Función exponencial y logarítmica

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APLICACIONES COMERCIALES OPERACIONES BANCARIAS Cuando realizas una operación bancaria como, por ejemplo, cuando solicitas algún préstamo para solucionar algunas de tus necesidades (gastos médicos, adquirir artefactos, un viaje, paquetes turísticos, etc.) o financiar la compra de bienes y/o servicios (adquirir una vivienda, un automóvil, gastos en educación, etc.) debes cumplir con ciertas condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una vez que obtienes tu préstamo (capital) debes saber cuánto vas a pagar mensualmente, es decir, qué cantidad amortizas del capital mensualmente y cuánto pagas de interés mensual.

Esto está en función del capital que recibes y el tiempo en que deseas pagarlo.

1 INTERÉS COMPUESTO Llamado también proceso de capitalización, es decir, cuando el interés que genera un capital prestado se acumula al capital al final de cada intervalo de tiempo previsto. Analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1: Préstamo Bancario Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000 durante 3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a pagar en la fecha de vencimiento.

Solución:

Recuerda Capital (C): es el dinero que se va a invertir.

Tiempo (t): es el periodo durante el cual se va a ceder el capital.

Interés (I): es la ganancia o utilidad que produce el capital.

Tasa de Interés (r %): es el porcentaje que se aplica al capital durante cierto tiempo.

Monto (M): es la suma del capital más los intereses.

Identificamos los datos del problema: C = S/. 4 000; t = 3 años; tasa = 10%.

Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que a anualmente los intereses se acumulan al capital.

Como el préstamo es a 3 años, la tasa es 10 % anual y la expresamos como 0,1.

Profesor: Javier Trigoso T.

2 Como: M  C  I  M  C  C.r.t  M  C(1  r.t) Calculamos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.

Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la fórmula M = C (1 + r t) Reemplazando los datos tenemos:  Primer año: M1 = 4 000(1+ 0,1 (1))  M1 = 4 000 (1,1)  M1 = 4 400  Segundo año: M2 = M1 (1+ 0,1 (1))  M2 = 4 400 (1,1)  M2 = 4 840  Tercer año: M3= M2 (1+ 0,1 (1))  M3 = 4 840 (1,1)  M3 = 5 324 Luego, Javier abona un monto de 5 324 nuevos soles.

2. MONTO COMPUESTO ANUALMENTE Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final del tiempo previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés compuesto, así: Primer año: M1 = C0.(1 + r) Segundo año: M2 = M1 (1 + r)  M2 = C0.(1 + r) (1 + r)  M2 = C0.(1 + r)2 Tercer año: M3 = M2 (1 + r)  M3 = C0.(1 + r)2.(1 + r)  M3 = C0.(1 + r)3 n-ésimo año: Mn = C0.(1 + r)n Este es el monto de un capital C 0 impuesto al r % de interés compuesto anual.

Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número natural utilizamos la fórmula:

M(t)  C0. 1  r 

t

Donde: M(t): monto o capital futuro C0: capital inicial r: tasa de interés anual, expresada como número decimal. t: tiempo (en años)

Las calculadoras disponen de dos teclas para calcular los logaritmos, en base e (naturales) y en base 10. (decimales).

Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una función exponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2: Si tienes ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de ahorro te pagará un interés compuesto. Suponiendo que el banco paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero recibirás después de cinco años?

Solución: Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por lo tanto, apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C0.(1 + r)t

Profesor: Javier Trigoso T.

3 Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 500; 0,06 y 5, respectivamente.

M(5) = 500.(1 + 0.06) 5 Paso 2: Utiliza una calculadora científica para operar: M(5) = 669,11 Luego, al final del quinto año recibes $ 669,11 3. MONTO COMPUESTO CON PERIODOS FRACCIONARIOS En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos n veces al año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de interés es r/n y, si existen n.t periodos de composición en t años, el nuevo monto después de t años es:

 r M(t)  C0.  1   n 

n.t

M

Donde: M(t): Monto o capital después de t años.

C0: Capital inicial. r: Tasa de interés anual expresada como un número decimal. n: Periodos de capitalización (en un año). t: Tiempo (en años).

M(t) = C0(1 + r)t C0 0

t

Modelo matemático del monto compuesto anualmente.

Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto durante el año.

Ejemplo 3:

Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero recibirá Jaime después de dos años?

Solución: Paso 1: Los datos son C0 = 1000; r = 0,08; n = 4 (trimestral) y t = 2



r n

Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula M(t)  C0 .  1  



tenemos:

 0, 08  M(2)  1000.  1   4  

4.2

Importante

n.t

Si la capitalización es: Anual  n = 1 Semestral  n = 2 Trimestral  n = 4 Bimestral  n = 6 Mensual  n = 12 Diario  n = 360

Paso 3: Utilizando una calculadora científica obtenemos: M(2) = 1000.(1,02)8  M(2) = $ 1 171,66 Después de los dos años de depósito, Jaime recibe 1 171.66 dólares americanos.

Profesor: Javier Trigoso T.

4 … PARA LA CASA: 01. Una pareja de novios decide colocar S/.10 000 al 8% anual.

Determina el capital acumulado al cabo de 5 años.

S/.14 693,281 02. Si S/. 2 000 se invierten a un interés compuesto anual del 6%, encuentra el monto acumulado después de 12 años.

S/.4 024,39 03. Suponga que se invirtió $1 000 a una tasa de interés compuesto del 9% mensual, calcula el monto final del capital inicial después de: A. 5 años $1 565,68 A. 10 años $2 451,36 A. 15 años $3 838,04 04. Si $1 000 se invierten al 12% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentra el capital al final de: A. ¿1 mes? $1 010 B. ¿2 meses? $1 020,1 C. ¿6 meses? $1 061,52 D. ¿1 año? $1 126,83 05. Si $1 000 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentra el capital al final de: A. ¿1 año? $1 061,68 B. ¿2 años? $1 127,16 C. ¿5 años? $1 348,85 D. ¿10 años? $1 819,40

Profesor: Javier Trigoso T.

06. Si $1 000 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza trimestralmente, encuentra el capital al final de: A. ¿1 año? $1 061,36 B. ¿2 años? $1 126,49 C. ¿5 años? $1 346,86 D. ¿10 años? $1 418,02 07. Si $10 000 se invierten al 9% anual y el interés se capitaliza semestralmente, encuentra el tiempo requerido para que el capital exceda a: A. $15 000 5 años (4,61) B. $20 000 8 años (7,87) C. $30 000 12,5 años (12,48) 08. Pepito deposita 500 nuevos soles en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% co mpuesto anual capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tendrá en la cuenta luego de 1 año?

S/.530,90 09. José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 000 a un 6% de interés compuesto anual, con una capitalización trimestral. Dos años después, si no se realizan depósitos ni retiros adicionales, ¿cuánto gana o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés compuesto anual, con una capitalización cuatrimestral?

S/. 111, 16

5 10. La señora Martínez invierte 6 000 € en un depósito financiero al 5% anual durante 3 años. No retira los intereses al finalizar cada año, sino que se añaden al capital y se vuelven a reinvertir. ¿Cuál será el capital de la señora Martínez al finalizar el tercer año?

6 945,75 € 11. Un fondo de ahorro paga interés a razón de 9% capitalizado di ariamente. ¿Cuánto se debe invertir para tener $2 000 al final de 10 semanas?

12. ¿Cuántos años debe permanecer en un banco un capital inicial de S/.80 000 a una tasa del 3% a interés anual compuesto para triplicar su valor?

13. ¿Cuántos años deberán mantenerse S/.20 000 en un banco al 9% anual, si se quiere ganar S/.600 de interés?

16. La guitarra Pedro Morales, un joven músico deposita S/. 1 200 en una cuenta de ahorros que paga el 11% con capitalización anual.

Si él desea comprar, en el futuro, una guitarra profesional de S/. 1 500, ¿en qué tiempo se tendrá el monto para hacer la compra?

2 años 17. El cuarto de niños La familia Pérez deposita S/. 15 000 en una cuenta de ahorros que paga el 8,5 % con capitalización trimestral, para poder construir el dormitorio de los niños, el cual se estima en S/. 18 000. ¿En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción?

14. Una familia hace un plan de ahorros durante 4 años ingresando, al principio de cada año, 3.000 € a un 5% anual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero obtendrá al finalizar el plan?

18. El segundo piso La familia Paredes deposita S/. 7 500 en una cuenta de ahorros que paga el 9% con capitalización bimestral para poder construir el segundo piso de la casa, el cual se estima en S/. 10 500. ¿En qué tiempo se tendrá el monto que permita la construcción?

3,77 años

15. La computadora

19. La casa

El padre de Carlitos Peña ha obtenido un préstamo de S/ 1 600 a 3 años con interés del 7 % capitalizable anualmente, para poder comprar una computadora.

Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.

S/. 1 960,06

Los Rodríguez planean comprar una casa dentro de cinco años. Si se espera que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 6% compuesto continuamente, durante ese periodo, ¿cuánto tendrán que pagar los Rodríguez por una casa que ahora cuesta S/. 45 000?

Profesor: Javier Trigoso T.

6 20.

El tractor

Juan Quispe es un agricultor que ha obtenido un préstamo de S/. 30

000 a 5 años con interés del 8% capitalizable semestralmente con el fi n de comprar un tractor. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.

S/. 44 407,34

4. MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta considerablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande), cada periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier cantidad arbitrariamente escogida (es decir, tiende a cero).

El interés continuo consiste en acumular el interés al capital, instantáneamente.

En este caso, el monto compuesto es:

M(t)  C0. er.t Donde: M(t): monto en el instante t.

C0: Capital inicial. r: Tasa instantánea, expresada como número decimal. t: Tiempo (en años)

Ejemplo 4: Javier invierte una suma de S/. 5 000 en 10 años, determina los montos que recibe a: A. La tasa efectiva del 6%.

B. La tasa del 6% con capitalización mensual.

C. La tasa del 6% instantánea (o continuo).

Solución: A. Los datos son C0 = 5000; t = 10; r = 0,06 Reemplazamos los datos en

M(t)  C0 .(1  r)t M(10)  5000.(1  0, 06)10  M(10)  8954,24

El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/. 8 954,24 B. Los datos son C0 = 5 000; t =10; n = 12; r = 0,06

Profesor: Javier Trigoso T.

7 n.t

Reemplazamos los datos en

 r M(t)  C0 .  1    n

12(10)

 0, 06  M(10)  5000.  1   12    M(10)  9096, 98

El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de S/. 9096,98 C. Los datos son C0 = 5 000; t =10; r = 0,06 Reemplazando en: M(t)  C0 .er.t

M(10)  5000.e 0,06(10)  M(10)  9110, 60 El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual es de S/. 9110,60 Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua.

… PARA LA CASA: 21. Se invierte una suma de 1 000 dólares a una tasa de interés de 4% anual. Encuentra el tiempo para que la cantidad crezca a 4 000, si el interés se capitaliza de forma continua.

34,66 años 22. Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después devuelve $1 020. Determina la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es: A. Simple 5,5% B. Capitalizado anualmente 4,979% C. Capitalizado trimestralmente 4,889%, D. Compuesto mensualmente 4,869%

Profesor: Javier Trigoso T.

23. Un pagaré por $1 000 vence dentro de un mes. Calcula su valor presente al 8% compuesto continuamente. $993,36 24. La herencia Al recibir una significativa herencia, los padres de Jacky quieren establecer un fondo para la educación superior de su hija. Si necesitan un estimado de S/. 9 000 dentro de 10 años, ¿cuánto dinero deben separar si lo invierten a 8,5% compuesto continuamente?

S/. 3 846,7341 25. La casa Los Martínez planean comprar una casa dentro de cuatro años.

Los expertos de

8 su área han estimado que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 5% compuesto continuamente; durante ese periodo, ¿cuánto tendrán que pagar los Martínez por una casa que ahora cuesta S/. 65 000?

S/.79 401,21 26. Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de $5.000. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad tendrá cada uno cuando cumplan 21 años?

5.879,48 y 2.280,55 27. La máquina Una máquina se compra en S/.10 000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula

V(t)  10 000.e 0,2.t Determina el valor de la máquina después de 8 años.

S/.2 018,97 28. La mejor opción Don Jacinto quiere invertir una cantidad de dinero; en el Banco de la Familia le ofrecen una tasa de 7,5% compuesto anualmente y en el Banco del Progreso le ofrecen una tasa de 7,2 % compuesto semestralmente.

Profesor: Javier Trigoso T.

¿Cuál es la mejor opción para don Jacinto?

29. Los Confeccionistas Juan y Pedro son dos confeccionistas de prendas de vestir y tienen sus talleres en la Av. Gamarra. En una ocasión, Juan le dice a Pedro: “Mi banco ofrece una tasa de 8% compuesto bimestralmente”, a lo que Pedro responde: “el mío ofrece una tasa del 7,5 % compuesto semestralmente”. ¿Quién recibe más por su dinero en un año?

Juan 30. Compañía de seguros Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $100.000. El interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una?

54.132,11

9 5 CRÉDITOS HIPOTECARIOS ¿Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios?

Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una vivienda, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de Ahorros y hacer una hipoteca de la casa que compra.

El préstamo hipotecario tiene como característica específica que toma como garantía real la vivienda (casa, apartamento, edificio, terreno, etc.) a favor de la entidad financiera que presta el dinero. Es decir, en caso de no cumplir las condiciones acordadas en la concesión del préstamo (por ejemplo: impago de los recibos de amortización, de plazos, etc.), el inmueble pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto, usted hipoteca su casa en favor de la entidad financiera, hasta que le haya devuelto la totalidad del préstamo.

Esta garantía, la propia vivienda, es lo que explica que el tipo de interés sea más bajo que los préstamos generales o personales existentes en el mercado. Usted hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en la propia vivienda hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de interés.

Amortización de préstamos Amortización es el proceso financiero mediante el cual se puede extinguir una deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario, gradualmente, por medio de un flujo de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los intereses y reducir el saldo insoluto.

Fórmula de amortización El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará durante n periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por:

R(n) 

P.i 1  (1  i)  n

El denominador es una función exponencial si se considera a n como variable.

Ejemplo 5 La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 60 000 de un banco para financiar la compra de una casa. El banco cobra intereses con una tasa de 9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se calculan al final de Profesor: Javier Trigoso T.

10 cada mes. La familia está de acuerdo en pagar el préstamo mediante mensualidades iguales durante 20 años. ¿A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar al final del término?

Solución: Datos: P = 60 000; i = 0,09/12 = 0,0075; n = 20(12) = 240 Para calcular el pago periódico utilizamos: Pi R(n)  1  (1  i)n Reemplazamos los datos:

R(20) 

(60000).(0, 0075) 240

450



240

1  (1  0, 0075) 1  (1, 0075) Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573



450  R(20)  539,835573 1  0,166418

Ejemplo 6 La familia Rojas ha adquirido una casa de $ 50 000, ellos han pagado una cuota inicial de $ 20 000 y solicitan una hipoteca con una tasa de interés de 7% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 30 años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben pagar los Rojas?

Solución: Como se ha pagado una cuota inicial de $ 20 000 la deuda es de $ 30 000.

Datos: P = 30 000; i= 0,07/12 = 0,005833; n = 30(12) Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos: Reemplazamos los datos:

R(30) 

R(n) 

(30000).(0, 005833) 1  (1  0, 005833)360

Pi

1  (1  i)n



175 1  (1, 005833)360



175  R(30)  199,594 1  0,12322

Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de $ 199, 594

Profesor: Javier Trigoso T.

11 6 CRÉDITOS PERSONALES

Importante

Cuando una persona utiliza una tarjeta de crédito debe pagar una cuota mensual fija durante el plazo acordado. Este es un caso particular de amortización de un préstamo donde los periodos son mensuales y en donde intervienen pagos adicionales que se incluyen en la cuota mensual.

La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para amortizar la compra de un artículo cuyo costo es P y que se amortizará en n meses a una tasa de interés de i% mensual es:

C.M  R  portes  S.D Donde R: Amortización Portes: pago fijo por gastos administrativos S.D: seguro de desgravamen Luego:

C.M 

P.i

 portes  S.D

1  (1  i)  n

Ejemplo 7 Jorge ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta S/. 800. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el pago por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de S/. 0,8. a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Jorge si debe liquidar la deuda en 12 meses. b. Calcula el interés total.

Solución: a. Datos: P = 800; i = 3% = 0,03; n = 12; portes = 7; S. D. = 0,8 Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula:

C.M 

P.i

1  (1  i)n

 portes  S.D

reemplazando los datos tenemos

C.M 

(800).(0, 03) 1  (1  0, 03)12

 7  0,8  80,37  7  0,8  88,17

La cuota mensual será de 88,17 nuevos soles

Profesor: Javier Trigoso T.

El pago por portes es independiente del precio P y la tasa de interés i, la determina la entidad que emite la tarjeta de crédito.

El seguro de desgravamen sí depende del precio P, pero no es un gasto significativo (menos del 0,1 % de P).

12 b. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio utilizamos la fórmula: I = n (C.M.) – P I = 12 (88,17) – 800 = 258,04 El interés total asciende a 258,04 nuevos soles

… PARA LA CASA: 31. La hipoteca: La familia Velásquez ha adquirido una casa de $ 35 000. Ellos han pagado una cuota inicial de $. 17 000 y solicitan una hipoteca con una tasa de interés de 6% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 20 años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben pagar los Velásquez?

32. Máquina de coser Miryan es una confeccionista de prendas de vestir que desea comprar a plazos una máquina de coser que cuesta S/. 2 200. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del centro comercial Maquicentro, cuya tasa de interés mensual es de 2,7%, el cobro por portes es de S/. 6 y el seguro de desgravamen es de S/. 0,9. a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para liquidar la deuda en 20 meses. b. Calcula el interés total que deberá pagar por la máquina.

33. Cámara fotográfica Ángela es una periodista gráfica que desea comprar a plazos una cámara

Profesor: Javier Trigoso T.

fotográfica digital. Ella tiene las tarjetas de crédito de los centros comerciales Compucentro y Cyberplaza. En Compucentro la cámara cuesta S/. 1 200 y la tasa de interés mensual es de 1,5%; en Cyberplaza la misma cámara cuesta S/. 1 000 y la tasa de interés es de 2,5%.

Considerando que el pago de portes, seguros de desgravamen y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con cuál tarjeta de crédito Nora comprará la cámara?

34. La Refrigeradora Nora tiene tarjetas de crédito de los centros comerciales Ecónomas y Metroplaza y desea adquirir una refrigeradora. En Ecónomas la refrigeradora cuesta S/. 1 400, la tasa de interés mensual es de 2,5%.

En Metroplaza la refrigeradora cuesta S/. 1 300 y la tasa de interés mensual es de 4,2%. Considerando que el pago de porte y seguro de desgravamen, y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con qué tarjeta de crédito Nora comprará la refrigeradora?

Economás

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