Znali bomo
Æ opisati odnose med geometrijskimi
elementi (točkami, premicami in ravninami) v prostoru, Æ uporabiti Pitagorov izrek v prostoru.
Model točke, premice in ravnine v vsakdanjem življenju
oznaka
opis
4.1 Odnosi med geometrijskimi
elementi v prostoru
Objekte, kot so avtomobil, ravna cesta in ravna pokrajina, lahko uporabimo kot modele za geometrijske objekte v prostoru. Tako lahko avtomobil predstavlja točko, ravna cesta premico in ravno polje ravnino. Tovrstni objekti niso povsem
skladni z matematičnimi definicijami, vendar nam primeri iz vsakdanjega
življenja pomagajo pri lažjih predstavah.
Model točke, premice in ravnine v matematiki
V nadaljevanju nas bodo zanimali odnosi med točkami, premicami in ravninami v prostoru. Te odnose najbolj nazorno prikažemo v geometrijskih telesih, npr. kocki. Točke predstavljajo oglišča, premice so nosilke robov in diagonal, ravnine pa so na vse strani podaljšane ploskve kocke. Ker nekaterih robov in diagonal v notranjosti kocke ne vidimo, se dogovorimo, da nevidne dele označimo s črtkano črto. Zelo uporaben je žični model kocke, saj omogoča dobro preglednost.
Točka in premica
Točka in premica v prostoru sta lahko v enem od teh dveh odnosov:
Točka leži na premici. Točka ne leži na premici.
Izraza kolinearen in komplanaren sta latinskega izvora, saj beseda linea latinsko pomeni črta in beseda planum latinsko pomeni ravnina
Dogovorimo se, kako bomo točke, premice in ravnine risali in označevali.
točka premica ravnina
Velike tiskane črke: A, B, C, D, E …
Točka je geometrijski element, ki nima razsežnosti.
Majhne pisane in tiskane črke: p, r, s, t, u, v …
Premica je neomejena ravna črta – dolžina brez širine.
Velike pisane črke:
Ravnina je v vseh smereh neomejena ravna ploskev.
matematična risba A p
Točke, premice in ravnine, ki se nahajajo v prostoru, so lahko v različnih medsebojnih odnosih. Odnosi med njimi se razlikujejo od tistih, ki veljajo za geometrijo v ravnini.
Točke v prostoru
Kolinearne točke ležijo na isti premici.
DELOVNA RAZLIČICA
Skozi dve različni točki lahko narišemo natanko eno premico
Nekolinearne točke ne ležijo na isti premici.
Komplanarne točke ležijo v isti ravnini.
Točka A leži na premici p.
Točka A ne leži na premici p.
Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.
Skozi tri nekolinearne točke lahko narišemo natanko eno ravnino
Točke, ki ležijo na isti premici, imenujemo kolinearne.
Dve različni točki določata natanko eno premico.
Točke, ki ležijo v isti ravnini, imenujemo komplanarne. Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.
Točka A leži na premici AB.
Točka A ne leži na premici CD.
Dve premici
Dve premici v prostoru sta lahko v enem od teh odnosov: