6 Zarja se je na pot odpravila s kolesom. Vozila je s hitrostjo 15 km h in na cilj prispela v štirih urah. S kolikšno hitrostjo bi morala voziti, da bi bila na cilju eno uro prej?
7 Ob šestih zjutraj se je iz mesta odpeljal kolesar s hitrostjo 16 km h , tri ure za njim pa motorist, ki je vozil s hitrostjo 48 km h . Kdaj je motorist dohitel kolesarja? Koliko kilometrov je do takrat prevozil motorist?
8 Janko in Metka, ki živita daleč narazen, se ob sedmih zjutraj s kolesi odpravita drug proti drugemu. Metka s hitrostjo 12 km h , Janko pa s hitrostjo 20 km h . Koliko sta oddaljena njuna kraja, če se srečata ob 9.30?
9 Kaja in Nika se sočasno odpravita v 12 km oddaljen kraj. Nika hodi s hitrostjo 8 km h , Kaja pa s hitrostjo 6 km h . Koliko časa lahko Nika počiva, da bosta hkrati prispeli na cilj, če se Kaja na poti ne ustavlja?
*10 Če se Črt odpravi v mesto s hitrostjo 6 km h , prispe na cilj 10 minut prej, kot če hodi s hitrostjo 5 km h Koliko je oddaljen od mesta?
*11 Avtomobilist se ob osmih zjutraj odpravi iz Maribora proti Beogradu. Vozi s hitrostjo 100 km h .
Ob devetih zjutraj pa se iz Beograda proti Mariboru odpravi avtomobilist, ki vozi s hitrostjo 90 km h . Kdaj bosta drug od drugega oddaljena 20 km?
500 km
2.14 Sistem linearnih enačb
Tanjina dedek in babica imata koze in kokoši. Ko je bila Tanja pri njima na obisku, je dedka vprašala, koliko je koz in koliko kokoši. Dedek ji je odgovoril z zanimivo uganko. Povedal je: »Vseh živali skupaj je 23, njihovih nog pa je 62.« Ali lahko Tanja iz dedkove uganke ugotovi število koz in število kokoši?
Tanja je hitro ugotovila, da ji je dedek povedal dve različni informaciji, zato je vsako zapisala s svojo enačbo. Najprej se je odločila, da bo število koz označila z neznanko x, število kokoši pa z neznanko y.
x – število koz Enačbi: x + y = 23 y – število kokoši 4x + 2y = 62
Dve linearni enačbi z dvema neznankama, ki sta med seboj povezani, imenujemo sistem linearnih enačb. V našem primeru se prva enačba nanaša na število živali, druga enačba pa je povezana z nogami teh živali: koze imajo
4 noge, kokoši pa 2.
Sistem linearnih enačb lahko rešujemo na različne načine – najpogostejša sta:
1. zamenjalni način in 2. način nasprotnih koeficientov.
Zamenjalni način
x + y = 23 ➝ x = 23 – y Iz prve enačbe (lahko bi tudi iz druge)
4x + 2y = 62 izrazimo neznanko x (lahko bi tudi y).
Znali bomo Æ povedati, kaj je sistem enačb, Æ opisati, kako rešujemo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama, Æ rešiti sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama.
4x + 2y = 62 Izraženo neznanko x = 23 – y vstavimo v drugo enačbo.
4(23 – y) + 2y = 62 Odpravimo oklepaj.
92 – 4y + 2y = 62 Podobne člene zberemo na isti strani enačbe.
–4y + 2y = 62 – 92 Skrčimo člene.
–2y = –30 Izračunamo vrednost neznanke y y = 15
S pomočjo znane vrednosti neznanke y = 15 lahko izračunamo še vrednost neznanke x:
x = 23 – y
x = 23 – 15
x = 8
DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA
Rešitev sistema linearnih enačb je: x = 8 in y = 15. Pri naši nalogi to pomeni, da je na kmetiji 8 koz in 15 kokoši.
Način nasprotnih koeficientov
Način z nasprotnimi koeficienti temelji na tem, da eno od obeh neznank v obeh enačbah z množenjem spremenimo v nasprotni števili – npr. neznanko y v prvi enačbi z množenjem s faktorjem (–2):
x + y = 23 / ∙(–2)
4x + 2y = 62
–2x – 2y = –46 V prvi enačbi so vsi členi pomnoženi s faktorjem (–2).
4x + 2y = 62 Drugo enačbo nespremenjeno podpišemo pod prvo –
+
2x + 0y = 16 pomembno je, da so iste neznanke napisane druga pod 2x = 16 drugo. Oblika spominja na pisno seštevanje v stolpcu, x = 8 in ta primerjava ni naključna – člene res seštejemo.
