Ecuaciones: El Lenguaje del Universo by Cambio de Variable

EDITORIAL Adentrarnos al mundo de las matemáticas resulta atrayente e indescifrable en algunos casos, están presentes en cada momento de nuestro actuar en este mundo, resultando apasionantes para cierto grupo de personas.

A través de este número damos a conocer algunos escenarios dónde se demuestra la belleza de las matemáticas, mediante ciertas ecuaciones y su aplicación en aspectos esenciales del día a día. Esperamos que el lector disfrute del número e incremente su curiosidad.

Director Luis A. López Hernández Subdirector Moisés Orozco Pacheco Coordinadora Editorial Illyana X. Montoya Diseño Editorial Janeth Francisco Martínez Edición Editorial Hibels Ávila Patricia Montoya

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Redes Sociales Jair Carmona Casiano Luis F. Castillo García Jair Miguel Aguilar Redacción Fermy Aguilar Gabriel D. Rivera Vázquez Oscar Domínguez

El caos

El límite de una función

La derivada (Una función de otra función)

Navier–Stokes: las ecuaciones del millón de dólares

Ley de la Gravitación Universal

La constante de Conway

Preguntas y Respuestas: El teorema de Fermat

Porqué son difíciles las matemáticas

Moisés Orozco

Hibels Ávila

Gabriel Rivera

Fermy Aguilar

Luis Fernando

Oscar Domínguez

Hibels Ávila

Patricia Montoya

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Una dinámica del caos: Ecuación Logística

l caos, una palabra que ha generado controversia en el mundo, la fascinación de algunos pero el repudio de otros, un recordatorio del lado oscuro de la realidad que todos ven, pero nadie entiende. Desde nuestros orígenes hemos tenido la capacidad de encontrar patrones en la naturaleza: las estrellas, los planetas, los animales, hasta nosotros mismos; los primeros conceptos de conjuntos y por supuesto de matemáticas, plasmadas en un mundo que hasta el momento, sus secretos eran posesión estrictamente de los dioses. Johannes Kepler, la figura clave de la revolución científica público sus leyes en 1596, de ahí que comenzara toda una corriente por conocer el orden del movimiento de los Planetas, Galileo Galilei dio la postura del sistema solar céntrico al sol y más tarde sería Newton quien reafirmaría y mejoraría el modelo con la ley de Gravitación Universal. Hasta este punto la ciencia había anotado el gol de la victoria, en el siglo XVII en la comunidad científica abunda- Descubre una de las ecuaciones ba una atmosfera de determinismo más peligrosas y bellas de la absoluto de la física. El comienzo de historia ¡La ecuación del caos!

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la física clásica. Y para este punto podemos preguntarnos ¿habremos descubierto o creado el orden? Platón pensaba que la idea del orden era eterna y perfecta, y solo existía en el mundo de las ideas mientras los humanos intentábamos alcanzarla con la razón, Aristóteles pensaba que el orden era el intento desesperado de la humanidad por entender el caos del universo ¿qué piensa usted querido lector?, sin duda lo invito, a una discusión retroalimentativa por este artículo mientras usted descubre una de las ecuaciones más peligrosas y bellas de la historia ¡La ecuación del caos! Stephen Hawking ya lo había dicho “Si en un instante determinado conociéramos las posiciones y velocidades de todas las partículas en el Universo, podríamos calcular su comportamiento en cualquier otro momento del pasado o del futuro.” Sin embargo no es, no fue y nunca será lo suficientemente sencillo. En mecánica clásica, podemos hablar con seguridad de tres movimientos fundamentales de un objeto: el Movimiento Estacionario, referencia a secuencia lineal y constante por parte de la velocidad del móvil; Movimiento Cíclico, especula a un ciclo repetitivo en el móvil y por último el Movimiento Caótico o Parabólico, una combinatoria de aceleración y velocidad. Estrictamente nos enfocaremos en este último. Posteriormente de Newton, Poincaré un matemático francés realizó Cambio de variable• 5

varios estudios para determinar por completo el movimiento planetario, y generó controversia ante su respuesta: sistemas deterministas que a largo plazo su predicción era imposible. Una respuesta y pregunta al mismo tiempo, es que ¿acaso puede determinarse toda la historia de un fenómeno?

Stephen King en su libro “La Niebla” escrito en 1981, nos recrea en una pequeña ciudad envuelta de niebla, que guarda horribles secretos, monstruos. Lo que debería preocuparnos en este caso, es no poder predecir la ubicación exacta de la niebla y por tanto el peligro, pues la teoría molecular cinética nos lo ha dejado en claro: podríamos saber cuánta cantidad de niebla tenemos y sus movimientos a largo plazo, pero nunca su ubicación exacta. Un sistema caótico, donde no sabemos el comportamiento de cada átomo de gas, pero si el comportamiento de todos los millones de millones que hay en toda la niebla, gracias a lo que llamamos en “teoría del caos” a tractores extraños.

ntonces, aquí cual bello mapa del tesoro, nos hemos encontrado con la primera premisa importante de esta ecuación ¿orden en el caos? No exactamente, pero es los más cercano a orden que podemos encontrarnos en sistemas dinámicos caóticos. Le invito querido lector a pensar en un caudal, que desemboca en una bella cascada, aquellas gotas de agua cristalina, que forman parte de un rocío mágico, formada por la bella inspiración de la tierra para sus hijos, lamentablemente un sistema demasiado complejo para entender la ubicación de cada gota voladora que cae sale y se mantiene en el aire. Podríamos dar un juicio claro y conciso “es caótico” sin embargo, no por eso, una gota se quedaría en el aire esperando el viento del Este para llegar a estrellarse en la luna. Los atractores extraños trazan tendencias en la función, no

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sabemos cuándo el azar decidirá seguirla, pero sabemos que lo hará.Sin más preámbulo demos la entrada a la tan citada ecuación: logística.Le gusta ser dramática, y aunque se ve sencilla, esta belleza representa el sistema más sencillo que se vuelve caótico, no la subestime. En 2009 México vivió una de la peores pandemias en su historia la influenza H1N1, se convirtió en la pesadilla de toda una generación, sin embargo, ¿qué provocó su caótico crecimiento exponencial? La función logística ayuda a modelar esto, de una manera sencilla y efectiva. Aunque los cálculos no son realistas, es lo más cercano a un orden. Utilizamos la constante k como el índice de crecimiento mientras a la x como la población. Si desarrollamos la ecuación obtendremos dos valores, representados en una resta, uno positivo, y el otro negativo. Nuestro valor negativo, representará de manera geográfica la tasa de mortalidad, mientras el valor positivo la tasa de natalidad, será igual a valor de la generación futura de la especie. Es necesario hacer algunas observaciones y especulaciones acerca de los resultados: -

La belleza de la ecuación radica en el equilibrio que de primer acto, nos expresa. Pensemos un momento en la película de Avengers 3 cuando Thanos quiere dar equilibrio al universo. Dado que la población ha crecido también nuestra tasa de mortalidad, y nuestro sentido común no los advierte, no hay recursos ni alimento, cosa que lleva a la quiebra a la especie. Thanos muy bien pudo haber aprendido de sistemas dinámicos para llegar a su conclusión.

Si la tasa de crecimiento es menor a la cantidad de la especie, esta se extinguirá con rapidez; no hay nada de complejidad en esto, solamente piense en la raza humana sin la suficiente agua, y listo.

Podemos predecir con seguridad los primeros pasos de la ecuación: Así es, mientras nuestra población logarítmica no pase de 1 todo será bello y determinista, así como la vieja escuela. Cambio de variable• 7

Recordando la definición de atractor, este será las tendencias a seguir por la función. Por tanto, dadas las siguientes observaciones procederemos a analizar el sistema caótico que aguarda esta función. Para ello, derivamos la ecuación y la encerramos en otra función que continuaremos a graficar; esta segunda gráfica tendrá los valores de las poblaciones iniciales de la función logística es decir si f´(0) = f(1), de manera que siguiendo este patrón podremos buscar los valores procedentes de la función 2 en la función 1, si realizamos esto una cantidad determinada de veces, podremos llegar al atractor de la gráfica. Entonces, ¿dónde quedo la sangre, muerte y destrucción? Pues le invito a tomar una calculadora y experimentar con distintos valores: Sea k, los recursos de la población, nuestra tasa de crecimiento. Si nuestra k va de los intervalos 0 <k <1 tendremos un atractor que será 0, nuestra población va a colapsar, si proseguimos de 1< k <2 será un movimiento estacionario, El caos es el principio del orden, y el orden el principio del caos. en otras palabras nuestro atractor será un punto de estabilidad para nuestra especie, si va de 2< k <3 será cíclico, y nuestro atractor también se repelará y se atraerá a sí mismo en un ciclo infinito; y si es de 3< k <4 será caótico, el atractor, ira a todas partes creando ciclos cada vez más complejos. Estamos contemplando la idea de un caos determinista, Ian Stewart habría definido caos de la siguiente manera: “El caos es aparentemente un comportamiento aleatorio con causas puramente deterministas”. Es determinista porque la dinámica del sistema puede conocerse y predecirse, siempre y cuando se conozcan las condiciones precarias. Sin duda, solo hemos desencriptado algunas partes de esta ecuación 8 •Cambio de variable

innovadora, pero las suficientes para tener una visión más profunda del caos. Entonces ¿Ya pensó su respuesta? ¿El orden lo descubrimos o lo creamos? Dos bandos importantes en la historia de la matemática. Independientemente de su respuesta lector, quisiera dejar en claro dos conclusiones tras la investigación de esta ecuación. El caos es el principio del orden, y el orden el principio del caos, una doble implicación, algo que nos lleva a la profunda reflexión de nuestra realidad ¿Existe realmente el caos? Una pretenciosa premisa para los platónicos quienes piensan en el orden como algo eterno y perfecto que hay que descubrir en la matemática, por tanto, podríamos pensar en el caos, como un factor que algún día podría ser totalmente determinista, algo así como un control absoluto que supuestamente gozaba la física clásica, solo es cuestión del tiempo para que el humano cree, el sistema de ecuaciones lo suficientemente complejo a la situación ¿pero, qué acaso esto no es lo demasiado utópico para ser verdad? Con la hechura de la física cuántica, sin duda ha sido un golpe muy fuerte para nosotros, quienes teníamos la fe en el determinismo, pero la vida no es perfecta, y aún estamos muy lejos de entender en su totalidad un fenómeno. Todos confiamos en los axiomas porque ayudan a demostrar, pero ¿quién demuestra a estos? ¿acaso necesitamos fe, para ser matemáticos? Y si esto es cierto, entonces, ¿quién dice, que todo lo que conocemos no puede ser antrópico?, es decir, es caótico aun en nuestra percepción de orden. Por lo que nos lleva a la segunda premisa conclusiva: no existe el caos absoluto, nada puede ser totalmente caótico, así como nada puede ser totalmente ordenado, porque, así como existen aproximadamente n dimensiones, entonces existen n sistemas de combinatorias para las leyes físicas, sistemas, topologías, n-uplas como quiera concebirlo. Por tanto, no es descabellado en una n forma de orden, tal que, podamos hablar de un caos y un orden relativo. Sin duda parece que el caos y el orden son dos caras de la misma moneda, pues ¿qué ha sido la matemática sino la frontera entre estos dos?. Por Moisés Orozco Pacheco Cambio de variable• 9

Límite de una función

magina que ves por la calle a la persona que te gusta. Te encantaría conocerla, pero no te atreves a hablarle directamente pues temes cuál sería su reacción. Así que, decides empezar a conocerla por medio de las personas que le rodean, y entre más próximas sean (vecinos, amigos y familiares) mejor será la información que recolectarás, no pararás hasta que estés seguro de que la conoces perfectamente, aunque nunca hubieres hablado con ella.

Los matemáticos conocemos perfectamente esa sensación de no atreverse a preguntar directamente, no sólo con las personas; sino también nos sucede con las funciones. En una función si se quiere conocer el comportamiento de un punto a generalmente se evalúa la función, es decir, se calcula f(a) . Por ejemplo si la función es f(x)=x 2 +3 y queremos su comportamiento en x=1 el resultado de sustituir este valor es f 1 = (4). En ocasiones, no es posible hacer esto, debido a que la función se comporta extrañamente en el punto, o no sabemos cómo se comporta o no tenemos la información suficiente para hacer la evaluación. Así que acudimos al concepto de límite, el cual equivale a la recopilación de la información con las personas cercanas que se mencionó en el primer párrafo. 10 •Cambio de variable

La definición de límite ha evolucionado en el tiempo hasta la versión que se acepta actualmente, que fue propuesta Weierstrass y refinada por G. H. Hardy, la cual dice:

La función f tiende al límite L cuando x tiende al punto a, si para todo ε > 0 existe en δ > 0 tal que, para todo x, si 0 < lx- al < δ entonces l f(x) -Ll < ε Esto significa que si ε es la cantidad de las cosas que quiero saber, puedo encontrar una distancia δ tal que todas las personas que se encuentren a una distancia menor a está, es seguro que me pueden responder. Esto significa que entre más pequeño sea el error, las personas a las que les pregunte tendrán que ser más cercanas. En matemáticas significa que al evaluar la función en valores cercanos pero diferentes al punto a esta se aproxima al valor L. Un ejemplo claro de la importancia de los límites es que nos permite conocer el valor de una función racional cuando el denominador toma el valor de cero. Dentro de los números racionales la división entre cero no tiene sentido, pero es común que para las funciones se investigue hacia qué número se acerca. El límite nos permite aproximarnos a estos valores sin la necesidad de que la fracción pierda sentido ya que el divisor nunca toma el valor de cero.Es como el caso de los hermanos mayores, cuando el hermano menor está sentado tranquilamente y el mayor comienza a estirar un dedo de la mano en dirección al menor, acercándose lentamente hasta que este último grita – ¡Mamá, mi hermano me está tocando! – y el mayor contesta - ¡No es cierto! – por qué en realidad no lo está tocando, se acerca tanto como pueda, pero sin tocarlo; ya que, de hacerlo, sufriría la ira del menor y un regaño de la madre. Cambio de variable• 11

Además, el concepto de límite es la puerta de entrada para la construcción del edificio del cálculo. En particular cuando tenemos un cociente de la for-

ma: Nos interesa conocer su comportamiento cuando x se acerca al valor de a (lo que provoca que el divisor x - a se acerque a cero) aplicamos el concepto de límite, es decir

y al resultado lo llamamos derivada. Pero de eso hablaremos más adelante. Saludos, Hibels.

Es importante notar que la variable nunca toma el valor hacia el cual tiende dentro del límite. Para aclararlo considere que Esto sucede debido a que, al aplicar el límite, x toma cualquier valor cercano, pero nunca igual a 0; por lo que la expresión nunca se presenta y el cociente da como resultado 1.

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La Derivada Hablemos sobre algo realmente genial: la derivada.

rimero vamos a hacer énfasis en algunos conceptos que vamos a necesitar, empecemos por preguntarnos: ¿Qué es una secante? bueno, tomemos un ejemplo, cuando una circunferencia es atravesada por una línea recta en más de un punto, como si partiéramos por la mitad un círculo, esa línea que le atraviesa se llama secante. No sólo en una circunferencia podemos encontrar secantes, en cualquier figura geométrica, cuando se corta por la mitad, o por alguna otra parte, se presenta una secante. Todo esto es importante por qué nos permite tener en mente otro tipo de línea: la recta tangente; a diferencia de la secante, esta recta toca únicamente un punto, por ponerlo en otras palabras toca fugazmente a una figura geométrica más no la corta, no la interrumpe. Todo comienza con los antiguos griegos, ellos sabían trazar las tangentes de varias figuras geométricas, pero cuando querían obtener la recta tangente a una gráfica con varias curvas, el asunto se volvía más complicado, sobre todo por qué insistían en utilizar solamente regla y compás, algo así como utilizar únicamente palitos y cuerditas. Por fortuna llegó René Descartes, a quien se le conoce como el padre de la geometría analítica. Él introdujo los ejes coordenados (plano cartesiano) y con esto varios problemas se pudieron simplificar bastante, se empezaron hacer cálculos analíticos, sin embargo, trazar tangentes aún era un gran problema. Cambio de variable• 13

Finalmente, el problema de como trazar las tangentes, fue resuelto por Newton y Leibniz de manera independiente. Ellos implementaron una herramienta matemática muy importante: la derivada, este concepto es tan importante que, gracias a ella, los conocemos como los padres del cálculo. La derivada nos sirve para encontrar la recta tangente a cualquier gráfica en un punto dado. Para entenderlo matemáticamente necesitamos imaginarnos una curva en un plano, esa curva será una función1 matemática (por el momento no ahondaremos en ese término por qué es más complejo de lo que pareciera primera vista). Luego tomaremos un punto que se encuentre en cualquier lugar de la curva, de ahí partimos con que ese punto estará definido por el plano con unas coordenadas, imagina que el punto a se encuentra a una distancia x del eje horizontal y a otra distancia y en el eje vertical, entonces podemos decir que a esta en el punto (x,y) del plano y que además pertenece a una curva. Vamos a trazar otro punto en la curva delante de a, al cual le llamaremos “a+h”. Así que ya tenemos dos puntos, el primero que es está en función de a y el segundo que queda como a+h y podemos trazar una línea recta sobre esos dos puntos. Con estos puntos y con la curva, que asumiremos en una función, podemos decir que tenemos dos puntos de esa función:

1 Una función es como una máquina que recibe un valor y nos regresa otro, es importante que sepas que esta máquina siempre va seguir reglas básicas. 14 •Cambio de variable

Y para obtener la pendiente de la recta podemos utilizar la fórmula de la pendiente y sustituir las coordenadas en ella y quedaría algo como esto:

El problema de la derivada radica en encontrar una recta tangente más no una recta secante. Lo que tenemos, hasta ahora, es una recta secante porque es una recta que corta en dos puntos a la curva . Aquí es donde retomamos a Newton y a Leibniz, cuando pudieron imaginarse que el segundo punto se puede acercar al primer punto tanto como se desee, así que acercando los dos puntos hasta que coincidan se convertirían casi en el mismo punto, por tanto la recta se convertiría en una tangente. Para eso necesitamos que la distancia h se haga más y más pequeña, que su valor tienda a cero, (cuando decimos “que tiende a cero” no quiere decir que sea igual a cero, sino que se acerque tanto a cero como sea posible sin tocarlo), así que el legado de estos dos grandes matemáticos, lo podemos resumir de manera concreta en una simple fórmula:

Cabe resaltar, que esta simple fórmula es el resultado de un trabajo colectivo, es la forma puramente matemática de explicar cómo funcionan los cambios, cuando tenemos datos suficientes para describir un hecho en forma de función (curva); y esa fórmula es la definición precisa de la derivada. Es importante también decir que la derivada nos proporciona datos importantes el más destacable es que nos da la razón de cambio, que simplemente es la rapidez con la cambia de valores la función. Autor:Gabriel Rivera Cambio de variable• 15

Las ecuaciones de Navier - Stokes

l año 2000 fue una etapa importante para muchas personas: por un lado le dábamos la bienvenida al nuevo siglo, mientras que la comunidad matemática anunciaba los “siete problemas del milenio”, mismos que fueron elegidos por un comité de expertos, aquel que logre resolver alguno de ellos será recompensado con un millón de dólares. Por ello, el 2000 fue nombrado el “año mundial de las matemáticas”.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son el cuarto de los siete problemas del milenio, y describen el movimiento de un fluido. Llevan su nombre gracias al matemático e ingeniero francés Claude-Louis Navier (1785-1836), que en 1822 creó un sistema de ecuaciones que detalla el comportamiento de algunos fluidos, y a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) que perfeccionó el sistema en 1842. En el mejor de los casos, deberían describir el movimiento futuro de un fluido a partir de su estado inicial, lamentablemente y a pesar de todos los esfuerzos que la comunidad matemática ha invertido por más de un siglo, no ha sido posible demostrar este fenómeno. Recientemente Tristan Buckmaster y Vlad Vicol de la Universidad de Princeton, lograron mostrar que bajo ciertas condiciones, las ecuaciones de Navier-Stokes arrojan resultados que describen al mundo físico, sin embargo, bajo otros supuestos proyectan deducciones incongruentes: un mismo fluido con condiciones iniciales puede acabar en más de un estado. Bajo esta problemática, si las ecuaciones arrojan múltiples soluciones tenderán a fallar.Una de las actividades favoritas de los científicos es tener la capacidad de predecir acontecimientos, y ¡vaya que en estadística y probabilidad hemos tenido 16 •Cambio de variable

un gran progreso!, también se puede pronosticar, por ejemplo, que el día 31 de julio de 2018 Marte tendrá su distancia mínima con la Tierra y que será visible desde cierta ciudad; o en meteorología augurar una tormenta por la tarde que permitirá a los expertos recomendar salir con paraguas desde temprano. No obstante, con las ecuaciones de Navier-Stokes es muy difícil hacer predicciones. Razón por la cual, el huracán Matthew que arrasó gran parte del mar del Caribe en el 2016 no pudo ser previsto hasta tres días antes del siniestro.

¿Cómo se ven las ecuaciones de Navier-Stokes?

magina que tenemos un recipiente inmóvil, cerrado y lleno de agua, si antes de cerrarlo revolvemos el líquido con fuerza, y suponiendo que sabemos exactamente la magnitud y dirección de la velocidad del agua, ¿es posible predecir los valores de éstas mismas variables a futuro?

Al tratar de dar con una respuesta, es importante aclarar que las fuerzas que actúan sobre un fluido se dividen en dos: las que trabajan a distancia (como la gravedad), y las que trabajan al contacto (como la presión). Euler (1707- 1783) fue un gran maestro del estudio de fluidos, sin embargo, para saber si el agua de nuestro recipiente tenderá al reposo hay que tomar en cuenta la viscosidad1, variable que no se modeló hasta el siglo XIX, con Claude Navier, Augustin Cauchy, Siméon Poisson, Adhémar Barré de Saint-Venant y George Gabriel Stokes como sus principales pioneros. En su notación vectorial, las ecuaciones de Navier-Stokes se ven así: Donde u = velocidad, de aquí que u 0 = velocidad inicial, p = presión; ambas funciones de posición x y del tiempo t, y v = velocidad del fluido, donde x recorre toda la región Ω del fluido, el tiempo t va de 0 a +∞.

1 Viscosidad: Colisión entre partículas del fluido que se mueven a diferentes velocidades, provocando una resistencia al movimiento. Cambio de variable• 17

Las ecuaciones Navier-Stokes las podemos ver en el cine

ntrando en materia de cine, la película King Kong (de 1933) fue una de las pioneras en cuanto a efectos especiales se refiere, desde entonces, cada vez que se quería representar una explosión, inundación, incendio o cualquier situación que no pudiera ser representada sólo con los actores, se usaban maquetas. Por ejemplo, la destrucción de la estrella de la muerte en Star Wars: episodio IV (de 1977) tuvo que ser filmada usando una maqueta y haciéndola explotar. Pero en 1999, a Nick Foster, ingeniero de software, se le ocurrió dar otro uso a las ecuaciones de Navier-Stokes, cambiando así la historia del cine para siempre. Lo que hizo fue fraccionarlas, quedándose sólo con las partes que, tratadas en un ordenador, pudieran captar el movimiento del fluido deseado. Conservó la parte de las ecuaciones que vistas del otro lado de la pantalla daban una imagen realista y convincente. Esta técnica le valió a Foster un Oscar por mejores efectos especiales en la película Antz (de 1998). Foster creó un software, gracias al cual ya no se tenía que incendiar el traje a un stuntman1 arriesgando su vida, tampoco sería necesario inundar la maqueta de Nueva York. Todo gracias a las matemáticas. Seguramente aquel que sea acreedor del premio de la fundación Clay al millón de dólares hallará muchas aplicaciones más para estas ecuaciones en diversas áreas. Autor: Fermy Aguilar

2 Premios de cine de la Academia Británica por sus siglas en inglés, a menudo son citados como equivalentes de los premios Óscar de Estados Unidos. 3 Persona que sustituye a un actor en escenas de riesgo.

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La manzana que cambió al mundo

odo sabemos que la gravedad nos rige e incluso, que podemos asignarle una valor numérico en la Tierra, sin ella estaríamos flotando, o estaríamos “saltando” como los astronautas en la Luna, ya que ahí la gravedad es menos fuerte, pero ¿Qué es la gravedad? ¿Cómo se descubrió o quién la descubrió? Fue el resultado del trabajo de brillantes físicos y uno de ellos definió la ley de la Gravitación Universal.

¿Qué es la gravedad? En el diccionario podemos encontrar esta definición de gravedad: “la fuerza que sobre todos los cuerpos ejerce la Tierra hacia su centro”. Ahora nosotros entendemos muy bien esto, pero fue una larga historia. Al principio estaba la curiosidad por entender por qué teníamos días y noches y cómo funcionaba el espacio más allá de la Tierra. Pues bien, en el siglo XVI Nicolás Copérnico propuso el modelo heliocéntrico, él sostenía que el Sol era el centro del universo, y todos los planetas giraban a su alrededor. En su momento revolucionó todo el pensamiento sobre el universo dejando atrás la teoría gravitatoria Aristotélica, en la que se postulaba que la Tierra era el centro del universo, lo que indicaba que debía existir una fuerza que atraía a los objetos hacia el centro de la Tierra. Sin embargo, en los tiempos de Aristóteles, en el siglo IV a.C., eran ideas que flotaban con pocos fundamentos y con base en mucha observación. Cambio de variable• 19

Tuvo que pasar mucho tiempo antes de que se llegase a conclusiones más precisas, mejor definidas. Fue hasta 1670, cuando Robert Hooke hizo varios postulados sobre el universo y la curiosa forma en la que se comportan los planetas y las estrellas, expuso estas ideas en una conferencia en la Royal Society, Hooke dijo que: 1.Todos los cuerpos celestes tienen una atracción o gravitación hacia su centro y atraen a los demás cuerpos celestes que estén bajo su radio de acción Este postulado lo podemos asociar con nuestro sistema solar: la Luna se encuentra en el radio de atracción de la Tierra, al mismo tiempo la Tierra está dentro el radio de atracción del Sol. Incluso podemos verlo en la misma forma de nuestro planeta: no es completamente esférica, sino que está achatada en los polos y en el ecuador ensanchada, debido a que se ha ido moldeando por las fuerzas gravitacionales. 2.Los cuerpos se mueven en línea recta salvo que sean afectados por una fuerza que les obligue a describir unas trayectorias curvas, tales como círculos, elipses o cualquier otra curva más complicada. 3.La atracción de las fuerzas atractivas disminuye a medida que la distancia aumenta, dicha atracción es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Nuevamente lo vemos en nuestro sistema solar, nosotros estamos siendo atraídos por el Sol, una gi20 •Cambio de variable

gantesca estrella con mayor masa que la Tierra, pero conforme crece la distancia que hay entre Sol y cualquier cuerpo celeste, menor es la fuerza de atracción que el Sol ejerce sobre él. Este fenómeno lo podemos observar claramente con la órbita que sigue Plutón alrededor del Sol.

Pero, ¿cómo es que todo esto se relaciona con la ley de Gravitación Universal? Bueno poco después de que Hooke hiciera sus postulados, la historia nos cuenta que un día Sir Isaac Newton, sentado a los pies de un árbol le cayó una manzana en la cabeza, a Newton la caída de esa manzana le dio una epifanía, ¿por qué todo cae?, ¿la razón de qué fuerza las manzanas caían en el Tierra?, ahí empezó todo, Newton se dio a la tarea de investigar algo que todos damos por hecho, a demostrar las fuerzas que entran en juego cuando algo cae. Newton llegó a la conclusión de que existía una fuerza que atraía todo objeto hacia el suelo y así fue empezó a definir la Ley de la Gravitación Universal.

La Ley de la Gravitación Universal, fue un momento culminante para la revolución científica, nos dice que todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros, explica desde por qué las manzanas caen sobre la cabeza de genios y por qué las galaxias se mantienen juntas y aplica para todos los cuerpos existentes, incluso entre dos cuerpos, cuyas masas son muy pequeñas, imperceptible a simple vista está ahí, existe una fuerza que atrae hasta a las partículas más pequeñas. Volviendo al ejemplo de nuestro sistema solar, la masa del Sol es de si lo sustituimos en la formula como y ponemos la masa de la Tierra es de 5.972 como y la distancia entre los dos es de 149.6 millones de km y lo sustituimos en la fórmula nos da podemos observar que la fuerza es muy grande y esto se aplica en todo el universo, con todos los cuerpos desde el más diminuto hasta el más gigantesco .Entonces cuando le dices a una persona que te atrae, ¡no estás en un error según la Ley de la Gravitación! Autor:Luis Fernando Castillo. Cambio de variable• 21

La Constante de Conway Dos problemas al lector: 1. ¿Qué número sigue en la siguiente secuencia? 1 11 21 1211 111221 ¿?

1. ¿Cuál es la única raiz real positiva del siguiente polinomio?

uizás hayas encontrado la solución al primer problema; muy sencilla pero no tan intuitiva (spoiler): se “leen” los números del elemento anterior, así que de 1 se sigue 11 (un uno), 21 (dos uno), etc. El segundo es un poco más complicado, no espero que una solución, inclusive usando software

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como MATLAB o Mathematica donde sólo necesitas escribir el polinomio, se vuelve tedioso debido a tantos terminos. Sin embargo, ambos mantienen una relación muy estrecha; la diferencia entre cada termino consecutivo de la sucesión tiende a a un número fijo cada ves que tomamos números más grandes, y ese número fijo es la única raiz real positiva de nuestro polinomio, este número es la constante de Conway, y es un número irracional algebraico (en otras palabras; tiene infinitos dígitos y es la solución a una ecuación polinomial como la nuestra), tal número es el siguiente:

¿Cómo es que un problema tan simple como el primero se transforma en algo para nada trivial? La respuesta: la genialidad y locura de John H. Conway1. Autor:Oscar Domínguez.

1 Para los curiosos que quieran echar un vistazo a como se llegó a la constante: http://www.nathanieljohnston.com/2010/10/a-derivation-of-conways-degree-71-look-and-say-polynomial/ Cambio de variable• 23

Preguntas y Respuestas: El teorema de Fermat

omencemos con el teorema de Pitágoras, este nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir, si a es un cateto, b es el otro cateto y c es la hipotenusa, entonces a2+ b2= c2. En general existen muchos números dentro del conjunto de los reales que cumplen este teorema, por ejemplo si a=2, b=4; entonces se forma un triángulo rectángulo con la hipotenusa c=5, claramente a y b son enteros, pero c no lo es. Un caso de interés es aquel donde los tres elementos, catetos e hipotenusa, son números enteros positivos, por ejemplo a=3, b=4 y c=5; estos valores cumplen con el teorema de Pitágoras ya que esto significa que, si tienes una línea de tres unidades, otra de cuatro unidades y una tercera de cinco unidades y las unes para formar un triángulo, este será del tipo rectángulo. A estos valores 3, 4 y 5 se les llama terna pitagórica y se conoce desde hace mucho tiempo (ayudó a los egipcios a construir las pirámides). Pero no es la única, existen una infinidad, por ejemplo 5, 12 y 13; es decir las ternas pitagóricas son números enteros que satisfacen la ecuación a2 + b2= c2. Ahora generalicemos la ecuación anterior y pongamos letras para no poner caritas, esto sería con enteros positivos. Cuando se obtiene el teorema de Pitágoras con soluciones llamadas ternas pitagóricas donde son enteros. Es

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decir, no existen ternas de números enteros que cumplan con potencias enteras mayores o iguales a tres. Para n=2 las llamamos ternas pitagóricas, y para n=1 es una suma (2+5=7). Pierre de Fermat (jurista francés del siglo XVII aficionado a las matemáticas) en 1637 leyendo una obra de Diofanto de Alejandría llamada Arithmetica se encontró con el teorema de Pitágoras y escribió al margen:

“Por otro lado, es imposible descomponer un cubo en dos cubos o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o en general, cualquier potencia – excepto un cuadrado – en dos potencias del mismo exponente. He descubierto una maravillosa prueba de ello, pero por desgracia es tan extensa que no cabe en el margen de este libro.” Lo que dice Fermat es que si n<2 (es decir, 3,4,5, etc.) no existen números x, y, z enteros positivos que satisfagan la ecuación xn + yn = zn. Es decir, no existen ternas de números enteros que cumplan con x 3 + y 3 = z 3 ni para potencias enteras mayores a tres. Para n=2 las llamamos ternas pitagóricas, y para n=1 es una suma (2+5=7).

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a fascinación que ha causado este problema tiene dos componentes, el primero es que el teorema consta de un enunciado sencillo, fácil de comprender y con un objetivo claro: verificar si es cierto o no; el segundo es que Fermat dijo contar con una “maravillosa prueba”la cual nunca se encontró entre sus notas.

Para sorpresa de muchas generaciones de matemáticos la demostración del teorema es mucho más compleja de lo que aparenta y pasaron más de trescientos años antes de llegar a una demostración completa. Es cierto que matemáticos como Euler, Sophie Germain, Legendre, entre otros intentaron resolver el teorema e hicieron aportes a la solución; pero fue hasta 1995 cuando Andrew Wiles demuestra completamente que Fermat estaba en lo cierto. Saludos, Hibels.

En el episodio 6 de la 7ma temporada de los Simpson llamado “Treehouse Horror VI”en el segmento Homero3 aparece un falso contraejemplo con los valores. El error es un problema de redondeo de las calculadoras cuando hacen operaciones con valores enteros muy grandes. Por cierto, no es el único falso contraejemplo que aparece. ¿Sabes en que episodios aparecen los otros? 26 •Cambio de variable

¿POR QUÉ SON DIFÍCILES LAS MATEMÁTICAS?

ara muchos de nosotros, cuando nos enfrentamos a un problema que involucra números, por muy sencillo que sea, parece que escuchamos un parloteo en el idioma más difícil que se nos presente. Este hecho se ha explicado de diferentes maneras, la principal es que no todos estamos capacitados para comprenderlas, pero como docente no estoy de acuerdo. ¿Cuál es la razón de este desacuerdo?, tomando en consideración las corrientes teóricas vigentes para la enseñanza-aprendizaje, el conocimiento se debe construir o reconstruirse por el aprendiz de manera activa, por lo que debe contar además de con una información base, con ejercicios prácticos que le permitan un diálogo interno con su propia experiencia al mismo tiempo que se enriquece con nuevos puntos de vista a través de un método en donde se especifique un procedimiento y las prácticas de acuerdo con su desarrollo biológico y por tanto con su procesamiento de información y con el ambiente sociocultural en el que se desarrolle. En este contexto ubiquemos a las matemáticas como un lenguaje, es decir como un conjunto de signos que integran un código con la finalidad de organizar y abstraer datos de lo que observamos en nuestro ambiente y por lo tanto se podría inferir que se puede aprender de la misma manera que cualquier idioma. ¿Cuándo aprende un individuo con mayor facilidad un idioma? La respuesta inmediata es entre más pequeño mejor, si a un niño de 2 Cambio de variable• 27

años, se le empieza a dar información básica sobre lenguaje, a la edad de 3 años ya empezará a estructurar oraciones perfectamente entendibles, básicas y sencillas pero claras, desde el punto de vista constructivista, el lenguaje matemático tiene las mismas características de aprendizaje e igual que cualquier idioma permite conexiones neuronales para comprender nuestro entorno físico, social e inclusive instrumental. Cualquier lenguaje lo construimos, nuestro lenguaje cotidiano sobre onomatopeyas (imitaciones de sonidos de animales, objetos, etc.), posteriormente nombramos los objetos, formamos enunciados simples y compuestos, después aprendemos a escribir y con el paso del tiempo y experiencia aprendemos a perfeccionar la manera en que nos expresamos y la manera en que comprendemos las ideas. ¿Y cómo enseñar a los niños matemáticas si yo no sé? ¿qué debo enseñar primero? Para empezar, es muy común que pensemos que no usamos las matemáticas y que no las conocemos, pero nada más erróneo, las usamos en la cocina, en la tienda, en la elaboración de proyectos para reciclar, al pedir la hora, es decir las usamos en un sinfín de actividades todos los días, así también usamos la tecnología de que ellas se desprende como nuestro celular o la Tablet, así que retomemos lo básico los números naturales primero, después las fracciones, y si a los niños les empezamos a decir que requerimos 2 chocolates para hacer el pastel o $1.50 para comprar 1 bolillo, estaremos favoreciendo su aprendizaje de las matemáticas, de tal manera que al entrar al jardín de niños pueda entender fácilmente las asociaciones con los signos que representarán a esos los números y las operaciones básicas. Además, también aprenderás un poco de matemáticas y probablemente ya no se te dificulten tanto. Autor: Patricia Montoya Monterrubio

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