SSIO_9_NS_SDZ_P2-56

Znali bomo

Æ opisati algebrsko enačbo, Æ povedati, kdaj algebrska enačba ni smiselna, Æ rešiti algebrske enačbe, Æ razložiti, zakaj je pri algebrskih enačbah pomemben preizkus.

2.15 Algebrske enačbe

Za polnjenje bazena imamo na voljo dve cevi z različnim presekom. Prva cev bi sama napolnila bazen v 20 urah, obe skupaj pa v 12 urah. Poglejmo, v kolikšnem času bi bazen napolnila druga cev.

– Prva cev polni bazen 20 ur, kar pomeni, da v eni uri napolni 1 20 bazena.

– Druga cev polni bazen x ur, kar pomeni, da v eni uri napolni 1 x bazena.

– Obe cevi skupaj v eni uri napolnita ( 1 20 + 1 x ) bazena.

Obe cevi skupaj napolnita bazen v 12 urah. Sestavimo enačbo, kjer število 1 pomeni celoto (poln bazen).

12 ∙  1 20 + 1 x  = 1

Enačba ima neznanko x v imenovalcu ulomka. Takšne enačbe imenujemo algebrske enačbe. Te rešujemo na enak način kot enačbe z ulomki.

12 ∙  1 20 + 1 x  = 1 Najprej odpravimo oklepaje tako, da z 12 množimo oba člena v oklepaju.

12 20 + 12 x = 1 /∙20x Celo enačbo pomnožimo s skupnim imenovalcem, ki je 20x.

12x + 240 = 20x Podobne člene zberemo na isti strani enačbe.

12x – 20x = –240 Skrčimo člene na levi strani in dobimo preprosto enačbo.

–8x = –240 Izračunamo vrednost neznanke x tako, da enačbo delimo z –8.

x = 30 Rešitev enačbe je x = 30.

Ker smo z neznanko x označili čas polnjenja bazena z drugo cevjo, pomeni, da bi druga cev sama napolnila bazen v 30 urah.

Zapomnim si

Algebrske enačbe so zaradi neznanke x v imenovalcu ulomka nekoliko zahtevnejše, saj moramo biti previdni in dobljene rešitve preveriti z vidika rešljivosti enačbe. Če je v imenovalcu ulomka vrednost nič, ulomek nima pomena in enačba ni rešljiva.

Rešimo skupaj

Zgled 1 Rešimo enačbo 2x + 1 x – 1 = 3.

Obe strani enačbe pomnožimo z imenovalcem ulomka in tako odpravimo ulomek: 2x + 1

– 1 = 3 / · (x – 1) (2x + 1)(x – 1) x – 1 = 3(x – 1) 2x + 1 = 3(x – 1)

2x + 1 = 3x – 3

2x – 3x = –3 – 1 –x = –4 x = 4

Preizkus:

DELOVNA RAZLIČICA DELOVNA RAZLIČICA

Algebrske enačbe imajo neznanko (x) v enem ali več imenovalcih. Rešujemo jih na enak način kot enačbe z ulomki: 1. vse člene enačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem in 2. enačbo ekvivalentno preoblikujemo.

Ker algebrska enačba ni rešljiva, če je v imenovalcu vrednost 0, dobljeno rešitev na koncu preverimo.

Izračunana vrednost neznanke, x = 4, se izkaže kot rešitev enačbe, saj se pri tej vrednosti neznanke vrednost leve in vrednost desne strani enačbe ujemata:  = {4}.

Enačba je nesmiselna, če je x = 1, saj ulomek nima pomena.

Zgled 2 Ulomek dajmo na skupni imenovalec. a) 1 2x + 1 3x b) 1 x + 1 x2 c) 1 x +

Zgled 3 Če števcu v ulomku 5 7 odštejemo neko število in imenovalcu prištejemo to isto število, dobimo ulomek 1 2. Katero število je to?

Z neznanko x označimo število, ki ga števcu ulomka odštejemo in imenovalcu prištejemo.

5 – x

7 + x = 1 2

Zapisana enačba je algebrska, saj ima neznanko tudi v imenovalcu ulomka.

5 – x 7 + x = 1 2 /∙2(7 + x) Enačbo pomnožimo z najmanjšim skupnim imenovalcem, da odpravimo ulomka. Pri zapisu množenja uporabimo oklepaj.

2(5 – x) = 7 + x Odpravimo oklepaj tako, da dvočlenik množimo s faktorjem 2.

10 – 2x = 7 + x Podobne člene zberemo na isti strani enačbe.

–2x – x = 7 – 10 Skrčimo levo in desno stran.

–3x = –3 Iz preproste enačbe izračunamo vrednost neznanke.

x = 1

Edina vrednost neznanke, ki ne bi prišla v poštev, je x = –7, saj bi imel v tem primeru imenovalec ulomka vrednost 0 in enačba ne bi bila smiselna. Ker je izračunano število x = 1 različno od –7, je to rešitev naloge.