La persona detrás del número

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t

La persona detrás del número.

Editorial.

Podemos partir preguntándonos: ¿Dónde o cómo nacen las matemáticas?

Para intentar responder, podemos recorrer historias diferentes según lo que creemos que son las matemáticas, hay múltiples posibilidades. Podemos decir que las matemáticas en las civilizaciones primitivas se limitan al cálculo de terrenos, la decoración de cerámica, al comercio o al recuento del correr del tiempo en la vida cotidiana, sin embargo, para llegar a las matemáticas que conocemos hoy en día, se hallaron numerosos quebraderos de cabeza; inconvenientes con la forma de contar, de enumerar y hasta de relacionarse con otros.

Grandes mentes en todos los tiempos han contribuido a crear lo que hoy vemos como un lujoso edificio abstracto. En esta entrega te presentamos un poco de la vida de algunos de los grandes matemáticos que han pasado a la historia por sus aportes a las matemáticas.

COLABORADORES Director Luis A. López Hernández Coordinadora Editorial Illyana X. Montoya Diseño Editorial Janeth Francisco Martínez Ilustrador Axel Enrique Gómez Torres Asistente Editorial Fernando Ramírez González Redacción Carlos D. Álvarez Edgar Castro Vázquez Fermy Aguilar Gabriel D. Rivera Vázquez Luis F. Castillo García Ruth García Méndez

Contacto: revistacambiodevariable@gmail.com 2 •Cambio de variable

Contenido 4

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

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Toma de decisiones: teoría de Juegos y el equilibrio de John Nash.

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Cantor y el infinito

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Daniel Bernoulli.

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Gauss

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Fermat

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Algo más de ciencias: La mente dos veces.

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Referencias.

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Srinivasa Aiyangar Ramanujan

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al vez ya has escuchado algo sobre él y no es para menos, ya que ha sido uno de los más grandes matemáticos de la historia, uno de los mejores en su país: India. Posiblemente has visto alguna de sus notables aportaciones al maravilloso mundo de las matemáticas o has escuchado sobre la anécdota del famoso número 1729. ¿Ya sabes de quién estamos hablando? así es, de Srinivasa Ramanujan.

Origen: Tamil Nadu, India Nació: 22 de diciembre 1887 Muerte: 26 de abril 1920

Nació el 22 de diciembre de 1887 en un entorno humilde y pobre en la ciudad de Erode, actualmente Tamil Nadu, India. Desde muy pequeño Ramanujan sintió pasión por las matemáticas. En una ocasión, a la edad de 12 años pidió prestado un libro a un estudiante cercano, el libro era “La trigonometría plana” de S. Loney, publicado por Cambridge en 1894 y contiene una gran cantidad de temas, como series1, logaritmos de números complejos o series de Gregory-Leibniz.

El libro que más influyó en su El libro que más influyó en su vida, vida fue: “Synopsis of elementary results in pure and applied y ciertamente le ayudó a encontrar mathematics” de G. S. Carr. su genio, fue “Synopsis of elemen-

tary results in pure and applied mathematics” de G. S. Carr, este libro es la compilación de 6165 teoremas2, organizados sistemáticamente. Ramanujan se propuso a demostrar cada 1 Una serie matemática es la generalización de una suma. En términos más sencillos es una suma de muchos o infinitos elementos.

2 Un teorema es un enunciado matemático que se puede demostrar a partir de reglas fundamentales y con lógica.

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una de las afirmaciones enunciadas allí.

Por la sugerencia de Seshu Aiyar, el 16 de enero de 1913, Ramanujan escribió una carta a G. H. Hardy, quien era miembro del Trinity College en Cambrige, el contenido de este escrito abarcaba enunciaciones de cien o más teoremas matemáticos. Al principio, Hardy dudó del asombroso genio de Ramanujan, pero con el tiempo se percató de su increíble talento nato. Esto conllevo a que Hardy redactara un escrito al Secretario de Estudiantes Indios de Londres, diciendo que Ramanujan podía ser un matemático de la clase más alta. A principios de febrero el Dr. Walker, antiguo miembro de Trinity College, visitó Madrás, y Sir Francis Spring aprovechó esta oportunidad para llevarle algunos de los trabajos de Ramanujan.

Así, la Universidad le otorgó a Ramanujan una beca especial por dos años.

Ramanujan salió hacía a Inglaterra el 17 de Marzo de 1914, llegó a Cambridge en Abril y fue admitido en el Trinity College, Hardy y Littlewood le ayudaron a publicar sus trabajos, gracias a su apoyo se desarrolló rápidamente.

Una anécdota sobre Ramanujan, va más o menos así: un día cuando Hardy visitó a Ramanujan en un taxi con el número 1729, sabiendo del gran interés que tenía por los números, Hardy le dijo a Ramanujan que Cambio de variable• 5

era un número totalmente carente de interés, a lo cual Ramanujan contestó que de hecho era un número muy interesante, siendo el número más pequeño representable de dos maneras diferentes como la suma de dos cubos:

Resulta curioso que este genio de las matemáticas fue autodidacta por muchísimo tiempo, además afirmaba que varias de sus ideas matemáticas le llegaban en sus sueños, interesante ¿no lo crees?

Se estima que Ramanujan probó más de 3500 teoremas, identidades y ecuaciones, incluidas la función de partición3 y la función theta4.

Lamentablemente este genio murió muy joven, a la edad de 32 años en 1920, pero sus trabajos han inspirado a otros para seguir investigando aquello que para Ramanujan era sagrado, su trabajo sigue siendo vigente hasta nuestros y actualmente abarca varios campos de estudio matemático.

Autor, Fernando Ramírez González

3 La función de partición representa las posibles particiones de un número natural, se representa normalmente como p(n) y es el número de formas de representar esa n como la suma de números naturales 4 Las funciones theta son funciones especiales en matemáticas, que involucran variables complejas.

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Tomando decisiones: la teoría de juegos y el equilibrio de

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Nash

3 años de la muerte de John Forbes Nash, economista y matemático estadounidense, quien luchó durante gran parte de su vida contra la esquizofrenia, sus aportaciones a la teoría de juegos siguen sorprendiendo a científicos de todo el mundo.

Si eres cinéfilo, seguro habrás visto, oído o incluso recomendado “A beautiful mind”, película del 2001 protagonizada por Russell Crowe.

Origen: Estados Unidos Nació:

La adaptación de la novela homónima de Sylvia Nasar, que le valió una estatuilla Oscar como mejor película, describe los años de John Nash como universitario hasta su premio Nobel en 1994.

13 de junio 1928

Su primer gran trabajo fue su tesis en la Universidad de Princeton 23 de mayo 2015 acerca de la teoría de juegos, continuando con los postulados de Von Neumann y Morgenstein. Con sólo 21 años, el trabajo de Nash ya era reconocido por muchos de sus colegas, sin embargo, pocos años después de su punto cumbre, el matemático estadounidense entraría en un estado de esquizofrenia tan severo que lo obligó a detener su trabajo por más de dos décadas, vivía medicado, aislado y mostraba signos de lucidez de vez en cuando.Al igual que el recién fallecido Stephen Hawking, al que le dieron una esperanza de vida de 2 años, el gran Nash superó su enfermedad, a pesar de los diagnósticos. De hecho, es la única persona en el mundo que ha superado la esquizofrenia.

Muerte:

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Por si fuera poco, John Nash ha sido el único en ganar el Premio Nobel y el Premio Abel (comúnmente conocido como el Nobel de las matemáticas), ya que entre las muchas categorías de los Nobel, no existe una para premiar a las grandes mentes matemáticas que han existido. Pero ese es chisme de otro reportaje.

La teoría de juegos

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e aseguro que más de una vez en la vida te has visto envuelto en un conflicto que involucre a más personas además de ti: tus compañeros de la universidad haciendo un proyecto, problemas con tu equipo de trabajo, tú y tu pareja decidiendo si ven “Bajo la misma estrella” o “Batman vs Superman”, incluso puede que te hayas sentido indeciso con el tema de las elecciones presidenciales que están a la vuelta de la esquina. Aunque nos cueste trabajo reconocerlo, la mayoría de nosotros hemos sido egoístas a la hora de tomar decisiones en conjunto. Siempre vemos por nuestro beneficio antes Nash ha sido el único en ganar el de pensar en cómo nuestras decisio- Premio Nobel y el Premio Abel (el Nobel de las matemáticas). nes afectan a los demás.

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Sin embargo, a pesar de tomar las decisiones que mejor nos convengan y salirnos con la nuestra, siempre habrá un equilibrio de Nash.

Las decisiones de unos afectan a todos, esto es teoría de juegos y también ¡la vida real!

El equilibrio de Nash es un concepto que pertenece a la Teoría de juegos, una rama de la economía que estudia modelos matemáticos de conflicto y cooperación entre individuos que tienen un interés en común. En 1951, John Nash logró demostrar que en todo juego, en donde los participantes tienen varias estrategias siempre existirá por lo menos un equilibrio de Nash, esto es que dada una situación en donde todos los jugadores ponen en práctica la estrategia que más les convenga, se logra el mejor resultado de manera individual, pero no en conjunto.

Las decisiones de unos afectan a todos, esto es teoría de juegos y también ¡la vida real!

Tomando el ejemplo de las elecciones, siempre ha existido un conflicto entre las ideas de izquierda y las de derecha. Los derechistas promueven una economía de libre mercado, mientras que los izquierdistas buscan que el estado intervenga en la economía para regular su funcionamiento.

Los empresarios se inclinan más hacia la derecha, mientras que los que no poseen tanto capital prefieren defender las ideas de izquierda.

Suponiendo que México se divide en dos partes, el Norte que suele ser partidario de una economía libre, y el Sur que se apega más a las ideas del control estatal de los asuntos económicos, podríamos aplicar el equilibrio de Nash para analizar cuál sería la mejor opción.

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Los cuadros en azul representan el Equilibrio de Nash que se logra cuando las regiones del país toman una decisión diferenciada. En los puntos de equilibrio ambas partes tienen que ceder un poco. Los izquierdistas no tendrán una economía totalmente controlada como desearían, y los de la derecha no estarán en un medio de libertad total de los mercados, pero la situación económica que prevalecerá podrá funcionar mejor porque atraerá capitales inversionistas.

Los cuadros en verde son las situaciones extremas, cuando ambas regiones votan por su propia opción al mismo tiempo, sin lugar a varianzas.

El legado de Nash ha ayudado enormemente a la toma de decisiones durante muchos años. Lamentablemente nuestra mente brillante falleció en un trágico accidente de auto, junto con su esposa Alicia Nash en mayo de 2015.

Por eso, cuando acudan a las urnas, tomen una decisión razonada, y piensen en todo lo que matemáticamente hay detrás, como el Equilibro de Nash.

Autor: Fermy Aguilar

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Cantor y el infinito

Georg Cantor

¿

Por qué alguien pensaría en el infinito? ¿Y por qué no? El infinito siempre ha cautivado a numerosos pensadores. Y hubo un matemático que no podía dejar de pensar en ello, formando toda una teoría con base en ello, que fundamenta y da solución a gran cantidad de problemas matemáticos, su nombre fue Georg Cantor.

A Cantor le gustaba la música, ese gusto lo heredó de sus padres y la afición por las matemáticas, también.

De hecho, la música y las matemáticas tienen mucha relación, él era un buen violinista.

También quería dedicarse a la filosofía quizá como su antecesor Bernard Bolzano quien falleció sólo tres años después de que Cantor naciera. Sin embargo, su padre lo quería ver como un gran ingeniero por su destacado entendimiento y de hecho a Cantor le apasionaban las matemáticas puras, por lo que pidió consentimiento a su padre para dedicarse a ellas.

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Siendo muy joven formó un grupo de matemáticos que se reunían mensualmente, y durante toda su vida mantuvo correspondencia con matemáticos para intercambiar puntos de vista, muchas veces su teoría fue refutada y alguna vez tildada de ser muy avanzada para su época. Los estudios matemáticos le apasionaban y en numerosas ocasiones tuvo que reponerse de su depresión para continuar con ellos.

Gracias a esa voluntad infinita tenemos la maravillosa teoría de conjuntos.

¿Para qué saber del infinito?

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esde los asuntos que parecen más prácticos, hasta los más extraordinariamente abstractos pueden comprenderse o explicarse con la teoría de conjuntos. En un artículo sobre la corrupción en España, el autor hace alusión al uso de intercepciones y uniones para averiguar la relación entre los elementos que conforman la corrupción en ese país por lo que argumenta la siguiente definición: Cantor definió el conjunto como “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”; para Cantor, partiendo desde una premisa bastante simple, se puede establecer que “un conjunto es colección C de objetos x determinados y bien dis-

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tintos en nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo”. (Boye Tuset, 2017).La teoría de conjuntos es en sí misma un área de investigación matemática, la teoría del infinito; pero también es el soporte de muchas teorías matemáticas (Galindo, 2011) y de otras ciencias naturales, económico-administrativas e incluso humanísticas, como es el caso del pensamiento filosófico.

Una de las aplicaciones de la teoría de conjuntos es la teoría de grupos, aplicable en química, en la deducción de técnicas espectroscópicas1 y a las propiedades de las moléculas, muy actual por aquello del desarrollo de la nanotecnología (Cornejo, 2015). En la física, por supuesto, ha sido base en el estudio del Bosón de Higgs (Thompson, 2013), debido al uso de la teoría de las probabilidades en las que en un breve espacio estadístico del comportamiento de las partículas es interpretado por los científicos encargados de todo este embrollo como una esperanza para encontrar la denominada partícula de Dios. En administración, mercadotecnia y economía, es aplicada en el análisis de mercado para conocer las preferencias de los consumidores y de esa manera anticipar los volúmenes de compra de insumos, producción e ingresos por ventas.

(Ferreira lopes, 2011).

Y si seguimos con las aplicaciones quizá diríamos que son infinitas y el infinito es precisamente lo que Cantor estudio. Hay varios infinitos y uno es el de contar (Saénz de Cabezón, 2015), ordenar los conjuntos de números reales y naturales, sería infinitamente posible, pero no para otros conjuntos; entre números como los reales existen infinitos, así como entre los números racionales otros varios infinitos.

Esto lo probó Cantor por medio de la teoría de conjuntos infinitos: entre dos consecutivos naturales se pueden intercalar infinitos racionales, una especie de infinitos-infinitos. Elaboró una tabla de racionales, donde en cada columna estaban las fracciones con el mismo numerador y en las filas las que tenían el mismo denominador, luego estableció una conexión de secuencia diagonal entre ellos, de forma que todos los racionales po1 La espectroscopía estudia la relación entre la radiación electromagnética y la materia.

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dían ser representados por un número natural. La conclusión de su trabajo arrojó que tantos los números naturales, enteros, racionales e inclusive los pares tienen la misma cardinalidad, a esta cardinalidad, que es la más pequeña que un conjunto infinito puede tener, Cantor le llamo Aleph subcero. sobre el plagio de Shakespeare a Bacon, lo cual no era nada aceptado por sus colegas, quienes veían sus discursos como algo excéntricos (Prieto de Castro, 2016). Sin embargo, lo más importante de esto es que Cantor seguramente aplicaba lo que hoy es un modelo interdisciplinario, ni más ni menos, Cantor fue un hombre incansable, como diría Eduardo Galeano “Al fin alrededor de los setenta años, dis- y al cabo, somos lo que hacemos cutía sobre religión, matemáticas y para cambiar lo que somos”.

Para probar que los conjuntos de números naturales y de números reales no tenían la misma cardinalidad (Aleph subcero), Cantor llevó a cabo una demostración con una tabla, la conclusión fue que el infinito de los números reales era aún más grande que el Aleph subcero.

Al fin y al cabo, somos lo que hacemos para cambiar lo que somos. Autor: Ruth García Mendoza

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Y tú ¿Conoces a

Daniel Bernoulli?

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os Bernoulli fueron una familia de eminentes matemáticos suizos de finales del siglo XVI y principios del siglo XIX, todo empezó con Jacob el viejo, de estos también podemos nombrar a Nicolaus, Johann, Daniel, Nicolau I, entre mucho más, sin embargo por ahora hablaremos particularmente sobre Daniel Bernoulli.

Daniel Bernoulli nació en Groninga, en los Países Bajos, el 29 de enero de 1700, y estudió medicina en la Universidad de Basilea, en Suiza.

Bernoulli estudió medicina, pero a él lo que le apasionaba eran las matemáticas.

Pero a él lo que le apasionaba eran las matemáticas, cosa que venía pasando con toda su familia, intentó ser admitido como profesor de la Universidad de Basilea

Origen: Groninga en los Países Bajos Año: 9 de enero de 1700 Muerte: 17 de marzo de 1782 Cambio de variable• 15

sin mucho éxito, sin embargo las cosas cambiaron cuando la reina Catalina I de Rusia lo postuló a él y a su hermano como profesores en la academia de ciencias de San Petersburgo.

Se dedicó principalmente al estudio de los problemas de la hidrodinámica 1 y de la teoría de probabilidad, fue entonces cuando publicó su obra Hydrodynamica en 1738 también conocida como el Principio de Bernoulli o Teoría Dinámica de los fluidos.

Hydrodynamica es uno de los trabajos más importantes realizado por Bernoulli, en está obra se consideran las propiedades más importantes del flujo de los líquidos: la presión, la densidad y la velocidad.

1 Esta rama estudia el movimiento de los líquidos, es la dinámica del agua.

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¿De qué se trata el principio de Bernoulli?

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ueno, este principio se resume en una ecuación y en esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Pongamos un ejemplo: imagina un tubo cualquiera por el que pasa agua, entonces el principio de Bernoulli describe ciertas relaciones: supón que si el área transversal del tubo se reduce, entonces la velocidad delfluido que pasa a través de él se incrementa y la presión se reduce; la fórmula también aplica cuando tenemos un recipiente con agua y este tiene un orificio o fuga en la parte inferior, la velocidad con la que sale el fluido depende de la alturaque tenga el líquido dentro del recipiente, ya que ejerce una presión de x atmosferas y mientras menor sea la altura del fluido con respecto al orificio también la velocidad con la que sale el líquido será menor. Para enseñarte la fórmula como la imaginó Bernoulli, diremos que P es lapresión a la que está sometido el fluido, ρ es la densidad del fluido, v es lavelocidad del fluido, g la gravedad y h la altura, entonces la ecuación se ve así:

Paradoja de San Petersburgo

C

omo te había contado, otro campo en el que destacó fue en la probabilidad.

Daniel, trabajó junto con su hermano en la paradoja de San Petersburgo, esta paradoja fue muy famosa para los matemáticos de su tiempo y sigue siendo relevante en el estudio de la teoría de probabilidad y la teoría de decisiones.

En 1713 Nicolaus Bernoulli postuló la paradoja, básicamente decía que una decisión basada en el beneficio predecía unas preferencias que no se daban en la práctica, plantea dos opciones: en una de ellas el beneficio esperado es infinito, mientras que en la otra es finito, en algún punto termina, pero la mayoría de los jugadores escogen la opción con un beneficio finito. La clave de la paradoja es determinar el valor que alguien estaría dispuesto a pagar para jugar a un juego de azar. Quince años después, en 1738, Daniel logró distinguir los valores necesarios para solucionar el problema, y resolvió la paradoja de San Petersburgo. Daniel se planteó el siguiente reto: imagina un juego que consiste en lanzar una moneda al aire y conseguir el máximo número posible de caras seguidas hasta que sale una cruz y se deja de jugar. Cada vez que sale una nueva cara se duplica el premio, Cambio de variable• 17

hasta que salga una cruz y entonces el jugador se lleva toda la ganancia acumulada.

Es decir, si la primera tirada es cruz, no se gana nada; si la primera es cara y la siguiente cruz, se ganan dos euros; si saliesen dos caras y una cruz, se ganan cuatro, y así sucesivamente. Por ejemplo, si hubiese alguien tan afortunado como para sacar diez caras seguidas antes de obtener una cruz, ganaría 210 euros, o sea, 1024 euros.

Y entonces ya sabiendo sobre la paradoja de San Petersburgo ¿apostarías? Y sí es así ¿cuándo pararías?

En 1750 es elegido miembro de la Royal Society y, en ese mismo año laUniversidad de Basilea le otorga la cátedra de física.

Finalmente, Daniel Bernoulli fallece el 17 de marzo de 1782 en Basilea.

Autor: Luis Fernando Castillo García 18 •Cambio de variable

Johann Carl Friedrich Gauss

U

no de los grandes matemáticos conocidos es Johann Carl Friedrich Gauss, contribuyó de muchas formas al estudio de las matemáticas, encontramos sus numerosas aportaciones en diversos campos tales como la geometría, la teoría de números, la estadística, el álgebra e incluso la astronomía.

Nació en Alemania, el 30 de Abril de 1777. Cuando era niño, uno de sus profesores le pidió a todo el grupo que sumaran los 100 primeros naturales, 1+2+3+4+...+100, claramente los niños tardarían en dar con la respuesta. Pero, se dice que Gauss con una innata genialidad, dedujo una forma para simpliOrigen: ficar el proceso, en el que emparejó Alemania el primer número con el último y el segundo con el penúltimo, más o Nació: menos así: y así se dio cuenta de 30 de abril de 1777 que la suma de dichos números era igual a 101 hasta que llegó al 50 + Muerte: 51 donde el resultado fue el mis23 de febrero de 1855 mo, luego se percató que existían 50 parejas semejantes entre el 1 y el 100, el resultado siempre era el mismo e hizo una multiplicación (50 por 101) y el resultado fue 5050. Quedando la siguiente fórmula:

Querido lector, puede usar la calculadora y ver que se cumple esta regla.

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Creció en una familia de campesinos, sus padres eran analfabetos.

Bajo esas circunstancias podríamos decir que cualquiera de nosotros podría ser un genio, sin embargo uno de los grandes obstáculos es el miedo.

¡Por supuesto que las matemáticas no son un monstruo!

Lo que tienen es un problema de imagen. Decir que somos buenos para las matemáticas es casi como una medalla de honor. Sin embargo, no es cierto. La realidad es que usamos las matemáticas a diario. Para navegar en el mundo, tenemos que entender los números y poder calcular los riesgos.

Volvamos a nuestro genio Gauss, dado su origen sus primeras instrucciones académicas las cursó en las escuelas locales, su fama con los números llegó a oídos del duque de su ciudad natal, quien apoyó a Gauss económicamente para que continuara sus estudios. Sus primeras publicaciones importantes incluían pruebas que exhibían un gran uso del análisis y fueron parte aguas para desarrollar el álgebra; también se le adjudica el desarrollo de la aritmética modular y en 1801 publica una de las más importantes obras para la teoría de números: En 1801 publica una de las Disquisitiones Arithmeticae; por más importantes obras para otra parte se interesó por la geometría diferencial, de ello derivó el la teoría de números: concepto de curvatura de Gauss, si Disquisitiones Arithmeticae. algunas vez llegas a tener curiosidad, podrás encontrar el nombre de 20 •Cambio de variable

Gauss asociado a muchos descubrimientos relevantes tales como: la campana de Gauss, el teorema de Gauss-Bonnet, el método de eliminación Gauss-Jordan y bueno, todas estas cosas han hecho mucho más fácil el quehacer matemático.

El duque de Brunswick, quien le había apoyado económica muere en 1806 lo que impulsa a Gauss a aceptar una cátedra de astronomía en Gotinga, curiosamente a él no le gustaba dar clase, sin embargo se sabe que se cuentan otros genios entre sus estudiantes, entre ellos Bernhard Riemann y Richard Dedekind.

Gauss murió en Gotinga a la edad de 77 años, el 23 de febrero de 1855.

“No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, y no la posesión, sino el acto de llegar allí, que concede el mayor disfrute.”

-Carl Friedrich Gauss Autor: Rivera Vázquez Gabriel David

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Un matemático aficionado:

Fermat

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ierre de Fermat fue un abogado y matemático de origen francés, descendiente de padres ricos e influyentes. Nació en un pueblito llamado Beaumont-de-Lomagne, en la localidad de Gascuña.

A Fermat se le otorga el título de “Padre de la Teoría de Números”.

Origen: Beaumont-de-Lomagne, en la localidad de Gascuña.

Cabe resaltar que él no se consideraba como un matemático profesional, debido a que no era de tiempo completo; sino todo lo contrario, se veía cómo un simple aficionado a las matemáticas que las escribía en sus tiempos libres. No obstante, otros matemáticos de su época lo veían como un matemático importante.

Tuvo tres hermanos (dos hermanos y una hermana), a edad temLo que debes saber: prana ya resaltaba en la escuela Se le otorga el título de como un niño inteligente, pronto “Padre de la Teoría de Números”. empezó a dominar y a hablar varios idiomas, entre ellos: latín, griego y la mayoría de los idiomas importantes de Europa en ese entonces. Ya joven, entro a la universidad de Toulouse a estudiar leyes (sí, fue abogado) y fue en Burdeos donde empezó a realizar sus aportaciones a la matemática.

En Burdeos realizó un importante escrito sobre máximos y mínimos de funciones algebraicas, y cómo dar con ellos. Lamentablemente nunca 22 •Cambio de variable

fueron publicados, pero sí compartía sus avances y descubrimientos con otros matemáticos de su época.

Entre ellos: René Descartes, Marin Mersenne y Pierre Carcavi.

En 1631 obtuvo un puesto importante (magistrado) en el Parlamento de Toulouse y fue precisamente en esta ciudad donde contrajo nupcias con Louise de Long, la prima de su madre, con la cual procreó tres hijos: dos mujeres y un barón. Fue precisamente este último quien tiempo después de la muerte de Fermat dio a conocer al mundo todos los trabajos que su padre habría realizado en las matemáticas.

Fermat fue ascendiendo de puesto en el Parlamento hasta llegar a la cámara alta y de ahí alcanzó el máximo nivel de la corte criminal.

Gran parte de su vida, se dedicó principalmente al magistrado y a las leyes, poco fue el tiempo que dedicó a las matemáticas; pero fue el tiempo necesario para conjeturar uno de los teoremas que pondría en jaque a los principales matemáticos de su época y futuros, tanto así que pasarían más de 300 años para que su conjetura pasara a ser formalmente teorema: El Último Teorema de Fermat.

Pasarón 300 años para que su conjetura pasara a ser formalmente teorema.

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Su pasión por las matemáticas

F

ermat era aficionado de los acertijos, principalmente aquellos en los que se utilizaban números y un razonamiento lógico-matemático para su resolución. Inspirado por el matemático antiguo Diofanto, empezó a trabajar en la teoría de números.

Se apasionó tanto por los problemas planteados por Diofanto que empezó a mandar cartas a otros matemáticos para resolver dichos ejercicios, no sin antes haberlos resuelto. La mayoría de las cartas que mandaba no eran regresadas con su respectiva respuesta, tal vez porque no les importaba resolver problemas matemáticos de esa índole o porque de verdad eran un reto y no podían dar con la solución. Pero quienes sí respondían las cartas con la solución correcta, normalmente adjuntaban otro acertijo matemático para Fermat, quien aprovechaba los ratos libres después del trabajo, pasaba noches tratando de resolver los enigmas que sus contemporáneos le enviaban. Este intercambio de cartas, poco a poco fue haciendo que el nombre de Fermat fuera escuchado y reconocido en la comunidad matemática.

También tuvo algunas discrepancias con otros matemáticos, tal fue el caso de René Descartes, por la forma en que Fermat resolvía los problemas: sin demostración alguna que acreditara su validez.

El inicio de las probabilidades En 1654 Fermat mandó carta a un célebre matemático de París: Blaise Pascal. Pascal fuematemático, físico, filósofo y escritor, a los 16 años publicó su primer artículo sobre las cónicas.

Pronto Pascal y Fermat empezaron a trabajar en una nueva rama de las matemáticas,esta pretendía predecir y calcular las ventajas de ganar a un jugador de cartas. Había nacido la probabilidad matemática.

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Otros aportes importantes

P

ara muchos matemáticos, los números primos siempre han sido un misterio. Tanto que la obsesión por encontrar una fórmula que pueda generarlos ha sido uno de los mayores triunfos, Fermat no era la excepción.

En 1640 encontró una fórmula que, al parecer, podía generar números primos.

Esta fórmula demostraba que al ser ingresado un valor, esta devolvía un número primo, por ejemplo, los primeros cinco números naturales (0, 1, 2, 3 y 4) al ser ingresados dentro de la fórmula regresan: 3, 5, 17, 257 y 65536 respectivamente. No es difícil comprobar que efectivamente estos números son primos. Pero cuando ingresamos el sexto número (5) nos arroja un número que no es primo, por lo tanto, la fórmula fallaba.

Fue el matemático suizo Leonard Euler quien se dio cuenta de este detalle un siglo después (en 1739).

Fermat entendía las nociones de la teoría de números, pero carecía del razonamiento de un matemático puro. Esto hizo que cometiera algunos errores o demostraciones incorrectas a la hora de comprobar sus artículos matemáticos. También hizo aportaciones importantes sobre métodos de factorización de números, cómo encontrar números perfectos, y con ayuda de Mersenne finalmente propusieron una fórmula general para generar números perfectos.

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El Último Teorema de Fermat

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ermat hacía anotaciones en las páginas de los libros, pero fue una nota en particular, la qué llamó la atención y generó la frustración de varios matemáticos, por muchos años. El último Teorema de Fermat.

El Último Teorema de Fermat se inspiró en el teorema de Pitágoras, que dice: “La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de su hipotenusa”. En forma matemática tenemos que: a² + b² = c²; donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa. Fermat se preguntó “¿qué pasaría si en lugar de potencias cuadradas fueran cúbicas o de un grado mayor a 2?”

Quién diría que esta simple pregunta ocasionaría más de 300 años de discordia entre matemáticos, nadie podía demostrar si existía o no solución a esa ecuación, cuando las potencias son mayores y enteras que dos. Fue hasta 1993 que un matemático inglés, Andrew Wiles, demostró que no existe solución alguna para esta ecuación. ¡Pasó siete años encerrado en su casa, para demostrar esta conjetura!

En una copia del libro de Diofanto se puede leer la anotación, muy famosa, que hizo Fermat sobre su teorema: “He encontrado una solución verdaderamente maravillosa e increíble que lo demuestra (refiriéndose a que pudo demostrar su teorema en ese instante), pero el margen de esta hoja es muy pequeño para escribirla”. Realmente se piensa que de haber tenido esa demostración pudo haber contenido varios errores. Pues se necesitaban matemáticas muy avanzadas que ni siquiera existían en sus tiempos. Desgraciadamente la “Demostración” de Fermat nunca vio la luz y se perdió para siempre, antes de que alguien pudiera verla.

Autor: Edgar Castro Vázquez.

26 •Cambio de variable

Dos veces la Mente Algunas ideas sobre la inteligencia de los Cefalópodos.

C

uando se habla sobre inteligencia no humana, las imágenes que vienen a la mente son aquellas de delfines, primates o incluso, cetáceos. Sin embargo, un grupo animal que no pertenece a ninguna de las categorías anteriores ha captado la atención de los estudiosos de la cognición y la inteligencia desde hace un par de décadas: los Cefalópodos. Cerca de 1000 especies distintas comprenden esta variada categoría animal, desde los pulpos, pasando por las jibias, los calamares y los nautilos, estos variados animales han captado la atención de los científicos debido a su a veces inquietante capacidad de resolución de problemas. Pertenecientes al género de los moDel

luscos, se diferencian de ellos en que, a excepción de los nautilos, no poseen un exoesqueleto o una concha protectora. Raros aun entre los moluscos, los más raros del grupo son los pulpos. Poseedores de un cerebro altamente sofisticado y un sistema nervioso desarrollado, han sido catalogados por asociaciones ecológicas de Estados Unidos como “Vertebrados Honorarios”.

Contrario a la creencia popular, los pulpos no tienen tentáculos.

Cada uno de sus apéndices es en realidad un brazo mucho más desarrollado y que provee al cerebro de información sensorial sobre su entorno.

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mismo modo, poseen el radio más grande en relación cerebro-cuerpo de todos los invertebrados y como ya se ha mencionado, un desarrollado sistema nervioso que puede funcionar incluso después de ser desconectado del cerebro. Sin embargo, debido a las características de sus brazos, no poseen un propiocepcion muy desarrollada, pues necesita visualizar cada uno de ellos para localizarse a sí mismo en el espacio.

Los pulpos tienen un largo historial fósil que data de cerca de hace 51 millones de años

Los pulpos tienen un largo historial fósil que data de cerca de hace 51 millones de años, sin embargo, su estudio es complicado pues al ser animales compuestos en su práctica totalidad por tejido blando, sus restos fósiles son muy poco comunes, es por ello que incluso grandes tratados sobre fósiles de invertebrados poseen escasos capítulos sobre el desarrollo de la especie y sobre sus registros fósiles. Phyl Eden, por ejemplo, uno de los más reconocidos investigadores sobre el tema, ha dicho que los todos los registros fósiles existentes podrían guardarse dentro de un maletín.

Los registros fósiles disponibles nos permiten especular sobre su origen y posterior evolución. Sabemos que el registro más antiguo, el Pohlsepia mazonensis data de hace 300 millones de años y que posee seis brazos y dos tentáculos, pero presenta ya suficientes rasgos biológicos como para ser declarado un antecedente directo de los pulpos que conocemos hoy en día. La segunda especie recuerda más a los llamados Pulpos Dumbo y es llamada Proteroctopus ribeti. Palaeoctopus newboldi, el tercer registro fósil conocido data del periodo Cretácico y nos muestra que para entonces ya existía una variedad dentro de la especie.

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Esta escasez de registros fósiles no hace más que generar más preguntas sobre el origen de esta fascinante especie. Estudios muy recientes y aun controvertidos plantean la hipótesis de que el material genético de los pulpos llego a este planeta en un estado durmiente hace millones de años y prolifero debido a las propicias circunstancias que existían en el entonces joven planeta. Y es que el material genético de los pulpos no se parece en realidad al de ninguna otra especie de este planeta.

Esa diferencia es el principal punto de interés para los especialistas, pues implica un experimento evolutivo completamente diferente de todos los demás y que sin embargo, ofrece ciertas coincidencias con la mente de algunos vertebrados y mamíferos diversos. Peter Godfrey-Smith, uno de los más respetados analistas del comportamiento de los cefalópodos y autor del libro “Otras Mentes” indica que muy probablemente sea lo más cercano que estaremos de entrar en contacto con una inteligencia alienígena parecida a la nuestra.

Los pulpos se han desatacado en estudios de laboratorio diseñados para medir ciertos aspectos de la percepción y la resolución de problemas.

Por ejemplo, han logrado salir de frascos cerrados desenroscando las tapas. En su medio natural, usan cascaras de coco como corazas protectoras y estudios recientes indican que las jibias poseen una capacidad Cambio de variable• 29

matemática extremadamente desarrollada, equivalente a aquella de un niño de un año. Existen también anécdotas divertidas, pulpos que escapan de sus tanques dentro de acuarios para comerse a los peces del tanque vecino, pulpos que lanzan chorros de agua a investigadores que no les agradan e incluso, un muy famoso caso en que un pulpo aprendió a lanzar chorros de agua a las luces de la habitación para causar un corto circuito.

Lo anterior nos hace pensar en que efectivamente, la evolución, por medio de un proceso en cierta forma redundante, desarrolló características semejantes en dos especies completamente diferentes y que se desarrollaron en medios opuestos.

Al igual que los recientes estudios que plantean procesos cognitivos más sofisticados en las plantas, estos nuevos descubrimientos sobre los cefalópodos nos obligan a cuestionar la naturaleza del concepto de 30 •Cambio de variable

“Inteligencia” y nos enfrentan con una realidad hasta ahora poco explorada. La de la posibilidad de que pueda existir más de una forma de mente consciente.

El ejemplo de los pulpos se ha usado también para contrastar visiones sobre la inteligencia artificial. Y es que una mente consciente no lo es solo por sí misma, no existe ni se desarrolla en un vacio. Aprende en gran medida por medio de los órganos que le permiten sentir al mundo. Una inteligencia artificial creada en una computadora y que habite un universo de unos y ceros, tendría, quizás, muy poco que decirnos si la comparamos con la increíble experiencia que podrían compartir con nosotros esos maravillosos y enigmáticos habitantes de las profundidades.

Autor: Carlos D. Álvarez.

Autor: Carlos D. Álvarez.

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