Znali
Æ rešiti besedilne naloge iz geometrije.
2.11 Naloge iz geometrije
Rok je za zabavo želel narediti tablice z imeni iz 28 cm dolgih trakov.
Tablice naj bi bile od strani videti kot enakokraki trikotnik, s krakoma, ki sta
2 cm daljša od osnovnice. Kako mora prepogniti trak?
Pri reševanju geometrijskih nalog si pomagamo z enačbami tako, da znane
podatke vstavimo v veljavne geometrijske obrazce, neznano količino pa izračunamo. Za lažje razumevanje običajno narišemo skico.
1. Pozorno preberemo besedilo naloge.
2. Izberemo neznano količino in narišemo skico.
Dolžina osnovnice c je x cm: c = x cm.
Kraka sta 2 cm daljša od osnovnice: a = b = (x + 2) cm.
3. Po besedilu zapišemo obrazec za obseg.
Obseg enakokrakega trikotnika je enak vsoti dolžin vseh stranic. o = 2a + c
4. Rešimo enačbo. 28 = 2(x + 2) + x
28 = 2x + 4 + x
–2x – x = 4 – 28
–3x = –24
x = 8
5. Izračunamo vse neznane količine. Dolžina osnovnice je x cm, torej je 8 cm.
Dolžina kraka je 10 cm (x + 2).
6. Preverimo pravilnost rešitve, tako da izračunamo obseg trikotnika.
2 · 10 + 8 = 20 + 8 = 28 Trikotnik z izračunanimi stranicami ima zahtevan obseg.
7. Zapišemo odgovor. Rok mora trak prepogniti tako, da bo ena stranica dolga
8 cm, dve pa po 10 centimetrov.
Rešimo skupaj
Zgled 1 Širina pravokotnika je za 3 cm krajša od dolžine, njegov obseg pa meri 38 cm.
Izračunajmo ploščino tega pravokotnika.
Zgled 2 Izračunajmo obseg in ploščino pravokotnega trikotnika, če meri ena kateta 12 cm, druga kateta pa je 8 cm krajša od hipotenuze.
Upoštevamo, da je obseg trikotnika enak vsoti vseh treh stranic, ploščina pa polovici produkta obeh katet. Pri reševanju si pomagamo s Pitagorovim izrekom.
Dolžina hipotenuze je neznana količina: c.
Prva kateta je 8 cm krajša od hipotenuze: c – 8.
Druga kateta meri 12 cm.
Pitagorov izrek: h2 = k1 2 + k2 2
c2 = (c – 8)2 + 122
c2 = c2 – 16c + 64 + 144
c2 – c2 + 16c = 64 + 144 16c = 208
c = 13
Dolžina hipotenuze je 13 cm, saj je h = c
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
Skica:
Dolžina a je neznana količina: x cm.
Širina b pa je za 3 cm krajša od osnovnice: (x – 3) cm.
Ker je obseg pravokotnika o = 2 · a + 2 · b,
38 = 2x + 2(x – 3)
Osnovnica meri 11 cm.
Preizkus: o = 2a + 2b = 2 · 11 + 2 · 8 = 22 + 16 = 38; o = 38 cm.
Rezultat je pravilen, torej lahko izračunamo še ploščino tega pravokotnika. p = a · b p = 11 · 8 p = 88 cm2
Širina je 3 cm krajša od osnovnice, torej 8 cm (11 – 3).
Odgovor: Ploščina tega pravokotnika meri 88 cm2.
Dolžina neznane katete je 5 cm (c – 8 = 13 – 8 = 5).
Preizkus: Kvadrat hipotenuze je 132 = 169. Vsota kvadratov obeh katet je 52 + 122 = 25 + 144 = 169.
Izračunamo še obseg in ploščino tega pravokotnega trikotnika.
o = k1 + k2 + h p = k1 k2 2
o = 5 + 12 + 13 p = 5 12 2
o = 30 cm p = 30 cm2
Odgovor: Obseg trikotnika meri 30 cm, ploščina pa 30 cm2
Utrdim novo znanje
1 Izračunaj dolžine stranic trikotnika, če poznaš njegov obseg. a) o = 28 dm b)