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INTRODUCCIÓN Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola. Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Para dar un ejemplo, si un jugador de un equipo de futbol patea una pelota, como se ve en la figura, y si la resistencia del aire y otras fuerzas externas son mínimas, entonces la trayectoria de la pelota es una parábola.
DEFINICIÓN Las funciones de la forma f(x) ax2 bx c , donde a, b y c son números reales, con a ≠ 0, se llaman funciones cuadráticas.
La representación gráfica de las funciones f(x) ax2 , a ≠ 0, es una parábola. Si a > 0, la parábola está abierta hacia arriba; si a < 0, la parábola está abierta hacia abajo. El número a indica la abertura de la parábola; es más abierta cuanto menor sea a en valor absoluto. En la figura se muestran las representaciones gráficas de f(x) ax2 , con a = ± 0,5, ± 1, ± 2.
El dominio de cualquier función lineal es todo ℛ y son continuas en toda la recta real. Profesor: Javier Trigoso T.
2 Su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, es una función par: f(x) = f(-x)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Conocida la gráfica de la parábola f(x) ax2 , las gráficas de las parábolas del tipo
f(x) ax2 c se obtienen trasladando verticalmente la parábola c unidades hacia arriba si c > 0, y c unidades hacia abajo si c < 0. Por lo tanto su vértice es (0; c) La representación gráfica de una función f(x) ax2 bx c ; a ≠ 0 es una parábola con su vértice desplazado tanto horizontalmente como verticalmente. Para encontrar el vértice se puede utilizar la técnica de completar cuadrados. Así: b c f(x) ax2 bx c a x2 x a a
a < 0
2 b b2 c a x 2a 4a2 a
a > 0
2
b 4ac b2 ax 2a 4a 2 b 4ac b Si llamamos h y k 2a 4a
Obtenemos f(x) a x h
2
k , que es la
llamada forma estándar de la función cuadrática.
La gráfica de la función f(x) a x h
2
k , es una parábola con vértice
en V h; k . Si a > 0 se abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo.
RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje X. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje X en:
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3 IMPORTANTE Según el signo del discriminante podemos distinguir: Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje X en dos puntos: x1 y x2. Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje X, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen. Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje X. 2 raíces
1 raíz
ninguna raíz
EJEMPLOS: 01. Grafica y analiza la función f(x) (x 3)2 4
Como el coeficiente principal es positivo (> 0), esto nos indica que la parábola se abre hacia arriba. El vértice de la parábola es el punto (-3; -4) Los interceptos con los ejes son: o X: (-5; 0) , (-1; 0) o Y: (0; 5)
02. Grafica y analiza la función f(x) (x 3)2 4
Como el coeficiente principal es negativo (< 0), esto nos indica que la parábola se abre hacia abajo. El vértice de la parábola es el punto (3; 4) Los interceptos con los ejes son: o X: (1; 0) , (5; 0) o Y: (0; -5) Vértice (3;4)
Vértice (-3;-4)
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4 VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Si una función cuadrática tiene vértice (h; k), entonces la función tiene un valor mínimo en el vértice si la parábola se abre hacia arriba y un valor máximo se abre hacia abajo. Sea f una función cuadrática con forma estándar f(x) a(x h)2 k . El valor máximo o mínimo ocurre en x = h. Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k
… PARA LA CLASE 01. La gráfica de la función
f(x) x 3 no pasa por el: 2
A. I y II cuadrante B. I y III cuadrante C. II y IV cuadrante D. III y IV cuadrante 02. Halla el mayor de los coeficientes de la función cuadrática f(x), si se sabe que f(1) = 5, f(-1) = 3y f(0) = 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 03. Obtén las coordenadas del vértice de la parábola f(x) 2x2 12x 3 A. (3; 12) C. (3;-15)
B. (3; -12) D. (3; 15)
04. Halla el valor que genera el mínimo valor de la función f(x) 3x2 8x 3
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A. -8/3 C.4/3
B. -4/3 D. 8/3
05. Si 1 es el mínimo valor de la función f(x) x2 bx 5 , halla el valor de b A.± 4 C. -4; 3
B. -3; 4 D. ± 3
06. Dada la función cuadrática
f(x) (x a)2 6a . Halla el mínimo valor de f(x), si 8a – 21 es la imagen de 2. A. -30 B. -24 C. -18 D. -15 07. Una parábola corta el eje de abscisas en x = –1 y en x = 3. La ordenada del vértice es y = –4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola? A. f(x) x2 2x 3 B. f(x) x2 2x 3
5 cual el punto máximo de la gráfica de
C. f(x) x2 2x 3
f(x) 5x2 3x 2k tiene el mismo
D. f(x) x2 2x 3 08. Determina el valor de k para el
valor para las coordenadas X e Y A. 3/20 B. -3/10 C. -9/20 D.-3/40
EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES Hemos observado que el vértice de una parábola representa en el plano cartesiano, un punto máximo o mínimo de la curva, dependiendo del tipo de concavidad de la función cuadrática correspondiente. Tomando en cuenta lo anterior y el fundamento teórico que caracteriza a las funciones cuadráticas, veremos a continuación algunas aplicaciones de la función cuadrática.
EJEMPLO 1 Los alumnos de un colegio quieren ir de excursión. Una empresa de turismo les cobra S./70 por persona si van 40 alumnos y les rebaja S/.1 por persona por cada alumno adicional. Además, acepta que viajen 65 alumnos como máximo y no la organiza si viajan menos de 40. ¿Cuántos alumnos deben ir de excursión para que la empresa de turismo realice el mejor negocio?
Solución
Elaboramos una tabla para obtener una expresión que nos permita hallar el precio total que cobra la empresa de turismo según la cantidad de alumnos que van de excursión.
Cantidad total de alumnos Si van 40 alumnos: 40 Si va 1 alumno más: 40 + 1 Si van 2 alumnos más: 40 + 2 Si van 3 alumnos más: 40 + 3 Si van x alumnos más: 40 + x
Precio por alumno (S/.) 70 70 – 1 70 – 2 70 – 3 70 - x
Precio total (S/.) 40.70 (40 + 1).(70 – 1) (40 + 2).(70 – 2) (40 + 3).(70 – 3) (40 + x).(70 – x)
Observamos que el precio total depende de la cantidad de alumnos x que vayan.
Resolvemos f(x) = (40 + x).(70 – x) y obtenemos f(x) x2 30x 2800
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Como queremos averiguar el mayor precio total que puede cobrar la empresa de turismo por la excursión, buscamos el máximo de la función. Hallamos el vértice de la parábola:
f(x) x2 30x 2800 f(x) (x2 30x
) 2800
f(x) (x 30x 225) 2800 225 2
f(x) (x 15)2 3025
El vértice es V(15; 3025), este es el punto máximo de la función. Interpretamos: El mayor precio total (S/.3 025) se puede cobrar cuando viajan 15 alumnos más.
Para que la empresa de turismo realice el mejor negocio, deberán ir de excursión 40 + 15 = 55 alumnos.
EJEMPLO 2 En el laboratorio productor de crías de trucha se requiere colocar canales rectangulares de plástico para el aporte de agua de río a los tanques principales de producción de juveniles. Se tiene una lámina larga, rectangular de PVC, de 12 pulgadas de ancho. Se doblan dos orillas hacia arriba para que queden perpendiculares al fondo. ¿Cuántas pulgadas deben quedar hacia arriba para que el canalón tenga capacidad máxima?
Solución En la figura se ve el canalón. Si x representa el número de pulgadas verticales, en cada lado, el ancho de la base del canalón es 12 - 2x pulgadas. La capacidad será mayor cuando el área de la sección transversal del rectángulo cuyos lados son x y 12 - 2x, tenga su valor máximo. Si f(x) representa esta área, se obtiene que: f(x) x 12 2x f(x) 12x 2x 2 f(x) 2x 2 12x
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Como f es función cuadrática, el valor máximo de f se obtiene en
b 12 3h 3 2a 2( 2) Por lo tanto, se deben doblar hacia arriba 3 pulgadas de cada lado para alcanzar la capacidad máxima. Otra posibilidad para la solución es que la gráfica de la función f(x) = x(12 - 2x) tiene abscisas en el origen x = 0 y x = 6. Por lo tanto, el promedio de ellas, x
06 3 2 es la abscisa del vértice de la parábola, y el valor que produce la capacidad máxima. x
… PARA LA CLASE 09. Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base x. A. A(x) x2 10x
B. A(x) 10x x2
C. A(x) x2 10
D. A(x) 10 x2
10. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función? A. (10; 0) B. (0; 8) C. (0; 10) D. (0; 8) 11. Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por
G(x) 2x2 60x 1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima. A. 15 B. 1 500 C. 1 650 E.1 950 12. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en determinada empresa está dada por:
x2 40x , 10 donde x representa el número de U(x)
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maletas y U(x) está dada en soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas. A. S/.1 840 B. S/.1 960 C. S/.2 040 D. S/.2 060 13. En el problema anterior, si se quiere obtener la máxima utilidad posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender? A. 80 B. 100 C. 150 D. 200 14. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula
h(t) 80 64t 16t2 (t en segundos y h en metros). Halla la altura del edificio. A. 60 m B.80 m C. 90 m D. 100 m 15. En el problema anterior, ¿En qué instante alcanza su máxima altura? A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s
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… PARA LA CASA 01. Si el punto P (2; m) pertenece a la función cuadrática f(x) 2x2 5x 1 . Encuentra el valor de m. A. 11 B.13 C. 15 D.17 02.
La función f(x) ax2 bx a b
cumple f(0) = 12 y f(-1) = 14. Calcula f(2) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 03. Halla el máximo valor que puede tomar f(x) x2 10x 21 A. 2 D. 4
C. 3 E. 5
04.
Halla el menor valor entero del
rango de f, f(x) 3x2 5x 2 B.-5
A. -6 C.-4 05.
D. -3 Halla el rango de la función
2 definida por f(x) 4x 16x 17
A. 1;1
B. 1;
C. 1;
D. 1;
06. Si 1 es el mínimo valor de la función f(x) x2 bx 5 , halla el valor de b A.± 4 C. -4; 3 07.
B. -3; 4 E. 4
A.-11 C. 10
B. -10 D. 11
08. Halla a + h, si (h; -5) es el vértice de la parábola representada por la función f(x) ax2 4ax 7 A. -2 C. 1
B.-1 D. 2
09. Si f es una función definida por f(x) ax2 bx cuya gráfica se muestra en la figura. Entonces el valor de M = ab es: A.-8 B. -6 C. 6 D. 8 10. Determina el mayor valor entero de “n”. Si la gráfica de la función:
f(x) x2 nx 1 , es
y
A. -1 B. -2 D. 1 E. 2
x
11. Halla el valor de m ( < 0), de acuerdo a la gráfica de la función
f(x) (4 m)x2 2mx 2 A. -6 B. -4 C.-2 D. 2
Si el máximo valor de la función
f(x) x2 6x m es 20. Halla el valor de m. Profesor: Javier Trigoso T.
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9 12.
¿Qué valores debe tomar a para
que la función f(x) ax (a 3)x 1 2
presente la siguiente gráfica?
A. a 0;1 9; B. a 0;9
C. a ,1
16.
De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden x. Halla el área del octógono que resulta en función de x. A. A(x) 2x2 16 B. A(x) 16 2x2 C. A(x) 2x2 16
D. a ;1 9;
D. A(x) 16 2x2
13.
17. En el problema anterior, ¿cuál es el dominio de esa función? ¿y cuál su recorrido? A. (0;2) y (8;16) B. (0;2) y (0; 16) C. (0;2) y (4; 16) D. (0;4) y (0; 16)
La gráfica de la función 2 f(x) x2 bx c intercepta al eje X 3 en los puntos (-2; 0) y (5; 0) y al eje Y en el punto (0; k). Entonces el valor de b + c + k es: A. 26/5 B. 27/2 C.-46/3 D. 9/4 14. Si la función ganancia de una empresa de ventas está dada por G(x) 2x2 60x 1500 , “x” en soles. Encuentra la ganancia máxima. A. 15 B. 1 500 C. 1 650 E.1 950
15. Un fabricante de muebles puede producir sillas a un costo de S/.10 cada una y estima que, si son vendidas a S/.x cada una, los usuarios comprarán aproximadamente 80 – x sillas cada mes. Expresa la utilidad mensual U del fabricante en función del precio A. U(x) (x 10)(80 x) B. U(x) (x 10)(80 x) C. U(x) 10x(x 80) D. U(x) (x 10)(x 80)
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18. En un triángulo cuya base mide 10u y su altura mide 6u se encuentra inscrito un rectángulo cuya base está sobre la del triángulo. Si el área A de la región rectangular se expresa como una función de su base x, halla el máximo valor de dicha función. A. 21 B. 18 C. 15 D. 14 19. La diferencia de dos números es 22. Determina dichos números de tal modo que su producto sea mínimo. A. 11 y 11 B. -11 y 11 C. 0 y 22 D. -10 y 12 20. Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 menos. ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? Matemática 1
10 A. 4 500€ C. 4 005€
B. 4 050€ D. 40 500€
21. En el problema anterior, ¿Qué subida produce ingresos máximos? A. 2€ B. 3€ C. 4€ D. 5€ 22.
Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G(x) = 2000 + 25x, en euros, y los ingresos mensuales son I(x) = 60x – 0,01x2, también en euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? A. 62 B. 65 C. 620 D. 625 23. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20$ por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,5$. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa? A. 5 B. 35 C. 40 D.45
24. Para un partido de futbol, se sabe que a S/.15 la entrada asistirían 25 000 personas. Pero si cada entrada se vende por un monto entre S/.15 y S/.40, por experiencias anteriores, se sabe que la asistencia disminuye en 500 personas por cada sol que se aumente al valor de la entrada. Halla la función T que proporciona el ingreso de la taquilla. A. T(x) 400 000 15000x 500x2 B. T(x) 375000 17 500x 500x2 C. T(x) 35000 17 000x 100x2 D. T(x) 25000 50 000x 100x2 25. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período fue de f(p) , 1 2 donde: f(p) p 2p 20 ; 50 0 ≤ p ≤ 100. Encuentra el máximo peso ganado. A. 19 gr B.20 gr C.21 gr D. 22 gr
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