Tema 3: El tiempo, la renta y el interĂŠs.
Resumen Resumiendo‌ Resumen de la unidad 1 En el tema uno demostramos que una tasa efectiva anual del 72.8% es equivalente a una nominal cuatrimestral del 60% y construimos la relación: mt
i(m) (1 + đ?‘–) = (1 + ) m đ?‘Ą
Sugerimos verificar que:
0.6 3t ) 3 Posteriormente se demostró en el tema optativo la equivalencia de la tasa efectiva anual i con la tasa instantånea � y se comprobó que las tres tasas son equivalentes: (1 + 0.728)� = (1 +
s.a. s.f. Resumen [imagen] Tomada de: https://pixabay.com/es/listade-comprobaci%C3%B3nportapapeles-1643784/
0.6 3t (1 + 0.728) = (1 + ) = e0.5469646703818t 3 đ?‘Ą
De manera que el tema 1 puede resumirse como la demostraciĂłn y uso de la triple igualdad: đ??˘(đ??Ś) (đ?&#x;? + đ?’Š) = (đ?&#x;? + ) đ??Ś đ?’•
đ??Śđ??
= đ??žđ?›…đ??
Tema 3: El tiempo, la renta y el interĂŠs.
Resumen de la unidad 2 El tema 2 es la construcciĂłn de las fĂłrmulas de valor presente y monto de acumulaciĂłn de una anualidad de X pesos durante t aĂąos con un interĂŠs efectivo anual i, partiendo del planteamiento de una ecuaciĂłn de valor y simplificando la correspondiente suma geomĂŠtrica, obteniendo respectivamente:
đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?’Š)−đ?’• đ?‘Ş = đ?‘ż[ ] đ?’Š y (đ?&#x;? + đ??˘)đ?? − đ?&#x;? đ??Œ = đ??—[ ] đ??˘ Que en caso de calcular dichas anualidades con un interĂŠs nominal convertible m veces al aĂąo, obtenemos respectivamente:
−đ??Śđ??
đ??˘(đ??Ś) đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ??Ś ) đ?‘Ş= đ?‘ż đ??˘(đ??Ś) đ??Ś [
]
y đ?’•đ?’Ž
đ?’Š(đ?’Ž) (đ?&#x;? + đ?’Ž ) đ?‘´=đ?‘ż đ?’Š(đ?’Ž) đ?’Ž [
−đ?&#x;? ]
Ambas expresiones pueden obtenerse a partir de las correspondientes con interĂŠs efectivo anual i mediante la triple igualdad. Resulta natural entonces preguntarse lo siguiente:
PROBLEMA ABIERTO ÂżCĂşal serĂa la expresiĂłn correspondiente al monto y al valor presente de una anualidad con interĂŠs instantĂĄneo? ÂżTiene sentido?
Tema 3: El tiempo, la renta y el interĂŠs.
A continuaciĂłn presentamos cĂłmo despejar la renta e ilustramos algunos ejemplos de la utilidad de dicho despeje. Posteriormente presentamos cĂłmo despejar el tiempo y la utilidad que puede tener. Finalmente hacemos lo propio con el interĂŠs.
Tema 1. La renta Para calcular la renta X correspondiente a una anualidad es necesario conocer el valor presente o el monto de la anualidad, asĂ como el tiempo t y la correspondiente tasa de interĂŠs. La renta X se obtiene despejando de la expresiĂłn correspondiente. 1−(1+i)−t ] i
Para despejar X partiendo de la expresiĂłn
C = X[
Basta con multiplicar ambos lados por [
đ?&#x;?−(đ?&#x;?+đ?’Š)−đ?’• ] đ?’Š
−1
, lo cual tambiĂŠn puede
visualizarse como “pasar dividiendoâ€? todo el parĂŠntesis. Obtenemos entonces:
X=
C Ci = −t (1 1 − + i) 1 − (1 + i)−t i
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
Observe cuidadosamente el ejemplo 1: A cambio de $30,000 que le prestan el día de hoy con un 18% de interés efectivo anual, Carla se compromete a hacer 4 pagos anuales iguales. ¿De cuánto deberá ser cada pago? En este caso: C = 30,000 ; i = 0.18 y t = 4. Entonces X=
Ci (30,000)(0.18) 5,400 = = = 11,152.16 −t −4 1 − (1 + i) 1 − (1.18) 0.484211124848
Este pago podría parecer excesivo ya que uno se siente tentado a multiplicar simplemente el pago de $11,152.16 por 4 y pensar que como está pagando $44,608.64 en total por el préstamo de $30,000, esto implicaría un interés de cerca del 48.7%. Este razonamiento es equivocado por no tomar en cuenta el valor del dinero a través del tiempo.
Una herramienta útil para seguir paso a paso el comportamiento de una anualidad es la tabla de amortización. Existen muchos tipos de tablas de amortización, presentamos una muy sencilla correspondiente al ejemplo anterior. Cada uno de los pagos de $11,152.16 se utilizan para pagar por completo los intereses generados en el período y el resto se abona al capital. Esta última cantidad será referida como capital contenido en el pago. Tiempo o número de pago
Saldo al inicio del período
Intereses generados en el periodo
Pago X
Capital contenido en el pago
Saldo nuevo
0 1 2 3 4
0 30,000 24,247.84 17,460.2912 9,450.983616
0 5,400 4,364.6112 3,142.852416 1,701.17705088
0 11,152.16 11,152.16 11,152.16 11,152.16
0 5,752.16 6,787.5488 8,009.307584 9,450.98294912
30,000 24,247.84 17,460.2912 9,450.983616 0.00066688
El primer renglón correspondiente al tiempo cero normalmente no se escribe. Lo hemos agragado aquí para enfatizar que Carla recibe los $30,000 el día de hoy, lo cuál sería claro sólo con observar el saldo al inicio del periodo uno. Las unidades que se manejan en la tabla anterior, no corresponden a los centavos que podemos manejar fisicamente. De hecho el saldo final si se hace la tabla con precisión es cero y no 0.00066688
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
Lo que se acostumbra hacer es redondear desde un principio y en caso de tener una ligera diferencia propia del redondeo, hacer el último pago ligeramente distinto a los demás para que el saldo final sea cero. Esto puede hacerse fácilmente debido a que se sabe cuánto es el interés por pagar en el último periodo y el saldo inicial. La suma de estos dos conceptos será el último pago. En nuestro ejemplo no es necesario hacer dicho ajuste como puede apreciarse en la siguiente tabla. Tiempo o número de pago
Saldo al inicio del período
Intereses generados en el periodo
Pago X
Capital contenido en el pago
Saldo nuevo
0 1 2 3 4
0 30,000 24,247.84 17,460.29 9,450.98
0 5,400 4,364.61 3,142.85 1,701.18
0 11,152.16 11,152.16 11,152.16 11,152.16
0 5,752.16 6,787.55 8,009.31 9,450.98
30,000 24,247.84 17,460.29 9,450.98 0
Recordando que el tema 2 puede resumirse en 4 expresiones, (2 de monto de una anualidad y 2 de valor presente), y que ya presentamos la forma de despejar la renta X en una de ellas, usted no debe tener impedimento para despejar la renta X en cualquiera de las otras 3 expresiones.
Tema 2. El tiempo Para calcular el tiempo t en el que una renta X a una cierta tasa de interés alcanza un monto M o bien el tiempo t que tardaría en pagarse una cantidad C recibida el día de hoy a cierta tasa de interés haciendo pagos iguales de X pesos, es necesario despejar t en alguna de las 4 expresiones que resumen el tema 2. Como lo hicimos para la renta, presentamos un despeje y confiamos que el estudiante podrá hacer los otros 3 para resolver las preguntas correspondientes.
s.a. s.f. dinero y tiempo [imagen] Tomada de: https://pixabay.com/es/stock-exchangeeconom%C3%ADa-mundial-auge-913956/
Tema 3: El tiempo, la renta y el interĂŠs.
Observe cuidadosamente el ejemplo 2: Supongamos que una persona desea tener $35,000 y para eso quiere hacer pagos mensuales de $2,000 en una cuenta que le paga el 16% nominal anual convertible mensual. ÂżEn cuĂĄnto tiempo lograrĂĄ su objetivo?
Para responder esta pregunta veamos que se trata de un monto con un interĂŠs nominal y por lo tanto debemos despejar t en la expresiĂłn: tm
i(m) (1 + m ) M=X i(m) m [
Ahora vayamos por pasos‌
−1 ]
Paso 1 Multiplicando ambos lados por
đ?&#x;? đ??—
tenemos: tm
i(m) (1 + ) M m = X i(m) m [
−1 ]
Paso 2 Ahora multiplicamos ambos lados por
i(m) m
y tenemos: tm
M i(m) i(m) = (1 + ) X m m
−1
Paso 3 Sumando 1 en ambos lados: Mi(m) i(m) [ + 1] = (1 + ) Xm m
tm
Tema 3: El tiempo, la renta y el interĂŠs.
Paso 4 Y despuÊs‌ Calculamos el logaritmo natural de ambos lados y usamos la propiedad ln ab = b ln a para obtener: Mi(m) i(m) �� [ + 1] = �� �� (1 + ) Xm m
Paso 5 Y por último, dividimos ambos lados entre � �� (1 +
i(m) ) m
para saber que:
Mi(m) �� [ Xm + 1] t=[ ] i(m) � �� (1 + m ) En el ejemplo 2, tenemos que el monto M = 35,000; el interÊs i(12) = 0.16; la renta X = 2,000 y por supuesto m = 12. Sustituyendo en la expresión anterior:
�� [ t=[
(35,000)(0.16) + 1] đ?‘™đ?‘›[1.2333] 0.20972026 (2,000)(12) ]≈ ≈ 1.319458 ]≈[ 0.16 12 đ?‘™đ?‘›(1.01333) 0.1589423262 12 đ?‘™đ?‘› (1 + 12 )
Esto significa qe la persona tendrĂĄ que hacer los depĂłsitos de $2,000 mensuales durante 1.32 aĂąos (redondeando el resultado). Para saber cuĂĄntos meses son, utilizamos la conocida regla de 3 que no es mĂĄs que una relaciĂłn de variaciĂłn proporcional: Un aĂąo es a 12 meses como 1.32 aĂąos son a (1.32)(12) = 15.84 pagos mensuales. Es decir, 15 pagos mensuales de $2,000 mĂĄs 1 un Ăşltimo pago por una cantidad inferior a los $2,000 que le permita completar los $35,000 deseados. Como el primer pago se realiza el dĂa de hoy (mes cero), el segundo pago se realiza al finalizar el primer mes y asĂ sucesivamente, hasta que el dĂŠcimo quinto pago se realiza al final del mes 14. El Ăşltimo pago, que serĂĄ por una cantidad inferior, se realiza entonces en el mes 15. Esto puede verse claramente en la siguiente tabla.
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
Tabla de amortización Mes
Capital acumulado al mes anterior
Intereses generados en el periodo
Pago X
Capital acumulado
0
0
0
2,000
2,000
1
2,000
26.67
2,000
4,026.67
2
4,026.67
53.69
2,000
6,080.36
3
6,080.36
81.07
2,000
8,161.43
4
8,161.43
108.82
2,000
10,270.25
5
10,270.25
136.93
2,000
12,407.18
6
12,407.18
165.43
2,000
14,572.61
7
14,572.61
194.30
2,000
16,766.91
8
16,766.91
223.56
2,000
18,990.47
9
18,990.47
253.21
2,000
21,243.68
10
21,243.68
283.25
2,000
23,526.93
11
23,526.93
313.69
2,000
25,840.62
12
25,840.62
344.54
2,000
28,185.16
13
28,185.16
375.80
2,000
30,560.96
14
30,560.96
407.48
2,000
32,968.44
15
32,968.44
439.58
1,591.98
35,000
Para calcular el importe del último pago, podemos elaborar una tabla similar a la tabla de amortización anterior, entendiendo que lo que era antes el saldo ahora es un capital acumulado y que los intereses ahora se suman al capital acumulado.
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
Quitaremos la columna de capital incluido en el pago: Mes
Capital acumulado al mes anterior
Intereses generados en el periodo
Pago X
0
0
0
2,000
1
2,000
26.67
2,000
2
4,026.67
53.69
2,000
3
6,080.36
81.07
2,000
4
8,161.43
108.82
2,000
5
10,270.25
136.93
2,000
6
12,407.18
165.43
2,000
7
14,572.61
194.30
2,000
8
16,766.91
223.56
2,000
9
18,990.47
253.21
2,000
10
21,243.68
283.25
2,000
11
23,526.93
313.69
2,000
12
25,840.62
344.54
2,000
13
28,185.16
375.80
2,000
14
30,560.96
407.48
2,000
15
32,968.44
439.58
1,591.98
Para calcular el importe del último pago sin elaborar la tabla anterior, es suficiente con calcular el monto de una anualidad de $2,000 mensuales durante 15 meses al 16% convertible mensual, y a los $35,000 que se desean acumular restarle dicho monto.
M = X[
tm i(m) ) −1 m i(m)
(1+
m
] = 2,000 [
(1+
15 0.16 (12)(12) ) −1 12 0.16 12
]= 33,408.02
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
Y por lo tanto el último pago será de 35,000 – 33,408.02 = 1,591.98
Tema 3. La tasa de interés Para calcular la tasa de interés necesaria para que una renta X en cierto tiempo t alcance un monto M o bien la tasa de interés necesaria para que una cantidad C recibida el día de hoy sea pagada haciendo pagos iguales de X pesos en t años, es necesario despejar i o i(m) en alguna de las 4 expresiones que resumen el tema 2. Como éste despeje no es fácil, podemos hacer aproximaciones para acotar el interés que deseamos calcular.
PROBLEMA ABIERTO 2. Despejar el interés en alguna de las 4 expresiones del tema 2 que se presentan en el resumen al principio de éste tema. Recordemos el planteamiento:
Observe cuidadosamente el ejemplo 3: Supongamos que invertimos $10 durante 3 periodos de tiempo con reinversión Considere la siguiente situación: Juan le presta $10 a María y le dice que va a cobrarle el 20% anual de interés. Como el 20% de $10 son $2, Juan dice que la deuda de María es de $12 y propone que ella le pague $1 al mes durante 12 meses. Ella acepta por que le parece justo. ¿Cuál es el interés efectivo anual que está cobrando Juan?
Tema 3: El tiempo, la renta y el interés.
El razonamiento de Juan es equivocado y María no debería aceptarlo. Para calcular el interés efectivo anual que está cobrando Juan, podemos hacer uso de lo aprendido en las 2 actividades previas y hacer un analisis considerando:
Como primer punto, calcular la renta que debería pagar María a Juan si el interés fuera realmente del 20% y probar así la falsedad de la proposición de Juan.
Por otra parte, como segundo punto, podemos calcular el valor presente de la renta que va a pagar María con el supesto interés del 20% para darnos cuenta, con otro argumento, de la falsedad de la proposición de Juan.
Finalmente como tercer punto, hacemos unas aproximaciones para acotar la tasa de interés real que está cobrando Juan.
A manera de conclusión diremos nuevamente, que una de las razones por las que ocurre este error de cálculo financiero tan común es por que no estamos acostumbrados a pensar en el valor del dinero a través del tiempo. En el ejemplo de Juan y María, ellos hacen sus cálculos en valor presente, es decir, los $10 que se prestan, los $2 de interéses y el peso mensual que deberá pagarse, se comparan el día de hoy sin tomar en cuenta que el interés afecta dichas cantidades a través del tiempo.