Valor presente

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Tema 1. Valor presente y monto de acumulaciĂłn Para abordar este tema, supongamos ahora que invertimos $10 en una cuenta que paga interĂŠs de manera que al final del aĂąo tenemos $14. El valor presente de la inversiĂłn es de $10, el interĂŠs generado es de $4 y el monto acumulado es de $14. Observe que las cantidades no cambian si el dinero es un ahorro nuestro o una deuda. Por ejemplo, imagine que la venta de un artĂ­culo se ofrece con la opciĂłn de pagar hoy $10 o hacer un pago dentro de un aĂąo por $14. En ese caso, el valor presente de la deuda es de $10, el interĂŠs que se paga (en caso de tomar la opciĂłn de pagar dentro de un aĂąo) es $4 y el monto de la deuda dentro de un aĂąo es $14.

(s.a.) (s.f) Valor del dinero [fotografĂ­a] Tomada de: http://www.publicdomainpictures.net/view-image.php?image=3930&jazyk=ES

En general una cantidad C de dinero invertida a una tasa efectiva anual i durante t aĂąos genera un monto de acumulaciĂłn M tal que: đ?‘€ = đ??ś(1 + đ?‘–)đ?‘Ą Del mismo modo, el valor presente de una cantidad M que fue (o serĂĄ) invertida durante t aĂąos a un interĂŠs efectivo anual i es: đ??ś = đ?‘€(1 + đ?‘–)−đ?‘Ą

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Observe que en caso de contar con un interĂŠs nominal, el correspondiente monto de acumulaciĂłn y el valor presente correspondiente son respectivamente: đ?‘– (đ?‘š) đ?‘€ = đ??ś (1 + ) đ?‘š đ?‘– (đ?‘š) đ??ś = đ?‘€ (1 + ) đ?‘š

đ?‘šđ?‘Ą

−đ?‘šđ?‘Ą

Y del mismo modo si contamos con la tasa instantĂĄnea đ?›ż: đ?‘€ = đ??śđ?‘’ đ?›żđ?‘Ą đ??ś = đ?‘€đ?‘’ −đ?›żđ?‘Ą Observe que las expresiones que acabamos de encontrar tambiĂŠn pueden obtenerse directamente de las utilizadas en la actividad 1 haciendo f(0) = C que es la cantidad de dinero que se invierte el dĂ­a de hoy (valor presente) y f(t) = M, que es la cantidad que se obtiene en el tiempo t.

Recordando la triple igualdad que se presentĂł al final de la unidad 1: m

i(m) (1 + i) = (1 + ) = eδ m Observe que todas las expresiones que hemos visto en este tema, pueden resumirse en una sóla expresión: Monto es igual al Capital por el interÊs Observe tambiÊn que: i > i(m) > � para m > 1

Tema 2: Valor del dinero a través del tiempo.

Tema 2. La ecuación de valor Retomaremos las cantidades analizadas en el ejemplo 1 del tema 1 considerando el plazo total como un año. Si la operación que se hace corresponde a un ahorro, la lectura del ejemplo sería que $10 se invierten a una tasa de interés nominal del 60% anual convertible cuatrimestral y obteniendo al final del año $17.28.

También podemos pensar que si la operación que se hace corresponde a una deuda, entonces en ese caso la lectura del ejemplo sería que el día de hoy nos prestan $10 y nos van a cobrar un interés efectivo anual del 72.8% Algunas formas en que podemos pagar ésta deuda son:

Dando $10 hoy (valor presente)

Haciendo pagos trimestrales (semestrales, mensuales) de una cierta cantidad X cada uno.

Pagando $17.28 al final del año (monto de acumulación)

Suponiendo que deseamos hacer tres pagos iguales durante el año, podemos visualizar la situación mediante una representación conocida como línea de tiempo y en la cual denotamos con X cada uno de los pagos:

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Para determinar la cantidad X que se debe pagar a los 4, 8 y 12 meses debemos recordar que el dinero cambia su valor a travĂŠs del tiempo y por lo tanto no podemos compararlos directamente ni con los $10 (valor presente) ni con los $17.28 (monto). Debemos entonces seleccionar una fecha y proyectar en esa fecha el valor de los pagos e igualarlo con el valor de la deuda proyectado a esa misma fecha. Como veremos mĂĄs adelante, el resultado es el mismo para cualquier fecha que seleccionemos.

Una ecuaciĂłn de valor es lo que obtenemos al igualar 2 series de obligaciones en una cierta fecha conocida como fecha focal. La elecciĂłn de la fecha focal puede ayudar a simplificar los calculos pero no afecta la soluciĂłn del problema.

En el ejemplo, si elegimos como fecha focal el final del aĂąo, entonces el primer pago X que se hace al cuarto mes, debe proyectarse 2 periodos de interĂŠs nominal cuatrimestral al futuro; el segundo pago X se proyecta un periodo y el Ăşltimo permanece sin cambio. La ecuaciĂłn de valor es entonces: 2

đ?‘– (3) đ?‘– (3) đ?‘€ = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + )+đ?‘‹ 3 3

Para ayudar a visualizar la ecuaciĂłn anterior, podemos utilizar la lĂ­nea de tiempo y marcar con diferente color lo que corresponde a cada uno de los sumandos:

X

X 0

4 x

X

8 x

2

12 meses M x

đ?‘– (3) đ?‘– (3) đ?‘€ = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + )+đ?‘‹ 3 3

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Mientras que si la fecha focal fuera el dĂ­a de hoy, la ecuaciĂłn de valor debe plantearse como sigue:

X

X X 0 4 x

C

−1

đ?‘– (3) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) 3

• •

đ?‘– (3) + đ?‘‹ (1 + ) 3

8 x

−2

12 meses X x

đ?‘– (3) + đ?‘‹ (1 + ) 3

−3

Observe que en ambos casos el valor de X serĂĄ el mismo.

Cualquier otra fecha focal que seleccionemos para plantear la ecuaciĂłn de valor nos darĂĄ el mismo valor de X.

Retomemos la ecuaciĂłn: −1

đ?‘– (3) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) 3

đ?‘– (3) + đ?‘‹ (1 + ) 3

−2

đ?‘– (3) + đ?‘‹ (1 + ) 3

−3

Como vimos en el tema 1, la tasa nominal cuatrimestral equivalente al 72.8% efectivo anual es del 60%. Sustituyendo en la ecuaciĂłn de valor con C = 10 tenemos: 10 = đ?‘‹ (1 +

0.6 −1 0.6 −2 0.6 −3 ) + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

5 25 125 455 10 = đ?‘‹(1.2)−1 + đ?‘‹(1.2)−2 + đ?‘‹(1.2)−3 = đ?‘‹ ( + + ) = đ?‘‹( ) 6 36 216 216 Y despejando X se tiene: 216 2160 đ?‘‹ = 10 ( )=( ) ≈ 4.74725274725274725 455 455 Esto significa que cada pago serĂ­a de $4.75 por el redondeo.

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

La deuda que hoy vale $10 con un interĂŠs efectivo anual de 72.8% puede ser pagada con 3 pagos cuatrimestrales vencidos (es decir que el primero se realiza al final del primer cuatrimestre) de $4.75 cada uno.

6 −1

En el cĂĄlculo del valor de X el tĂŠrmino (1.2)−1 lo convertimos en ቀ5በ25

5

= ቀ6በy de

125

manera anĂĄloga se hizo para (1.2)−2 = ቀ36በy para (1.2)−3 = ቀ216á‰

En caso de que la deuda quisiera ser pagada en 24 pagos quincenales, el primer paso serĂ­a encontrar el interĂŠs nominal convertible quincenal đ?‘– (24) equivalente a una tasa efectiva anual del 72.8% y posteriormente plantear la ecuaciĂłn de valor. Esta ecuaciĂłn tendrĂ­a 24 tĂŠrminos que forman una serie geomĂŠtrica.

Observemos las siguientes variaciones del mismo ejemplo:

Una deuda de $10 que se reciben hoy con un interĂŠs del 72.8% efectivo anual se quiere pagar con 3 pagos iguales cuatrimestrales. ÂżDe cuĂĄnto serĂĄ cada pago?

El problema tambiĂŠn podrĂ­a enunciarse asĂ­: A cambio de $10 que recibe hoy al 72.8% efectivo anual, una persona hace 3 pagos iguales cuatrimestrales. ÂżDe cuĂĄnto serĂĄ cada pago?

Como acabamos de ver, la respuesta es que cada uno de los 3 pagos se hagan por $4.75.

La respuesta la obtuvimos convirtiendo el interĂŠs efectivo anual del 72.8% en su equivalente cuatrimestral que es 60% y vimos que la fecha focal podĂ­a ser el dĂ­a de hoy, el final del aĂąo o alguna otra.

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

En caso de que la fecha focal corresponda a algĂşn cuatrimestre sin exceder un aĂąo, no hay mĂĄs que 4 opciones para plantear la ecuaciĂłn de valor con referencia al capital (es decir, si sĂłlo sabemos que el capital es $10) y las mismas 4 con referencia al monto (es decir, si sĂłlo sabemos que el monto son $17.28).

Observe las siguientes expresiones y verifique que en cualquiera de ellas el resultado es X = 4.75 (con redondeo).

Fecha focal al dĂ­a de hoy (cuatrimestre cero) Con referencia al capital:

C = 10

0

4 X x

8 X x

12 meses X x

0.6 −1 0.6 −2 0.6 −3 10 = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3 Con referencia al monto:

0

4 X x

8 X x

12 X2 x M = 17.28

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

10 = đ?‘‹ (1 +

0.6 −1 0.6 −2 0.6 −3 ) + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

ÂżCuĂĄl fue el interĂŠs?

Fecha focal al cuarto mes (cuatrimestre 1) Con referencia al capital:

C = 10 Fecha focal

0

8

4 X x

X x

12 X2 x

0.6 1 0.6 −1 0.6 −2 10 (1 + ) = đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

Con referencia al monto: 17.28 (1 +

0.6 −2 0.6 −1 0.6 −2 ) = đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Pon mucha atención‌ ¿Lograste obtener 4.75?

Fecha focal al octavo mes (cuatrimestre 2) Con referencia al capital:

X x

10 (1 +

0.6 2 0.6 1 0.6 −1 ) = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

Con referencia al monto: M = 17.28 fecha focal

0

17.28 (1 +

4 x X

8 x X

12 x X

0.6 −1 0.6 1 0.6 −1 ) = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) 3 3 3

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Reflexiona‌ ¿Cuåntas formas distintas habrån de resolver esta interrogante?

Fecha focal al doceavo mes (cuatrimestre 3) Con referencia al capital: 10 (1 +

0.6 3 0.6 2 0.6 1 ) = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) +đ?‘‹ 3 3 3

Con referencia al monto: 17.28 = � ቀ1 +

0.6 2 በ3

+ � ቀ1 +

0.6 1 በ3

+đ?‘‹

ÂżQuĂŠ pasa si en vez de hacer tres pagos al aĂąo ahora solo quiero hacer 2?

Reflexiona‌

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Todos estos casos tienen en comĂşn el uso de la tasa cuatrimestral đ?’Š(đ?&#x;‘) equivalente al 72.8% efectivo anual.

Pero el problema tambiĂŠn podrĂ­a resolverse utilizando otras tasas equivalentes que pueden ser Ăştiles cuando la fecha focal no corresponda a algĂşn cuatrimestre.

s.a. s.f. Pagos [ilustraciĂłn] Tomada de: https://pixabay.com/es/del-euro-manosdinero-pagar-157423/

Por ejemplo, la tasa nominal mensual đ?’Š(đ?&#x;?đ?&#x;?) equivalente al 72.8% efectivo anual es 55.9621% y con esta tasa podemos resolver el problema anterior utilizando como fecha focal cualquier mes.

Observe dos ejemplos de cĂłmo plantear el problema y verifique que el resultado sea X = 4.75 (redondeado).

Observe cuidadosamente el ejemplo.

Fecha focal al 4° mes: Con fecha focal al cuarto mes (que es el cuatrimestre uno pero lo vamos a plantear con el interÊs mensual).

Con referencia al capital: 0.559621 4 0.559621 −4 0.559621 −8 10 (1 + ) = đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 12 12 12

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Con referencia al monto: 17.28 (1 +

0.559621 −8 0.559621 −4 0.559621 −8 ) = đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 12 12 12

Observe cuidadosamente el ejemplo.

Fecha focal al 5° mes: Con fecha focal al quinto mes Con referencia al capital: 0.559621 5 0.559621 1 0.559621 −3 0.559621 −7 10 (1 + ) = đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 12 12 12 12 Con referencia al monto: 17.28 (1 +

0.559621 −7 ) 12 = đ?‘‹ (1 +

0.559621 1 0.559621 −3 0.559621 −7 ) + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) 12 12 12

Ahora trata de determinar por quĂŠ todos los planteamientos anteriores son equivalentes y observa que la fecha focal que seleccionas debe coincidir con alguno de los m periĂłdos de la tasa nominal i(m) correspondiente y si no es asĂ­ entonces se debe encontrar una tasa equivalente i(k) de manera que la fecha focal coincida con alguno de los k perĂ­odos.

Observe que con ĂŠsta tĂŠcnica podrĂ­amos tambiĂŠn cambiar las fechas y el nĂşmero de los pagos. Por ejemplo, si se desea hacer pagos semestrales para pagar los mismos $10, al 72.8% efectivo anual, el primer pago de Z pesos al cabo de 6 meses y el segundo al final del aĂąo y por la misma cantidad Z, podemos calcular el valor de Z de muchas formas.

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Lo mĂĄs natural serĂ­a encontrar el interĂŠs semestral đ?‘– (2) equivalente al efectivo anual del 72.8% obteniendo đ?‘– (2) ≈ 0.629068 y seleccionar una fecha focal que corresponda a algĂşn semestre sin exceder un aĂąo, es decir, una de las siguientes tres opciones: El dĂ­a de hoy (semestre cero).

Dentro de 6 meses.

Al final del aĂąo.

s.a. s.f. Pagos [ilustraciĂłn] Tomada de: https://pixabay.com/es/calendario-iconos-925109/

MUCHO OJO Como ya vimos, los pagos Z pueden igualarse con referencia al monto o al capital. una tasa nominal convertible m veces al aĂąo se denota i(m).

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

La ecuaciĂłn de valor correspondiente con fecha focal dentro de 6 meses y respecto al monto es: 0.629068 −1 0.629068 −1 17.28 (1 + ) = đ?‘? + đ?‘? (1 + ) 2 2 Obteniendo Z = 7.465866 pesos, es decir, dos pagos de $7.47 cada uno (redondeado).

Con la misma fecha focal dentro de 6 meses pero queriendo usar la tasa mensual que acabamos de calcular, el planteamiento serĂ­a: 0.559621 −6 0.559621 −6 17.28 (1 + ) = đ?‘? + đ?‘? (1 + ) 12 12 Con idĂŠntico resultado: Dos pagos de $7.47 cada uno (redondeado).

Tema 3. La suma de una progresión geomÊtrica En general, los números b1, b2, ‌, bn forman una progresión geomÊtrica si existe un número real k tal que bi = kbi-1. El número k es la razón de la progresión.

Dada una progresión geomÊtrica, es posible calcular la suma de todos sus tÊrminos mediante el siguiente procedimiento: Sea: Sn = b1 + b2 +‌+ bn Entonces: kSn = kb1 + kb2 +‌+ kbn = b2 + b3 +‌+ bn+1 y por lo tanto: kSn – Sn = bn+1- b1

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

despejando Sn en esta última expresión (con k ≠1) �� =

đ?‘?đ?‘›+1 − đ?‘?1 đ?‘˜âˆ’1

Utilizando este resultado, calculemos los montos correspondientes a una serie de pagos constantes de X pesos que se realizan en intervalos constantes de tiempo. Estas series de pagos en general reciben el nombre de anualidades.

La cantidad X que se paga periĂłdicamente es conocida como renta.

(s.a.) (s.f.) Bolsa de dinero [ilustraciĂłn] Tomada de: https://pixabay.com/es/bolsa-dinero-la-riqueza-ingresos-147782/

Tema 2: Valor del dinero a través del tiempo.

Existen varios tipos de anualidades a continuación verá algunos ejemplos:

Números de pagos a realizar

Ciertas Contingentes Anticipada

Momento del pago Vencida Tipos de anualidades

Momento en que se hace el primer pago

Diferidas Inmediatas Crecientes

Tipo de pago

Normales (iguales) Decrecientes

Analizaremos cómo calcular el monto y el valor presente de una anualidad cierta, vencida, inmediata y normal (pagos iguales) pero la llamaremos simplemente anualidad.

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Tema 4. El monto de una anualidad El monto de una anualidad es la cantidad de dinero que se obtiene al finalizar una serie de pagos iguales durante cierto tiempo. Por ejemplo, si una persona ahorra $500 quincenales en una cuenta que le paga el 7% nominal anual convertible quincenal durante 2 aĂąos, el dinero que tiene o tendrĂĄ al final de los 2 aĂąos es el monto de esa anualidad.

Para calcular el monto de una anualidad de X pesos que se pagan durante m veces en un aùo con un interÊs nominal i(m) y durante t aùos, procedemos como sigue: Para facilitar la notación, supongamos que t = 1 y que X =1, es decir que se paga un peso durante m veces al aùo y durante un solo aùo. Entonces el monto que se obtiene al final de un aùo considerando un interÊs nominal convertible m veces al aùo es: � = 1 + ቀ1 +

1 � (�) በ�

+ ቀ1 +

2 � (�) በ�

+ ⋯ + ቀ1 +

ÂżCĂłmo se obtiene la “igualdadâ€??

En este caso, la razĂłn de la progresiĂłn es: (1 +

đ?‘– (đ?‘š) ) đ?‘š

Luego: đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) (1 + ) đ?‘€ − đ?‘€ = (1 + ) −1 đ?‘š đ?‘š

đ?‘šâˆ’1 đ?‘– (đ?‘š) በđ?‘š

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Y por lo tanto: đ?‘š

đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) (1 + đ?‘š ) − 1 (1 + đ?‘š ) − 1 đ?‘€= = đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) (1 + đ?‘š ) − 1 đ?‘š Cuando la renta X es cualquier nĂşmero, podemos factorizar la cantidad X y resolver la serie geomĂŠtrica como la expresiĂłn anterior, esto es: 1

2

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘€ = đ?‘‹ + đ?‘‹ (1 + ) + đ?‘‹ (1 + ) + â‹Ż + đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š đ?‘š đ?‘š

1

2

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘€ = đ?‘‹ [1 + (1 + ) + (1 + ) + â‹Ż + (1 + ) đ?‘š đ?‘š đ?‘š

đ?‘šâˆ’1

đ?‘šâˆ’1

]

đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) (1 + đ?‘š ) − 1 đ?‘€=đ?‘‹ đ?‘– (đ?‘š) đ?‘š [ ] Observe que si la serie de pagos con estas condiciones se realizan durante t aĂąos, entonces: đ?’•đ?’Ž

đ?’Š(đ?’Ž) (đ?&#x;? + đ?’Ž ) đ?‘´=đ?‘ż đ?’Š(đ?’Ž) đ?’Ž [

−đ?&#x;? ]

Observe ademĂĄs que t podrĂ­a no ser entero, ya que si por ejemplo se realizan 15 pagos mensuales, el valor de m serĂ­a 12 (el nĂşmero de veces que la tasa se 15 convierte en un aĂąo) y el valor de t serĂ­a 12 de aĂąo, es decir, 15 meses. El producto tm = 15 es el exponente adecuado para los 15 pagos.

Partiendo de la ecuaciĂłn que acabamos de construir, podemos obtener la ecuaciĂłn correspondiente al monto de una anualidad que se paga una sola vez

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

al aĂąo durante t aĂąos a un interĂŠs efectivo anual i, haciendo simplemente m = 1, es decir, recordando la triple igualdad.

El monto que se obtiene al finalizar t aĂąos considerando un interĂŠs efectivo anual i junto con pagos anuales constantes de X pesos cada aĂąo. En este caso t es un nĂşmero entero positivo, y la expresiĂłn correspondiente al monto es: đ?‘€ = đ?‘‹ + đ?‘‹(1 + đ?‘–) + đ?‘‹(1 + đ?‘–)2 + â‹Ż + đ?‘‹(1 + đ?‘–)đ?‘Ąâˆ’1 đ?‘€ = đ?‘‹[1 + (1 + đ?‘–) + (1 + đ?‘–)2 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)đ?‘Ąâˆ’1 ] Lo cual implica que: đ??Œ = đ??—[

(đ?&#x;? + đ??˘)đ??­ − đ?&#x;? ] đ??˘

Tema 5. El valor presente de una anualidad El valor presente de una anualidad es la cantidad de dinero que se obtiene el dĂ­a de hoy a cambio de una renta de X pesos que se pagan m veces al aĂąo con un interĂŠs nominal i(m). Recuerde que cuando m = 1 el interĂŠs nominal i(1) es igual al efectivo anual i. Por ejemplo, si una persona desea obtener un prĂŠstamo de dinero el dĂ­a de hoy que le cobra el 14% nominal convertible mensual y se compromete a hacer pagos mensuales de $350 durante 15 meses, la cantidad de dinero que le pueden prestar bajo esas condiciones es el 15 valor presente de una anualidad de $350 con i(12) = 0.14 y con t = 12 Otro ejemplo del valor presente de una anualidad, es el que se presenta cuando una persona obtiene un crĂŠdito para comprar una casa con una renta fija de X pesos mensuales a pagar en 25 aĂąos y despues de 11 aĂąos desea hacer un Ăşnico pago para pagar la casa. La cantidad que deberĂĄ pagar es el valor presente de la renta X con los 14 aĂąos que le faltaban por pagar y con el interĂŠs correspondiente.

De manera anĂĄloga al cĂĄlculo del monto de una anualidad, podemos encontrar el capital C correspondiente al valor presente de una anualidad de X pesos

(s.a.) (s.f.) Compra de casa [imagen] Tomado de: https://pixabay.com/es/seguro-de-casa-protegercasa-419058/

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

durante t aĂąos con un interĂŠs efectivo anual i y con un interĂŠs nominal i(m). Al igual que para el monto, es suficiente encontrar la ecuaciĂłn para el capital con uno de los dos tipos de interĂŠs (efectivo o nominal) y deducir el otro utilizando la triple igualdad.

Una renta anual de X pesos durante t aĂąos a una tasa de interĂŠs efectiva anual i, tiene un valor presente C de: đ??ś = đ?‘‹(1 + đ?‘–)−1 + đ?‘‹(1 + đ?‘–)−2 + â‹Ż + đ?‘‹(1 + đ?‘–)−đ?‘Ą ÂżIdentifica de dĂłnde se obtiene esta expresiĂłn? Si tiene duda ‌ Recuerde que: (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą =

1 (1 + đ?‘–)đ?‘Ą

Luego podemos reescribir la expresiĂłn de C, factorizando X y factorizando: (1 + đ?‘–)−1 para obtener: đ??ś = đ?‘‹(1 + đ?‘–)−1 [1 + (1 + đ?‘–)−1 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)−(đ?‘Ąâˆ’1) ] Para simplificar la serie 1 + (1 + đ?‘–)−1 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)−(đ?‘Ąâˆ’1) sigamos paso a paso el procedimiento antes descrito. Sea:

đ?‘†đ?‘› = 1 + (1 + đ?‘–)−1 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)−(đ?‘Ąâˆ’1) Como la razĂłn de esta progresiĂłn es đ?‘˜ = (1 + đ?‘–)−1 , entonces: đ?‘˜đ?‘†đ?‘› = (1 + đ?‘–)−1 + (1 + đ?‘–)−2 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą Considerando que (1 + đ?‘–) > 1 implica que 1 > (1 + đ?‘–)−1 > â‹Ż > (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą , resulta conveniente considerar la diferencia đ?‘†đ?‘› − đ?‘˜đ?‘†đ?‘› en lugar de đ?‘˜đ?‘†đ?‘› − đ?‘†đ?‘› . AsĂ­: đ?‘†đ?‘› − đ?‘˜đ?‘†đ?‘› = 1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Y por último: �� =

1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą 1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą 1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą 1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą = = = đ?‘– 1 1−đ?‘˜ 1 − (1 + đ?‘–)−1 1− (1 + đ?‘–) (1 + đ?‘–)

�� =

(1 + đ?‘–)[1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą ] đ?‘–

Por lo tanto, el capital C correspondiente al valor presente de una anualidad de X pesos durante t aĂąos con un interĂŠs efectivo anual i estĂĄ dado por: đ??ś = đ?‘‹(1 + đ?‘–)−1 [1 + (1 + đ?‘–)−1 + â‹Ż + (1 + đ?‘–)−(đ?‘Ąâˆ’1) ] (1 + đ?‘–)[1 − (1 + đ?‘–)−đ?‘Ą ] đ??ś = đ?‘‹(1 + đ?‘–)−1 [ ] đ?‘– Como el producto (1 + đ?‘–)−1 (1 + đ?‘–) = 1 escribimos unicamente: đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?’Š)−đ?’• đ?‘Ş = đ?‘ż[ ] đ?’Š

Para calcular el valor presente C de una anualidad de X pesos que se pagan m veces al aĂąo con un interĂŠs nominal convertible m veces al aĂąo, es suficiente con cambiar la tasa de interĂŠs en la ecuaciĂłn anterior, sin embargo escribiremos nuevamente todo el procedimiento.

El estudiante puede omitir tranquilamente la siguiente construcciĂłn. Partiendo de la expresiĂłn: đ?‘– (đ?‘š) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

−1

đ?‘– (đ?‘š) + đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

−2

đ?‘– (đ?‘š) + â‹Ż + đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

−đ?‘š

Podemos reescribir la expresiĂłn de C, factorizando X y factorizando ቀ1 + para obtener: đ?‘– (đ?‘š) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

−1

đ?‘– (đ?‘š) [1 + (1 + ) đ?‘š

−1

đ?‘– (đ?‘š) + â‹Ż + (1 + ) đ?‘š

−(đ?‘šâˆ’1)

]

−1 đ?‘– (đ?‘š) በđ?‘š

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Para simplificar la serie 1 + ቀ1 +

−1 đ?‘– (đ?‘š) በđ?‘š

+ ⋯ + ቀ1 +

el procedimiento antes descrito. Sea: � (�) �� = 1 + (1 + ) �

−1

đ?‘– (đ?‘š) + â‹Ż + (1 + ) đ?‘š

Como la razĂłn de esta progresiĂłn es đ?‘˜ = ቀ1 + đ?‘– (đ?‘š) đ?‘˜đ?‘†đ?‘› = (1 + ) đ?‘š

−1

−(đ?‘šâˆ’1) đ?‘– (đ?‘š) በđ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) + (1 + ) đ?‘š

−1 đ?‘– (đ?‘š) በ, đ?‘š

−2

sigamos paso a paso

−(đ?‘šâˆ’1)

entonces:

đ?‘– (đ?‘š) + â‹Ż + (1 + ) đ?‘š

−đ?‘š

Al igual que en el caso 1, resulta conveniente considerar la diferencia đ?‘†đ?‘› − đ?‘˜đ?‘†đ?‘› en lugar de đ?‘˜đ?‘†đ?‘› − đ?‘†đ?‘› . AsĂ­: đ?‘– (đ?‘š) đ?‘†đ?‘› − đ?‘˜đ?‘†đ?‘› = 1 − (1 + ) đ?‘š

−đ?‘š

Y por Ăşltimo: −đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) 1 − (1 + đ?‘š ) đ?‘†đ?‘› = 1−đ?‘˜

−đ?‘š

=

đ?‘– (đ?‘š) 1 − (1 + đ?‘š )

−1

đ?‘– (đ?‘š) 1 − (1 + ) đ?‘š

−đ?‘š

−đ?‘š

�� =

−đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) 1 − (1 + đ?‘š ) 1 − (1 + đ?‘š ) = = 1 đ?‘– (đ?‘š) 1− (đ?‘š) đ?‘– đ?‘š (1 + ) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘š (1 + đ?‘š )

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) (1 + đ?‘š ) [1 − (1 + đ?‘š ) đ?‘– (đ?‘š) đ?‘š

]

Tema 2: Valor del dinero a travĂŠs del tiempo.

Por lo tanto, el capital C correspondiente al valor presente de una anualidad de X pesos pagados m veces al aĂąo durante un aĂąo a una tasa nominal i(m) tiene un valor presente: đ?‘– (đ?‘š) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

−1

đ?‘– (đ?‘š) [1 + (1 + ) đ?‘š

−1

đ?‘– (đ?‘š) + â‹Ż + (1 + ) đ?‘š

−(đ?‘šâˆ’1)

]

−đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ??ś = đ?‘‹ (1 + ) đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) (1 + đ?‘š ) [1 − (1 + đ?‘š )

−1

[

Como el producto ቀ1 +

−1 đ?‘– (đ?‘š) đ?‘– (đ?‘š) በቀ1 + በđ?‘š đ?‘š

đ?‘– (đ?‘š) đ?‘š

]

]

= 1 escribimos Ăşnicamente:

−m

i(m) 1 − (1 + m ) đ??ś= đ?‘‹ i(m) m [

]

Observe nuevamente que si la renta X se paga durante t aĂąos entonces: −đ??Śđ??­

đ??˘(đ??Ś) đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ??Ś ) đ?‘Ş= đ?‘ż đ??˘(đ??Ś) đ??Ś [

]