Contenido UNIDAD 1. NÚMEROS REALES ...................................................................................1 1.1 Los números reales .............................................................................................1 1.2 Axiomas de los números reales ............................................................................2 1.3 Intervalos y su representación grafica ..................................................................3 1.4 Valor absoluto y sus propiedades .........................................................................4 1.5 Propiedades de las desigualdades .........................................................................6 1.6 Resolución De Desigualdades De Primer Grado y segundo grado con una incógnita.7 1.7 Resolución de igualdad que inclinan valor absoluto................................................8
UNIDAD 1. NÚMEROS REALES 1.1 Los números reales Racionales 3/4, 5/2, 7/8 Naturales: que son los enteros sean positivos o negativos Irracionales π, √2, 3√9 7√8 Raíces no exactas porque no tienen un numero finito de decimales
La recta numérica
-3 Negativo
-√ 2 Irracional
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0
3/2
1 Numero Natural
π
Racional Irracional
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1.2 Axiomas de los nĂşmeros reales 1.propiedad conmutativa x+y=y+x 2.propiedad asociativa x + (y + z) = (x + y) + z 3.Exitencia del neutro aditivo x+0=x 4.Existencia de inversivo aditivo x + (- x) = 0 5.Propiedad conmutativa xy=yx 6.Propiedad asociativa x (y z) = (x y) z 7.existencia del neutro multiplicativo x.1=x 8.Existencia de inverso multiplicativo x . x-1 = x y + x z
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1.3 Intervalos y su representación grafica >
mayor que
<
menor que
≥
mayor o igual que
≤
menor o igual que
Ejemplo: Rebeca tiene $10 y va a ir de compras. ¿Cuánto se va a gastar (sin pedir prestado)? Respuesta: algo mayor que o igual a $0 y menor o quizás igual a $10: Rebeca gasta ≥ $0 Rebeca gasta ≤ $10
Esto lo podemos escribir en una línea
Intervalo
Cerrados
Representación Grafica
[a,b] a
Abiertos
a [a,b)
SemiAbierto
(a,b]
a
a
a≤x≤b
b
[ a
] b
b
( a
) b
) b
a≤x<b
b
[ a
] b
a<x≤b
b
( a
(a,b)
SemiCerrado
Representación Simbólica
$0 ≤ Rebeca gasta ≤ $10
a<x<b
Ejemplos: [ ] 1 ≤ x ≤ 10 10 1 x número que sea igual o menor del uno y menor o igual a diez. [1,10]
( ) 2<x<9 2 9 x número menor que dos y menor a nueve. (2,9)
( ] 4≤x<9 4 9 x número mayor a cuatro, e igual o menor a nueve. (1,5]
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1.4 Valor absoluto y sus propiedades El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica. El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”. Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0. Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto . Las propiedades fundamentales del valor absoluto son: No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice -versa. |x|=0x =0 Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado. | xy| = | x | | y | Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números. | x + y| = | x | + | y |
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Valor absoluto: (distancia que recorre x número empezando del 0) Ejemplo: Valor absoluto de |2| = 2 (se recorrió dos unidades) Valor absoluto de |-3| = 3 (no importa el sentido solo importa que recorrió tres unidades) 3 2
-4
-3
-1
-2
0
2
1
4
3
Todo valor absoluto es positivo x≥0
|x| =
x<0
Cuando x número es mayor o igual a cero el resultado es el mismo. Para x número menor a cero el resultado se tiene que multiplicar por un negativo lo que dará un resultado final como positivo. EL VALOR OBSOLUTO PUEDE SER UTILIZADO EN GEOMETRIA: La distancia que separa al 2 del 7 son 5 unidades
1
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
|7-2| = |5| = 5 |2-7| = |-5| = 5 (no importa el sentido el resultado debe ser positivo) CIBERNAUTA.RICO_90@HOTMAIL.COM
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1.5 Propiedades de las desigualdades Transitividad Para números reales arbitrarios a,b y c: Si a > b y b > c entonces a > c. Si a < b y b < c entonces a < c. Si a > b y b = c entonces a > c. Si a < b y b = c entonces a < c. Adición y sustracción Para números reales arbitrarios a,b y c: Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c. Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c. Multiplicación y división Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero: Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c. Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c. Opuesto Para números reales arbitrarios a y b: Si a < b entonces −a > −b. Si a > b entonces −a < −b. Recíproco Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez: Si a < b entonces 1/a > 1/b. Si a > b entonces 1/a < 1/b. Si a y b son de distinto signo: Si a < b entonces 1/a < 1/b. Si a > b entonces 1/a > 1/b.
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1.6 Resolución De Desigualdades De Primer Grado y segundo grado con una incógnita Desigualdades de primer grado con una incógnita Las desigualdades de primer grado se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad. una diferencia muy importante, es cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de mayor cambia a menor y viceversa. Desigualdades de segundo grado con una incógnita Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando. Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raiz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos. El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representa ción sobre la recta numérica. Ejemplos: Desigualdad de primer grado con una incógnita. 1) 3x – 5 ≥ 5x + 15 Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad 3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5 3x ≥ 5x + 20 Restamos -5x en ambos lados 3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x -2x ≥ 20 Multiplicamos ambos lados por -1/2 * -1/2(-2x) ≤ -1/2(20) x ≤ -10 CIBERNAUTA.RICO_90@HOTMAIL.COM
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* La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo. El resultado es el intervalo (-∞ , -10] Desigualdades de cuadráticas con una incógnita. 3) x2 > 3x + 4 Primero expresamos la desigualdad como una ecuación y resolvemos. x2 = 3x + 4 Restamos (3x + 4) a los dos lados para que uno de los lados quede con valor cero. x2 – (3x + 4) = 3x + 4 – (3x + 4) x2 – 3x – 4 = 0 Como obtuvimos un trinomio cuadrado, lo podemos resolver por fórmula general o por factorización. En este caso utilizaremos la factorización. (x + 1)(x – 4) = 0 Separamos cada uno de los factores y los solucionamos Primer factor x+1=0 x1 = -1 Segundo factor x–4=0 x2 = 4
1.7 Resolución de igualdad que inclinan valor absoluto Solución de desigualdades que implican valor absoluto El valor absoluto de un número es siempre positivo” no tiene ningún uso mientras se resuelven tales desigualdades. “El valor absoluto de un número es la distancia del mismo con respecto del número 0 en la recta numérica” debe ser considerado. Por ejemplo: Como 5 está a la distancia de 5 unidades del origen, es por eso que el valor absoluto de | 5 | es 5.
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De la misma forma, el valor absoluto de −5 es también 5. | −5 | = 5. Ejemplos: La parte izquierda y la derecha de la desigualdad tiene valor absoluto en este caso elevamos al cuadrado |3x-4| ≥ |x + 4| (3x-4)2 ≥ (x + 4)2 9x2 - 24x + 16 ≥ x2 + 8x +16 Todos los términos los Pasamos del lado izquierdo de la desigualdad (lo que ya está del lado izquierdo pasa igual) (lo del lado derecho invierte su signo) 9x2 - 24x + 16 -x2 - 8x -16 ≥ 0 Reducimos términos semejantes: 8x2 -32x ≥ 0 Factorizamos por termino común: 8x (x-4) ≥ 0 (8x * x = 8x2 y 8x * -4 = -32x) por lo que la factorización es correcta
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