GEOMETRÍA
EDITORIAL
Este número está dedicado a la Geometría, se tratan algunos conceptos básicos y la fuerte relac que tiene con el mundo que nos rodea, se dice que geometría es la parte gráfica del álgebra, y no pod ser más cierto, el origen de está materia se encuen vinculado a nuestra necesidad de distribuir las tierras y ordenar los lugares; en los albores de nuestra civilización mientras conquistábamos tierras, también fuimos descubriendo los número que domaban el espacio.
Existen varios tipos de geometrías: plana, del espacio, analítica, euclidiana, no-euclidiana... en e ejemplar te traemos un poco de ese mundo, un lug por donde grandes matemáticos se adentraron en profundidades de las matemáticas. Está es una br invitación a ese gigantesco mundo que se conoce como Geometría
Juan Carlos Pacheco Paéz
RevisorExterno
Raúl Christian Ramírez López
Fernando Ramírez González
*Asesoría Creativa
Editor
Carlos Daniel Álvarez González
*Ilustración-Portada
Angel F. Pérez Hernández
Agradecimientos Especiales
Editor
Edgar Castro Vázquez
Illyana X Montoya
Carlos D Álvarez
Coordinadora Editorial
Ruth García Méndez
Michelle Alba
Luis A. López Hernández
Fermy Aguilar
Director
"Las ecuaciones son la parte aburrida de las matemáticas. Yo intento verlo todo en términos de Geometría." - Stephen Hawking
Colaboradores
Matthieu Joannon
L A I N F I N I T U D D E L
U N I V E R S O
Por Fermy Aguilar
La densidad dicta qué forma tendrá el Universo , es decir , la cantidad de masa y energía que existe El punto es que , al desconocer el tamaño del Universo , su cantidad de materia y energía , es imposible calcular su densidad
El físico alemán Albert Einstein planteaba tres posibles formas para el universo : cerrado , abierto , o plano Aunque la forma del Universo continúa siendo una incógnita , la mayoría de científicos coinciden en que es casi plano
Donde Ω representa la densidad.
Crédito: NASA / WMAP Science Team
Greg Rakozy
enfriamiento , en donde disminuirá el material para formar nuevas estrellas hasta que la última agote su combustible y se apague por completo .
Finalmente el universo plano es la forma que más ha convencido a los científicos , y habla de una cantidad de materia y energía equilibrada ( densidad crítica ) , en donde la gravedad y la expansión son proporcionales El universo estaría en constante expansión pero de manera lenta Lo que parece una contradicción , ya que muchos años de investigación han comprobado que el universo se expande cada vez más rápido
Entonces ¿ Cómo es la geometría del universo ? ¿ Vivimos en un espacio que se curva o dentro de un plano ? La Cosmología y la geometría del universo tienen para nosotros muchos datos interesantes .
A mayor materia y energía , mayor será la densidad del Universo y tenderá a curvarse en forma de esfera A esta forma se le denomina universo cerrado , en donde el espacio es finito y toda la materia se agrupa hasta que eventualmente : colapsa . A este evento se le conoce como Big Crunch , y es justamente lo apuesto a la teoría del Big Bang Este habla del fin del universo y está basado en la teoría de la relatividad de Einstein
Si por el contrario tuviera una densidad y energía bajas , su curvatura sería hacia afuera formando una silla de montar Un universo infinito en donde no podría haber estrellas ni planetas El universo abierto es aquel en donde la materia se separa a tal magnitud que queda reducida a partículas primarias La teoría del Big Chill dice que al final del universo habrá un gran
Shalaka Gamage
Leon Liu
partir del cual ya no hay más materia y hasta el día de hoy no se ha probado que el cosmos tenga un límite
Las grandes herramientas de observación que tenemos en la actualidad pueden cauterizar las distorsiones de la luz que nos llegan desde el espacio , no obstante , es imposible saber si la fuente emisora ha pasado en su largo viaje por agujeros negros u otros campos gravitatorios , así que no podemos saber que tan real es la imagen que estamos viendo Pero no deja de ser un gran paso para conocer la verdadera geometría del universo .
En un espacio esférico , la luz que viaja desde las estrellas lejanas hasta nuestros ojos está distorsionada De la misma forma que si estuviéramos viendo nuestro reflejo en una esfera de metal Sin embargo , en un espacio plano no habría distorsión , podríamos ver los objetos celestes tal cual .
Existe otra teoría en la que el universo tiene forma de dona , en donde la parte más lejana al centro se expande y el eje se contrae , sin embargo esta idea ha sido refutada por varios científicos ya que para tener esta forma , el universo debería tener un borde ; es decir un lugar a
Conner Baker
YongChuan
La Geometría en el Arte
P o r E d g a r C a s t r o V á z q u e z
La geometría , esencia de las matemáticas , está presente en el arte en numerosas formas Muchos de los motivos y composiciones del arte universal están basados en las combinaciones y propiedades de figuras geométricas básicas Y estas composiciones , que llevan siglos realizándose , han influenciado notablemente en el arte y el diseño que se ve en el entorno : la televisión , los paquetes de comida , las revistas de moda o incluso en las paredes de los baños . La Geometría nunca ha estado restringida sólo a las aulas de clases
Hoy en día , el arte abstracto depende por completo de las formas geométricas ; artistas como Miró , Brancusi , Calder , Mondrian , Picasso , Ramirez - Villamizar o Klee han usado la geometría de una u otra manera . Pero esta “ geometría al servicio del arte ” no es nada nuevo . Desde hace tiempo la geometría ha estado siempre presente en ese constante deseo del hombre por crear
EL NÚMERO DE ORO (1.61803398874988…)
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) y pronunciada en español como fi
Se trata de un número algebraico irracional* que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (φ^2 = 2.61803398874988…) y su inverso (1/φ = 0.61803398874988 ) tienen las mismas cifras decimales
* En palabras simples : es un número irracional que se obtiene de una ecuación algebraica
Referencias:
Dan Pedoe (1976) La Geometría En El Arte España: Gustavo Gili S A
Simon Singh (2013) LOS SIMPSON Y LAS MATEMÁTICAS España: ARIEL
Academia Play (29 de junio de 2016) El Número de oro 2017 de cademia Play Sitio web: https://academiaplay es/el-numero-de-oro/
Google (2017) La Geometría En El Arte 2017 de Google Sitio web: https://www google com mx/search?q=la+geometria+y+el+arte
SIMETRÍA
Por Angel F. Pérez Hernández
La geometría es algo que nos acompaña toda la vida, más bien dicho es parte de nuestra vida, todo lo que vemos tiene una interpretación geométrica, sí, todo.
Las cosas que llegan a considerarse más bellas son aquellas que tienen simetría. Con referencia a esto ¿te has preguntado qué es la Simetría?, ¿te suena a algo? de seguro pensaste en un figura geométrica, pues la simetría es una rasgo característico de estas.
Es cierto que algunos tenemos una idea de simetría, pero cuesta explicarla; ahora vamos acercarnos un poco a la simetría de forma matemática, y a darle con las matemáticas de nuevo, pues es que realmente están en todo lugar y momento
Muchos piensan que nuestros cuerpos son simétricos, ¿esto es cierto realmente?, mira: dejare que tú mismo lo descubras, si fuéramos simétricos significaría que si pusiéramos una línea vertical a la mitad de nuestro cuerpo, lo que hay de un lado correspondería exactamente con lo que se ve del otro, como reflejo en un espejo.
Imaginemos un cuadrado, si lo dividimos a la mitad un lado es exactamente igual a la otra mitad Regresemos a nuestro primer ejemplo: ¿aún piensas que somos simétricos? una buena forma de saberlo es usando una foto tuya, te aseguro que te sorprenderás Ser totalmente simétrico es una cualidad muy rara, pero más o menos sí, poseemos una simetría relativa con respecto a esa línea que llamamos eje vertical. Existen otras cosas que son simétricas, pero con respecto al eje horizontal, como cuando algo se refleja en un lago o un río, el horizonte del agua es tu eje horizontal y el reflejo hace la simetría, además hay cosas que tienen simetría con respecto al eje que pasa por su centro.
A veces encontramos símbolos o cosas que juegan con la simetría, como nuestro cuerpo, o bien el yin-yang que tienen un aspecto medio simétrico pero que estrictamente no lo son
El estudio de la simetría es fundamental en la ciencia, en particular en la física y en las matemáticas, también en biología, cristalografía (ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas, como lo son la mayoría de los minerales) y otras muchas disciplinas Por supuesto encontramos simetría en el arte, principalmente en esas pinturas que están cubiertas por teselas que parecen no tener fin.
¿Tienes idea de cuantos tipos de simetría existen?
Bueno hay 17 tipos de simetría para dibujos en el plano y no puede haber más, pero ¿cómo?, ¿quién ha sido el responsable de validar que no pueden haber más? pues no ha sido tan sencillo, estos se ha concluido con grandes esfuerzos y el profundo estudio por parte de muchos matemáticos. Yevgraf Y. Fedorov, demostró en el siglo XIX que no puede haber más, ya sabes que a los matemáticos nos gusta demostrar cosas y eso hace que se conviertan verdades absolutas.
Ahora me gustaría compartirte un poco de lo que se conoce como simetría del plano, para que puedas hacerte un poco idea de que se estudia cuando hablamos de simetría Al hablar de simetría, es bastante útil expresar que algo tiene simetría
cuando se puede mover de alguna forma y que este se vea igual Para realizar esto no vale romperlo, estirarlo, pegarlo ni nada de eso, lo único que podemos hacer es repetirlo, girarlo y reflejarlo.
De hecho, esas cosas son tres operaciones básicas para sa cuerpo tiene simetría Desplazarlo (lo denominamos “traslac
respecto a un centro su forma permanece inalterable, como cualquier esfera
girarlo en torno a un centro dando media vuelta o cualquier parte de una vuelta, lo llamamos “giro” y reflejarlo con respecto a una recta cualquiera “reflexión” Bien pues a cualquier figura que podamos aplicarle estas propiedades o combinaciones de ellas, diremos que tienen simetría de traslación, de giro, de reflexión o varias combinadas, recuerda que al hacer esto la figura tiene que quedar igual verdad, esa es la condición más importante que se debe cumplir
Pero ¿para qué clasificar la simetría?, bueno para ayudarnos a abstraer, generalizar y ordenar los objetos con los que los matemáticos trabajamos todos los días.
Ahora ya sabes querido lector, la simetría no es cualquier cosa, anda, experimenta y presume a tus conocidos que objetos pueden ser simétricos y por qué lo son
Referencias:
Sáenz E (2016) Inteligencia matemática (2da Ed) Barcelona Muntaner Cuesta, J (25 de Septiembre de 2011) La simetria en Matemáticas y en Física Obtenido de En el limbo: Matemáticas, física y filosofía: http://matfisfil blogspot mx/2011/09/la-simetria-enmatematicas-y-en-fisica html
Lehman, C (1959) Geometría Analítica México: Unión tipográfica editorial hispano-americana
Koushik Chowdavarapu
La simetría de traslación, sólo existe para patrones infinitos
Kyaw Tun
Simetría rotacional, al girar un objeto con
Simetría por una línea, como cuando ves reflejado un paisaje en un lago
Ivana Cajina
ORIGAMI
La simetría y el papel
Por Michelle Alba
La papiroflexia es una palabra de origen latino que deriva de papiro (papel) y flectere (doblar); según el diccionario de la RAE significa doblar el papel. El término original de la disciplina es “origami” , palabra japonesa con la misma composición lingüística: ori (doblar), kami (papel) Este arte fue inventado por los japoneses hace más de mil años. Le dieron el nombre de origami y le dotaron de principios estéticos ligados a su cultura Así que podemos considerarle un arte, una ciencia y un entretenimiento, además tiene una gran importancia en el aprendizaje de las matemáticas.
El origami, consiste básicamente en elaborar una figura tridimensional a partir de una hoja de papel, sin utilizar tijeras ni pegamento para obtener dichas figuras; podríamos considerarlas esculturas de papel
Así como en cualquier otra rama de las matemáticas, el origami también desarrollo su propio conjunto de axiomas, algo así como los axiomas de Euclides para la Geometría Plana Los matemáticos Humiaki Huzita y Koshiro Hatori implementaron estos principios (axiomas), para la papiroflexia:
1 Si tienes dos puntos (en una hoja de papel), existe un sólo doblez que pasa por ambos.
2. Dados dos puntos: a y b, existe un único doblez que une al punto a con el punto b.
3. Dadas dos líneas, existe un sólo doblez que une a ambas líneas.
4. Si tienes una línea y un punto (separados en el papel), existe un solo doblez perpendicular a la línea, que también pasa sobre el punto.
5 Dados dos puntos diferentes y una línea, existe un doblez que une a una de los con la línea y también pasa por el otro punto
6 Dados dos puntos a y b; y dos líneas l1 y l2 existe un doblez que coloca al punto a en la línea l1 y al b en l2
7 Dado un punto y dos líneas l1 y l2, existe un doblez existe un doblez que uno al punto con l1 y es perpendicular a l2
Así que ahí tienes las reglas precisas que siguen los dobleces en el papel siempre. Todas las veces que has hecho una pequeña escultura de papel, seguías estas sencillas reglas.
Chinh Le Duc
Pero, ¿qué tiene que ver el origami con la geometría?
Pues bien, la belleza de la papiroflexia para un matemático está en su simple geometría En cada figura, podemos encontrar patrones geométricos combinaciones de ángulos y rectas que permiten a la hoja tomar formas distintas
En la geometría el origami no sólo consiste en hacer figuras tridimensionales con papel, sino más bien, en analizar dichas figuras, analizar sus dobleces e identificar conceptos matemáticos usando la creatividad, para posteriormente comprenderlas. Existen unas formas geométricas fundamentales que dan lugar a gran variedad de modelos, denominadas bases Los modelos tradicionales son: la cometa, el pez, el pájaro y la rana.
¿La papiroflexia nos beneficia en algo? ¡Por supuesto que sí! Al practicarla no sólo nos ayuda a relajarnos o distraernos, sino que nos ayuda a comprender el lenguaje geométrico y su representación matemática.
"Las estructuras son las armas de los matemáticos" - N. Bourbaki
Podemos reconocer formas y realizar medidas en el plano y en el espacio y así comenzamos a visualizar y a crear los diferentes cuerpos geométricos
También fomenta la agilidad mental, ayuda a resolver problemas lógico-matemáticos, desarrolla la habilidad manual, la coordinación de más importante: a creatividad
aprender geometría gami?
es nos parezca un nder temas la típica clase en n todo por medio ro ¿qué pasaría si comenzaran usar el dio de enseñanza?, ? Llevaríamos d al máximo nivel, taríamos os conceptos de la forma fácil, enida y feliz.
El origami no sólo es un arte, sino que al doblar papel con la intención de formar una figura seguimos ciertas secuencias lógicas: observación, coordinación, pensamiento intuitivo, y la representación mental Además, ponemos a prueba nuestra creatividad al crear figuras nuevas
Ahora, queda en ti comenzar a hacer papiroflexia, puedes comenzar con las figuras más sencillas, y conforme pase el tiempo podrás aumentar la dificultad. Pero no te limites, recuerda que puedes usarla para el aprendizaje de la geometría y para llevar tu creatividad hacia el infinito
Ahora, te dejamos un diagrama para que puedas hacer tu propia gruya de papel:
Referencias:
Blanco, C , & Otero, T (2005) Geometría con papel (papiroflexia matemática) Santiago Compostela Desconocido (2015) ¿Enseñar geometría con origami? 2018, de Ediciones SM Sitio web: http://edicionessm com mx/?q=blog-Ensenar-geometria-con-origami Liz Newton (2009) The Power of Origami 2018, de Plus Magazine Sitio web: https://plus maths org/content/power-origami
P o r A n g e l F P é r e z H e r n á n d e z
Muchas veces hemos admirado esculturas en nuestro entorno, como esos grandes edificios de los cuales están repletos la mayoría de ciudades, ¿te has dado cuenta que todos tienen un parecido a las figuras geométricas?, pues si, la mayoría son prismas rectangulares pero también encontramos algunos exóticos como cilíndricos, esféricos, piramidales (solo por mencionar algunos)
Esencialmente estos últimos se han convertido en una de las figuras más inspiradoras para la arquitectura moderna, este polígono ha servido de punto de partida para algunos de los edificios más célebres del mundo desde museos hasta hoteles pasando por estadios deportivos o sedes de empresas como el Museo del Louvre en París (Francia) Pero también han existido desde tiempos antiguos hasta la fecha siguen impresionándonos por su belleza geométrica como las pirámides de Egipto y que decir de las pirámides de civilizaciones antiguas que en su mayoría se ubicaron en Mesoamérica
Hablar de pirámides también implica hablar de una de las figuras más misteriosas de la geometría, ya te estarás dando una idea verdad, pues bien comentemos un poco sobre el triángulo, como todos sabemos, un triángulo es parecido a una pirámide, la diferencia es que un triángulo lo podemos dibujar en un plano de 2 dimensiones y una pirámide en 3 dimensiones; hablar de dimensiones es algo excitante, demos un breve repaso
Hablemos de dos dimensiones, imaginemos que tenemos un plano el cual tiene dos ejes, si, es el plano que ocupamos desde la primaria, el famoso eje “ x ” y “ y ” , sobre este plano podemos poner puntos y al unir nuestros puntos podemos formar figuras geométricas de hecho en 2 dimensiones no solo podemos formar triángulos también se pueden formar cuadrados rectángulos trapecios rombos círculos etc
¿Qué pasa con las figuras de 3 dimensiones? Pues bien, es algo similar, solo que no tendremos solo dos ejes, si no 3, un eje “ x ” , “ y ” y “ z ” , te das cuenta que podemos manipular un eje más, eso es genial, porque esto genera que existan figuras más complejas para crear, como: pirámides, cilindros, conos, esferas, etc
Bueno dejando atrás las dimensiones hablamos del triángulo ¿verdad? si una figura tan enigmática espectacular y sencilla que en nuestras queridas matemáticas es indispensable y que gracias a ella se han descubierto cosas que facilitan nuestro entendimiento de las mismas
Me imagino que en la escuela la mayoría sufrió demasiado con esta misteriosa figura o tal vez esté equivocado y te enamoraste de sus propiedades, como no recordar aquellas clases de trigonometría donde aprendimos las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo, cuando tu querido profesor no se cansaba de repetirte el Teorema de Pitágoras; la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa es decir: c^2 = a^2+b^2 donde c era
Joel Filipe
"¿Puedes imaginar a los jóvenes de hoy en día estudiando trigonometría sólo
por diversión?
Bueno, yo lo hacía"
- Astrónomo Clyde Tombaugh
el menor número de lados, en términos sencillos, diremos que un polígono es una figura geométrica formada por líneas rectas, como por ejemplo los cuadrados rectángulos rombos hexágonos entre otros; los que te acabo de mencionar de hecho son llamados polígonos regulares y existen muchos más con características diferentes
En matemáticas realizamos este tipo de clasificaciones para poder generalizar de mejor manera el uso de las mismas
Te decía que era la figura con menor número de lados ¿verdad?, En un triángulo podemos construir todas las demás figuras Por ejemplo, imaginemos un rectángulo, si trazamos una diagonal (que pase por las esquinas), se crean dos triángulos, me imagino que muchos en este momento dirán “ ¡pues claro!, es algo obvio”
Aumentemos un poco el nivel, ahora, imaginemos un pentágono, aquella figura de 5 lados, ¿qué pasa si en cada uno de sus vértices trazamos una línea a la mitad de nuestro pentágono? pues creamos 5 triángulos pero no solo podemos crear 2 triángulos en un rectángulo o 5 triángulos en un pentágono regresemos a nuestro ejemplo del rectángulo que pasaría si en vez de una sola diagonal trazo 2 y estas se cruzan, pues ahora tendríamos 4 triángulos, juguemos un poco más con la mente, ahora que pasaría si a nuestro querido rectángulo lo partimos en 4 partes iguales y a cada parte le trazamos dos diagonales, para que no te partas la cabeza imaginando como quedaría puedes observar la siguiente imagen;
Viene lo interesante: ¿cuántos triángulos creamos? por esta ocasión te daré la respuesta, son un total de 44 triángulos, pero te invito a que tú mismo lo descubras Ves como son de divertidas las matemáticas: además de que te ayudan a desarrollar la lógica Me gustaría agregar algo muy importante y ahora que estas un poco más convencido de que todas los demás polígonos se pueden crear con triángulos hablemos de áreas recordemos que el área del triángulo es:
donde la b representa la medida de la base y la h la medida de la altura
Supongamos que la altura del triángulo es de 5 cm y la base de 6 cm, entonces su área se calcula así:
Ahora regresemos por un momento al pentágono Me imagino que algunos se cuestionaran ¿qué tiene que ver el área el pentágono con el área del triángulo? bueno
Daniel Drewniak
tiene que ver bastante, observemos la siguiente imagen:
Podemos darnos cuenta que el triángulo que formamos antes, es el mismo del que obtuvimos su área, y reutilizando el ejemplo anterior, diremos que la base mide 5 cm y la altura sería igual a 6 cm; podemos observar que el pentágono contiene 5 triángulos y como ya tenemos el área de uno, entonces sólo multiplicamos esa área por 5, lo que nos dará:
y esta es el área del pentágono Así es como los matemáticos nos dedicamos a deducir cosas, vamos locos por obtener patrones con el fin de encontrar nuevas aplicaciones a los métodos ya conocidos
Para finalizar, me gustaría comentarte que una característica importante del triángulo es su rigidez, eso nos permite utilizarlo en estructuras sólidas, dando así un mayor soporte Ahora entiendes el por qué aún existen las pirámides de Egipto o de Mesoamérica, y que decir del famoso triángulo de la vida (método que se utiliza cuando ya no da tiempo para salir de un edificio que se está derrumbando)
¿Lo ves querido lector? ahora puedes contarle a tus amigos, familiares o a quien gustes un poco de lo importante que es esta figura, también te invito a experimentar con la misma, te aseguro que cada día te sorprenderás más de todas las aplicaciones que tiene
Referencias:
Martínez, F (Diciembre de 2014) Conceptos básicos: Teorema de Pitágoras Obtenido de Objetos UNAM: http://www objetos unam mx/matematicas/leccione sMatematicas/02/2 160/index html
Polígonos (2011) Obtenido de http://cepre uni edu pe/pdf/poligonos pdf Redacción. (20 de Septiembre de 2017). ¿Qué es el triángulo de la vida? Obtenido de El Economista: https://www eleconomista com mx/politica/Que-esel-triangulo-de-la-vida-20170920-0009 html
p u t varias propiedades importantes, como las funciones trigonométricas,
Esta herramienta nos permite calcular las funciones trigonométricas, de tal forma que al dibujar un triángulo rectángulo dentro de círculo, obtenemos lo siguiente:
Las líneas azules forman una relación, "a" y "b" se llaman catetos, "a" es el cateto opuesto a "h" y b es el cateto adyacente, y a "h" le
llamamos hipotenusa Estos nombres son muy relevantes en la historia de la geometría y son el origen de las funciones trigonométricas:
Ahora, estas relaciones se pueden usar para determinar valores exactos Como puedes ver en el círculo anterior, además de las líneas que forman el triángulo, también contiene un ángulo θ (que en español le decimos teta), y es nada más y nada menos que una letra griega, los ángulos tienen mucho que ver con las funciones trigonométricas y por ende con los valores de a y b juntos, este tipo de relaciones las puedes presentar como: P(a,b), donde P es un punto sobre el círculo unitario
Aquí viene la magia, aunque es un truco un poco complicado Supón una distancia, que
Aditya Chinchure
llamaremos "r" que traza un recorrido desde el origen hasta el punto P, entonces puedes definir esa distancia con una regla muy sencilla:
yo sé que suena un poco complicado pero estamos hablando de muchísimas relaciones contenidas dentro del mismo espacio, déjame mostrarte una imagen, eso puede hacerlo un poco más sencillo
de esta forma puedes ir hilando cada elemento del círculo unitario: los puntos que forman la circunferencia, las líneas que son radios y los ángulos que van trazando al moverse por el círculo.
Un dato interesante: Tal vez te has preguntado cómo es que el circulo unitario tiene relación con la identidad y es porque varias propiedades de las funciones seno y coseno se desprenden del hecho que P(θ)= (cosθ, senθ) se localizan dentro del mismo círculo unitario. Por ejemplo, las coordenadas de P(θ) deben satisfacer la ecuación del círculo:
aplicadas Barcelona: Reverté
Erich Steiner. (2005). Matemáticas para las ciencias
HILL HIGHER EDUCATION.
trigonometría y geometría analítica. México: MCGRAW
Dennis G. Jaqueline M. Dewar. (2012). Álgebra,
Hall Hispanoamericana.
Michael Sullivan (1997) Precálculo México: Prentice-
Referencias:
Entonces al sustituir x=cosθ y y=sen θ de la ecuación anterior, obtendremos el resultado conocido:
Esta relación es una de las más importantes identidades trigonométricas, se conoce como identidad pitagórica.
Shyam Sundar
Topología
La Geometría de goma
Por Luis A López Hernández e Illyana X Montoya Euler decía que además de esa geometría en la que se trabaja sobre cantidades, existía otra, una donde las cantidades no fueran protagonistas, desarrollando así la geometría o análisis situs. Y a principios del siglo XX, Henri Poncairé, fue un poco más lejos, él decía que los atributos cuantitativos no eran importantes, que se debían respetar las propiedades cualitativas de un objeto geométrico, retomando la geometría situs de Euler De hecho, se dice que el origen de la topología fue en 1735, cuando Euler resolvió problema de los puentes de Königsberg
La topología es el estudio de las propiedades de los obj invariantes, aun después de ser sometidos continuamente geometría no se trata de cantidades, si no de las cualidade mundo se ve un poco diferente, aun que vea las mismas c distancias o ángulos, “ no diferencia entre círculos o elipses como si las cosas estuvieran hechas de una goma flexible de la goma: sin añadir, ni quitar nada) Imagina una esfera toma las estructuras fundamentales que permanecen con decir que la esfera y el cubo son equivalentes entre sí, porq
Steve Hodgson
EL PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG
Diagrama de el problema de los puentes de Königsberg, los puntes están resltados en verde
hace referencia al es topos, que en griego signific ología tomaría mucho tiem ta el siglo XX cuando ya se La equivalencia entre necesario que ambo e intersecciones, hueco ido que un triángulo se c sible que el triángulo se co muy sencilla: en el primer transformarlo sin tran n embargo en el segundo habría que romper el triángulo para conseguir la conversión. La equivalencia no permite que se le resten o sumen objetos a nada, ¡por qué entonces dejaría de ser una equivalencia!
conectadas mediant puentes, ahora, el pr es encontrar un reco para atravesar toda l pasando una sola ve cada puente y regres mismo punto inicial. Bien, la ciudad se Königsberg, actualm Kaliningrado en Rusi solución al problema negativa, es decir no una ruta que cumpla con los requisitos pedidos. Esto fe demostrado por Euler y su demostración puede generalizarse para cualquier área en la que un número de accesos se encuentre limitado por un número de conexiones; Euler utilizó una abstracción del mapa de la ciudad, facilitando la primera conceptualización de grafo y con ello toda otra rama de las matemáticas: la teoría de grafos
"El vacío está en todas partes y se puede calcular, lo que nos da una gran oportunidad. Sé como controlar el universo. Entonces, dime: ¿Por qué debería correr tras un millón de dolares?"
decía que topología era un término más apropiado para lo que en ese momento se conocía como Analysis situs debido a que
carta de un alumno de Gauss (Johann Benedict Listing), donde
Resumiendo el problema: imagina una ciudad dividida en cuatro regiones por gran río, las regiones están
La primera referencia del término topología aparece en una
-G. Perelman
Tubular, Clayton Shonkwiler
Y aún hay más, en épocas recientes el matemático ruso Perelman demostró la entonces llamada conjetura de Poincaré (ahora Teorema) siendo uno de los problemas del milenio, el único del que finalmente se ha hallado la solución, en términos generales y para no entrar en detalles poco claros, el teorema trata sobre espacios topológicos; y en el 2016 el premio Nobel de física fue para un equipo de científicos, David Thouless, Duncan Haldane y Michael Kosterlitz, quienes a través de la topología lograron grandes descubrimientos sobre los estados inusuales de la materia, dando paso a una revolución en la forma en la que entendemos el universo.
Britta Gustafsoner
UCAM Knowledge Pills [Archivo de Video] Recuperado de https://www youtube com/watch? v=FdSehUWcl9Q
Soto, J [UCAM Universidad Católica de Murcia] (2013, noviembre 26) ¿Qué es la Topología?
Benitez, R (2017) Topología General Ciudad de México: Trillas
exactamente al revés, la geometría es el estudio de un cierto tipo de objetos topológicos, porque es una rama más general que la geometría que pretende clasificar los espacios y describir sus propiedades como un todo Esta rama es relativamente joven y aún quedan muchas cosas por resolver, actualmente podemos encontrar problemas y aplicaciones de la topología en la Teoría de Grafos, esta área de las matemáticas nos ayuda a encontrar las trayectorias más óptimas, entre otras cosas, para hacer más eficiente el transporte de mercancías; o en la Teoría de Nudos, que trata de comprender los nudos de las moléculas de ADN; en la Teoría de Superficies, que estudia la clasificación de las superficies compactas, equiparando una dona con una taza de café, ¿por qué? porque, en topología, mediante transformaciones se puede pasar de una forma a otra sin romper los espacios involucrados
Usualmente se piensa que la topología trata sobre los conceptos geométricos, pero es
Algo más de ciencias
"Un algoritmo es como una receta" -M. Waseem
de quien debe llevarlas a cabo, minimizando las dudas y partiendo de un dato de entrada que da pie a una serie de pasos que finalizan con una salida Se utilizan comúnmente en matemáticas, lógica y computación, en esta última destaca la sub-rama llamada Algorítmica
Un manual de usuario, las reglas de una organización internacional, los pasos para llevar a cabo una multiplicación, son ejemplos básicos de algoritmos Sin embargo, con el avance de la computación y el desarrollo del internet, los algoritmos comenzaron a tomar un papel central en el modo en que circula la información Desde las transacciones de bolsa y los modelos predictivos de movimientos de capital y mercado hasta la dispersión de contenido viral, los algoritmos controlan la manera en que la información circula por nuestras pantallas y determinan el contenido que vemos a través de ellas
Quizás el ejemplo más claro es el que ocurre cada segundo en las redes sociales de mayor uso alrededor del mundo Twitter, Instragram y principalmente Facebook, están construidos alrededor del uso de algoritmos de una complejidad vertiginosa y que se guardan como secreto industrial Tras bambalinas, estos algoritmos determinan la información que sus usuarios consumen, basándose en las conexiones que estos mismos usuarios realizan entre sí En este caso, la entrada inicial del algoritmo es proporcionada por el usuario, al alimentar su perfil con información sobre sí mismo, sus gustos, sus aficiones, y sus conexiones con otras personas
La principal meta de las redes sociales es lograr la visualización de contenido Por ello, recompensa la interacción, entre más tiempo pasa el usuario en una red social, más aprenden los algoritmos sobre sus hábitos de uso y mejoran las ofertas de anuncios específicos, las sugerencias de contenido y los posibles vínculos con otras personas que comparten características comunes Todo ello por medio de algoritmos que analizan a gran velocidad los datos que el mismo usuario provee y responden creando una salida, que en este caso es la oferta de contenido que más posibilidades tiene de agradar al usuario y aumentar su grado de interacción.
Un resultado aún vastamente inexplorado del uso de algoritmos en redes sociales es la creación de "Burbujas de contenido" , que mantienen al usuario en una especie de zona de confort ideológica, que le impide interactuar con ideas distintas a las suyas. El ejemplo más reciente y quizás el primero en llamar la atención sobre este problema, se dio durante la elecciones presidenciales de Estados Unidos en 2016
Además del uso de bots para influenciar el contenido presentado en redes sociales (y que también funcionan por medio de algoritmos), sociólogos y psicólogos comenzaron a estudiar la forma en que la información presentada al usuario a través de las redes sociales influía en su percepción de la realidad Básicamente, al alimentar a los algoritmos con su información personal, estos sugerían paginas, organizaciones y personas que compartían sus puntos de vista, al mismo tiempo le impedían la exposición a ideas contrarias a las suyas Como resultado, ambos lados de la arena electoral se aislaron dentro de sus propias burbujas a medida y dejaron de tener un intercambio de ideas productivo Esta falta de interacción dio como resultado una división política que aumenta el panorama de incertidumbre general en Estados Unidos
El estudio de las redes sociales y sus consecuencias más allá del mundo virtual es aun una ciencia muy nueva La forma en que estas moldean nuestras interacciones y nuestro consumo de información depende de un sistema automático que muchas veces deja de lado el factor humano Mas allá de los beneficios que estas pueden tener para el libre flujo de ideas, tal vez sea hora de imitar a los astronautas que exigieron un grado mayor de control y dejemos de ser simplemente muñecos de prueba para algoritmos que a pesar de estar diseñados para facilitar la interacción entre personas, en la mayoría de los casos, poco tienen que ver con lo humano
Referencias:
Collins, J. (6 de Febero de 2018). What to do when algorithms rule. Obtenido de Behavioral Scientist : http://behavioralscientist.org/what-todo-when-algorithms-rule/
Dietvorst, B (6 de Diciembre de 2016) People Reject (Superior) Algorithms Because They Compare Them to Counter-Normative Reference Points Obtenido de SSRN: https://papers ssrn com/sol3/papers cfm? abstract id=2881503
Algo más de
ciencias
LA GEOMETRÍA DEL AGUA
Por Ruth García Méndez
GEOMETRÍA MOLECULAR
La misma composición del agua es geometría Las moléculas que componen el agua se clasifican como una estructura simple y angular compuesta por 2 átomos de Hidrógeno y uno de Oxígeno, unidos por dos enlaces: H2O
¿Qué es lo que no se hunde en el agua? Hoy los insectos flotan en el agua, los moscos, las libélulas y otras tantas cosas también los barcos surcan los océanos como moscos en una cubeta olvidada A las personas del viajero transbordador, quizá les maraville como corta el agua del océano a su paso y como los kayaks surcan los ríos salvajes
La geometría del agua hace posible la vida, los enlaces tridimensionales entre hidrógenos y oxígenos, molécula tras molécula se enlazan, pero la geometría está presente si se trata de explicar la cohesión de las moléculas de agua y por supuesto la física y las matemáticas aplicadas para revestir la explicación de lo cotidiano, de lo que siempre hacemos en el agua, de lo que vemos todos los días y tras de sí danzan las ciencias exactas en la construcción de explicaciones de los seres vivos
Los mosquitos han encontrado en la superficie del agua un buen lugar para anidar a sus huevos y continuar con la reproducción de la especie y sucede gracias a la adaptación de sus patas, ya que esta adaptación se beneficia de la tensión super-ficial del agua
La intersección de las partículas en la superficie del agua, se vuelve un área elástica si se deforma la cara del agua aparece una fuerza tangencial* a la superficie que tratará de llevarla a su anterior forma de reposo, esta fuerza, medida por unidad de longitud, es la fuerza de tensión superficial
El componente vertical, se entiende como:
Fy = 2π rγ cos θ (× número de patas) donde F es la fuerza y r es el radio de la depresión circular que forma la pata sobre la superficie
“Termodinámicamente la tensión superficial es un fenómeno de superficie y es la tendencia de un líquido a disminuir su superficie hasta que su energía de superficie potencial sea mínima, condición necesaria para que el equilibrio sea estable Como la esfera presenta un área mínima para un volumen dado, entonces por la acción de la tensión superficial, la tendencia de una porción de un líquido lleva a formar una esfera o a que se produzca una superficie curva o menisco cuando un líquido entra en contacto con un recipiente. Como resultado de la existencia de la tensión superficial, es necesario entregar energía a un sistema para aumentar su superficie. La tensión superficial se puede interpretar, entonces, como la energía que se debe dar a un sistema líquido para aumentar su superficie en una unidad, venciendo la atracción entre sus moléculas (Castellan, 1987; Atkins, 2006) ” citado en (Domínguez; Toro, 2014)
Las moléculas de agua se unen entre sí atraídas unas por otras en todas direcciones pero en la superficie esta unión no va en dirección al fondo sino que se mantiene y forma una película impenetrable La fuerte unión de las moléculas sucede mayormente por los enlaces químicos de oxígeno e hidrógeno, solo el mercurio supera esta unión de las moléculas del agua, fenómeno que se conoce con el nombre de fuerzas de Van der Waals:
“Son fuerzas de estabilización molecular; forman un enlace químico no covalente* en el que participan dos tipos de fuerzas o interacciones, las fuerzas de dispersión (que son fuerzas de atracción) y las fuerzas de repulsión entre las capas electrónicas de 2 átomos contiguos.”(ECURED, 2018)
La proximidad de las moléculas resulta en una fuerza de atracción mayor pero también muy sensible a la temperatura, este tipo de interacción se conoce con el nombre de dipolodipolo inducido y en ella entra en juego una energía atractiva que puede representarse mediante una gráfica logarítmica, es decir que una vez que se unen las moléculas su atracción es infinita
Linus Paulin propuso una estructura tetraédrica de la molécula del agua En su teoría de hibridación de orbitales, el oxígeno presenta dos orbitales desapareados que al combinarse con dos átomos de hidrógeno para formar una molécula de agua, forman un ángulo de 104o 5' Lo cual fue demostrado por Pauling a través de las combinaciones de onda individuales para los orbitales atómicos para obtener nuevas funciones de onda para los
"Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ellas"
orbitales híbridos. “El orbital s y los tres orbitales p, de la capa de valencia del átomo de oxígeno se hibridan para dar lugar a cuatro nuevos orbitales híbridos, que llamamos orbitales sp3, y que se disponen tetraé- dricamente”( Encuentros en la biología, 2013)
El fin de las esferas
La tensión superficial, lograda por la disposición de los enlaces de las moléculas de agua que forman puentes de hidrógeno, es la responsable de que al lavar algún objeto metálico este no se moje completamente, pues las moléculas de grasa del objeto y la tensión superficial del agua se repelen A veces esto resulta molesto cuando la prisa se apodera de los tiempos y lo que queremos es que dichas fuerzas no existan y mojar lo más rápido posible la ropa, el auto, los trastos, y usamos detergente para disminuir la tensión superficial del agua y formar una capa superficial cuyas moléculas apenas atraigan a las moléculas esféricas del agua, el resultado será nuestro logro: mojar de inmediato el objeto que necesitamos lavar.
Esta sustancia rompedora de moléculas del agua se llama surfactante o tenso-activo y aunque si bien nos ha resuelto un problema cotidiano también nos creará uno mayor que quizá recordemos si por fortuna o infortunio pasamos al lado de un rio contaminado con espumas crecientes donde la vida se ha esfumado Otro agente que desestructura a las moléculas de agua es el calor, mientras que la temperatura se mantenga en 3 98° centígrados permite que el agua logre su máxima adherencia, pero superando este límite promueve velozmente la liberación de las moléculas porque la densidad disminuye y rompe los puentes de hidrógeno
La temperatura promedio de los océanos es de 17° centígrados (Ventanas al Universo, 2011) y el de los cuerpos de agua dulce varía según la temperatura ambiental y la altitud pero se acerca al rango de los océanos en promedio (Climata data org, 2018) La temperatura de los océanos responde con menor rapidez al cambio climático y la variación de temperatura afecta hasta los 700 metros de profundidad (National Geographic, 2010) sin embargo hay afectaciones en los ecosistemas marinos y en los ecosistemas mundiales lo cual debe ser sin duda el pretexto para otro artículo.
Referencias:
ABC Ciencia http://www abc es/ciencia/20150304/abci-como-pueden-mosquitos-caminar201503031705 html
Domínguez, Orlando J ; Toro, María A ; Serrano, Emilio M Enseñanza del Concepto de Fuerzas
Intermoleculares en Ingeniería Química: su Relación con Propiedades Medibles Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta Aceptado Jul 14, 2014; Versión final recibida Sep 10, 2014 https://scielo conicyt cl/pdf/formuniv/v7n5/art03 pdf
ECURED (2018) https://www ecured cu/Fuerzas de Van der Waals
Encuentros en la biología (2013) http://www encuentros uma es/encuentros142/pauling pdf
Fenómenos de superficie: Tensión superficial y capilaridad. http://www.ugr.es/ pittau/FISBIO/t5.pdf
Ventanas al Universo (2011) https://www.windows2universe.org/earth/Water/temp.html&lang=sp
El Laberinto del Go
Por Jair Carmona Casiano
El go
Hoy, 9 de septiembre de 1978, tuve en la palma de la mano un pequeño disco de los trescientos sesenta y uno que se requieren para el juego astrológico del go, ese otro ajedrez del Oriente Es más antiguo que la más antigua escritura y el tablero es un mapa del universo. Sus variaciones negras y blancas agotarán el tiempo En él pueden perderse los hombres como en el amor y en el día. Hoy, 9 de septiembre de 1978, yo, que soy ignorante de tantas cosas, sé que ignoro una más, y agradezco a mis númenes esta revelación de un laberinto que nunca será mío.
Jorge Luis Borges En La cifra, 1981 Obra poética 1923/1985
El go es un juego de Estrategia , donde se disponen de piedras blancas o negras , se colocan en el campo ( en las intersecciones de un tablero de 19x19 ) . Mientras se avanza , los dos jugadores buscan ocupar un área , hasta ahora desierta y deben disputar el espacio Al colocar formaciones adecuadas , se pueden crear posiciones gradualmente aseguradas Al final , se compara el tamaño de las áreas dominadas y se cuenta el número de piedras tomadas Entonces , el objetivo no es aniquilar completamente al oponente ( como en el ajedrez ) , sino obtener más puntos con el área y las piedras capturadas
Jorge Luis Borges hace dar cuenta de la trascendencia histórica que ha tenido el juego del go , parece impresionante que justo ahora se tenga la posibilidad de adentrarse a este laberinto milenario , y correcta es la designación “ laberinto ” para referirse al go , pues describe varias
Sunny Ngo
dimensiones de este , su forma , su complejidad , la pasión que genera y el go como doctrina , en un primer momento se refiere a la forma , pues el aspecto del juego llama inmediatamente , se ve el vació del tablero que se perturba con la primera piedra y da paso a estructuras y formas complejas
También laberinto se refiere a la complejidad de resolución , el go es un juego combinatorio , eso significa que la dificultad para encontrar una estrategia ganadora se debe a la gran cantidad de movimientos posibles
Otro aspecto que le añaden complejidad al go , ( pero más referente a determinar que jugada es buena o mala respecto al fin del juego y no en el sentido de la teoría de juegos combinatorios ) es que para el go necesitas mantener una atención doble , tanto a un nivel micro , como a la imagen total del
trabajo ( macro ) , una posición aparentemente perdida localmente , puede jugar un papel crucial en un momento futuro
Cada piedra fija a menudo tiene varias funciones al mismo tiempo desde fortalecer la propia posición asegurando una conexión con una segunda posición , hasta atacar el territorio dominado por el oponente Por esta razón dependiendo de la predisposición , los jugadores pueden concentrarse en crear áreas lo más grandes posible , al mismo tiempo que evitan que su oponente lo haga
Además , una vez dentro del laberinto se vuelve imposible salir porque esta gran complejidad se refleja en la pasión y dedicación que genera en sus jugadas , ya que ellos pueden trabajar toda su vida para perfeccionar el estilo y su capacidad de juego .
No es raro encontrar en Japón los llamados insel , estudiantes de go , que dedican su vida , desde edades muy tempranas a estudiar go con el fin de lograr convertirse en profesionales del juego
Finalmente , los laberintos han sido usados como símbolo de la peregrinación ; las personas pueden seguir el camino hacia la salvación o la iluminación Como se ha visto la estrategia es un aspecto importante , pero no el único del juego , puede estimular la meditación , desafiar la mente y proporcionar a algunos jugadores un espejo de su propia personalidad
El go tiene aspectos filosóficos del taoísmo como el Yin y Yang , la dicotomía entre dos elementos y el balance entre ellos , es el motor del juego : blanco y negro ; vida y muerte ; dominio e influencia ; ataque y defensa .
Como se decía en un principio no es la aniquilación de tu enemigo , es el balance de la existencia de ambos en el tablero Un juego manejado con elegancia por ambos jugadores puede ser percibido como una obra de arte
No es por nada que durante el siglo IV a C , el go haya sido considerado una de las Cuatro Artes Tradicionales de los eruditos chinos , junto con la caligrafía , la pintura y la interpretación del instrumento musical guqin
Y a pesar de la gran complejidad en la estrategia del go , las reglas básicas son tan simples que se pueden aprender rápidamente .
Maastricht
Allis V ( 1994 ) Searching for solutions in games and artificial intelligence [ University of Limburg ]
Milano : Mondadori
Borges , J L , Porzio , D , & Mondadori ( 1999 ) La cifra
Ecuatoriana de Go
Go ( Segunda edición ) Ecuador : Asociación
Albuja , Diego O ( 2007 ) Principios Estratégicos del
Referencias :
Si
te interesa aprender a jugar envía un mensaje a la página de facebook: Taller de Go, Fes Acatlán
Enlace: https://bit.ly/2IRmpOD
Oskar Alexanderson
CAMBIO DE VARIABLE
Paul Goeltz