Voved Vo matematikata sekoe mno`estvo ravenki na koi treba d aim se najde zaedni~ko re{enie se vika sistem ravenki. Sistemite ravenki mo`at da se podelat spored nekolku razli~ni kriteriumi: -Spored brojot na ravenkite: sistemite mo`e da imaat najmalku dve, a neograni~eno mnogu ravenki. -Spored brojot na nepoznatite: sistem so dve ili pove}e nepoznati. -Spored stepenot na nepoznatata: sistem linearni, sistem kvadratni, kubni ravenki itn. -Spored re{enijata: sistem so re{enie i sistem bez re{enie. Postojat poveke na~ini(metodi) za re{avawe na sistemite. Va`no e {to site davaat ist rezultat. Na~inot na re{avawe se izbira naj~esto da bide onoj najkusiot, najisplatliviot I najlesniot {to naj~esto se pravi vo zavisnost od sistemot. Najpoznati metodi za re{avawe na sistemi se: -Metod na zamena na promenlivata(nepoznatata) -Metod na sprotivni koeficienti -Metod na determinant -Grafi~ki metod.
1
Definicija 1:Mno`estvo od dve linearni ravenki so dve isti realni nepoznati se vika sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. Re{enie na na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e sekoj podreden par realni broevi (h,y) koj istovremeno e re{enie na sekoja od ravenkite na sistemot. Mno`estvoto re{enija na sistemot se sostoi vo site podredeni parovi
koi se re{enija na dvete ravenki na sistemot. Poto~no ako so R1 go
ozna~ime mno`estvoto re{enia na ednata ravenka od sistemot, a so R2 mno`estvoto re{enija na drugata ravenka na sistemot, toga{ za mno`estvoto re{enija na sistemot va`i ravenstvoto R=R1 ∩R2 Dva sistema so dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni, ako imaat ednakvi mno`estva re{enija. Ako nekoja od ravenkite na daden sistem se zameni so ekvivalentna na nea, se dobiva sistem ekvivalentin ravenki na dadeniot. Imaj}i vo predvid deka sekoja linearna ravenka se ekvivalentna so ravenkata od op{t oblik, a1 x+b1 y=c1 mo`eme da zaklu~ime deka sekoj sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e ekvivalenten so sistemot od op{t oblik:
Primer 1: Sistemot ravenki
e evkivalenten so sistemot ravenki
2
Kako {to spomenavme sistemite ravenki mo`at da se se re{avaat na pove}e na~ini и toa: -Grafi~ki metod, -Metod na zamena na promenlivata, -Metod na sprotivni koeficienti, -Metod so pomo{na determinanti.
1. Grafi~ki metod Za daden sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati, neka r e grafikot a na prvata, a q grafikot na vtorata ravenka. Ako podredeniot par realni broevi (m,n) e re{enije na sistemot, toga{ parot (m,n) ke pripa|a na dvata grafika p i q. Ako graficite p i q se pravi toga{ vo zavisnost od odnosot na tie pravi imame: Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati ima edinstveno re{enie ako pravite se se~at, Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati nema re{enie ako pravite nemaat zaedni~ka to~ka t.e tie se paralelni. Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enja ako pravite se sovpa|aat. Grafi~ki da se re{i sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati, zna~I da se nacrtaat graficite na dvete linearni ravenki vo eden ist koordinaten sistem i da se razgleda nivniot odnos.
3
Primer1:Grafi~ki da se re{i sistemot linearni ravenki
Re{enie. Za da go re{ime sistemot grafi~ki, graficite na sekoj od ovie ravenki ke gi nacrtame vo ist koordinaten sistem. Grafikot na prvata ravenka p {to minuva niz to~kite A(0,11) i V(5,1), dodeka grafikot na vtorata ravenka e pravata q {to minuva niz to~kite S(0, -9) I D(3,0). Pravite p i q se se~at vo to~kata (4,3) od kade {to sleduva deka podredeniot par R(4,3) e edinstvenoto re{enie na sistemot.
4
Primer 2: Grafi~ki da se re{i sistemot.
5
Primer 3: Grafi~ki da se re{i sistemot
6
2. Metod na zamena Ako od ednata ravenka na sisitemot ja izrazime ednata nepoznata preku drugata I so dobieniot izraz ja zamenime taa nepoznata vo vtorata ravenka, toga{ novodobienata ravenka I prvata ravenka na sistemot obrazuvaat nov sistem ekvivalenten na dadeniot. Ova postapka za re{avawe sistem linearni ravenki so dve nepoznati e poznata pod imeto metod na zamena.Za primena na ovoj metod potrebno e sisitemot da e vo op{t oblik. Metodot na zamena posebno e pogoden koga koeficientot pred promenlivata e 1 ili -1. Op{t oblik:
Primer 1: So metod na zamena da se re{i sistemot:
Primer 2:So metod na zamena da se re{i sistemot:
7
Primer 3:So metod na zamena da se re{i sistemot:
3. Metod na sprotivni koeficienti Ako vo eden sistem ja sobereme ili odzememe levata strana od ednata so levata strana od drugata и desnata strana od ednata so desnata strana od drugata ravenka }e dobieme nova ravenka koja zaedno so ednata od dadenite ravenki obrazuva nov sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati ekvivalenten na dadeniot. So drugi zborovi sistemot ravenki:
e ekvivalenten so
sistemot
kade k e realen broj ili broen izraz
koj ne zavisi od h ili y. Na ovaa svojstvo se bazira poznatiot metod koj se narekuva metod na sprotivni koeficienti. Primer 1:Da se re{i sistemot so metod na sprotivni koeficienti
8
Primer 2: Da se re{i sistemot so metod na sprotivni koeficiенти
Primer 3: Da se re{i sisemot so metod na sprotivni koeficenti
9
4. Metod so pomo{ na determinanti Da go razgledame sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati:
Ako prvata ravenka na sisitemot ja pomno`ime so b2 vtorata so (-b1 ) a potoa da gi soberime soodvetnite strain taka dobienite ravenkin ja dobivame ravekata (a1 b2-a2 b1 )x=c1 b2 -c2 b1
pod uslov a1 b2-a2 b1 ≠0 dobivame
Analogno ako prvata ravenka na sistemot ja pomno`ime so -a2 , vtorata so a1 a potoa gi sobereme soodvetnite strain na taka dobienite ravenki doa|ame do ravenkata (a1 b2-a2 b1 )y=a1 c2-a2 c1, povtorno ako a1 b2 -a2 b1 ≠0 dobivame
Spored toa mo`eme da zaklu~ime deka pri uslov a1 b2-a2 b1≠0 dobienite vrednosti na nepoznatite
i
opredeluvaat edinstveno re{enie 10
na sistemot. Zapisot na re{enieto e glomazen i te`ok za pomnewe no lesno se zabele`uva deka broitelite i imenitelite na izrazite so koi se opredeluvaat x i y se formira na sli~en na~in. Od tie pri~ini prakti~no se poka`uva voveduvawe na poimot determinant od vtor red. Definicija 1: Izrazot a1 b2-a2 b1 ozna~en so simbolot se vika determinanta od vtor red t.e. Broevite a1 , a2, b1 , b2 , se vikaat elementi na determinantata .Pritoa velime deka broevite a1 i a2 ja opredeluvaat prvata redica, a broevite b1 i b2
ja
opredeluvaat vtorata redica na determinantata. Prvata kolona ja so~inuvaat broevite a1 I b1 dodeka vtorata kolona ja so~inuvaat broevite a2 i b2 . Glavnata dijagonala se sostoi od elementite a1 i b2 dodeka sporednata dijagonala se sostoi od elementite a2 i b1. Spored toa vrednosta na determinantata e ednakva na razlikata od proizvodot na elemnentite od glavnata i sporednata dijagonala. =
glavna determinant pomo{na determinant pomo{na determinanta
dodeka Ovie formuli se vikaat Kramerovi formuli
Sistemot mo`e da bide opredelen ili neopredelen t.e. da ima edinstveno re{enie ili beskone~no mnogu.
11
Primer 1: Da se re{i sistemot so pomo{ na Kramerovi formuli:
Re{enie:Prvo se opredeluvaat glavnata и sporednite determinant na sistemot
Re{enie na sistemot e podredeniot par(2,1) Primer 2: Da se re{i sistemot
x=0
y=0
sistemot e neopredelen
12
5.Dererminanta od tret red Dererminanta od tret red e kvadratna {ema od broevi(vo op{t slu~aj elementi broevi, funkcii itn.)
Vrednosta na determinantite od tret red mo`e da se presmeta so:
1. Sarusovo pravilo Priemer
2. So razvivawe po redici(koloni) Primer
= Primer 1 Neka e daden sistemot od tri linearni ravenki so tri nepoznati
Od nego mo`e da se formiraat slednite determinanti
13
sostaven od koeficienti pred nepoznatite
vo determinantata
elementite od prvata se
zamenuvaat so slobodnite koeficitent vo sistemot
vo determinantata
elementite od vtorata kolona se
zamenuvaat so slobodnite koeficienti od sistemot
vo determinantata
od tretata kolona se zamenuvaat
so slobodnite koeficienti od sistemot
2. Primena na sistemite linearni ravenki Mnogu problem od naukata tehnikata i sekojdevniot `ivot voop{to se sveduvaat na sostavuvawe I re{avawe na opredelen sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati. Primer 1: Nina kupila 12 kilogrami limon po cena od 60 denari za kilogram. Kupenoto koli~estvo sodr`I dva vida na limon edna po cena od 40 denari, a druga po cena od 70 denari po kilogram. Kolkavo koli~estvo od sekoj vid kupila.
14
Re{enie:
Primer 2: Ivan vlo`il suma od 12000 denari vo dve razl~ni banki so godi{na kamatna stapka od 9% vo prvata, i 11% vo vtorata banka. Ako za edna godina dobil kamata od 1180 denari , po kolku pari vlo`il vo sekoja od bankite.
Re{enie: Neka vo prvata banka Ivan vlo`il h denari, a vo vtorata y denari, toga{ od uslovite vo primerot go dobivame sistemot:
Primer 3: Eden avion, vo vetrovito vreme, preletal 20000 kilometri za vreme od 4 ~asa I 24 minuti. Na vra}awe, istoto rastojanie go preletal za 4 ~asa. Da se opredelat brzinata na dvi`ewe na avionot I brzinata na veterot, ako se znae deka tie bile konsatanti.
15
Re{enie: Neka avionot se dvi`el so brzina h kilometri na ~as, dodeka duval veterot so brzina od
kilometri na ~as. Toga{ brzinata na dvi`ewe na avionot vo
nasproti veterot iznesuva na veterot bila
dodeka brzinata na dvi`ewe na avionot vo pravec
Taka koriste}i ja formulate
odnosno patot e
proizvod od brzinata I vremeto, doa|ame do sistemot linearni ravenki. Spored
zaklu~uvame deka avionot se dvi`el so brzina od duval so brzinaod
toa
kilometri na ~as, a veterot
kilometri na ~as
3. Sistem linearni neravenki so edna nepoznata Definicija 1: Mno`estvo od dve ili pove}e linearni neravenki so edna ista nepoznata se vika sistem linearni neravenki so edna nepoznata. Re{enie na sistem linerani neravenki so edna nepoznata e sekoj realen broj h za koj site neravenki od sistemot preminuvaat vo to~ni brojni neravenki. Mno`estvoton re{enija na sistem linearni neravenki so edna nepoznata se sostoi od site realni broevi koi se re{enja na sistemot odnosno prestavuvaat presek na mno`estvo re{enija na sekoja od neravenkite na sistemot. Da se re{i sistem linearni neravenki zna~i da se opredeli negovoto mno`estvo re{enija. Dva sistema linearni neravenki se ekvivalentni ako imaat ednakvi mno`estva re{enija. Ako nekoja od neravenkite na sistemot se zameni so ekvivalentna neravenka na nea toga{ dobiniot sistem e ekvivalenten na dadeniot. Spored toa za da se re{i sistemot linearni neravenki so edna nepoznata, dovolno e da se re{i sekoja od neravenkite poodelno a potoa da se opredeli presekot od mno`estvatta na nivnote re{enija. Vo slu~aj koga ovoj presek e prazno mno`estvo velime deka sistemot e protivre~en. 16
Primer 1: Da se re{i sistemot linearni neravenki
3
8
Neravenki {to se sveduvaat na sistem neravenki
1.
2.
Sistemot nema re{enie 17
x
3. - Re{enie na sistemot 1
4.
5.
6.
7.
18
- Re{enie na sistemot 2
Primer 1:
19
ZAKLU^OK:
So dadenata sodr`ina se zaklu~uva deka so sistemite linearni ravenki so dve nepoznati i so sistemite linearni neravenki so edna nepoznata se re{avaat dosta problemi kako od oblasta na matematikata taka i od oblasta na sekojdenvniot `ivot od naukata, tehnikata i red drugi raboti koi se sveduvaat na re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati i sitem linearni neravenki so edna nepoznata
20