Znali bomo Æ opisati linearno neenačbo, Æ rešiti linearno neenačbo, Æ prikazati rešitve linearne neenačbe na številski premici.
2.7 Linearne neenačbe
Klara in njen bratranec Tilen sta se gugala na gugalnici na vzvod. Klara tehta
34 kg, njen bratranec pa 35 kg. Klara je bila od vrtišča gugalnice oddaljena 2 m, Tilen pa 2,2 m. Čeprav je Tilen nekoliko težji in je od vrtišča bolj oddaljen, ga je
Klara dvignila, ker je imela na ramah torbo. Najmanj koliko tehta Klarina torba?
Iz fizike vemo, da za vzvod velja pravilo enakosti produkta sile (mase) in ročice na obeh straneh. V našem primeru lahko stanje na gugalnici zapišemo v obliki neenačbe, saj v tem primeru enakost leve in desne strani očitno ne velja:
(34 + x) ∙ 2 ≥ 35 ∙ 2,2.
Z neznanko smo v tem primeru označili maso Klarine torbe, ki smo jo prišteli k masi Klare in pri tem uporabili oklepaj. Neenačbo rešujemo podobno kot enačbo.
(34 + x) ∙ 2 ≥ 35 ∙ 2,2 Odpravimo oklepaj in pomnožimo števili na desni strani.
68 + 2x ≥ 77 Podobne člene zberemo na isti strani neenačbe.
2x ≥ 77 – 68 Poenostavimo desno stran.
2x ≥ 9 Rešimo preprosto neenačbo.
x ≥ 4,5
To pomeni, da Klarina torba tehta najmanj 4,5 kg. Rešitve neenačbe zaradi večje nazornosti pogosto prikažemo na številski premici.
–3
Neenačbe rešujemo s preoblikovanjem v ekvivalentne neenačbe. Neenačbe preoblikujemo po enakih postopkih kot enačbe:
• Levi in desni strani neenačbe smemo prišteti ali odšteti enako število ali izraz.
• Če levo in desno stran neenačbe delimo ali množimo z enakim, pozitivnim številom, neenačbo preoblikujemo v ekvivalentno neenačbo.
Rešimo skupaj
Zgled 1 Rešimo neenačbo 3x + 4 ≤ 5x − 6 in prikažimo rešitev na številski premici.
3x + 4 ≤ 5x – 6 Podobne člene zberemo na isti strani neenačbe. 3x − 5x ≤ −6 – 4 Skrčimo izraza na levi in desni strani neenačbe. −2x ≤ −10 / : (−2) Neenačbo delimo s koeficientom –2 pri neznanki. x ≥ 5 Neenačaj se pri deljenju z negativnim členom obrne.
Utrdim novo znanje
1 Reši preprosto neenačbo. a) 3
2 Zapiši množico rešitev neenačbe.
Množenje/deljenje neenačb z negativnim številom
Zapomnim si
• Če pa levo in desno stran neenačbe množimo ali delimo z enakim, negativnim številom, neenačbo preoblikujemo v ekvivalentno neenačbo, v kateri obrnemo znak neenakosti. To se zgodi zaradi urejenosti negativnih in pozitivnih števil na številski premici.
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
–3 < 5 /∙(–1) Pomnožimo neenakost –3 < 5 z negativnim številom, npr. –1.
3 < –5 Zapisana neenakost ni pravilna, saj je 3 večje od –5.
3 > –5 Znak za neenakost torej obrnemo.
Če ni zapisano drugače, upoštevamo, da je = R
Linearna neenačba ima obliko ax + b ≥ 0 ali ax + b ≤ 0.
Linearne neenačbe lahko ekvivalentno preoblikujemo na enak način kot linearne enačbe, le da se pri množenju in deljenju z negativnim številom znak neenakosti obrne.
Rešitve linearnih enačb lahko prikažemo na številski premici.