El Infinito

EDITORIAL

S

upongamos que se ha construido en la CDMX un hotel infinito y su lema dice “siempre hay una habitación disponible”, aún lleno podría alojar a infinitos huéspedes y aún así poder seguir recibiendo a más gente, la estructura es de una planta con infinitas habitaciones. Un día el gerente del hotel ordena a los albañiles construir una habitación más en el segundo piso o sea que ¿el hotel antes era ∞+1? o ¿∞-1? Para los curiosos ∞+1 ó -1 sigue siendo el mismo infinito.

Unos meses más tarde los dueños del hotel tienen una discusión, por lo que deciden dividir el hotel, como es imposible partir el hotel a la mitad, ambos empresarios tienen una idea: las habitaciones con número par serán administradas por el Sr. A y las impares por el Sr. B entonces ¿con cuántas habitaciones se queda cada socio? Nuestra lógica nos diría que cada uno tiene medio infinito, sin embargo, cada uno se queda con el mismo número de habitaciones que tenía anteriormente. El hotel infinito abre sus puertas y viene a registrarse un primer huésped, así que la recepcionista le ofrece la última habitación, minutos después vienen dos personas más y ella les ofrece; al igual que al huésped anterior, la última habitación; un chico que escuchaba la plática se acerca a la recepcionista muy enojado y le cuestiona cómo pudo darle a tres personas la misma habitación, ella, con una sonrisa en el rostro, le explica que como es un hotel infinito los huéspedes tardarían una eternidad en llegar a la última habitación, y en caso de que llegaran tardarían una eternidad en regresar a reclamar. Una gran estrategia.

Debido al éxito del hotel, al gerente se le ocurre construir una piscina, como tiene infinitos huéspedes sería imposible construir una piscina de semejante magnitud, por lo que deciden racionar los tiempos de uso de modo que todos puedan disfrutar de ella. Sin embargo, el día de la inauguración nadie asiste, pasan dos semanas y nadie ha usado la piscina, el gerente muy enojado va con su coordinador y lo cuestiona. A lo que éste responde que las instrucciones se cumplieron al pie de la letra, suponiendo que le tocara a 10 personas usar la piscina al mismo tiempo, si se divide 10 entre infinito: el tiempo que le tocaría a esas personas es de 0. Cualquier número entre infinito es igual a 0. El hotel infinito de Hilbert, al igual que cualquier otra paradoja, es una situación imposible de ejemplificar en el mundo real. Las paradojas sólo nos ayudan a desarrollar más nuestra lógica y explicar, en este caso, algunas curiosidades del infinito. Por: Fermy Aguilar.

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Al infinito y más allá

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Ley Constructal

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La belleza del infinito

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La paradoja de Fermi

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Fernando Castillo

Jair Carmona

David Rivera

Miguel Aguilar y Estefania Salinas

Preguntas Geniales Óscar Domínguez

Evariste Galois Fernando Pérez

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N

Al infinito y más allá

osotros conocemos los números naturales, los números enteros que contienen a los naturales, los números racionales que a su vez abarcan a los números enteros y estos están dentro de los reales ¿pero, dónde acaban?

Los números Reales comienzan desde -∞ (menos infinito) y va hasta ∞ (infinito), lo de los signos ya es una cosa rara, pero para fines más o menos prácticos así lo tomaremos. Esto se puede ver como algo muy lógico… pero entender que es el infinito es algo complejo, ¿es un número o no lo es? o ¿acaso es sólo una idea? Nosotros normalmente entendemos que el infinito no tiene un límite y esto nos lleva a su definición; todo aquello que no posee límites, proviniendo la palabra del latín infinitus: no tiene límite, ni al principio ni al final.

Nosotros siempre pensamos que habrá un número más que el anterior, pero no solamente en los números se presenta el infinito, también lo encontramos en el universo, nosotros podremos ir a lugares lejanos, cómo Plutón pero siempre habrá algo más lejano que Plutón, por ejemplo el extremo de nuestra Galaxia, y siempre habrá lugares más alejados. No obstante, nosotros podemos pensar que el infinito no acaba, que sigue creciendo y creciendo, pero ¡no! el infinito ya está formado, no crece es y ya está. No tiene límites, pero puede ser definido.

El ser humano ha tratado a lo largo de toda su historia de definir la noción de infinito en lo que respecta a las cuestiones filosóficas y a las matemáticas.

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Otro concepto sobre el infinito está presente en varias culturas y civilizaciones, que lo relacionan con el nacimiento, desarrollo y muerte de los seres vivos, particularmente de los humanos, lo podemos encontrar en las religiones: tienen por creencia la vida después de la muerte, una vida eterna.

El Infinito no es un número, es una idea. Una idea que nunca termina.

En las matemáticas los conjuntos de números son infinitos, los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos, todos por igual son conjuntos infinitos, siempre podrás encontrar un número más grande, una fracción más pequeña. Y en matemáticas, hasta los límites pueden tender a infinito.

El gran hotel de Hilbert

A

finales del siglo XIX David Hilbert planteó una situación matemática que sirve para ilustrar algunas de las propiedades muy poco intuitivas del infinito, dijo Hilbert: imagina un hotel en el que hay una cantidad infinita numerable de habitaciones y que se identifican con un número a partir del 0, imagina que cada una de estas habitaciones está ocupada por solamente una persona y la única regla del hotel establece que nunca podrá haber dos o más huéspedes en la misma habitación.

Dadas estas condiciones, llega al hotel una persona que pide ser Cambio de variable• 5

alojada, pero el hotel está completamente lleno, sin embargo el huésped propone una solución: que el huésped que ocupa la habitación 0 se pase a la 1, y el de la habitación 1 se pase a la 2 y así sucesivamente, esto se podría ver como n+1, de esta manera si estas en la habitación 235 te tendrías que ir a la habitación 236, por lo tanto la habitación que quedaría libre seria la 0. ¿Pero que pasaría si llega un guía de turistas con una infinidad de huéspedes? Sería complicado moverse una infinidad de habitaciones. Entonces para este caso, el ocupante de la habitación 1 tendría que pasar a la 2, el de la habitación 2 a la 4, el de la habitación 3 a la 6, el huésped de la 502 tendría que pasar a la 1004 y así sucesivamente, y esto se vería como 2n, ya que como sabemos hay una cantidad infinita de números pares así como una cantidad infinita de números impares, a lo cual se le llama cardinalidad, por lo tanto las habitaciones que quedarían libres serían todas las impares que se puede ver como 2n+1.

Ahora bien ¿Qué pasaría si llegara una infinidad de guías de turistas con una infinidad de huéspedes? El problema sería mucho más complicado, así que para resolver este gran problema los huéspedes debemos multiplicar por dos el número de nuestra habitación (por lo tanto tendríamos las impares libres) y asignando un numero primo, excepto el dos, a cada guía de turistas y a su vez cada turista se numerara y tomara el número de su guía de turistas y lo elevara al número que le había tocado viéndose así pn+1, siendo p el número del guía de turista y n el número que le tocó a cada turista así que ninguna habitación se repetirá, y esto se complica cada vez más si le agregamos más infinitos, Pero este es un hotel donde siempre hay una habitación para ti, por qué tiene infinitas habitaciones. Siempre existirá una forma precisa, matemática de alojarte. Por: Luis Fernando Castillo

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Ley Constructal

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a termodinámica es importante en la vida moderna del ser humano desde la revolución industrial. Es de interés para el ingeniero, pues se encuentran en sistemas térmicos como motores de automóviles, locomotoras, turbinas de gas, motor eléctrico, celdas solares, calefactor doméstico, etc.

En algunos casos, el estudio de estos sistemas térmicos busca la eficiencia de cada uno, un ejemplo de la noción de eficiencia se puede encontrar en el desgaste de los coches, cuando se tiene un coche nuevo, el motor se encuentra al punto y digamos que se utiliza siempre en un trayecto establecido, este mismo coche a lo largo del tiempo necesitara mayor combustible para realizar el mismo trayecto, es decir que la eficiencia del motor baja.

La eficiencia térmica es un término importante en la termodinámica.

“Se define como la relación entre el trabajo neto útil y el calor que se suministra. Entonces: ntérmica = (salida neta de trabajo/entrada de calor)”1 (ntérmica = W/Q) .Y tiene un valor entre 0 y 1 o expresada en porcentaje, 0% y 100%.”

1

Wark, K., Torres Vázquez, J. L., & Sánchez Trujillo, C. M. (1991). Termodinámica. México: McGraw-Hill.

Pag 4.

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El calor debe ser entendido como como un traslado de energía, cuando el calor aumenta la energía interna del sistema, es positivo (+Q) y cuando fluye desde el sistema, negativo (-Q). Y el trabajo (W) es la interacción entre un sistema y sus alrededores y lo efectúa un sistema, si el único efecto externo a las fronteras del sistema pudo haber sido el levantamiento de un peso.

El calor es lo que nosotros proporcionamos al sistema, como gasolina al motor del auto y el trabajo es la transformación de energía esperada, en el movimiento de los pistones del motor que se traduce en movimiento del auto.

Una eficiencia del 100 % implicaría un gran ahorro en la suministración de calor, es decir un ahorro de recursos, pues la cantidad de calor suministrado seria idéntica a la cantidad de salida de trabajo, esto en la fórmula se expresaría como ntérmica=W/Q, donde W=Q, entonces ntérmica=1 y 1 es la eficiencia perfecta.

Sin embargo, La segunda ley de la termodinámica indica que este caso es imposible, en la realidad los Automóviles de gasolina con ignición por chispa tienen una eficiencia del 25 %.

La segunda ley puede ser expresada con el enunciado Kelvin-Planck, que dice “No es posible un proceso cuyo único resultado sea la absorción de calor procedente de un foco y la conversión de este calor en trabajo.”2 Esto limita la eficiencia de cualquier sistema térmico, pues siempre va a existir calor desperdiciado, calor que no se trasforma directamente en trabajo. Si se prepara café, se 2

Universidad del País Vasco, (S/F).Segundo Principio de la Termodinámica.

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pone agua en un recipiente sobre la estufa, pero lo que se desea es que el calor sea trasladado de la estufa caliente directamente al agua del recipiente y no al recipiente mismo, se considera un desperdicio de energía calentar el recipiente.

Problemas similares ocurren en sistemas térmicos más complejos, como un motor, en donde el desperdicio de calor se tiene al calentar el ambiente que rodea el sistema o en la fricción del movimiento de los pistones. Este tipo de problemas también se presenta cuando hay entropía (desorden molecular de un sistema) y la manera de aminorarlos es minimizar la entropía, aumentando la eficiencia del sistema.

Lo más nuevo en termodinámica, consiste en estudios en áreas específicas que buscan una mayor eficiencia en cuestiones prácticas o que funcionen en el sentido predictivo, ejemplo de ello son “La minimización de generación de entropía y la búsqueda de una mayor eficiencia se utilizan comúnmente en biología e ingeniería, la minimización de la resistencia al flujo en mecánica de ríos, fisiología e ingeniería, la distribución uniforme de las tensiones máximas se utiliza como un “axioma” para racionalizar el diseño de huesos de animales y árboles botánicos, la lista continua.”3 Debido al desarrollo de estos estudios se hizo necesario manifestar algo distinto de las leyes de la termodinámica, por lo que se dio la ne3 Adrian Bejan, & Sylvie Lorente. (2010). La ley constructal del diseño y la evolución en la naturaleza.

Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci. Cambio de variable• 9

cesidad de una expansión de la termodinámica: la Teoría Constructal (Bejan, 1996) que consiste en indicar que la generación del diseño (plantas, animales, minerales, entre otros) en la naturaleza se desarrolla para lograr una mayor eficacia y que este diseño es un fenómeno de la física.

Se habla entonces de la existencia de diseño en sistemas biológicos, geofísicos, de ingeniería y sociales. Debido a que todos estos sistemas son sistemas de flujo, que van adquiriendo configuración.

La Teoría Constructal añade “(desde configuraciones de flujo existentes a configuraciones de flujo más fácil) para persistir en el tiempo (para vivir) de un sistema de flujo finito se debe evolucionar de manera que se proporcione un acceso cada vez mayor a las corrientes que fluyen a través de él”4 en donde notamos un paralelismo en la noción de eficiencia, pues la configuración a través del tiempo reduce la entropía y aumenta la eficiencia.

En la Imagen 1 “El diseño de motor y freno de la naturaleza está representado por el flujo de energía útil en la tierra (el rectángulo grande), la destrucción parcial de este flujo en los motores animados e inanimados (el cuadrado más grande), seguido por el destrucción completa de la corriente de energía útil restante en las interacciones con el medio ambiente (los frenos se muestran en el cuadrado más pequeño). Con el tiempo, todos los sistemas de flujo exhiben la tendencia constructiva de generar ‘diseños’, y esta flecha de tiempo significa menos disipación en los motores y más disipación en los frenos.”5 4 Adrian Bejan, & Sylvie Lorente. (2010). La ley constructal del diseño y la evolución en la naturaleza.

Philos Transb R Soc Lond B Biol Sci. 5 Adrian Bejan, & Sylvie Lorente. (2010). La ley constructal del diseño y la evolución en la naturaleza.

Philos Trans R Soc Lond B Biol Sci. 10 •Cambio de variable

Igual que en la relación de eficiencia, se tiene una energía inicial, que es trasformada en trabajo, en los motores constructales, la eficiencia va en aumento y el desperdicio de energía se disipa.

La aplicación de la Teoría Constructal consiste en predecir y explicar la ocurrencia de configuraciones de flujo natural; y también en la ingeniera, al ver el diseño como ciencia.

Esta configuración del flujo natural no es una cuestión que deje indiferente al ser humano, incluso este se encuentra contemplado por esta teoría, en sus pulmones y en la forma de sus venas que permiten que la sangre fluya de la manera más eficiente, en el árbol que tiene ese diseño para que la distribución de las raíces hasta la copa sea la mejor, en los ríos e incluso en el flujo de electrones cuando rayo busca el mejor camino hasta la tierra. Esta ley permite una visión integral de lo inanimado y lo animado. Por: Jair Carmonaa

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La belleza del infinito en informática

V

amos a hablar de algo sumamente bello: el infinito. Este concepto hace referencia a una cantidad sin límite o final, es el antónimo de finito.

El infinito se puede representar en varias de las ramas de las matemáticas como en la geometría, teoría de conjuntos, cálculo, álgebra etc., pero hay una rama de la informática que se llama “infinito en informática”; si ya de por sí la informática es bella por naturaleza puesto que por ella tenemos lo que son nuestros ordenadores y juegos de PlayStation, entonces, con este conjunto tenemos una belleza infinita, sensacional ¿no lo creen?

El infinito en informática solamente se puede usar en algunos lenguajes de programación, pero se preguntarán: ¿qué es un lenguaje de programación, Gabriel?

Bueno, un lenguaje de programación es un código con el cual le puedes dar instrucciones a una computadora, en pocas palabras le ordenas lo que quieras que haga. Mediante el lenguaje de programación puedes crear aplicaciones para cualquier dispositivo electrónico, pero no solo lo creas y ya, necesitas estudiar la estructura que debe llevar el código. Pero ahora que entendemos lo que es un lenguaje de programación, les puedo decir que mediante una computadora podemos crear calculadoras del tipo que queramos, pueden ser científicas o las básicas que tenemos en casa. Ciertos lenguajes de programación aceptan un valor llamado infinito con el cual podemos realizar cualquier tipo de operación, pero son para realizar trabajos complejos, algunas computadoras o aquellas que requieran otro tipo de programación lo marcarían como error.

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Un ejemplo en donde se puede presentar el infinito es en la programación, la programación es un proceso que se usa para poder idear y ordenar acciones que quieres que haga la computadora, como una tarea en específico, puedes elaborar programas como tú quieras. En la actualidad, la noción de programación se encuentra muy asociada a la creación de aplicaciones informáticas y videojuegos; es el proceso por el cual una persona desarrolla un programa valiéndose de una herramienta que le permita escribir el código (el cual puede estar en uno o varios lenguajes, tales como C++, Java, Python entre otros).

En este entorno se puede presentar lo que llamamos un bucle infinito, en programación consiste en realizar un ciclo que se repite de manera ilimitada, se podría decir que es un error ya que es una condición que jamás va a finalizar, para hacer uso de un bucle debe tener condiciones que indiquen cuándo comienza y cuándo termina, mientras las condiciones que dijimos no se cumplan se hará repetitiva la secuencia. En cambio en el ciclo infinito la condición no se finaliza por lo que sigue ejecutando la tarea sin fin.

Existen varios tipos de bucle en Cambio de variable• 13

programación, por lo regular son los mismo en la mayoría de los lenguajes de programación, por ejemplo Java, su estructura es muy similar al lenguaje C, y por estructura nos referimos al orden de cómo se construye un programa. Los bucles nos pueden ayudar muchísimo en programación, puesto que son muy útiles a la hora que quieres buscar algo aleatoriamente en tu programa, por ejemplo, si quieres construir una tabla con un cierto número de alumnos que te pida su nombre, edad, calificación, sexo, etc.

Ahora bien, el infinito es algo sumamente maravilloso; el infinito está en todas partes, tanto en los números como en la vida cotidiana: ¿qué posibilidad hay de que salga con mis amigos y me quede sin dinero para regresar a mi casa? Créanme, infinitas veces lo he hecho.

Por si no sabían existen infinitos más grandes que otros y se les conoce con el nombre de Aleph (cardinales) por lo que hay varios tipos de grados; todo comienza con Álef 0 hasta Álef infinito.

Probablemente me dirán: ¿aún en el infinito hay infinidad de infinitos?” pues sí, es por eso por lo que son hermosas, maravillosas, bellísimas las matemáticas. Así que si un día su novia o novio les dice que los ama infinitamente pregúntenle a qué grado de infinidad los ama, a ver si es verdad que los ama.

Por: Gabriel David Rivera Vázquez 14 •Cambio de variable

LA PARADOJA DE FERMI ¿Dónde están todos?

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a vida… llena de paradojas, de dudas. Algunas resultan muy difíciles debido a que la explicación simplemente resultaría abrumadora o simplemente se quedarían sin respuesta alguna, nuestras ideas parecen tan frágiles al no saber cómo demostrarlas. El universo es, sin duda, el protagonista de un sin fin de cuestiones que inquietan a la humanidad.

En la antigüedad se creía que la Tierra era el centro del universo, que los planetas y el Sol, giraban alrededor de ella. No fue sino hasta 1543, cuándo uno de los astrónomos más importantes de la historia: Nicolás Copérnico, publicó su libro De Revolutionibus Orbium Coelestium, en el cual propone su modelo astronómico y básicamente postula que el Sol es el centro de nuestro sistema solar.

Entonces, pasamos de ser el centro del universo a ser un simple planeta que orbita una estrella. Pero la cosa no termina ahí, los astrónomos estiman que existe un aproximado de 200 mil millones de estrellas en nuestra galaxia y esta cifra es también más o menos el mismo número de galaxias en el universo. Esto quiere decir que por cada grano de arena que hay en el mundo existen al menos ¡100 planetas parecido el nuestro! ya no te sientes tan único ¿verdad? Al saber esto, lo más lógico sería pensar que con tantos planetas como el nuestro es imposible que no exista vida más allá de la nuestra, pero entonces: ¿Dónde están todos?

Esta pregunta se la hizo el físico italiano Enrico Fermi en medio de una conversación con sus colegas del Proyecto Manhattan: esta misma pregunta es la paradoja de Fermi: es muy probable que haya vida fuera de nuestro planeta, entonces ¿dónde están todos? parece una pregunta Cambio de variable• 15

razonable al considerar la cantidad de planetas habitables en el universo.

La paradoja de Fermi es un conflicto entre los argumentos de escala (siendo el universo tan grande) y de probabilidad (que existan otros tipos de vida debería ser altamente probable), pero no, no tenemos ninguna evidencia de que así sea, y todo parecería indicar lo contrario.

A continuación, te presentamos algunas conjeturas que se han propuesto a esta enigmática paradoja.

Somos únicos Aunque eso podría resultar absurdo, debido a la exorbitante cantidad de galaxias y planetas que existen, puede ser difícil creer que estemos solos en el universo. Estadísticamente hablando es imposible, sin embargo, pudieron haber ocurrido acontecimientos que impidieron la formación de la vida en otros planetas, así como su supervivencia, catástrofes cósmicas, guerras, cambios ambientales, etc.

Llegaron antes Nuestra estancia en la tierra es reciente, y quizás nos visitaron antes de que evolucionáramos o antes que tuviéramos uso de razón, debido a que la vida en la tierra es apenas un capullo floreciendo en comparación con la edad del universo.

Estamos muy lejos El universo es tan amplio que no se puede descartar la idea de que quizás vivimos en una galaxia tan remota que no le importa a nadie; mientras los extraterrestres se la pasan platicando sobre la compra-venta de galaxias, nosotros estamos en discusión por un país u otro.

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Nos observan Por muy aterrador que parezca existe la posibilidad de que nuestro cerebro no sea capaz de concebir su existencia. Análogamente podría decirse que somos para ellos lo que las hormigas son para nosotros, y aunque, a primera instancia apareciera que a las hormigas no les afecte en nada el no poder notar nuestra existencia, no implica que no las observemos.

Nos falta tecnología Quizás somos tan primitivos que, aunque se intenten comunicar con nosotros, aun no contamos con la tecnología para recibir su mensaje o quizás ni siquiera podríamos comprenderlos.

Miedo Tenemos que pensar que existe la posibilidad de que no toda la vida fuera de esta galaxia es de entes sociables, cabe la posibilidad de que existan seres violentes, depredadores o con deseos de arrasar y conquistar con otros planetas y por eso mismo otros planetas más avanzados no emiten señales, para no ser acabados por civilizaciones hostiles.

Conspiración Muchos dicen que realmente están entre nosotros, ya sabes disfrazados de humanos para pasar desapercibidos, y que solo los líderes mundiales tienen contacto con ellos, sin embargo, es poco probable por la cantidad de gente involucrada. Vamos, no hay pruebas consistentes.

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Enigma Y si ¿quizás todos están en otro universo? ¿en otra dimensión? ¿o somos una simulación de un proyecto de una super civilización? debido a que nuestra percepción sobre el universo y las dimensiones deja mucho que desear, es más no podemos ni imaginar que hay más allá de la tercera dimensión, y si lo que vivimos no es tan real, si sólo somos un pensamiento de algo más grande.

Desafortunadamente, aún no hemos podido demostrar que alguna de estas teorías sea cierta.

Ahora que como sabes, los científicos siempre andan buscando respuestas y el astrónomo Frank Drake no perdió la esperanza y en 1961 desarrolló una ecuación con la cual pudo calcular la probabilidad de contactar con otras civilizaciones de la Vía Láctea.

La fórmula de Drake es la siguiente: Esta tiene un total de ocho factores, partiendo de una generalidad (el ritmo anual de formación de estrellas “adecuadas”) y descartando todas las fracciones que van en contra de la vida (una de ellas, por ejemplo, son los años en que una civilización inteligente puede perpetuarse en el tiempo). Sus cálculos arrojaron un resultado de 0,00000003%. Parece una posibilidad mínima, ¿verdad? Sin embargo, resulta que Drake fue criticado por arrojar una estimación tan optimista.

Aunque matemáticamente hablando es correcto lo que propuso Drake, su ecuación tal vez no nos dé un resultado concreto de sobre si estamos solos o no, seguimos sin saber de cierto si existe vida más allá de los confines de nuestro planeta. Con todo, nos da una aproximación sobre las posibilidades de que exista y al fin, dar una estimación un poco más acertada. Es difícil pensar al respecto, nos gusta nuestra singularidad, pero también nos gusta la aventura y somos curiosos por naturaleza, sin embargo, sólo pensarlo nos deja con más dudas que respuestas. Por: Miguel Aguilar y Estefania Salinas.

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Preguntas geniales Estimado lector: En esta nueva sección usted podrá encontrar mensualmente una selección de problemas pensados para quebrarle un poco el coco, algunos problemas no tomarán más que unos minutos para su resolución, otros lo podrán llevar (si se deja) por un largo paseo en el jardín de las matemáticas, lo exhortamos en cosechar cuanto pueda en el camino. Esperamos que su imaginación halle suelo fértil en estos problemas.

Está ampliamente invitado a compartir con nosotros y con la comunidad de lectores, sus respuestas, dudas, hallazgo , comentarios, etc.

1. ¿Qué pregunta?

Hay una pregunta que podría preguntarte y tiene una respuesta definitiva; si o no, pero es logicamente imposible que des la respuesta correcta. Quizás sepas la respuesta , pero no la puedes decir. Cualquier otro que tu podría ser capaz de dar con la respuesta, pero ¡tú no! ¿Qué pregunta tendré en mente?

Traducido de “To mock a mockingbird” por Raymond Smullyan

2. Si tenemos un clavo en nuestra pared, y un cuadro que cuelga de este, al remover el clavo, el cuadro caerá.

Y si tenemos dos clavos, ¿podemos arreglar el cordón alrededor de los clavos de tal forma que si removemos uno, todo el cuadro caiga?

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3. Para obtener de una hoja rectangular, una cuadrada, basta con encontrar el lado menor, digamos b, con el lado a de mayor longitud, y cortar aquello que no se traslape con más papel, o sea otro rectangulo, que comparte tres lados con nuestro rectangulo original.

Podemos repetir el proceso hasta que el último rectangulo resultante sea un cuadrado.

Dado esto, ¿habrá una hoja para la cual este proceso no tenga fin?

4. MATE EN 5

¿?

Por: Oscar Domínguez

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Evariste Galois

Te imaginas un mundo sin matemáticas?, aunque no lo creas sería algo extraño. Existe una frase célebre de Paul Dirac que dice: “Dios usó las hermosas matemáticas al crear el mundo”, claro que no nos meteremos en el tema, pero es una frase que de cierto modo nos intrigaría mucho, te platico esto porque realmente las mates están presentes en todo momento, en nuestro entorno vemos figuras geométricas a cada instante (formadas por el hombre o bien por la naturaleza), medimos el tiempo que realizamos de nuestras casas a la escuela o al trabajo, administramos el dinero para realizar las compras de la semana, bueno, podría mencionarte más ejemplos de este estilo y te juro que no acabaríamos, entonces, ¿te das cuenta? ¡Sí!, ahí están esas maravillosas matemáticas, es cierto que muchas veces no las tomamos en cuenta o realmente no le damos ese gran interés que deberían de tener, pero con el paso del tiempo han existido personas, que en su mayoría han sido llamados genios, iconos que han dejado un legado demasiado importante y que gracias a sus hallazgos han marcado profundamente la historia de las matemáticas.

Hoy te platicare de uno de ellos, un matemático prodigioso, una persona que en su momento no brilló por sus grandes aportes, un chico que murió a los 20 años luego de vivir acosado por incomprensiones profesionales, desgracias personales y persecuciones políticas, un hombre que, por una parte, no sólo es quien dió origen a una gran teoría matemática en pleno florecimiento, sino que está ligado de manera fundamental a toda la llamada álgebra moderna. Su nombre, “Evariste Galois”.

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Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-laReine, cerca de París, como dato interesante ese mismo año nació el hijo de Napoleón Bonaparte, mientras el Rey de Roma creció con los ojos de Francia y del mundo puestos sobre él; Galois creció sólo con los ojos de su familia puestos sobre él. Su padre, Nicholas-Gabriel Galois, fue partidario de Napoleón y cabeza del partido liberal en la localidad, llegando a ser elegido alcalde de la villa. Su madre Adelaide Marie Demante, ambos bien educados en filosofía, literatura clásica y religión. Durante los primeros doce años de su vida, Évariste fue educado por su madre, quien proporcionó a su hijo una sólida formación básica en latín y griego. En 1823 aprobó el examen de ingreso en el Collège Royal de Louis-le-Grand, de París.

Debido a los constantes gritos de rebelión en aquella época, pronto la red comenzó a cubrir las escuelas de Francia para expulsar de ellas ese espíritu, entre ellos el mayor y más importante era el Colegio Louis-le-Grand.

Su finalidad era educar hombres cultos versados en latín y griego y, por sobre todo, súbditos leales al rey y defensores de la iglesia. ¿Alcanzó este fin la escuela?, se dice que entre sus 3 estudiantes más brillantes estuvieron, Robespierre; quien ofreció a la guillotina la cabeza de Luis Capeto, el exrey Luis XVI, Víctor Hugo; que combatió la tiranía de Napoleón III y claro Evariste Galois; quien también odió y combatió a un rey de los franceses.

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En su tercer año, su trabajo en retórica fue considerado insuficiente y tuvo que repetir curso. Tal vez para ese momento no fue satisfactorio este resultado para Galios, pero tenemos que agradecer que gracias a este tropezón, Galois decidiera por primera vez estudiar matemáticas (tenía 15 años). ¡Imagínate!, en esa época las matemáticas no sólo eran una materia impopular entre los alumnos, también lo era para las autoridades, tanto que no la consideraban bastante importante para hacerla obligatoria. Galois fue derecho hacia las obras maestras de la época, devorando los Eléments de Géométrie de Adrien Marie Legendre, emprendiéndola inmediatamente con las memorias originales de Joseph Louis Lagrange: La resolución de ecuaciones algebraicas, La teoría de funciones analíticas y lecciones sobre el cálculo de funciones.

Se cuenta que mientras leía a Legendre, veía levantarse el edificio de la geometría con la sencillez y belleza de un templo griego. Veía no sólo los teoremas particulares, sino también la interrelación entre ellos, la arquitectura del conjunto, así como la magnificencia de la estructura de la geometría, dejando atrás sus alrededores, sus maestros, los ruidos, los olores. Los teoremas abstractos de la geometría le resultaban más reales que el mundo. Mientras leía los teoremas, echaba una rápida mirada al texto y los dibujos en confirmación de sus pensamientos. Pronto pudo omitir las demostraciones y anticipó muchos teoremas, sintiendo que sabía geometría desde hace mucho tiempo. Pero realmente todo surgió cuando leyó a Lagrange, sus sentimientos aparecían mezclados. En geometría había visto claraCambio de variable• 23

mente la estructura, pero aquí no la veía. Intentó formular la razón de su descontento. Pensó en el problema fundamental del álgebra: el de resolver ecuaciones algebraicas. ¿Era posible resolver todas las ecuaciones algebraicas mediante operaciones racionales y mediante radicales?, Galois sintió que éste era el problema más esencial del algebra, un método mediante el cual todas las ecuaciones algebraicas pudieran solucionarse por radicales, una demostración de que podía hacerse, que tal solución siempre existe. El álgebra elemental surgió de ese mismo problema y sus comienzos fueron en tiempos distantes, el álgebra moderna, surgió también de ese mismo problema y sus comienzos están en la obra de Galois.

Cuando decidió presentarse al examen de ingreso en la École Polytechnique fue rechazado, consideró su fracaso como una injusticia, y ello endureció su rechazo a la autoridad, continuó progresando rápidamente en matemáticas, matriculándose en el curso superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor LouisPaul-Émile Richard, quien se percató inmediatamente de las dotes de Galois.

En 1829, siendo todavía estudiante, hizo su debut científico, denominado: “Demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas”, el cual se publicó en Annales de Mathématiques Pures et Appli24 •Cambio de variable

quées, de Joseph Díaz Gergonne.

Este artículo, sin embargo, sólo fue un pequeño aporte. Galois había ya dirigido su atención hacia la teoría de ecuaciones. Era increíble que a sus 17 años ya estaba atacando uno de los más difíciles problemas de las matemáticas; un problema que había mantenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo.

Pero los acontecimientos de su vida habrían de tomar un desdichado giro. Apenas unas semanas antes del segundo examen de admisión al École Polytechnique , el padre de Évariste puso fin a su vida, asfixiándose en su apartamento de París. Las circunstancias en las que se planteaba el examen de ingreso eran las peores posibles. Además, al parecer, Évariste declinó seguir en su exposición las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estos dos desastres hicieron cristalizar su odio por la jerarquía conservadora, viéndose obligado a tomar en consideración la menos prestigiosa École Normale, donde fue aceptado, recibiendo la categoría de universitario aproximadamente al mismo tiempo que sus trabajos sobre teoría de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias. Sus artículos, sin embargo, nunca llegarían a ver la luz del día.

Cuando sus trabajos fueron recibidos por la Academia, fueron enviados a Jean Baptiste Joseph Fourier, desgraciadamente Fourier murió, y el artículo de Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. Galois continuó siendo matemático productivo y empezó a publicar en el Bulletin des Sciences Mathématiques, Astronomiques, Physiques et Chimiques del Barón de Férussac. Sus artículos prueban claramente que en 1830 había ido más allá que ningún otro matemático en la búsqueda de las condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones. En enero de 1831, había llegado a una conclusión, que sometió a la Academia en una nueva memoria, escrita a petición del matemático Simeón Denis Poisson.

Esta memoria es la más importante de las obras de Galois. Poisson hizo cuanto pudo para comprender el manuscrito, pero acabó recomendanCambio de variable• 25

do a la Academia que lo rechazase, y animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposición. Por la época en que Galois había terminado casi su trabajo en teoría de grupos, los acontecimientos de su vida habían cobrado fuerte tinte político.

En julio de 1830 la oposición republicana tomó las calles y obligó a exiliarse al rey Carlos X. En los meses inmediatos a la revolución, Galois entró en contacto con líderes republicanos, ingresó en sociedades republicanas y probablemente intervino en algaradas y manifestaciones. Durante un banquete republicano donde se celebraba la absolución de 19 oficiales de artillería que habían sido acusados de conspirar contra el gobierno. Galois se puso en pie para proponer un brindis: “¡Por Luis Felipe!”, dijo, alzando al mismo tiempo su copa y un puñal. A causa de esta acción desafiante fue detenido al día siguiente y encarcelado durante más de un mes en la prisión de Sainte-Pélagie. El 14 de julio de 1831, menos de un mes después de su absolución, Galois fue nuevamente detenido, esta vez por vestir ilegalmente el uniforme de la Guardia de Artillería. Considerado amenaza para el trono, el gesto de Galois fue, por consiguiente, un acto de desafío. Esta vez durmió ocho meses en Sainte-Pélagie.

Pese a todas estas calamidades, quizás el peor golpe para Galois fuera ver su trabajo de 1831 rechazado por la Academia. A mediados de marzo de 1832 se le trasladó de Sainte-Pélagie, a causa de la epidemia de cólera que sufrió París. Al parecer fue allí donde conoció a una mujer con la que mantuvo una relación, hecho que se dice, condujo a su duelo donde se marcaría el final de su vida.

Fue el 29 de mayo de 1832 donde Galios se percató que era la última noche de su vida, aquel muchacho, revolucionario algo alocado, estaba consiente que moriría a los 20 años de edad, sabía que no tenía posibilidades contra su adversario. El adversario era como él, un ardiente republicano. Más aún, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardia de Artillería cuya absolución fue ocasión del desafiante brindis que Galois ofreció al rey.

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Esa misma noche, Galois pasó escribiendo cartas, a sus amigos, a sus familiares y escribió todas las matemáticas que florecían de ese gran cerebro adolecente, la matemática le dió un gran consuelo final, lo puso en un estado en que sólo sentía un deseo: dormir, aun cuando el sueño llegara a través de la muerte.

Decía ─ no estoy asustado, ¡la matemática, me ha dado mis únicos momentos de gran felicidad! A muy pocos se les concede tal felicidad, debo pagarla. Ese fue mi verdadero amor.

Escribió a su amigo Auguste Chevalier: “He hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse aquí, en tres memorias... Haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su opinión ( Jacobí uno de los más grandes, Gauss probablemente el más grande), no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo.”

Poco después del amanecer de esa misma noche, Galois abandonó su habitación de la pensión Sieur Faultrier, en París, se enfrentó en duelo de honor a un activista político llamado D’Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. Fue ahí donde recibió un balazo en el abdomen quedando abandonado. Más tarde un transeúnte lo encontró y llevó a un hospital. Su hermano sostenía llorando el cuerpo de Galois, Evariste lo miró con piedad y le dijo muy lentamente, arrancando las palabras de su cuerpo con creciente dolor: ─ No llores, Alfred, Necesito todo el valor… para morir a los veinte años.

Catorce años después, los manuscritos que dejó para Chevalier fueron publicados por el matemático francés Joseph Liouville, naciendo de esta forma la rama, excepcionalmente fecunda, de la matemática conocida hoy por teoría de grupos. Por: Fernando Pérez.

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