata koja na kordinatnite oski otsekuva otse~ki so dol`ina: a) m=3, n= -2 b) m= -1, n= -3 Re{enie: a) Od b)
y x y x 1 sleduva 1 2x 3y 6 0 m n 3 2
y x 1 3x y 3 0 . 1 3
Zada~a 24: Dijagonalite na rombot koi se ednakvi na 10 i 4 edinici, se zemeni za koordinatni oski. Da se opredelat ravenkite na stranite na rombot. Re{enie: Ako dijagonalite na rombot se zemeni za koordinatni oski, toga{ temiwata na rombot le`at na koordinatnite oski i }e bidat: A(2;0), B(0 ;5), C(-2;0), D(0 ;-5). Toga{ ravenkite na stranite }e bidat: AV:
y y y x y x x x 1 ; VS: 1 ;CD: 1 ; DA: 1 . 2 5 2 5 2 5 2 5
Zada~a 25: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz to~kata A(3;-7), a otsekuva na koordinatnite oski ednakvi otse~i. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m=n, zatoa baranata prava e x y 1 t.e. x y m . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ m m
ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 3-7=m t.e. m=4. Spored toa, baranata ravenka na pravata e h+u+4=0 . str7
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Zada~a 26: Niz to~katas T(3;5) da se povle~e prava taka {to, otse~kite {to gi otsekuva na kordinatnite oski se odnesuvaat kako 3:4. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m:n=3:4 t.e m=3k i n=4k kade {to k e nekoj proizvolen broj , zatoa baranata prava e
y x 1 t.e. 4 x 3y 12k . Bidej}i 3k 4k
pravata treba da minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite 9 4
koordinati vo ravenkata dobivame 4 3 3 5 12k k . Spored toa, baranata ravenka na pravata e 4 x 3y 12
9 t.e.4x 3y 27 0 . 4
Zada~a 27: Edna prava minuva niz to~kata N(4;1), a na kordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ii {to zbir e ednakov na 10 edinici. Da se opredeli nejzinata ravenka. Re{enie: Od uslovot na zada~ata sleduva deka m+n=10 t.e n=10- m, zatoa baranata prava e
y x 1 . Bidej}i pravata treba da minuva niz dadenata m 10 m
to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame 4 1 1 , po sreduvawena ravenkatase dobiva slednava kvadratna ravenka po m : m 10 m
m2 -13m+40=0 ~ii re{enija se m1 =5 i m2 =8 . So zamena vo n=10-m dobivame n1 =2 i m2 =5 Spored toa, postojat dve pravi {to gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata, a toa se:
x y x y 1 t.e.x y-5 0 i 1 t.e.x 4 y-8 0 . 5 5 8 2
Zada~a 28: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata B(5;-5), a otsekuva na kordinatnite oski triagolnik so plo{tina ednakva na 50 e 2 . Re{enie: Neka baranata prava e
x y 1 . Plo{tinata na triagolnikot e m n
mn 100 . Ako n go zamenime vo ravenkata na pravata 50 t.e. m n 100, a od tuka n 2 m x y x my 1 dobivame 1 t.e.100x m 2 y 100m 0 Bidej}i pravata treba da m n m 100
minuva niz dadenata to~ka, toga{ ako gi zamenime nejzinite koordinati vo ravenkata dobivame kvadratna ravenka po m : m2 +20m-100=0 ~ii re{enija se m1 = 10 10 2 i m2 = 10 10 2 . So zamena vo n
100 i so racionalizirawe na m
imenitelot dobivame n1 =- 10( 2 1) i n2 = 10(1 2) . Pravata koja minuva niz dadenata to~ka mo`e da ima tri polo`bi i zatoa formira so koordinatnite oski tri triagolnici. Baranite dve pravi koi se dobivaat od prethodnoto razgleduvawe se: (1 2) x+ ( 2 1) y-10=0 i ( 2 1) x+ (1 2) y+10=0. Tretata prava {to minuva niz dadenata to~ka e
x y 1 od kade {to so zamena m n
na koordinatite na dadenata to~ka se dobiva ravenkata 5m+5n=mn=100 t.e. m+n=20 . m n 20 m n 10
Sega re{avaj}i go sistemot ravenki
dobivame n=-10 i m=10. spored toa
tretata prava e x-y-10=0 . Zada~a 29: Da se presmeta plo{tinata na triagolnikot {to go obarzuva 3h-4u -12=0 pravata so koordinatnite oski. Re{enie: Neka dadenata prava 3h-4u -12=0 ja dovedeme vo segmenten vid t.e. x y 1 . 4 3
Spored toa dol`inite otse~kite {to gi otsekuva pravata na
str8
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava koordinatnite
oski se
katetite na
pravoagolniot
triagolnik,
pa zatoa
mn 43 P 6 e 2 . 2 2
Zada~a 30: Kakva polo`ba ima vo koordinatniot sistem pravata Ah+Vu+S=0 koga e : a) A=0, b) V=0, v) S=0 Re{enie: a) Ako A=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot y
C , pa zatoa B
pravata e paralelna so h-oskata. b) Ako V=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot x
C , pa zatoa pravata e A
paralelna so u-oskata. v) Ako S=0, toga{ ravenkata go dobiva oblikot y
A x , od kade se gleda deka B
pravata ne otsekuva segment na koordinatnite oski, zatoa pravata minuva niz koordinatniot po~etok. Zada~a 31: Kakvi treba da bidat koeficientite A i V vo ravenkata na pravata Ah+Vu+S=0 za da formira so pozitivnata nasoka na h-oskata: a) ostar agol b) tap agol. Re{enie: a) Neka ravenkata na pravata ja dovedime vo kanoni~en(ekspliciten) vid : y
A C x . Od toj vid se ot~ituva koeficientot na pravecot na pravata i toj B B
A . Imaj}i vo predvid deka k= tg i agolot da bide ostar , sleduva deka B A A tg>0 t.e k >0. Od tuka 0 povlekuva deka A i V treba da imaat razli~ni B B
e k
znaci. b) Od prethodno ka`anoto, sleduva deka ako agolot e tap , toga{ tg<0 t.e k
A A <0. Od tuka 0 povlekuva deka A i V treba da imaat isti znaci. B B
Zada~a 32: Kakva vrska treba da postoi me|u koeficientite A, V, A1 , V 1 vo ravenkite na pravite Ah+Vu+S=0 , A1 h+V 1 u+S 1 =0 za da obarzuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata Re{enie: Za da dadenite pravi obrazuvaat ednakvi agli so pozitivnata nasoka na h-oskata treba da imaat ednakvi koeficienti na pravci t.e. k=k 1 od kade sleduva
A A A A i k 1 1 se koeficienti na 1 AB1 BA 1 0 kade {to k B B1 B1 B
pravcite na dadenite pravi, soodvetno. Zada~a 33: Vo ravenkata na pravata 2h-(5m-2)u -3 da se opredeli m taka {to, pravata da zafa}a so h-oskata agol od 45o. Re{enie: Koeficientot napravecot na pravata e k Za da bide ispolnet uslovot na zada~ata trba
A 2 2 . B (5m 2) 5m 2
2 tg45o 1 od kade {to sleduva 5m 2
4 5
deka m . Zada~a 34: Da se dovedat vo normalen vid ravenkite na pravite: a) 5h+3u+11=0, b) 3h-7=0 , v) 2u+3=0 , g) -3h+4u+10=0 Re{enie: Dadena prava Ah+Vu+S=0 za da se dovede vo normalen vid trebada se pomno`i so brojot
1 A 2 B2
vo koja se zema sprotivniot znak na S.
str9
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava 1
a) Spored gore ka`anoto sleduva
5 3 5x 3y 11
5h+3u+11=0 ja pomno`ime so se dobiva b) Za dobivame λ pomno`ime so se dobiva
1 ( 3) 2 4 2
2
34
2
1 34
i ako dadenata ravenka
0
1 i ako dadenata ravenka -3h+4u+10=0 ja 5
3x 4 y 10 0 . 5
Zada~a 35: Da se presmeta rastojanieto od dadenata to~ka do dadenata prava: a) M(4;-2), 8h-15u-11=0 , b) M(2;7), 12h+5u-7=0 Re{enie: a) Ako ja iskoristime formulata za rastojanie od to~ka do prava d
Ax1 By 1 C A 2 B2
dobivame d
8 4 ( 15) ( 2) ( 11) 8 2 ( 15) 2
b) Analogno kako pod a) sleduva deka d
3
12 2 7 5 ( 7) 122 5 2
4 .
Zada~a 36: Da se presmetaat visinita na triagolnikot ako se znaat kordinatite na negovite temiwa A(-2;5), V(6;-3) i S(1;9) Re{enie: Prvo da gi opredelime ravenkite na stranite na triagolnikot, a potoa }e gi presmetame visinite na triagolnikot. 3 ( 5) (x 6) ; y 3 (x 6) x y 3 0 6 ( 2) 4 95 AS: y 3 (x 1) ; y 9 (x 1) 4x 3y 23 0 1 ( 2) 3 12 39 VS: y 9 (x 1) y 9 (x 1) 12x 5y 57 0 . 5 6 1
AV: y ( 3)
Visinata ha pretstavuva rastojanie od temeto A do pravata BC i nejzinata dol`ina e h a
12 ( 2 ) 5 5 ( 57) 12 5 2
2
56 . 13
Visinata hb pretstavuva rastojanie od temeto V do pravata AC i nejzinata dol`ina e h b
12 6 ( 3) ( 3) 23 4 2 ( 3) 2
5.
Visinata hc pretstavuva rastojanie od temeto S do pravata AB i nejzinata dol`ina e h c
1 1 1 9 ( 3) 12 12
7 2 . 2
Zada~a 37: To~kata A(2;-5) e teme na eden kvadrat; ednata negova strana se nao|a na pravata h-2u-7=0. Da se presmeta negovata plo{tina. Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata treba da ja najdeme dol`inata na stranata na kvadratot, a taa mo`e da se presmeta kako rastojanie od dadenata to~ka do dadenata prava, t.e. a
2 1 ( 5) ( 2) ( 7) 1 ( 2) 2
2
5 . Spred toa, R=a2 = 5
2
5 e 2 .
Zada~a 38: Da se presmeta rastojanieto me|u dvete paralelni pravi 3h-4u-10=0, 6h-8u+5=0 Re{enie: Za da se presmeta rastojanieto me|u dve paralelni pravi prvo treba da se zema edna proizvolna to~ka od ednata prava, a potoa da se presmeta rastojanie od to~ka do prava. Da ja zemame pravata 3h-4u-10=0. Neka h=0, toga{ u=
5 . Sega da 2
str10
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava go
presmetame 6 0 ( 8) (
d
5 )5 2
6 ( 8) 2
rastojanieto
2
od
M(0;
5 ) 2
do
pravata
6h-8u+5=0.
5 . 2
Zada~a 39: Rastojanijata na to~kata M od pravite 5h-12u-13=0 i 3h-4u-19=0 se soodvetno ednakvi na -3 i -5. Da se opredelata koordinatite na to~kata M. Re{enie: Ako iskoristeme rastojanie od to~kata M do dadenite pravi }e dobieme: 3
5x ( 12) y ( 13) 5 2 ( 12) 2 5
od kade {to se nao|a slednava ravenka 5x 12y 26
3x ( 4) y ( 19) 3 2 ( 4) 2
. od kade {to se nao|a slednava ravenka 3x 4y 6
Kordinatite na to~kata M se nao|aat so re{avawe na sistemot ravenki: 5x 12y 26 ~ie re{enie e h=2 i u=3, t.e. baranata to~ka e M(2;3). 3x 4 y 6
Zada~a 40: Da se prersmetaat koordinatite na prese~nata to~ka na pravata 2h5u+3=0 so pravata paralelna so h-oskata i e oddale~ena od istata za 3 edinici. Re{enie: Pravata koja e oddale~ena od h-oskata 3 edinici i e paralelna so nea ima ravenka u=3. Spored toa to~kata M ima koordinati M(h;3). So zamena na u=3 vo ravenkata 2h-5u+3=0 se dobiva h=6. Zada~a 41: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz to~kata A(-3;1) i niz prese~nata to~ka na pravite 5h+7u-1=0 i 3h-2u-13=0. Re{enie: Prvo da se odredi prese~nata to~ka M na pravite. Nejzinite 5x 7 y 1 0 ~ie 3x 2 y 13 0
koordinati se nao|aat so re{avawe na sitemot ravenki:
re{enie e h=3 i u=-2, t.e. baranata to~ka e M(3;-2). Sega da ja odredime ravenkata na baranata prava koja minuva niz A(-3;1) i M(3;-2): y 1
1 2 1 (x ( 3)) ; y 1 (x 3) x 2y 1 0 . 3 ( 3) 2
Zada~a 42: Da se presmeta agolot me|u dvete pravi dadenis so ravenkite: a) u=h i u=3h+5 , b) 3h-5u+2=0 i h+4u+3=0 Re{enie: Agolot me|u dve pravi se presmetuva spored slednava formula tg
k 2 k1 , {to zna~i da go presmetame agolot treba da gi znaeme 1 k1k 2
koeficientite na pravite. a) k1 =1 i k2=3 sleduva tg
3 1 0,5 arctg0,5 26o 33' 1 3 1
3 1 i k2 = se soodvetno koeficienti na pravec na dadenite pravi, toga{ 5 4 1 3 4 5 1 arctg( 1) 45o , t.e. agolot me|u pravite e 45o. tg 1 3 1 ( ) 4 5
b) k1 =
Zada~a 43: Niz to~kata M(3;5) da se povle~e prava pod agol 45 o kon pravata 3h-2u+7=0. Re{enie: Neka baranata prava e y-y1 =k1 (x- x1 ).
str11
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
Od
3 k1 k 2 k1 1 1 2 tg45 1 k 1 . Baranata prava e y-5= (x-3) t.e. x3 5 1 k 2 k1 5 1 k1 2 o
5y+22=0. No, niz istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava x-5y+22=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k=
1 1 5 ,i nejzinata ravenka 1 k1 5
e y-5=-5 (x-3) t.e. 5x+y+20=0. Zada~a 44: Za koj agol treba da se zavrti pravata 3h+u-6=0 okolu svojata prese~na to~ka so u-oskata za da ja se~e pravata 2h-3u+5=0 pod agol od 45o ? Re{enie: Prese~nata to~ka na pravata 3h+u-6=0 so u-oskata e A(0;6). Pravata 3h+u-6=0 mo`e da rotira okolu prerse~nata oska vo dvete nasoki i neka nejzinata ravenka e y-6=kx . Koeficientot na pravecot na pravata }e go opredelime od uslovot , deka taa treba da zafa}a agol od 45 o so pravata 2h-3u+5=0 t.e. od k k1 tg45 2 1 1 k 2 k1 o
3 2 k 5. Baranata prava e y-6=5x t.e. 5x-y+6=0. No, niz 3 1 k 2 k
istata to~ka mo`e da se povle~e u{te edna prava koja go zafa}a dadeniot agol so dadenata prava. Toa e pravata koja e normalna na najdenata prava 5x-y+6=0. Zatoa taa prava }e ima koeficient k1 =
1 1 1 1 , i nejzinata ravenka e y-5=- x t.e. 5 k 5 5
x+5-30. Sega k k1 tg 2 1 k 2 k1
1 3 3 k k 2 tg 1 t.e. 45o . tg 2 1 5 2 tg 1 t.e. 135o . 3 1 3 1 k 2 k1 1 5 1 2 5 2 5
Zada~a 45: Edna prava na koordinatnite oski otsekuva otse~ki ~ij {to proizvod e 12, a paralelna e so pravata h+3u-16=0. Da se opredeli nejzinata ravenka Re{enie: Neka pravata gi se~i koordinatnite oski vo to~kite A(m;0) i B(0;n), toga{ mn=12. Koeficientot na pravata {to minuva niz to~kite A i V e ednakov na n i toj treba da bide ednakov na koeficientot na pravata h+3u-16=0(zatoa {to m n 3m n 1 treba da se paralelni) t.e. n 3m . Sega ako se re{i sistemot gi m 3 mn 12 dobivame vrednostite za m i n t.e. n 2 i m 6 . Spored toa, baranite pravi se : y x y x 1 t.e. x 3y 6 0 i 1 t.e. x 3y 6 0 . 6 2 6 2
Zada~a 46: Niz to~kata A(2;-3) da se povle~e prava normalna na pravata u=2h+1. Re{enie: Neka baranata prava e u-(-3)=k(h-2), a koeficientot na pravata 1 2
1 2
u=2h+1. e 2 a na baranata prava k=- . Ravenkata na pravata e u+3=- (h-2) t.e. h+2u+4=0. Zada~a 47: Da se opredeli podno`jeto na normalata spu{tena od to~kata A(-1;7) kon pravata 3h-5u+4=0 . Re{enie: Baranata normala e dadena so ravenkata u-7=k(h-(-1)). Sega k se opredeluva od k=-
3 5 1 kade {to k1 = e koeficient na pravata 3h-5u+4=0, t.e. k= . 5 3 k1
str12
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava Ravenkata na normalata e u-7=
5 (h+1), t.e 5h+3u-16=0. Podno`jeto na normalata e 3
presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot 5x 3y 16 0 ~ie re{enie e h=2 i u=2, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M(2;2). 3x 5y 4 0
Zada~a 48: Da se opredeli to~kata simetri~na so to~kata M(-2;-9) vo odnos na pravata 2h+5u-38=0 . Re{enie: Prvo da ja najdeme ravenkata na normalata na dadenata prava {to minuva niz to~kata M(-2;-9). Neka nejzinata ravenka e u-(-9)=k(h-(-2)). Sega k se 5 2 1 kade {to k1 = e koeficient na pravata 2h+5u-38=0, t.e. k= 2 k1 5 5 . Ravenkata na normalata e u+9= (h+2), t.e 5h-3u-8=0. Podno`jeto na normalata e 2
opredeluva od k=-
presek na samata normala i dadenata prava, zatoa ako se re{i sistemot 5x 2 y 8 0 ~ie re{enie e h=4 i u=6, t.e. baranata to~ka(podno`na) e M’ (4;6). 2x 5y 38 0
Sega mo`e da se odredi simetri~nata to~ka Y(h2 ;u2 ) na M(-2;-9) vo odnos na poidno`nata 4
M’
to~ka
(4;6).
Od
x
x1 x 2 y y2 , ,y 1 2 2
sleduva
2 x2 9 y2 t.e. h2 =10 i u2=21. Simetri~na to~ka e Y(10;21). ,6 2 2
Zada~a 49: Da se opredelat ravenkite na simetralite na aglite {to gi formiraat pravite h-3u+5=0 i 3h-u-2=0 . Re{enie: Simetralite na aglite me|u dve pravi se opredeluvaat so formulata A1 x B1 y C1
A12
x 3y 5 10
B12
=
=
A 2 x B2 y C2
A 22
3x y 2 10
B 22
.
x 3y 5
Zatoa
1 ( 3) 2
2
3x y 2
=
3 2 ( 1) 2
;
; (x 3y 5) = (3x y 2) . Baranite simetrali na aglite me|u
dadenite pravi se 4h-4u+3=0 i 2h+2u-7=0. Zada~a 50: Ravenkite na stranite na triagolnikot se: h+u-15=0, h+7u-67=0 i 7h+u+29=0. Da se opredelat koordinatite na centarot i radiusot na vpi{anata kru`nica. Re{enie: Centarot na vpi{ana kru`nica vo triagolnik e presekot na simetralite na vnatre{nite agli. Zatoa dovolno e da gi odredime simetralite na dva agli vo triagolnikot, a potoa da go odredime nivniot presek. Simetralata na agolot x y 15 2
me|u x y 15 2
me|u =
pravite
x y 67 50
7 x y 29 50
i
; 5(x y 15) = x y 67
pravite =
h+u-15=0
h+u-15=0
i
h+7u-67=0
:
x y 15 12 12
=
x 7 y 67 12 7 2
;
2x y 4 0 . Simetralata na agolot
7h+u+29=0
; 5(x y 15) = 7x y 29
e
e
x y 15
:
1 1 2
x 2y 52 0 .
2
=
7 x y 29 7 2 12
Koordinatite
;
na
2x y 4 0 ,t.e. h=20 i x 2 y 52 0
prese~nata to~ka(centarot) se re{enijata na sistemot
u=36, t.e. S (20;36). Radiusot na vi{anata kru`nica e rasojanieto od centarot do
str13
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava starnite na triagolnikot (za da go
presmetame r dovolno e da presmetame
rastojanie do edna strana (do h+u-15=0)) ,t .e. r
1 20 1 36 15 1 1 2
2
41 2
.
Zada~a 51: Da se sostavi ravenka na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 i ja prepolovuva otse~kata ograni~ena so to~kite A(5;-6) i B(-1;-4) . Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 2h+u-2=0 i h-5u-23=0 2x y 2 0 ,t.e. h=3 i u=-4, t.e. Y (3;-4). Sredinata na x 5y 23 0
se re{enijata na sistemot
otse~kata AV ima koordinati x
5 ( 1) 4 ( 6) 2,y 5 t.e. h =2 i u=-5;M(2;-5). 2 2
Ravenkata na dadenata prava e pravata {to minuva niz to~kite Y i M: y ( 5)
4 ( 5) (x 2) , t.e. h-u-7=0. 32
Zada~a 52: Da se opredeli ravenkata na pravata {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 4h+3u+17=0 i e paralelna so pravata 2h+7u-4=0 . Re{enie: Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+5u+21=0 i 3x 5y 21 0 ,t.e. h=-2 i u=-3, t.e. Y (-2;-3). 4x 3y 17 0
4h+3u+17=0 se re{enijata na sistemot
Koeficientot na pravata 2h+7u-4=0 e k
2 7
od kade {to sleduva deka i 2 7
koeficientot na baranata prava mora da bide k (bidej}i pralelni). Zatoa
tie treba da se
ravenkata na baranata prava so dadenite
uslovi e :
2 y ( 3) (x ( 4)) , t.e. 2h+7u+25=0. 7
Zada~a 53: Da se opredeli ravenkata na prava {to minuva niz prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i h-2u+10=0, a e na rastojanie d=5 edinici od to~kata M(-1;-2) Re{enie: Neka baranata prava {to treba da minuva niz prese~nata to~ka na pravite e u=kh+n. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravite 3h+u-5=0 i hu+10=0
se re{enijata na
3x y 5 0 ,t.e. h=0 i u=5, t.e. Y (0;5). x y 10 0
sistemot
Kordinatite na Y gi zmenime vo ravenkata u=kh+n se dobiva deka n=5. Baranata prava go dobiva kh-u+5=0. Od uslovot , deka baranata prava treba da bide na rastojanie ednakvo na 5 do to~kata M(-1;-2), se odreduva k, t.e. 5
k ( 1) 1 ( 2) 5 k ( 1) 2
2
;5 k 2 1 2 k 5 . Od
x x 2 sleduva
ravenstvoto
5 k 2 1 ( 2 k 5 ) 2 / 2 , a od tuka se dobiva slednava kvadratna ravenka po k , ~ii
4 3
3 4
re{enija se k 1 i k 2 . Spored toa baranite ravenki na pravi se dobivaat so zamena na k1 i k2 vo kh-u+5=0 , a tie se 4h+3u-15=0 i 3h-4u+20=0. Zada~a 54: Da se doka`e deka ~etirite to~ki A(-2;-2), V(-3;1), S7;7) i D(3;1) se temiwa na trapez, i potoa da se sostavi ravenkata na srednata linija . Re{enie: Za da se doka`e deka dadenite to~ki se temiwa na trapez, dovolno e da proverime dali dve ravenki na pravite {to minuvaat niz to~kite A i V, V i S, S i D; i D i A imaat ednakvi koeficienti na pravci (toa zna~i deka tie pravi se pralelni).
k AB
1 2 3 ; 3 2
k BC
7 1 3 ; 73 5
k CD
1 7 3 ; 37 2
k DA
2 1 3 . 23 5
Od
str14
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava poslednoto se zaklu~uva deka pravite VS i DA se paralelni, {to zna~i ~etiriagolnokot ABCD e trapez. Sredinata na stranata AV, M ima koordinati 5 1 i u= , a sredinata na stranata DS, N ima koordinati h=5 i u=4. Ravenkata 2 2 1 4 2 (x 4) , t.e. 3h+5u-5=0. na srednata linija na trapezot MN e : y 4 5 5 2
h=
Zada~a 55: Dve strani na eden parallelogram se dadeni so ravenkite h+u-1=0 i 3h-u+4=0. Prese~nata to~ka na dijagonalite e Y(3;3). Da se opredelata ravenkite na drugite strani. Re{enie: Dadenite pravi ne se paralelni strani, zatoa {to nemaat ednakvi koeficienti na pravci i tie mora da se se~at. Koordinatite na prese~nata to~ka na pravaite AV: h+u-1=0 i AD: 3h-u+4=0 se re{enijata na sistemot x y 1 0 7 3 3 7 ,t.e. h= i u= , t.e. A ( ; ). Simetri~nata to~ka(teme) na A vo 4 4 4 4 3x y 4 0 3 7 x y 27 4 x 4 y 17 . Da ja napi{ime odnos na Y e S so kordinati i3 2 4 2 4
ravenkita na pravite VS koja minuva niz S i ma ednakov pravesc so pravata AD: 17 27 3(x ) , t.e. 3h-u-16=0, i ravenkita na pravite DC koja minuva niz S i ma 4 4 17 27 ednakov pravesc so pravata AB: y (x ) , t.e. h+u-11=0. 4 4 y
str15
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
LITERATURA
1. Matematika za III godina- (tehni~ki struki)â&#x20AC;&#x201C;Gligor Tren~evski "Prosvetno delo"-Skopje,1991 godina. 2. Zbirka zada~i od Analiti~ka geometrijaâ&#x20AC;&#x201C;Dimitar Bitrakov "Prosvetno delo"-Skopje,1987 godina. .
str16
Ravenka na prava vo ramnina-op{ti zada~i za prava
S O D R @ I N A
Voved.................................................................................................................................str. 1 1. Osnovni poimi i formuli vo analiti~ka geometrija ....................................str. 1 2. Vidovi ravenki na prava ........................................................................................ str. 2 3. Op{ti zada~i za prava .............................................................................................str. 3 Literatura .....................................................................................................................str.16
str17