Ricardo Alejos; Misael Hernández Fundamentos de Sistemas de Comunicación
Tarea 04 Experimentos preliminares al estudio de c ódigos de línea rece centrado en el tiempo, es decir, entre 0.4 s y 0.6 s 2. Grafique la magnitud del espectro de la señal o la densidad espectral (hay varias funciones en octave/matlab que pueden ayudar en esta tarea, como fft, psd, pwelch, spectrum, etc.) 3. ¿Cuál es el ancho de banda del pulso? 4. Repita para un pulso de la misma duración, pero con inicio en 0 segundos.
Acerca de esta tarea El propósito de esta tarea es calcular de forma experimental el ancho de banda de pulsos cuadrados que pudieran utilizarse para las comunicaciones digitales. Para generar los pulsos en Octave o Matlab se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se define un vector de tiempo con una frecuencia de muestreo determinada. 2. Se inicializa la señal como un vector de ceros de la misma longitud que el vector de tiempo. 3. Se identifican los valores de tiempo utilizando el comando find donde la señal vale 1 o -1.
Solución Caso 1 1 0.9 0.8
Como ayuda: supongamos que queremos una señal que valga entre y . Si tenemos el vector de tiempo
0.7 0.6 0.5
t = [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5];
0.4 0.3
Primero inicializamos la señal a cero con:
0.2 0.1
x = zeros(1,numel(t));
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
40
45
50
Y después encontramos los índices donde vale 1: x(find( (t>=0.2) & (t<=0.4) )) = 1;
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t) 0.2 0.18
Atención: donde se pregunta el ancho de banda, conteste el ancho de banda absoluto, el de 3 dB y el de cruce por cero según las definiciones del libro de Johnson.
0.16 0.14
|X(f)|
0.12 0.1 0.08
Ejercicio 1
0.06
Enunciado
0.02
0.04
0
1. Suponga que . Diseñe una señal que dure un segundo y tenga forma de un pulso rectangular de duración 0.2 segundos; el pulso apa1
0
5
10
15
20 25 30 Frequency (Hz)
35
Ricardo Alejos; Misael Hernández Fundamentos de Sistemas de Comunicación El ancho de banda absoluto , está definido como la diferencia de la frecuencia entre las cuales está contenido todo el espectro de la señal en cuestión (fuera del rango contenido por estas frecuencias, el espectro es cero).
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t) 0.2 0.18 0.16 0.14
|X(f)|
0.12
El ancho de banda de los 3 dB está definido como la diferencia entre las frecuencias las cuales marcan los límites de frecuencia mayor y menor donde la magnitud de las componentes de frecuencia son menores a 3 dB ( ⁄√ veces más pequeñas que el valor máximo de la señal).
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
El ancho de banda de cruce por cero es el contenido entre las frecuencias cuando en ambas frecuencias el valor de la magnitud de la señal es cero. Podemos ver en el segundo gráfico que nunca se cruza por cero, por lo tanto.
0
5
10
15
20 25 30 Frequency (Hz)
35
40
45
50
Ejercicio 2 Enunciado Repita el ejercicio anterior, pero ahora para dos pulsos: uno entre 0.2 y 0.4 segundos, y el otro entre 0.7 y 0.9 segundos. ¿Qué diferencia hay en el espectro de la señal con un pulso, y la señal con dos pulsos? ¿Cuál es el ancho de banda de la señal con dos pulsos? Puede ayudar graficar el espectro en escala logarítmica (ver el argumento pctrl del comando spectrum).
Caso 2 1 0.9 0.8 0.7 0.6
Solución
0.5 0.4
Parte 1
0.3 0.2
Signal x(t) 1
0.1 0.9 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.8 0.7 0.6 x(t)
0
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6 Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
Ricardo Alejos; Misael Hernández Fundamentos de Sistemas de Comunicación
Ejercicio 3
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t) 0.2 0.18
Enunciado
0.16
Repita el ejercicio anterior, pero para dos pulsos bipolares: uno con amplitud 1, y el otro con amplitud -1. ¿Cómo cambia su espectro? ¿Cuál es su ancho de banda? De nuevo puede ser útil ver el espectro en escala logarítmica.
0.14
|X(f)|
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04
Solución
0.02 0
Signal x(t) 0
5
10
15
20 25 30 Frequency (Hz)
35
40
45
1
50
0.8 0.6 0.4
x(t)
0.2
Parte 2
0 -0.2
Signal x(t) 1
-0.4 0.9 -0.6 0.8 -0.8 0.7 -1
x(t)
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6 Time (s)
0.7
0.8
0.9
1
0.5 0.4
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t) 0.4
0.3 0.35
0.2 0.1
0.3 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6 Time (s)
0.7
0.8
0.9
0.25
1 |X(f)|
0
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t)
0.15
0.4
0.1
0.35
0.05
0.3
0
0.25 |X(f)|
0.2
0
5
10 15 Frequency (Hz)
20
25
0.2
Note ahora que, dado que el valor promedio de la señal es cero, también lo es la componente de frecuencia cero en el espectrograma.
0.15 0.1 0.05 0
0
5
10 15 Frequency (Hz)
20
25
3
Ricardo Alejos; Misael Hernández Fundamentos de Sistemas de Comunicación
Ejercicio 4 Enunciado
Parte 2
Repita el problema, pero ahora con un pulso que siga centrado en 0.5 segundos pero de las siguientes duraciones:
1 0.9 0.8
1. 2. 3. 4.
0.1 segundos 0.05 segundos 0.4 segundos 0.6 segundos
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3
Explique los resultados obtenidos. Trate de encontrar una fórmula para predecir el ancho de banda de la señal a partir de la duración del pulso.
0.2 0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
40
45
50
Solución Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t)
Parte 1
0.04 0.035
1 0.9
0.03
0.8
0.025 |X(f)|
0.7
0.02
0.6 0.015 0.5 0.4
0.01
0.3
0.005
0.2 0 0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
40
45
50
Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t) 0.1 0.09 0.08 0.07
|X(f)|
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
0
5
10
15
20 25 30 Frequency (Hz)
35
4
0
5
10
15
20 25 30 Frequency (Hz)
35
Ricardo Alejos; Misael Hernández Fundamentos de Sistemas de Comunicación Parte 3
0.7
1
0.6
0.9
0.5
0.8
0.4
0.7 0.6
0.3 0.5
0.2
0.4 0.3
0.1
0.2
0
0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
5
10
15
20
25
1
̅̅̅̅ 0.4 0.35
Note que conforme más dura el pulso, la componente de frecuencia cero crece y las demás disminuyen.
0.3 0.25
Ahora, busquemos la relación entre el tiempo de duración del pulso y el ancho de banda. Estudiemos la siguiente tabla.
0.2 0.15 0.1
Duración del pulso 0.05 0
0
5
10
15
20
0.04 s 0.1 s 0.4 s 0.6s
25
Ancho de banda de cruce por cero 25 Hz 10 Hz 2.5 Hz ̅̅̅̅ Hz
Note que se respeta la relación: Parte 4 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5