Desigualdades

1

DESIGUALDAD Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad:  ;  ;  ; 

Teoremas básicos de las

Si a  b 

1. Si a  b  c 

a a a a

   

b: "a b: "a b: "a b: "a

, se tiene: es es es es

mayor menor mayor menor

que b " que b " o igual que b " o igual que b "

Ley de Tricotomia Dados dos números reales a y b; entre ellos solo se puede establecer una de las siguientes relaciones:

ab ; ab ; ab

Definiciones Dados a, b, c, d  1. Si a  0  a es positivo 2. Si a  0  a es negativo 3. a  b  a  b  a  b 4. a  b  c  a  b  b  c 5. a  b  a  b  0 6. a  b  a  b  0 7. Si a  b  a  c  b  c 8. Si a  b  c  d  a  c  b  d 9. Si a  b  c  0  ac  bc 10. Si a  b  c  0  ac  bc

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desigualdades  a c  b c

 a.c  b.c  2. Si a  b  c  0   a b   c c  a.c  b.c  3. Si a  b  c  0   a b   c c 2 4.a   a  0 0  a  b    0  a.c  b.d 0  c  d  6. a.b  0   a  0  b  0    a  0  b  0  5.

7. a.b  0   a  0  b  0    a  0  b  0 

1  0 a 1 9. a  0   0 a 10. Si a y b tienen el mismo signo : 1 1 1 a  x  b    b x a a 11. Si  0  a.b  0 si b  0 b a 12. Si  0  a.b  0 si b  0 b 1 13. a   2 ; a   a 1 14. a   2 ; a   a 15. a2  b2  2ab ; a, b   8. a  0 

Matemática 1

2

…PARA LA CLASE 01.

Si abcd  0 ; ad2  0 ; 2bc  0 ,

¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0 02.

Si: a < 0 < b, afirmamos: a I. a2 > ab II.  1 b 1 1 III. IV. a2 < b2  a b ¿Cuántas son verdaderas?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 03.

Si ab < 0; a + c > 0 y bc > a, ¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Si a < 0, entonces bc < 0 II. Si c > 0, entonces b > 0 III. Si abc > 0, entonces a > 0 A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III 04.

Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas?

I. Si y > 0, entonces z > 0 II. Si x < 0, entonces y.z < 0 x.y  0 , entonces x > 0 III. Si z A. I y III B. I y II C. Solo III D. I y III

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05.

De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?

I. Si 5x  25  x  5 x II. Si  2  x  6 3 x III. Si  3  x  5 5 IV. Si x  1  x  1 V. Si x  4  x  4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 06.

De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?, si sabemos que: a < b < 0







I. Si a  b x  a  b



2

 x  a  b

II. Si  a  b  x  a2  b2  x  a  b III. Si b  a  x  b2  a2  x  a  b





IV. Si a2  b2 x  a2  b2  x  1





V. Si a2  b2 x  a2  b2  x  1 A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

07. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s): I. II. III.

2  55 10  2  17  11

5  24  3  2

IV. 11  112  11  112  5 A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV

Matemática 1

3 08. Si x   3;2 , indica el mayor valor entero en el intervalo de x2.

A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 09. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa un b número entre 21 y 33. representa a un número entre: A. 7 y 33/7 B. 3 y 11 C. 3 y 7 D. 7 y 11 10.

Si x  2;4  ; entonces

"2x + 3" pertenece al intervalo: A.  4;8 B. 7;11 C.  4;8

D.  7;11 

11. Si x   3 ; 7  ; entonces

1 3x  1

pertenece al intervalo: A. x   4;8 B. x  7;11 

 1 1  ;  C. x    18 6 

 1 1 ;  D. x    20 8 

 1 3 x5 12. Si x   ;  y  m;n 2 2 x 2   Halla m.n A. 3/143 B. 13/143 C. 143/3 D. 143/13

 1 3 4 2

13. Si x   ;  ; halla el menor valor de “M” sabiendo que A. 1/4 C. 1/6

x 2 M x4 B. 1/5 D. 1/7

14. Califica con (V) si es verdadero y con (F) si es falso las siguientes proposiciones: 1 1 1 I. Si x  2;4   ; 2x  3 11 7 II. Si

 x  x   a;a  x

 a;x0  a  III. Si a; b  c; d  c  a  b  d 0

0

A. VVF C. FVF

B. FFV D. VVF

…PARA LA CASA 01.

Dados: x > y > 0, , la desigualdad que no siempre es verdadera es: A. x + z > y + z B. x - z > y – z C. xz > yz D. xz2 > yz2 02.

Si a2 .b  0  c  0 Entonces: A. a < 0 B. a > 0 Profesor: Javier Trigoso T.

C. bc < 0

D. bc > 0

03.

Para reales afirmamos: I. Si a  b  a  c  b  c II. Si a  0  a  0



III. a  b



2

 2ab

Son verdaderas: A. Solo I C. Solo III

B. Solo II D. Todas Matemática 1

4 04.

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si 3  x  5  9  x2  25 II. Si 3  x  2  0  x2  9 III. Si 3  x  4  0  x2  15 A. VVV B. VFV C. FVF D.FFV 05.

De los siguientes enunciados, ¿Cuántos son verdaderos?

I. Si 2x  3  2x  3 II. Si 2x  8  x  4 III. Si 12x  24  x  2 IV. Si 3x  9  x  3 V. Si 4x  16  x  4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 06.

Si: 0 < b < 1 < a < 2, señala el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. b3  a II. a2  2 III. b2  b A. VFV B. VFF C. VVF D. FVF 07.

Si x < 0, y > 0, z > y. ¿Cuáles son verdaderas?

I. z – y > x II. y.z > 0 III. x –1 < y A. Sólo I B. I y III C. I y II D. Sólo III

A. Todas C. I y III

B. Solo I D. I y II

09.

Si a < b; indica cuáles son verdaderas: 2a  b ab I. b  II. a  3 2 a  2b III. b 3 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Todas 10.

Si xyzw  0 ;

w2 5 0; 0 x yz

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

A. z > 0 B. w > 0 C. x < 0 D. w < 0

yz2 x2 y 0; 0 x z ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. y > z II. y < x III. xy < xz A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III 11.

Si xyz  0 ;

12.

Si  x, y, z  R / x, y, z  0

entonces podemos afirmar que: x x  zy I. Si y z II. Si x  y  x 2  y 2

08.

Para reales son verdaderas: I. Si a  0  a2  0 II. Si a  b  ac  bc 1 1 III. Si 0  a  b  0   b a

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III. Si x  y 

1 1  x y

A. Solo I es falsa B. Solo II es falsa C. I y II son falsas D. Todas son falsas

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5 13.

Sean a y b dos números; si se tienen las siguientes proposiciones: 1 1 I. Si a  b   b a 25 II. Si a  0  a   10 a III. Si a  0  ab  ac  c  b  0 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. II y III 14.

Si a < b < 0. Halla el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: b 1 1 b b   I. II. a a a b a III. Si a  b  0  a a  b  a  b



IV.

b2 b a

A. VVVF C. FVVF



A. –3 y –2 C. –15 y 2

16.

Si x  1;2 halla el mayor

valor entero de x2 + 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 18.

Si x   3;5 ; entonces

"3x + 6" pertenece al intervalo: A. 9;21 B.  3;21 C.  3;21  19.

B. FVFV D. VFVF

a  2b varía entre: 3 B. –18 y 3 D. –16 y 6

10  a  5  Si 2  b  1 , entonces  2c5 

ab está comprendido entre: M c A. -10 y – 1 B. 2 y 20 C. 2 y 10 E. 0 y 10

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D.  9;21 

Si 2x  6  4;4 ; entonces

"x" pertenece al intervalo: A. 2;5 B. 1;5  C. 2;10 

D. 1;10 

1 3 Si x   ; 2 2 pertenece 2x + 5?

A. 1;3

B. 6;8

C. 1;3

D. 6;8

20.

15.

Si a y b son números reales tales que 5  a  7  2  b  6,5 entonces P 

17.

21.

, ¿a qué intervalo

Si x   2 ; 5  ; entonces

1 pertenece al intervalo: 4x  3 A. x  5;17  B. x  5;17 

 1 1 ;  C. x    17 5 

1 1  D. x   ;   5 17 

Dado 8  x  10  6 1 Calcula a + b, si: a  3x  4   b 2 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 22.

Matemática 1

6 23.

Si x  3;7

1 12 1   a x 1 b Indica el valor de “a – b” A. 12 B. 6 C. 1/12 D. 1/6 Además

24.

Si 3 

x  11  6 . Señala el 2



máximo valor de x  4



2

; si x 

A. 49

B. 64

C. 80

D. 81

D) 25

E) 36

25.

Si 0 < x < 2, entonces se cumple que m  x2  1  n ; Halla m y n.

A. m = -1 ˆ n = 3 B. m = -5 ˆ n = -2 C. m = 3 ˆ n = 5 D. m = 4 ˆ n = 8 26.

Si 1  x  2 . Calcula a + b si se cumple: a  x3  2  b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x 27.

Si x   1 ; 7  ; entonces 2x  1 pertenece al intervalo:

A. x  3;8

1 7  B. x   ;   3 15 

 1 7 ;  C. x    15 3 

1 7  D. x   ;   6 16 

28.

Si x   2;4

x 1 1 1   ; 3x  8 a b Indica el valor de “a – b” A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Además

29.

Hallar el menor número racional « m » que para cualquier valor de x  2 ; 4  satisface la siguiente desigualdad A. -2/3 C. -1/3 30.

x3 m x 5 B. -5/3 D. 5/3

Halla « A + B », si x   1 ; 3 

y además A  A. 79/189 C. 176/89

x3 B x  x  16 B. 17/189 D. 176/189 2

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