Trigonometriski funkcii

Trigonometriski funkcii od ostar agol

Interesot na ~ovekot datira u{te od najrani vremiwa. Toa e prirodno, osobeno ako se ima predvid negovata primena vo izu~uvaweto na drugite geometriski figuri i pri re{avaweto na golem broj prakti~ni problemi vo grade`ni{tvoto, geodezijata itn. Triagonikot }e bide predmet na razgleduvawe i vo ovaa tema. Pokonkretno }e se nekoi zavisnosti me|u elementite na pravoagolniot triagolnik i niz re{avawe na karakteristi~ni primeri }e ja sogledame prakti~nata primena na istite.

Poim za agol.Merewe na agli Definicija 1: Dve polupravi OH i OU so zaedni~ki po~etok ja delat ramninata na dva dela. Sekoj od ovie delovi zaedno so dvete polupravi se narekuva agol; so oznaka HOU.(crt.1).

Zaedni~kata to~ka na polupravite se OH i OU vika teme na agolot HOU. Polupravite OH i OU gi narekuvame kraci na HOU. Eden agol e napolno opredelen so to~ka R {to ne le`i na kracite. To~kata R {to ne le`i na kracite ja narekuvame vnatre{na to~ka, a mno`estvoto vnatre{ni to~ki go narekuvame vnatre{nost na agol HOU, a delot od ramninata koj ne ja sode`i R go narekuvame nadvore{enost na agolot HOU (ja sodar`i to~kata M). Kako {to mo`eme da zabele`ime, so pomo{ na to~kata R ednozna~eno se opredeleni vnatre{nosta na agolot }e koristeme kru`en lak (crt.2).

Definicija 2: Za DCE }e veleme deka e ramen agol, ako polupravite CD i CE obrazuvaat prava (crt.3.). Za agolot koj e polovina od ramniot agol }e veleme deka e prav agol. Za agolot }e veleme deka e ostar, ako toj e pomal od prviot agol, a ako e pogolem od prviot agol i pomal od ramniot agol, toga{ }e veleme deka e tap agol. Prakti~nite potrebi nalagaat merewe na geometriskite figuri, {to zna~i i merewe na aglite. Vo osnovnoto obrazovanie se zapoznavame so stepenot, koj go ozna~uvame so o, kako merena edinica za agol i istiot go opredelivme kako eden devedesetti del od praviot agol. Isto taka, voveduvame i pomali edinici od stepenot za merewe na agli i ’ ’’ toa, minuta i sekunda koi gi ozna~uvame so i ,soodvetno. Pritoa minutata ja ’ definirame kako {eesetti del od stepenot, t.e. 1 o=60 , a sekundata ja ’ ’’ definirame kako {eesetti del od minutata, t.e. 1 = 60 .

Definicija 3: Za agolot  }e veleme deka e konvesken ako toj e pomal ili ednakov na ramniot agol(crt 4a), t. e. pomal od ili ednakov na 180 0 , a ako toj e str.1

Trigonometriski funkcii od ostar agol pogolem od ramniot agol go narekuvame konkavan (crt 4b).

Crte` 4a

’

Primer 1: a) Pretvori go vo minuta agolot  = 120 45 . ’ ’’ b) Pretvori go vo stepeni agolot  = 450 15 36 . ’ Re{enie: a) Stepenite gi pretvorame vo minuti i dobivame  = 120 45 =12. ’ ’ ’ ’ ’ 60 +45 =720 +45 =765 . b) Prvo sekundite gi pretvorame vo minuti, a potoa minutite gi pretvorame vo stepeni i dobivame '

0

’ ’ ’’  15,6   36  0 0 0  =45 15 36 =45 +15 +   =450 +15 +0,6 =450 +15,6 =450 +   =45 +0,26 =45,26 .  60   60  Za merewe na aglite vo matematikata postoi u{te edna merna edinica, koja detalno }e ja objasnime pri izu~uvaweto na dol`ina na lak na kru`nicata, a ovde istata }e ja vovedime bez detalni objasnuvawa.

Definicija 4: Neka e dadena kru`nica  (O, r). Za centralniot agol  }e veleme deka ima golemina od eden radijan, vo oznaka 1rad, ako dol`inata na pripadniot kru`en lak e ednakva na radiusot na kru`nicata.

Od definicija 3 sleduva deka, za da ja opredeleme goleminata na agolot , izrazena od radijani, dovolno e dol`inata l na pripadniot kru`en lak da ja l podeleme so ridusot na kru`niot lak, t.e.  = rad (crt. 5). r 0

’

’’

0

’’

Crte` 5 Primer 2: a) Najdi ja goleminata na agolot , izrazena vo radijani, ako dol`inata na kru`niot lak soodveten na agolot i dvapati pogolem od radiusot. b) Presmetaj ja goleminata na praviot agol nzrazena vo redijan.

Re{enie: a) Od uslovot na zada~ata imame l =2r, pa zatoa goleminata na l 2r agolot  izrazena vo radijani e = rad = rad =2 rad. r r b)Kako {to znaeme, dol`inata na kru`nicata so ridus r e ednakva na 2 r , i bidej}i polniot agol e zbir na ~etiri pravi agli dobivame deka dol`inata na str.2

Trigonometriski funkcii od ostar agol 2 r r = . Spored toa, goleminata 4 2 πr r π l na praviot agol izrazena vo radijani e  = rad = 2 rad = rad= rad.

2r 2 r r Komentar : Od primerot 2 b) i faktot deka merata na aglot od 0 0 izrazena   vo radijani e 0 rad , zaklu~uvame deka ako 00    90o, toga{   0,  , i  2 obratno.

kru`niot lak soodveten na praviot agol e l =

Definicija na trigonometriski funkcii od ostar agol Pri izu~uvaweto na pravoagolniot triagolnik vidoveme deka negovite osnovni elementi se katetite a i b, hipotezata c i ostrite agli  i . Pri standarno obele`uvawe na elementite na pravoagolniot triagolnik za agolot  veleme deka e sprotiven na katetata a , a za agolot  katetata a e nalegnata (crte` 6). Ponatamu, bidej}i agolot pri temeto S e prav agol , od teoremata za zbir na agli vo Crte` 6 triagolnikot dobivame deka  +=90o (1) Isto taka, znaeme deka za stranite na pravoagolniot triagolnik va`i Pitagorovata teorema , t.e. deka (2) a2  b2  c2 {to zna~i deka vo pravoagolen triagolnik zbirot na kvadratite na katetite e ednakov na kvadratot na hipotenuzata.

Kako {to znaeme deka triagolnici se sli~ni, ako imat ednakvi agli. Bidej}i kaj pravoagolnite triagolnici edniot agol e prav, od (1) tie se sli~ni ako imaat ednakov eden ostar agol. Taka na pr. od crte` 7 imame deka triagolnicite AVS i A1V1S1 se a a b b a a sli~ni, {to zna~i  1 ,  1 i  1 . c c1 c c1 b b1 V

V1

c

c1 a1

a A





b

S

A1





b1

S1

Crte` 7 Neka e daden pravoagolniot triagolnik AVS i preku temiwata V i S da gi prodol`ime kracite na ostriot agol  SAV (Crte` 8). Na krakot AS proizvolno izbirame to~ki S1 , S2 , S3 ,... i vo ovie to~ki povlekuvame pravi normalni na AS koi go se~at krakot AV vo to~ki V 1 , V 2 , V 3 ,... soodvetno. Od prethodno ka`anoto sleduva deka triagolnicite AVS , A1V1S1, A2V2S2, A3V3S3,... se sli~ni, {to zna~i deka nivnite soodvetni strani se proporcionalni. Taka, gi imame slednive ravenstva :

str.3

Trigonometriski funkcii od ostar agol BC AB AC AB BC AC AC BC



B1C1



AB1 A 1 C1



AB1 B1C1



AC1 A 1 C1 B1C1



B2C 2



AB 2 A 2C2



AB 2 B2C 2



AC 2 A 2C2 B2C 2

   

B3C 3 AB3 A 3C3 AB3 B3C 3 AC 3 A 3C3 B3C 3

 ... 

a c

 ... 

b c

 ... 

a i b

 ... 

b . a

Crte` 8

Od predhodnite ravenstva zaklu~uvame deka, za daden ostar agol  odnosite na soodvetnite strani vo pravogolnite triagolnici, ~ij eden agol  se konstantni. No, {to stanuva so koli~nicite, ako ostriot agol se menuva (crte` 9a).

O~igledno, ako agolot se menuva, toga{ pravoagolnite triagolnici imaat ista nalegnata kateta, a razli~ni hipotenuzi i sprotivni kateti, {to zna~i deka odnosot na katetite i odnosot na nalegnatata kateta i hipotenuzata se menuva, AC AC BC B1C   t.e. i . Sli~no, od crt.9b), bidej}i za site pravoagolni AB AB1 AC AC triagolnici hipotenuzata e konstantna, a sprotivnata kateta se menuva zaklu~uvame deka pripromena na ostriot agol odnosot na sprotivnata kateta i AC AC1  hipotenuzata t.e. . So drugi zborovi, odnosot na dvete strani na AB AB pravoagolniot triagolnik se menuva ako se menuva ostriot agol na toj triagolnik.

Zna~i, na eden ist ostar agol ili na ednakvi ostri agli sekoga{ im soodvetstuvaat ednakvi brojni vrednosti na stranite na pravoagolen triagolnik na koj mu pripa|a ostriot agol, a na razli~ni ostri agli im soodvetstuvaat razli~ni brojni vrednosti na stranite na soodvetnte pravoagolni triagolnici. Spored toa, so pomo{ na koli~nicite na stranite na pravoagolniot triagolnik mo`eme da definirame funkcii od ostar agol, koj gi narekuvame trigonometriski funkcii.

Definicija 5: Odnosot na sprotivnata kateta a na ostriot agol  i hipotenuzata s vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame SINUS od agolot  i go ozna~uvame a sinα t.e. sinα  . c str.4

Trigonometriski funkcii od ostar agol Definicija 6: Odnosot na nalegnata kateta b na ostriot agol  i hipotenuzata s vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOSINUS od agolot  i go b ozna~uvame cos  t.e. cosα  . c Definicija 7: Odnosot na sprotivnata kateta a na ostriot agol  i nalegnata kateta b vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame TANGENS od agolot  i go a ozna~uvame tg t.e. tg α  . b Definicija 8: Odnosot na nalegnata kateta b na ostriot agol  i sprotivnata kateta a vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOTANGENS od agolot  i go b ozna~uvame ctg t.e. ctg α  . a Definicija 9: Odnosot na hipotenuzata s na ostriot agol  i nalegnatata kateta b vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame SEKANS od agolot  i go c ozna~uvame s ec α t.e. secα  . b Definicija 10: Odnosot na hipotenuzata s na ostriot agol  i sprotivnata kateta a vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOSEKANS od agolot  i go c ozna~uvame cosecα t.e. cosec α  . a b 1 1 1 odnosno tgα  Zabele{ka: Od definiciite 7 i 8 imame ctg α    . a a tgα ctgα b Prou~uvaweto na trigonometriskite funkci, soodnosot me|u niv, re{avaweto na takanare~enite trigonometriski ravenki i primenata na trigonometriskite funkcii pri re{avaweto na triagolnik ja so~inuvaat matemati~kata oblast trigonometrija(zborot trigonometrija doa|a od gr~kite zborovi”trigonon”triagolnik i ”metro”- izmeruvam" {to zna~i merewe na triagolnik) .

Primer 3: Presmetaj gi vrednostite na trigonometriskite funkcii na ostriot agol  vo pravoagolniot triagolnik so kateti a  2 cm i b  2 3 cm .

Re{enie: Prvo }e ja presmetame hipotenuzata na pravoagolniot triagolnik. Od Pitagorovata teorema imame:

c  a 2  b 2  2 2  (2 3) 2 cm  4  12 cm  4 cm .

Sega od definiciite na trigonometriskite funkcii dobivame: a 2 1 b 2 3 3 b 2 3 a 2 3 sinα    , cosα    , tg α    3.  , ctg α   a 2 c 4 2 c 4 2 b 2 3 3

Vrednosti na trigonometriskite funkcii za aglite 30 o, 45o i 60o Dali od nekoi agli mo`eme ednostavno da gi presmetuvame vrednostite trigonometriskite funkcii? Odgovorot na ovaa pra{awe e pozitiven i kako {to }e vidime toa }e go napravome za agli so golemina 30 o, 45o i 60o.

Prvo }e gi opredelime vrednostite na trigonometriskite funkcii od agolot =45o. Za taa cel }e go razgledame ramnokrakiot pravoagolen triagolnik so kateti a=b=1(crte` 10).Ostrite agli na ovoj triagolnik se 2 2 ==45o, a od Pitagorovata teorema za negovata hipotenuza nao|ame c  a  b  2 .

Od definiciite na trigonometriskite funkcii nao|ame:

str.5

Trigonometriski funkcii od ostar agol

sin 45 o 

a b a 1 2 b 1 2   , cos 45 o    , tg45 o   1, ctg45 o   1 b a c 2 c 2 2 2

Crte` 10 Zabele{ka: Od prethodnite razgleduvawa zaklu~uvame deka sin 45o = cos 45o i tg45 o = ctg45o . Va`no e da napomeneme deka ova e edinstveniot ostar agol za koj sinusot e ednakov na kosinusot, a tangensot e ednakov na kotangensot.

Za da gi opredelime vrednostite na trigonometriskite funkcii od 30o i 60o }e go iskoristime ramnostraniot triagolnik AVS so strana 1 (crte` 11). Ja povlekuvame visinata CD i go dobivame pravoagolniot triagolnik CAD ~ii ostri agli se CAD= 60o i DCA= 30o. Za stranite na ovoj triagolnik imame 2

1 3 1 .

AC  1, AD  i CD  12     2 2  2

Crte` 11 Da gi presmetame vrednostite na trigonometriskite funkcii za negovite ostri agli. Za agolot od 30o imame: 1 3 b 3 a 1 sin 30 o   2  , cos 30 o   2  , c 1 2 c 1 2 1 3 a 1 3 b tg30 o   2   , ctg30 o   2  3 , 1 b 2 a 3 3 2 2 o a za agolot od 60 imame: 3 1 a 3 b 1 sin 60 o   2  , cos 60 o   2  , c 1 2 c 1 2 str.6

Trigonometriski funkcii od ostar agol 1 3 b 1 3 a  . tg60 o   2  3 ctg60 o   2  1 a 2 b 3 3 2 2

Kako {to mo`ememe da zabele`ime, za presmetuvawe na vrednostite na trigonometriskite funkcii od spomenatite agli dovolno e da gi znaeme definiciite na trigonometriskite funkcii i svojstvata na ramnokrakiot pravoagolen i ramnostraniot triagolnik. Me|utoa, zaradi polesno pomnewe i poednostavna primena }e ja sostavime slednava tabela.



sin  cos 

tg 

ctg 

3 2

3 3

3

2 2

2 2

1

1

3 2

1 2

3

3 3

rad

Stepeni

/6

30

1 2

/4

45

/3

60

Primer 4: Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) 3 sin 30 o tg30 o  cos 60 o ctg60 o 1 1 b)  o sin 45 cos 45 o 3 1 3 1 3 3 2 3 Re{eni: a) 3 sin 30 o tg30 o  cos 60 o ctg60 o =3 + = + = 2 3 2 3 6 6 2 1 1 2 2 1 1 b) = + = + = 2  o o 2 2 sin 45 cos 45 2 2 2 2 Vrednostite na trigonometriskite funkcii od proizvolen agol mo`at da se odreduvaat so pomo{ na tablica na vrednosti na trigonometriskite funkcii i so pomo{ na kalkulator.

Isto taka so pomo{ na tablica na vrednosti na trigonometriskite funkcii i so pomo{ na kalkulator mo`at da se odreduvaat aglite ako se poznati vrdnostite na trigonometriskite funkcii, t.e. da se odredi nepoznatiot agol za koj se dobiva odredena vrednost na trigonometriskite funkcii.

Trigonometriskite funkcii od komplementni agli Kako {to vidovme porano za ostrite agli na pravoagolniot triagolnik va`i relacijata  +=90o t.e. aglite  i  se komplementni agli, {to zna~i za niv va`at relaciite =90o -  ,  =90o -  . Sega da vidime kakvi vrski postojat me|u trigonometriskite funkcii od komplementnite agli  i  na pravoagolniot triagolnik.

Teorema 1: Ako  eostar agol , toga{ sin   cos (90 o  ) , cos   sin (90 o  ) , tg  ctg( 90 o  ) , ctg  tg(90 o  ) (1) Dokaz:Neka e daden pravoagolniot triagolnik AVS so ostri agli  i  (crte` 12). Vrednostite za trigonometriskite funkcii za agolot  se: str.7

Trigonometriski funkcii od ostar agol

a , cosα  b , tgα  a ctg α  b .

(2) c c b a a vrednostite za trigonometriskite funkcii za agolot  se: b a b a (3) sin   , cos   , tg   , c tg   . c c a b sinα 

Crte` 12

Od ravenstvata (2) i (3) gi dobivame ravenstvata

(4) sinα  cos  , cosα  sin  , tgα  c tg  i ctg α  tg  . o Ako sega vo ravenstvoto (4) ja zamenime relacijata =90 - gi dobivame ravenstvata: sin   cos (90 o  ) , cos   sin (90 o  ) , tg  ctg( 90 o  ) , ctg  tg(90 o  ) {to i treba{e da se doka`e.

Primer 5: Opredeli go ostriot agol  ako: a) sinα  sin 28o b) sinα  cos 42 o v) sin ( α 30 o )  cos 20 o g) sin (α  10 o )  cos (α  10 o ) Re{enie: a) Ako 1 i 2 se ostri agli i sinα1  sinα2  α1  α2 . Od prethodnoto, sleduva deka =28o. b) Od teorema 1 sleduva deka sinα  cos 42 o = sin (90 o  42 o )  sin 48o , pa zatoa =48o. v) Od teorema 1 sleduva deka sin ( α 30 o )  cos 20 o = sin (90 o  20 o )  sin 70 o , od kade {to sleduva deka =70o. g) Od teorema 1 sleduva deka sin (α  10 o )  cos (α  10 o ) = sin (90 o  (α  10 o ))  sin (80 o  α) , od kade {to sleduva

(α  10 o ) = (80 o  α) , pa zatoa =35o.

Primer 6: Uprosti go izrazot: a) b)

8tg20 o  2ctg70 o 3tg20 o  ctg70 o

sin   cos 2  kade {to  i  se ostri agli vo pravoagolen triagolnik . cos   sin 2  o

8tg20o  2ctg70o 8tg20o  2tg20o 10tg20o Re{enie: a)   5 3tg20o  ctg70o 3tg20o  tg20o 2tg20o b) Bidej}i =90o -  i od teorema 1 sleduva sin   cos 2  cos (90o  )  cos 2  cos   cos 2    1. cos   sin 2  cos   cos 2 (90o  ) cos   cos 

Menuvawe na trigonometriskite funkcii pri promena na agolot od 0 o do 90o Da razgledame kako se menuvaat vrednostite trigonometriskite so promena na agolot, t.e. dali so zgolemuvaweto na agolot, vrednostite na trigonometriskite funkcii se zgolemuvaat ili namaluvaat.

Prvo da razgledame kako se menuvaat trigonometriskite funkcii sinus i kosinus. Za taa cel }e go razgledame delot od kru`nicata so radius r, vo koj vpi{uvame pravoagolni triagolnici OA1 V1, OA2 V2, OA3 V3, ..... OAn Vn (crte` 13), za koi hipotenuzite se ednakvi, t.e. r  OB1  OB2  OB3  ......OBn  .... , a za aglite str.8

Trigonometriski funkcii od ostar agol vo temeto O va`i 1   2  3  ....   n  .. .

Ponatamu A1B1  A 2 B2  A3B3  ......  A n Bn  .... pa zatoa

A1B1

A 2 B2

OA1

OA 2 OB2



OA3 OB3

 ...... 

 ...... 

A n Bn

OAn

 .... , od {to sleduva OBn cos 1  cos  2  cos 3  ....  cos  n  ..

Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na vrednosta na agolot , se namaluva i vrednosta na cos , {to zna~i deka funkcijata cos monotono   opa|a na intervalot 0,  . Od crte`ot se gleda deka ako agolot  se  2 o pribli`uva do 0 toga{ se zgolemuva do`inata na nalegnatata kateta na vpi{anite triagolnici i taa se pribli`uva do dol`inata na hipotenuzata i bidej}i dol`inata na hipotenuzata e konstantna, zaklu~uvume deka koli~nikot na nalegnatata kateta i hipotenuzata se pribli`uva kon 1,t.e. cos0o=1.

Ponatamu, ako  se pribli`uva do 90o , toga{ dol`inata na nalegnatata kateta na vpi{anite triagolnici se pribli`uva do 0. Spored toa od definicijata na OB1





A 3B3

 .... , od {to sleduva OB2 OB3 OBn sin 1  sin  2  sin 3  ....  sin  n  ..

Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na vrednosta na agolot , se zgolemuva i vrednosta na Crte` 13 sin , {to zna~i deka funkcijata sin monotono raste na   intervalot 0,  . Od crte`ot se gleda deka ako agolot  2 o  se pribli`uva do 0 toga{ se namaluva do`inata na sprotivnata kateta na vpi{anite triagolnici i taa se pribli`uva kon 0. Spored toa od definicijata na sinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik sleduva deka sin0 o=0.

Ponatamu, ako  se pribli`uva do 90o , toga{ dol`inata na sprotivnata kateta na vpi{anite triagolnici se pribli`uva do dol`inata na hipotenuzata i bidej}i dol`inata na hipotenuzata e konstantna, zaklu~uvume deka koli~nikot na sprotivnata kateta i hipotenuzata se pribli`uva kon 1,t.e. sin90 o=1.

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednavateorema.   Teorema 2: Funkcijata sin monotono raste na intervalot 0,  i pritoa  2   0  sin   1,  0,   2 Primer 7: a) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina sin15o, sin75o, sin35o, sin43o. b) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot sin35o- sin42o.

Re{enie: Od teorema 2 i neravenstvata 15o<35o<43o<72o, sleduva sin15o< sin35o < sin43 o<sin75o. b) Od teorema 2 i neravenstvata 35o<42o sleduva sin35o < sin42 o, {to zna~i sin35o- sin42o<0.

Povtorno da go razgledame crte` 13.

O~igledno OA1  OA2  ......  OAn  .... pa zatoa OB1



str.9

Trigonometriski funkcii od ostar agol kosinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik sleduva deka cos90o=0.

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednava teorema.  Teorema 3: Funkcijata cos monotono opa|a na intervalot 0,  i pritoa  2   0  cos   1,  0,   2 Primer 8: Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina cos15o, cos82o, cos75o, cos53o.

Re{enie: Od teorema 2 i neravenstvata 15o<53o<75o<82o, sleduva cos15o> cos53o >cos75 o>cos82 o.

Da go razgledame crte` 14, na koj se nacrtani nekolku pravoagolni triagolnici so zaedni~ka nalegnata kateta AC i za aglite vo temeto A va`i 1   2   3 .

O~iglidno CB1  CB2  CB3 pa zatoa

CB1



CB2



CB2

, od {to sleduva AC AC AC tg 1  tg  2  tg 3 .

Crte` 14 Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na vrednosta na agolot , se zgolemuva i vrednosta na tg , {to zna~i deka funkcijata tg   monotono raste na razgleduvaniot intervalot 0,  .  2 Od crte` 14 se gleda deka ako agolot  se pribli`uva do 0o toga{ se namaluva do`inata na sprotivnata kateta na vaka konstruiranite triagolnici i taa se pribli`uva kon 0, a bidej}i dol`inata na nalegnatata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na sprotivnata i nalegnatata kateta se priblu`uva kon nulata , {to zna~i tg0o=0. Ponatamu, ako  se pribli`uva do 90o , toga{ dol`inata na sprotivnata kateta na vaka konstruiranite triagolnici neograni~eno raste, a bidej}i dol`inata na nalegnatata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na sprotivnata i nalegnatata kateta neograni~eno raste. Poslednoto mo`eme da go iska`eme na sledniov na~in: Ako agolot  raste i se stremi kon 90o , toga{ na tg neograni~eno raste i se stremi kon beskone~nost, t.e. 90o, toga{ tg .

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednavateorema.   Teorema 4: Funkcijata tg monotono raste na intervalot 0,  i pritoa  2   0  tgα  ,  0,   2 Primer 9: a) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina tg13 o, tg82o, tg75o, tg53 o. b) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina ostrite agli , , , , ako tg =0,437, tg =5,678, tg =1,0234,tg =25,786.

Re{enie: Od teorema 4 i neravenstvata 15o<53o<75o<82o, sleduva tg15 o< tg 53o < tg 75 o< tg 82o. str.10

Trigonometriski funkcii od ostar agol b) Od 0,437<1,0234 < 5,678<25,786, sleduva deka tg < tg <tg < tg , pa od teorema 4 sleduva deka < < < .

Vo prethodnoto razgleduvawe vidovme deka 0< 1   2   3 , sleduva deka 0< tg 1  tg  2  tg  3 . No, za pozitivni realni breoevi h i u od h<u sleduva 1 1 1 1 1 , i ako go iskoristemi deka za sekoj ostar agol  pa zatoa   x y tg1 tg 2 tg 3 1  ctg dobivame deka ctg 1  ctg  2  ctg 3 . tg

Crte` 15 Od crte` 15 se gleda deka ako agolot  se pribli`uva do 0o toga{ se zgolemuva do`inata na nalegnatata kateta na vaka konstruiranite triagolnici neograni~eno raste, a bidej}i dol`inata na sprotivnata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na nalegnatata i sprotivnata kateta neograni~eno raste. Poslednoto mo`eme da go iska`eme na sledniov na~in: Ako agolot  raste i se stremi kon 0o , toga{ na ctg neograni~eno raste i se stremi kon beskone~nost, t.e. 0o, toga{ ctg .

Ponatamu, ako  se pribli`uva do 90o , toga{ dol`inata na nalegnatata kateta na vaka konstruiranite triagolnici i taa se pribli`uva kon 0, a bidej}i dol`inata na sprotivnata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na nalegnatata i sprotivnata kateta se priblu`uva kon nulata , {to zna~i ctg90o=0.

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednavateorema.   Teorema 5: Funkcijata ctg monotono opa|a na intervalot  0,  i pritoa  2   0  ctgα  ,   0,   2 Primer 10: a) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot ctg28o-1. tg55o  tg25o b) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot . ctg37 o  ctg45o Re{enie: Znaeme deka ctg45o=1 i bidej}i 45o>28o od teorema 5 sleduva ctg28o> ctg 45 o , t.e. ctg28o-ctg 45o>0. Spored toa , ctg28o -1= ctg28o-ctg 45o>0. b) Bidej}i 55o >25o od teorema 4 dobivame deka tg55o> tg25o t.e. tg55o- tg25 o>0.

No, 37o <45o od teorema 5 dobivame deka ctg37o> ctg45 o ,t.e. ctg37o- ctg45 o>0. tg55o  tg25o Kone~no izrazot e koli~nik na dva pozitivni broja , pa zatoa ctg37 o  ctg45o

tg55o  tg25o >0. ctg37 o  ctg45o Primer 10: Za koi vrednosti na ostriot agol

va`i ctg <1, a za koi ctg >1. str.11

Trigonometriski funkcii od ostar agol Re{enie: Znaeme deka ctg45o=1 . Sega od teorema 5 sleduva: ako 0o< <45o , toga{ ctg >1, a - ako 45o < <90o ,toga{ ctg <1.

Vrski me|u trigonometriskite funkcii od ist agol Pred da gi razgledame vrskite {to postojata me|u trigonometriskite funkcii od ist ago da go razgledame sledniov Primer 11: Presmetaj: a) sin 2 45o  cos 2 45o b) sin 2 30o  cos 2 30o 2 2 2 2 2 2 Re{enie: a) sin 2 45o  cos 2 45o  ( ) ( )   1 2 2 4 4 1 3 2 1 3 b) sin 2 30o  cos 2 30o  ( ) 2  ( )   1 2 2 4 4 Ovoj prime ne naveduva na pretpostavkata deka zbirot od kvadratite na funkciite sinus i kosinus od eden ist agol e ednakov na eden. Vo slednava teorema }e poka`eme deka na{ata pretpostavka e to~na.

Teorema 6: Zbirot od kvadratite na sinus i kosinus od edne ista agol e ednakov na edinica, t.e. sin 2   cos 2   1 (1) Dokaz: Neka AVS e pravoagolen triagolnik so ostar agol . Od definicijata na sinus i kosinus imame a b sinα  ,cosα  ,{to zna~i c c a 2 b 2 a 2  b2 2 2 . No triagolnikot sin   cos   ( )  ( )  c c c2 Crte` 16 AVS e pravoagolen, pa od Pitagorovata teorema imame a 2  b2  c2 i ako zamenime vo poslednoto a 2  b2 c2  2  1 {to i treba{e da se doka`e. ravenstvo dobivame sin 2   cos 2   c2 c Od ravenstvoto (1) sleduvaat relacii so koi mo`e da se presmeta vrednosta na sinus od ostar agol ako e poznata vrednosta na kosinus od istiot agol formula (2) i da se presmeta vrednosta na kosinus od ostar agol ako e poznata vrednosta na sinus od istiot agol formula (3). sin   1  cos 2  ....(2) cos   1  sin 2  .....(3) Primer 11: a) Za ostriot agol najdi cos ako sin =0,6. b) Uprosti go izrazot (2- cos )(2+cos )-3

Re{enie: a)Od formulata (3) sleduva cos   1  sin 2   1  (0,6) 2  0,64  0,8 b) (2- cos )(2+cos )-3=22 - cos2 -3=4- cos2 -3=1- cos2 = sin2 .

1 Kako {to znaeme,to~na e formulata od koja sleduvaat tg  ctg 1 formulite ctg  .....(4)ctgtg  1.....(5) . tg a sinα c a a b    tg  , t.e. to~na Od druga strana, od sinα  ,cosα  sleduva c c cosα b b c str.12

Trigonometriski funkcii od ostar agol e formulata tg  

sinα (6). cosα

Sega od formulite (4) i (5) dobivame ctg  

1 1 cosα , t.e. to~na e   tgα sinα sinα cosα

cosα (7). sinα Ravenstvata (1), (5),(6) i (7) vo literaturata se poznati kako osnovni trigonometriski identiteti.

So koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti mo`e da se odredi vrednosta na drugite(tri) trigonometriski funkcii od daden agol ako se znae vrednosta na edna od niv od istiot agol (nivnoto presmetuvawe e mo`e da se izvr{i so slednive formuli).

formulata ctg  

 cos   1  sin 2   sin   sin  tg   cos   1  ctg   tg  

 sinα  1  cos 2 α  sinα  cosα tg α  cosα  1  ctg α  tg α 

tg α  sinα  1  tg 2 α   1 tg α cosα  1  tg 2 α   1 ctg α  tg α 

 1 sin   1  ctg 2    ctg   ctg  cos    1  ctg 2   tg   1  ctg 

Sega da ja razgledame primenata identiteti preku nekolku primeri.

Primer 11: Za ostriot agol

na

osnovnite trigonometriski

presmetaj cos , sin , i ctg

ako tg =

12 .

5

Re{enie: Od formulata (4) sleduva ctg 

1 1 5   tg 12 12 5 12

sinα 

tg α 2 1  tg α



12

5

 12   5

1 

2



5  144 1 25

12

12

5  5  12 169 13 13 5 25

2

144 25 5  12  cos   1  sin   1     1    .

169 169 13  13  Primer 12: Doka`i go dentitetot : 2 a) sin   cos 2   1  2 cos 2  2

str.13

Trigonometriski funkcii od ostar agol 1 1 2 tgα   1  sinα 1  sinα cosα Re{enie: Doka`uvaweto na vakvi identiteti mo`e da se utvrdi na dva na~ina:

b)

1. So transformacija,ednata strana na ravenstvoto se sveduva na drugat 2. Se transformiraat i ete strain na ravenstvoto se do nivno sveduvawe na o~igledno ravenstvo a) sin 2   cos 2   1  cos 2   cos 2   1  2 cos 2  1 1 2 tgα b)    1  sinα 1  sinα cosα sin  2 1  sinα  1  sinα )  cos   (1  sinα )(1  sinα ) cosα 2 sinα 2 sin    2 1  sin α cos 2 α 2 sinα 2 sin   cos 2 α cos 2 α so {to identitetot e doka`an.

Re{avawe na pravoagolen triagolnk i re{avawe na prakti~ni problemi Sega koga gi vovedivme trigonometriskite funkcii i znaej}i gi vrskite me|u niv mo`eme da re{ime daden pravoagolen triagolnik. Sega se nametnuva potrebata da odgovorime na slednovo pra{awe: [to zna~i da se re{i pravoagolen triagolnik? Odgovorot na ova pra{awe se sostoi vo toa {to po dadeni dva elementi na parvoagolen triagolnik( razli~ni od praviot agol i eden element mora da bide strana) da se odredat ostanatite elementi(elementi na triagolnik se negovite strain i agli) na pravoagolniot triagolnik.

Od gore ka`anoto sleduva deka postojat ~etiri tipa na zada~i za re{avawe na pravoagolen triagolnik i toa: 1. poznati se hipotenuzata i eden agol 2. poznati se kateta i eden agol 3. poznati se kateta i hipotenuzata i 4. poznati se dvete kateti.

Zabele{ka: Po`elno e site elementi na triagolnikot da se presmetuvaat so prvi~nite podatoci so cel da se izbegnat pogolemi gre{ki vo presmetuvawata.

Sega }e gi re{ime ovie zada~i so konkretni podatoci i nekoi prakti~ni problemi koi vo su{tina se sveduvaat na re{avawe na nekoj pravoagolen triagolnik.

Primer13: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so hipotenuzata c=56 cm i agolot =53o28’.

Re{enie : Dadeni se c=56 cm i =53o28’. Treba da se odredat a,b i .

Agolot se odreduva od relacijata + =90o od kade {to sleduva deka =90o- =90o-53o28’=36o32’. a Ponatamu od sinα   a  csinα  56 sin 53o 28'  45cm c str.14

Trigonometriski funkcii od ostar agol b  b  c cosα  56 cos 53o 28'  33,3cm . c Primer14: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateta a= 123 cm i agolot =41o12’.

Re{enie : Dadeni se a= 123 cm i =41o12’. Treba da se odredat b,c i .

Agolot se odreduva od relacijata + =90o od kade {to sleduva deka =90o- =90o- 41o12’=48o48’. a a 123 Ponatamu od cos    c    163,5cm c cos  cos 41o12' b a od tgα   b  atg   123 tg 41o12'  107,7cm . a

a od cosα 

Primer15: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateta a= 24 cm i hipotenuzata c=30 cm.

Re{enie : Dadeni se a= 24 cm i c=30 cm. Treba da se odredat b, i .

Od Pitagorovata teorema imame

b  c 2  a 2  30 2  24 2  900  576  324  18cm . a 24 Ponatamu od cos     0,8, pa sleduva deka =arccos0,8=36o52’ i c 30 =90o- =90o- 36o52’=53o8’.

Primer16: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateti a= 2,4 cm i b=3,5 cm.

Re{enie : Dadeni se a= 2,4 cm i b=3,5 cm. Treba da se odredat c, i .

Od Pitagorovata teorema imame c  a 2  b 2  2,42  3,52  5,76  12,25  18,01  4,2cm . a 2,4 2,4  34o 26' i Ponatamu od tgα   pa sleduva deka   arctg b 3,5 3,5 =90o - =90o- 34o 26’=55o 34’.

Zabele{ka: Funkciite arccosa, arccosa, arctga i arcctga (se ~ita "arkussinus od a" , "arkuskosinus od a”, "arkustangens od a" i "arkuskotangens od a" se koristat za odreduvawe na agolot ako e poznata vrednosta na trigonometriskata funkcija a.

Primer17: Ramnokrakiot trapez e zadaden so pogolemata osnova a=42 cm i krakot c =25cm i agolot pri dadenata osnova =47o20’. Da se najde drugata osnova visinata.

Re{enie : Od crte` 17 se gleda deka 2x=a-b, t.e. b =a-2x . Zna~i, od pravoagolniot tragolnik ADD1 treba da gi odredime x i h, odnosno: o ' h  csinα  25 sin 47 20  25  0,73531  18,4cm ; x  c cosα  25 cos 47o 20'  25  0,67773  17cm .Baranite elemrnti na trapezot se h=18,4cm i b=42-2.17=8,b=8cm .

str.15

Trigonometriski funkcii od ostar agol

Crte` 17 Primer18: Pilot na avionot mu javuva na kapetanot na ribarskiot brod deka pod sebe zabele`al golemo jato ribi i deka se nao|a na visina od 1200m. Od brodot go merat agolot sprema moreto pod koj go gledat avionot i nao|aat deka iznesuva 18o30’. Kolku e daleku brodot od jatoto ribi?(Crte` 18a) Re{enie : Situacijata vo zada~ata mo`e da se prika`e so pravoagolniot triagolnik na crte` 18b, kade {to baranoto rastojanie e ozna~eno so h; od ctre`ot se gleda deka x ctg 18o30'  t.e. x  1200  ctg 18o30'  1200  2,9887  3586,4m . Zna~i brodot 1200 e oddale~en od jatoto ribi 3586,4m.

Crte` 18a Crte` 18b Primer19: Na konec zakrepen so eden kraj i dolg l= 1,2 cm obesena e te{ka topka(ni{alo) . Za kolkav agol  e otkloneto ni{aloto od ramnote`nata polo`ba ako e napraven oklon(aplituda) a=17 cm.(Crte` 19) Re{enie : Od crte` 19 sleduva deka

a 17   0,14166 l 120 od kade {to sleduva deka sinα 

  arcsin 0,14166  8o9' .

Crte` 19

str.16

Trigonometriski funkcii od ostar agol Primer20: Odredija visinata na drvoto na ctre` 20, spored dadenite elementi.

Re{enie : Visina ta na dr voto e h= 1,5 m+ x.

x t.e.

16 x  16  tg 28o 40'  16  0,54673

tg 28o 40'  x  8,75m

Spored toa visinata na drvoto e h 1,5m +8,75m=10,25 Crte` 20

str.17