Compras inteligentes, ahorros sabios Matemáticas financieras 1 Tema 1: La triple igualdad en tasas de interés.
Tema 1. La tasa de interés El interés que se cobra o se paga en cualquier operación financiera, puede ser definido a partir de un modelo de crecimiento simple o compuesto y es llamado interés simple o compuesto respectivamente.
Los casos vistos en el video en la introducción a la unidad, muestran formas en la que se convive cotidianamente con las tasas de interés.
Interés simple El modelo de interés simple se caracteriza porque el dinero ganado por concepto de interés en cualquier periodo de tiempo, no se ve afectado por dicho interés para el siguiente periodo, es decir, no se reinvierte.
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Interés compuesto Por otra parte, el interés compuesto se caracteriza porque el dinero ganado por concepto de interés en un periodo, si se ve afectado por dicho interés para el siguiente periodo, es decir, se reinvierte, y de manera análoga cuando se tiene una deuda, el dinero que no ha sido pagado se ve afectado por dicho interés para el siguiente período. Debe saber que en la actualidad el sistema financiero mexicano se rige por el modelo de interés compuesto. Continuaremos con el planteamiento del video introductorio y, utilizando este modelo respondamos las siguientes interrogantes: Recuerde el caso planteado en el video de introducción: l ¿Cuál es el interés efectivo anual que está cobrando la tienda? ¿Cuál es el interés efectivo anual que cobra Juan a María?
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Tema 2. Tasa efectiva y tasa nominal (ordinaria) Para inhiciar el tema, partamos del siguiente ejemplo:
Observe cuidadosamente el ejemplo: Recuerde que…
Supongamos que invertimos $10 durante 3 periodos de tiempo con reinversión (interés compuesto) al 20%. ¿Poría decir cuánto dinero tendría al final de los tres periodos?
Como es costumbre, la expresión 20% es una forma de escribir “veinte tantos de cada cien”, es decir, representa la fracción 20/100 y su expresión decimal es 0.2.
A continuación, observe el desarrollo de cada uno de estos periodos:
Al cumplirse el primer periodo contamos con nuestra inversión original más el 20% de interés, es decir, diez pesos más el 20% de diez pesos. Esto es: 10 + 10(0.2) = 10(1+0.2) = 10(1.2) = 12
Al cumplirse el segundo periodo contamos con los $12 que teníamos del periodo anterior más el $20 de esos mismos $12, es decir: 12 + 12(0.2) = 12(1+0.2) = 12(1.2) = 14.4
Y del mismo modo para el tercer periodo: 14.4 + 14.4 (0.2) = 14.4 (1.2) = 17.28 Lo cual implica una ganancia total de $7.28 Mientras que sin reinversión (interés simple) la ganancia total sería de $6, es decir, $2 por cada uno de los tres períodos.
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MUCHO OJO Conforme al ejemplo, observe que, sin reinversión, interés simple, la ganancia es de $6. Mientras que en el modelo de interés compuesto, observe que: 7.28 = 14.4(1.2) = 12(1.2)2 = 10(1.2)3 Esto significa que no es necesario hacer todos los cálculos paso a paso para encontrar la cantidad en que se convierten $10 invertidos al 20% de interés compuesto, durante 3 periodos de tiempo. Basta con calcular 10(1.2)3.
DATO CURIOSO
El uso del punto decimal y la coma para separar unidades de millar, de millón, etcétera, no es una costumbre universal. En algunos países es exactamente al revés, la coma se usa para separar el decimal y el punto para separar unidades de millar, etcétera. Hay otros países donde simplemente es indistinto y así lo enseñan desde la educación básica. Por ejemplo el número 12,750.25 representa la misma cantidad que 12.750,25 a pesar de que ésta última expresión nos resulte poco familiar. En caso de trabajar con una hoja de cálculo como Excel, es necesario entender la configuración del programa en cuanto al uso del punto y la coma.
En general, si se invierte $1 a una tasa de interés i durante t periodos de tiempo y denotamos con f(t) la cantidad obtenida en el tiempo t, entonces: f(0) = 1
Compras inteligentes, ahorros sabios Matemáticas financieras 1 Tema 1: La triple igualdad en tasas de interés. f(1) = 1 + i f(2) = (1 + i) + i(1 + i) = (1+i)2 f(3) = (1 + i)2 + i(1 + i)2 = (1+i)3: f(t) = (1 + i)t
MUCHO OJO Cualquier periodo de tiempo puede ser considerado como una unidad y a partir de ella obtener sus múltiplos o fracciones. Lo más común es considerar la unidad de tiempo como un periodo de un año.
Si se toma como base un año como la unidad de tiempo, podemos pensar que se obtienen $17.28 al cabo de tres años, y diremos que el interés habría sido 20% efectivo anual durante 3 años.
Si el interés se capitalizó cada 4 meses (3 veces en el año) y se obtuvieron $17.28 al final de un año, entonces diremos que el interés es del 60% nominal anual convertible cuatrimestral.
Observe que la palabra nominal implica que esa tasa (anual) será dividida entre el número de veces que se convierta o capitalice el dinero durante el año. Así, el 60% nominal anual, también llamado Ordinario anual se va a convertir 3 veces al año y por lo tanto será de 20% (60 entre 3) en cada uno de los 3 períodos de conversión (también llamada Ordinario cuatrimestral). En éste caso, el interés efectivo anual equivalente al 60% nominal convertible cuatrimestral es del 72.8% ya que 10x = 17.28 implica x = 1.728. Decimos que las tasas son equivalentes por que nos dan la misma ganancia al final de un año.
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A partir de Êste momento‌
Al de:
hablar
Nos referiremos a:
Interes
InterĂŠs compuesto
InterĂŠs efectivo
InterĂŠs efectivo anual
IntĂŠres nominal
InterĂŠs nominal anual convertible m veces al aĂąo.
MUCHO OJO Aunque el nĂşmero m puede ser cualquier nĂşmero real positivo, por lo pronto nos conviene pensar que m sea un nĂşmero entero mayor que uno. Una tasa nominal convertible m veces al aĂąo se denota i(m).
En forma anĂĄloga, dado un interĂŠs efectivo anual del 72.8% aplicado a una inversiĂłn de $10, tendrĂamos al final del aĂąo $17.28 y podemos encontrar la tasa equivalente nominal convertible cuatrimestral i(3) como sigue: đ?‘“(0) = 10 đ?‘“(1) = 10 + 10
đ?‘“(2) = 10 1 +
đ?‘–( ) 3
đ?‘–( ) đ?‘–( ) = 10 1 + 3 3
+ 10 1 +
đ?‘–( ) 3
đ?‘–( ) đ?‘–( ) = 10 1 + 3 3
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đ?‘“(3) = 10 1 +
đ?‘–( ) 3
Es lo que se obtiene al final del aĂąo al invertir $10 a una tasa nominal convertible cuatrimestral. Igualando esta expresiĂłn a los $17.28 que nos da el interĂŠs efectivo: đ?‘–( ) đ?‘“(3) = 10 1 + 3 Y despejando đ?‘– (
)
=
.
= 17.28
− 1 (3) = (0.2)(0.3) = 0.6
Con lo cual observamos nuevamente que el interĂŠs del 60% nominal convertible cuatrimestral es equivalente al 72.8% efectivo.
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Tema 3. La tasa instantánea. Una aplicación de la derivada y la integral En los ejercicios anteriores hemos encontrado tasas efectivas anuales equivalentes a tasas nominales con diferentes períodos de conversión, tan frecuentes como queramos (mensual, semanal, diaria) y con esos mismos procedimientos podemos calcular la tasa efectiva anual equivalente a una nominal por hora, minuto o segundo, sin embargo, no podríamos calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa instantánea (convertible continua). Para esto requerimos herramientas de matemática continua. Cabe aclarar que a pesar de que el uso de tasas de interés instantáneas puede parecer de poca utilidad para el tipo de problemas que vemos Allan Ajifo, 7 July 2014, Monedas, [ilustración] Tomada de: en éste curso, en realidad https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Forex__14621037833.jpg constituye una interesante aplicación del cálculo diferencial e integral al desarrollo de varios modelos tanto financieros como no financieros (biología, demografía, etcétera).
s.a. s.f. Finanzas [imagen] Tomada de: https://pixabay.com/es/stock-exchange-pagareconom%C3%ADa-1222518/
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Saquemos cuentas: Suponiendo que no conocemos la tasa de interĂŠs pero si sabemos la cantidad de dinero que se tiene invertido en un tiempo 0 y en otro tiempo t (Ć’ (0) > 0), la tasa de interĂŠs en el tiempo t se obtiene dividiendo el incremento en la cantidad de dinero original, esto es: f(t) − f(0) f(0) Para conocer la tasa de crecimiento instantĂĄneo, consideremos, en lugar de un periodo t, un incremento ∆t en el tiempo. Sea Ć’ (t) la poblaciĂłn en el tiempo t, y Ć’(t + ∆t) la poblaciĂłn despuĂŠs de haber trascurrido un tiempo ∆t. La tasa de crecimiento durante ∆t es entonces: f(t + ∆t) − f(t) f(t) Luego la tasa de crecimiento por unidad de tiempo es: đ?‘“(đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą) − đ?‘“(đ?‘Ą) ∆đ?‘Ą ∗ đ?‘“(đ?‘Ą) Y finalmente, la tasa de crecimiento instantĂĄneo es:
lim
∆ →
đ?‘“(đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą) − đ?‘“(đ?‘Ą) 1 đ?‘“(đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą) − đ?‘“(đ?‘Ą) 1 = lim = ∆ → ∆đ?‘Ą ∗ đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘“(đ?‘Ą) ∆đ?‘Ą đ?‘“(đ?‘Ą)
đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą
Sea: �(�) =
1 đ?‘“(đ?‘Ą)
� � �(�) = ���(�) �� ��
Integrando de 0 a t: đ?›ż(đ?‘Ą ∗ )đ?‘‘đ?‘Ą ∗ =
đ?‘‘ đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘™đ?‘›đ?‘“(đ?‘Ą ∗ )đ?‘‘đ?‘Ą ∗ = đ?‘™đ?‘›đ?‘“(đ?‘Ą ∗ ) │ = đ?‘™đ?‘›đ?‘“(đ?‘Ą) − đ?‘™đ?‘›đ?‘“(0) = đ?‘™đ?‘› ∗ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘“(0)
Compras inteligentes, ahorros sabios MatemĂĄticas financieras 1 Tema 1: La triple igualdad en tasas de interĂŠs. Por lo tanto: =
đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘“(0)
đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘“(0) đ?‘’ âˆŤ
( ∗)
đ?‘’âˆŤ
( ∗)
∗
De donde:
∗
Sea �(�) = �, una constante, y sea ƒ(0) = 1 entonces: �(�) = � Recordando que f(t) = (1+i)t tenemos que: 1+� = � Y por lo tanto, la tasa instantånea � equivalente a una efectiva anual i es: � = ln(1 + �)
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En el primer ejemplo vimos que una tasa efectiva del 72.8% es equivalente a una nominal cuatrimestral del 60%. Para calcular la tasa instantĂĄnea đ?›ż equivalente a una efectiva anual del 72.8% calculamos: đ?›ż = ln(1 + đ?‘–) = ln(1.728) = 0.546964670381864 Esto significa que una tasa instantĂĄnea del 54.6964670381864% es equivalente a una efectiva del 72.8%. Para comprobarlo sustituimos los valores de f(0) = 10, que son los $10 que se invierten en el ejemplo, el valor de đ?›ż = 0.546964670381864 y el valor de t =1 por que la inversiĂłn es por un aĂąo, en la expresiĂłn: đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘“(0)đ?‘’ đ?‘“(1) = 10 ∗ đ?‘’
.
= 17.28
Que es la misma cantidad que obtenemos con el interĂŠs efectivo del 72.8% o con el 60% nominal convertible cuatrimestral. Partiendo de estas expresiones, encontramos la relaciĂłn entre el interĂŠs efectivo anual, el nominal anual convertible m veces por aĂąo y el instantĂĄneo: (1 + i) = 1 +
i( ) m
=e
Esta expresiĂłn es conocida como la triple igualdad. Cuando t ≠1 se tiene que: đ??˘(đ??Ś) (đ?&#x;? + đ?’Š) = đ?&#x;? + đ??Ś đ?’•
đ??Śđ??
= đ??žđ?›…đ??