Funções não Lineares by RiansiDesign

Funções não lineares Paulo Henrique Pereira

Estudo da Função Cúbica 1) Dados Há muitas formas de associação entre duas variáveis (x, y). Podemos citar algumas delas: linear, quadrática, cúbica, exponencial entre outras. Nosso objetivo principal é o de analisar a disposição que os dados assumem em um gráfico de dispersão e, a partir dessa análise, assumirmos qual forma é aquela que deveremos obter para procurar a equação de ajuste. Como exemplo, vamos analisar taxas cambiais entre março de 2004 e março de 2005. Queremos calcular a taxa para abril de 2005 (ou para qualquer outro mês), com base na amostra extraída desse conjunto de taxas dados. MÊS MARÇO (2004) ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO JANEIRO FEVEREIRO MARÇO (2005)

TAXA (%) 15,8 16,1 15,9 15,4 14,8 14,3 14 13,8 13,5 13,3 13,6 14,1 14,9

Note que as taxas flutuam, assumindo o formato de uma curva que pode ser analisada pela função cúbica. Com isso, somos levados a resolver o seguinte sistema de equações:

2) Gráfico TAXA SEGUNDO O MÊS (%) 16,5 16

TAXA (%)

15,5 15 14,5 14 13,5 13 -6

-5

-4

-3

-2

-1

MÊS

3) As Equações Normais

∑ y = na + b∑ x + c∑ x + d ∑ x ∑ x y = a ∑ x + b∑ x + c ∑ x + d ∑ x ∑ xy = a∑ x + b∑ x + c∑ x + d ∑ x ∑ x y = a ∑ x + b∑ x + c ∑ x + d ∑ x 2

4) Colocando os dados originais na planilha Excel Para simplificar, adotamos o seguinte: a variável “X” será o mês. A taxa de desemprego será “Y”, pois a variação das taxas depende do tempo em que ela ocorre. Quando a variável “X” se distribui em forma de uma P.A. (e sua quantidade é ímpar), basta selecionarmos a mediana e a zeramos. Valores anteriores à mediana assumem valores negativos; valores posteriores à mediana são positivos. Isso facilita muito os cálculos. Quando a quantidade é par, atribuiremos aos valores anteriores à mediana o valor -1, -3, -5... e assim sucessivamente (note que esses valores crescem em duas unidades. Vamos fazer o mesmo para os valores posteriores à mediana (só que com valores positivos). O período de tempo será “x” e a taxa será “y”. MÊS

x^2

x^2(y)

-3412,8 1296,00

402,5

x^3 216,00 125,00

mar/04

-6

15,8

-94,8 36,00

568,8

abr/04

-5

16,1

-80,5 25,00

mai/04

-4

15,9

jun/04

-3

x^3(y)

x^4

-2012,5

625,00

-63,6 16,00

254,4

-64,00

-1017,6

256,00

x^5 7776,00 3125,00 1024,00

x^6

y^2

46656,00

249,64

15625,00

259,21

4096,00

252,81

15,4

-46,2

9,00

138,6

-27,00

-415,8

81,00

-243,00

729,00

237,16

jul/04

-2

14,8

-29,6

4,00

59,2

-8,00

-118,4

16,00

-32,00

64,00

219,04

ago/04

-1

14,3

-14,3

1,00

14,3

-1,00

-14,3

1,00

-1,00

1,00

204,49

0,00

196

set/04

0,00

out/04

13,8

1,00

13,8

1,00

13,8

1,00

190,44

nov/04

13,5

4,00

8,00

108

16,00

32,00

64,00

182,25

dez/04

13,3

39,9

9,00

119,7

27,00

359,1

81,00

243,00

729,00

176,89

jan/05

13,6

54,4

16,00

217,6

64,00

870,4

256,00

1024,00

4096,00

184,96

fev/05

14,1

70,5

25,00

352,5

125,00

1762,5

625,00

3125,00

15625,00

198,81

mar/05

14,9

89,4

36,00

536,4

216,00

3218,4

1296,00

7776,00

46656,00

222,01

TOTAIS

189,5

-34

182

2731,8

-659,2

4550

134342

2773,71

Eliminando os valores zerados, teremos os seguintes sistemas:

189,5 = 13a + 182c 2731,8 = 182a +4550c

-34 = 182b + 4550d -659,2 = 4550b + 134342d

6) Equação de ajuste Com os resultados obtidos, formamos a equação y = a + bx + cx2 + dx3. Com essa equação faremos as projeções a as análises retroativas. Essa equação será considerada “boa” se seus resultados forem próximos aos dados originais observados. A equação de ajuste será:

yestimado = 14, 0249 + (- 0,4195x) + 0,0394x2 + 0,0093x3 Para o exemplo em questão o valor de “x” é para abril de 2005, logo seu valor é 7.

yestimado = 14, 0249 + (- 0,4195* 7) + 0,0394 * (72) + 0,0093* (73) yestimado = 16,2089

7) Margem de erro da estimativa (USE 4 CASAS DECIMAIS)

∑ y − (a∑ y + b∑ xy + c∑ x 2

Seq =

y + d ∑ x3 y

)

n−4

Para o exemplo em questão: Seq =

2773,71 − (14,0249 *189,5 + (−0,4195 * (−34)) + 0,00394 * 2731,8 + 0,0093 * (−659,2) 13 − 4

Usando quatro casas decimais obtemos Seq = 0,1585 8) Intervalo de confiança da estimativa

yestimado = y ± tSeq Questão: Se o grau de confiança é de 90%, construa a estimativa intervalar da taxa média de desemprego

O gráfico abaixo mostra que a função cúbica se ajustou muito bem aos dados reais das taxas estudadas.

Comparação da taxa real e esperada de desemprego (mar 04-05)

Taxa (%)

16,5 16 15,5 15 14,5 14 13,5 13 1

Mês Taxa real de desemprego

Taxa esperada de desemprego

Exemplo: Uma empresa estuda suas vendas de um determinado insumo (em toneladas), segundo mês. MÊS jun/05 jul/05 ago/05 set/05 out/05 nov/05 dez/05 jan/06 fev/06 mar/06 abr/06

Toneladas 1,8 2,4 2,8 2,7 2,2 1,5 0,8 0,7 0,9 1,5 2,7 20,0000

Valores estimados 1,5412 2,5968 2,9278 2,7298 2,1984 1,5292 0,9178 0,5598 0,6508 1,3864 2,9622 20,0002

X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0,0000

XY X XY -9,0 25 45,0 -9,6 16 38,4 -8,4 9 25,2 -5,4 4 10,8 -2,2 1 2,2 0,0 0 0,0 0,8 1 0,8 1,4 4 2,8 2,7 9 8,1 6,0 16 24,0 13,5 25 67,5 -10,2000 110,0000 224,8000

X -125 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 0,0000

XY 1,8 2,4 2,8 2,7 2,2 1,5 0,8 0,7 0,9 1,5 2,7 20,0000

X 625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625 1958,0000

X -3125 -1024 -243 -32 -1 0 1 32 243 1024 3125 0,0000

X 15625 4096 729 64 1 0 1 64 729 4096 15625 41030,0000

Y 3,24 5,76 7,84 7,29 4,84 2,25 0,64 0,49 0,81 2,25 7,29 42,7000

a. Montar a equação de ajuste. b. Estime as vendas para maio de 2005 e para maio de 2006. Compare a evolução das vendas.

3,5

2,5

1,5

0,5

0 1

Toneladas

Valores estimados

1. Suponha que uma empresa queira estimar suas vendas considerando um período de oito meses. A função cúbica é um bom ajuste para os dados. n=8

x 0

y 34,2

xy 17,8

TOTAIS CALCULADOS xy x3 x3y x4 405,4 0 353,8 1414 2

x5 0

x6 32710

y2 199,82

Os coeficientes já calculados são:

a b c d

5,5750 0,2823 0,0107 -0,0014

a) Monte a equação y = a + bx + cx2 + dx3 b) Calcular a estimativa para x = 7 c) Calcule a margem de erro d) Construa os intervalos para cada estimativa (95%)

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 1

3 Qtde

Valores estimados

2. Suponha que uma empresa queira estimar suas vendas considerando um período que está na tabela abaixo. A função cúbica é um bom ajuste para os dados, conforme mostra o gráfico abaixo. 1) Lendo a apostila encontramos uma explicação sobre o que vem a ser um “bom ajuste” da função cúbica. Leia essa explicação e responda se o gráfico abaixo pode ser considerado como um bom ajuste.

QTDE VENDIDA (UNIDADES)

VENDAS 50

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

0,0 1

MESES Qtde

MÊS dez jan fev mar abr mai Totais

Qtde 20 40 29 17 15 42 163

Valores estimados

x xy x xy x -5 -100 25 500 -125 -3 -120 9 360 -27 -1 -29 1 29 -1 1 17 1 17 1 3 45 9 135 27 5 210 25 1050 125 0 23 70 2091 0

Coeficientes calculados a 23,4681 b

-7,4565

xy -2500 -1080 -29 17 405 5250 2063

x 625 81 1 1 81 625 1414

0,317

x -3125 -243 -1 1 243 3125 0

x 15625 729 1 1 729 15625 32710

y 400 1600 841 289 225 1764 5119

0,3854

3. Acima estão os totais a serem usados na montagem da equação da função cúbica. Monte a equação y = a + bx + cx2 + dx3. Note que os coeficientes “a”, “b”, “c”, “d” já foram calculados. Basta usá-los. Utilizando a equação que você montou, calcule a estimativa para x = 8 3) Calcule a margem de erro 4) Construa os intervalos mínimo e máximo para a estimativa (com 95% de confiança) 4. O Gráfico abaixo registra a evolução do PNB do país “A” em um período de 12 anos. Com base nesse gráfico, assinale as alternativas corretas: PNB: Evolução Econômica do País "A" em um período de 12 anos 8

Taxa (%)

0 1

-2

-4

-6

Período a( b( c( d( e(

) Que o pico se deu no 12º ano do período analisado ) Que o período de declínio do crescimento econômico começa a partir do 5° ano, piora a partir do 7° ano e fica positivo a partir do 10º ano ) Que o período de declínio do crescimento econômico começa a partir do 3 ano e piora a partir do 7 ano e fica positivo a partir do 11º ano ) O maior período em que o PNB se manteve positivo é o dos dois últimos triênios ) O maior período em que o PNB se manteve positivo é o dos dois primeiros triênios

5. Suponha que uma empresa queira estimar suas vendas considerando um período que está na tabela abaixo. A função cúbica é um bom ajuste para os dados, conforme mostra o gráfico abaixo. A quantidade está em função do mês. MÊS dez jan fev mar abr mai Totais

Qtde 28 40 29 20 18 44 179

x xy x2 x2y -5 -140 25 700 -3 -120 9 360 -1 -29 1 29 1 20 1 20 3 54 9 162 5 220 25 1100 0 5 70 2371

Coeficientes calculados a 24,3128 b

-6,2411

x3 -125 -27 -1 1 27 125 0

x3y -3500 -1080 -29 20 486 5500 1397

x4 625 81 1 1 81 625 1414

0,4732

x5 -3125 -243 -1 1 243 3125 0

x6 15625 729 1 1 729 15625 32710

y2 784 1600 841 400 324 1936 5885

0,3125 2

a. Acima estão os totais a serem usados na montagem da equação da função cúbica. Monte a equação y = a + bx + cx + dx . Utilizando a equação que você montou, calcule a estimativa para x = 9 b. Calcule a margem de erro e Construa os intervalos mínimo e máximo para a estimativa (com 95% de confiança) 6. Suponha que uma empresa queira estimar suas vendas e que a função cúbica se adequou aos dados. Os coeficientes são: a 5,5750 x 0 b 0,2823 y 34,2 c 0,0107 xy 17,8 d -0,0014 x2 70 2 xy 405,4 x3 0 x3y 353,8 4 x 1414 x5 0 6 x 32710 2 y 199,82

n=8 a) Monte a equação y = a + bx + cx2 + dx3 b) Construa as estimativas para: x=7 x = 10 c) Calcule a margem de erro d) Construa os intervalos para cada estimativa (95%)

Função Logarítmica Exercício 1. Uma empresa percebe que seu movimento de vendas está fraco. Depois que um novo produto é lançado, há um crescimento nas vendas, registrado na tabela abaixo.

Qtde vendida (x) 7 10 13 14 16 18 56

Resultado (y) R$ (92.000,00) R$ 42.000,00 R$ 123.000,00 R$ 160.000,00 R$ 185.000,00 R$ 193.000,00 R$ 612.000,00

R$ 800.000,00 R$ 600.000,00 R$ 400.000,00 R$ 200.000,00 R$ 0

R$ (200.000,00)

a. Encontre a equaĂ§ĂŁo. b. Elabore uma estimativa para unidades vendidas.

2. Suponha que uma empresa invista em mídia e estude, com isso, suas vendas. PERÍODO VENDAS GASTO lnx = X JAN 10 2 0,6931 FEV 18 4 1,3863 MAR 25 6 1,7918 ABR 38 8 2,0794 MAI 44 10 2,3026 JUN 48 12 2,4849 JUL 50 14 2,6391 AGO 51 16 2,7726 SET 50 18 2,8904 OUT 52 20 2,9957 TOTAL 386 110 22,0359

lny = Y 2,3026 2,8904 3,2189 3,6376 3,7842 3,8712 3,9120 3,9318 3,9120 3,9512 35,4119

X^2 0,4805 1,9218 3,2104 4,3241 5,3019 6,1748 6,9646 7,6872 8,3542 8,9744 53,3939

Y^2 5,3019 8,3542 10,3612 13,2320 14,3201 14,9862 15,3039 15,4593 15,3039 15,6123 128,2351

XY 1,5960 4,0069 5,7675 7,5641 8,7134 9,6196 10,3241 10,9013 11,3072 11,8369 81,6370

VENDAS EM FUNÇÃO DO GASTO 70 60 VENDAS

50 40 30 20 10 0 0

GASTO

a. Encontre a equação. b. Faça uma estimativa de vendas para um determinado investimento.

3. Uma empresa possui um serviço de entrega. O tempo de entrega (em horas) dos pedidos feitos pelos clientes aparece na tabela abaixo. A distância está em km. REGISTROS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 TOTAIS

DISTÂNCIA (x) 0,3000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 3,0000 3,5000 4,0000 4,5000 5,0000 5,5000 30,8000

TEMPO (y) 13,0000 23,0000 18,0000 27,0000 28,0000 33,0000 35,0000 34,0000 35,0000 39,0000 42,0000 327,0000

X = ln x -1,2040 -0,6931 0,0000 0,4055 0,6931 1,0986 1,2528 1,3863 1,5041 1,6094 1,7047 7,7574

Y = ln y 2,5649 3,1355 2,8904 3,2958 3,3322 3,4965 3,5553 3,5264 3,5553 3,6636 3,7377 36,7537

X2 1,4496 0,4805 0,0000 0,1644 0,4805 1,2069 1,5694 1,9218 2,2622 2,5903 2,9062 15,0317

Y2 XY -3,0881 6,5790 -2,1734 9,8313 0,0000 8,3542 1,3363 10,8625 2,3097 11,1036 3,8413 12,2256 4,4540 12,6405 4,8886 12,4352 5,3475 12,6405 5,8963 13,4217 6,3718 13,9702 29,1840 124,0643

[1,5] 1. Encontre a equação de ajuste y = axb. Para essa equação, A e b têm as fórmulas ABAIXO.

DISTÂNCIA x TEMPO 45,0

[1,5] 2. Calcule R usando a fórmula abaixo.

40,0

[1,5] 4. Considerando a equação encontrada na questão 1, se a distância percorrida é de 10 km, quanto tempo a empresa levará para entregar o pedido? Analise o gráfico. Explique se o resultado obtido com a equação obedece à tendência vista no gráfico.

35,0 TEMPO

[1,5] 3. Explique o resultado de R obtido.

30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

DISTÂNCIA

4. Abaixo estão os dados referentes ao gasto e às vendas da empresa “S”.

MÊS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT TOTAL

GASTOS (x) 4 8 12 16 18 20 22 24 26 28 178

VENDAS (y) 26 18 28 36 44 48 50 51 54 56 411

X = ln x 1,3863 2,0794 2,4849 2,7726 2,8904 2,9957 3,0910 3,1781 3,2581 3,3322 27,4687

Y = ln y 3,2581 2,8904 3,3322 3,5835 3,7842 3,8712 3,9120 3,9318 3,9890 4,0254 36,5778

X2 1,9218 4,3241 6,1748 7,6872 8,3542 8,9744 9,5545 10,1000 10,6152 11,1036 78,8099

XY 4,5167 6,0104 8,2802 9,9356 10,9377 11,5971 12,0922 12,4956 12,9965 13,4133 102,2753

[1,5] 1. Encontre a equação de ajuste y = axb. Para essa equação, A e b têm as fórmulas ABAIXO.

GASTO x VENDAS

[1,5] 2. Calcule R usando a fórmula abaixo.

[1,5] 4. Considerando a equação encontrada na questão 1, se o gasto for igual a 40, qual será o número de vendas? Analise o gráfico. Explique se o resultado obtido com a equação obedece tendência vista no gráfico.

60 50 VENDAS

[1,5] 3. Explique o resultado de R2 obtido.

Y2 10,6152 8,3542 11,1036 12,8416 14,3201 14,9862 15,3039 15,4593 15,9120 16,2035 135,0996

40 30 20

10 0 2

GASTO

5. Abaixo estão os dados referentes ao tempo de experiência de funcionários do Departamento de Vendas (em meses) e as vendas efetuadas. TEMPO DE Funcionário EXPERIÊNCIA (x) VENDAS (y) X = ln x Y = ln y X2 XY Y2 a 10 26 2,3026 3,2581 5,3019 7,5020 10,6152 b 12 18 2,4849 2,8904 6,1748 7,1823 8,3542 c 14 28 2,6391 3,3322 6,9646 8,7939 11,1036 d 16 36 2,7726 3,5835 7,6872 9,9356 12,8416 18 44 e 2,8904 3,7842 8,3542 10,9377 14,3201 f 20 48 2,9957 3,8712 8,9744 11,5971 14,9862 g 22 50 3,0910 3,9120 9,5545 12,0922 15,3039 h 24 51 3,1781 3,9318 10,1000 12,4956 15,4593 i 26 54 3,2581 3,9890 10,6152 12,9965 15,9120 28 56 j 3,3322 4,0254 11,1036 13,4133 16,2035 TOTAL 190 411 28,9446 36,5778 84,8305 106,9462 135,0996 EXPERIÊNCIA x VENDAS 70 60 VENDAS

a. Encontre a equação de ajuste y = axb. Para essa equação, A e b têm as fórmulas ABAIXO. 2 b. Calcule R usando a fórmula abaixo. c. Explique o resultado de R2 obtido. d. Considerando a equação encontrada na questão 1, se um funcionário tiver 50 meses de experiência, quantas vendas irá efetuar? Analise o gráfico. Explique se o resultado obtido com a equação obedece à tendência vista no gráfico.

50 40 30 20 10 0 4

EXPERIÊNCIA

Exercícios gerais 1. Suponha que uma empresa queira estimar suas vendas considerando um período que está na tabela abaixo. A função cúbica é um bom ajuste para os dados. A quantidade está em função do mês. MÊS dez jan fev mar abr mai Totais

Qtde 28 40 29 20 18 44 179

x xy x xy -5 -140 25 700 -3 -120 9 360 -1 -29 1 29 1 20 1 20 3 54 9 162 5 220 25 1100 0 5 70 2371

Coeficientes calculados a 24,3128 b

-6,2411

x -125 -27 -1 1 27 125 0

xy -3500 -1080 -29 20 486 5500 1397

x 625 81 1 1 81 625 1414

0,4732

x -3125 -243 -1 1 243 3125 0

x 15625 729 1 1 729 15625 32710

y 784 1600 841 400 324 1936 5885

0,3125 2

2. A administração de um banco deseja estabelecer um critério para avaliar a eficiência de seus gerentes. Para isso, levantou em cada uma de suas agências os dados a respeito do depósito médio mensal (R$ 1000) e o número de contas comerciais existentes.

AGÊNCIA A B C D E F G H I TOTAIS

NÚMERO DE CONTAS (x) 16 30 35 70 90 120 160 237 378 1136,0000

DEPÓSITO MÉDIO (y) 14 16 19 30 31 33 35 43 50 271,0000

X = ln x 2,7726 3,4012 3,5553 4,2485 4,4998 4,7875 5,0752 5,4681 5,9349 39,7431

Y = ln y 2,6391 2,7726 2,9444 3,4012 3,4340 3,4965 3,5553 3,7612 3,9120 29,9163

X2 XY Y2 7,6872 7,3170 6,9646 11,5681 9,4301 7,6872 12,6405 10,4685 8,6697 18,0497 14,4500 11,5681 20,2483 15,4523 11,7923 22,9201 16,7395 12,2256 25,7574 18,0440 12,6405 29,8997 20,5665 14,1466 35,2230 23,2174 15,3039 183,9940 135,6853 100,9986

a. Encontre a equação de ajuste y = ax . b. Desenvolva uma estimativa para uma quantidade especificada de contas.