Za enočlenike, dvočlenike in veččlenike uporabljamo tudi tujke: monom, binom in polinom.
1.2 Kvadrat dvočlenika
Matevž je predvideval, da iz kvadratnega testa, ki ga je razvaljala Katja, ne bo dobil dobil dovolj piškotov, zato je testo razvaljal še enkrat in ga povečal za 3 enote v obeh smereh. Za koliko se je povečala ploščina testa?
Odgovor poiščimo grafično.
1. Narišemo kvadrat s stranico x + 3.
2. Razdelimo ga na manjše pravokotnike in kvadrate, kot kaže slika.
3. Zapišemo izraz za ploščine označenih pravokotnikov in kvadratov.
3
Zgled 2 Kvadrirajmo (3x – 7)2.
1. način: Kvadrat dvočlenika zapišemo kot produkt dvočlenika s samim seboj in ustrezno množimo. (3x – 7)2 = (3x – 7)(3x – 7) =
= 3x · 3x – 3x · 7 – 7 · 3x + 7 · 7 = = 9x2 – 21x – 21x + 49 = = 9x2 – 42x + 49
2. način: Kvadrat dvočlenika izračunamo po pravilu. (3x – 7)2 = (3x)2 – 2 · 3x · 7 + 72 = = 9x2 – 42x + 49
Zapomnim si
x S slike razberemo, da je ploščina Matevževega kvadrata x2 + 6x + 9.
Velja torej (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.
Ploščina Matevževega kvadrata je za 6x + 9 večja od ploščine Katjinega kvadrata.
Nalogo rešimo še računsko. Kvadrat dvočlenika zapišemo tudi kot produkt dvočlenika s samim seboj in ga poenostavimo po pravilu za množenje veččlenikov.
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9
Kvadrat dvočlenika je vsota treh členov: kvadrata prvega člena, dvakratnika produkta prvega in drugega člena ter kvadrata drugega člena.
Izračunali smo ga tako, da smo dvočlenik množili s samim seboj in dobili formulo: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Rešimo skupaj
DELOVNA RAZLIČICA
Zgled 1 Izračunajmo kvadrat dvočlenika a + 5.
1. način: Rešitev dobimo tako, da izračunamo produkt dveh enakih dvočlenikov. Pri množenju pazimo na predznake.
(a + 5)2 = (a + 5)(a + 5) =
Zgled 3 Zapišimo izraz in ga poenostavimo: a) kvadrat vsote 3 in 5y b) vsoto kvadratov 3 in 5y
a) (3 + 5y)2 = 9 + 30y + 25y2 b) 32 + (5y)2 = 9 + 25y2 Pokazali smo, da kvadrat vsote ni enak vsoti kvadratov.
Zgled 4 Izraz (5x3 + 7yz4)2 – (5x3 – 7yz4)2 najprej poenostavimo, nato pa izračunajmo njegovo vrednost za x = –1, y = 1 7 , z = 1 2.
2
(5x3 + 7yz4)2 – (5x3 – 7yz4)2 = Najprej kvadriramo oba dvočlenika. = (25x6 + 70x3yz4 + 49y2z8) – (25x6 – 70x3yz4 + 49y2z8) = = 25x6 + 70x3yz4 + 49y2z8 – 25x
3yz4 –
8 = Ker je pred oklepajem –, vsem členom iz oklepaja spremenimo predznake. = 140x3yz4 Člene združimo.
Vstavimo vrednosti x = –1, y = 1 7 , z = 1 2 . 140 (–1)3 1 7 1 224 = 140 (–1) 1 7 1 16 = –20 16 = –5 4 = –1
DELOVNA RAZLIČICA
Utrdim novo znanje 1 Na črto zapiši črko pravilnega rezultata.
2. način: Uporabimo pravilo za kvadrat dvočlenika.
(a + 5)2 = a2 + 2 · a 5 + 52 = = a2 + 10a + 25 kvadrat vsote dveh členov