Función Lineal by Javier Trigoso

INTRODUCCIÓN Las funciones cuyas gráficas son rectas se llaman funciones lineales. Funciones del tipo y = mx Pedro ha acompañado a su padre al supermercado y ha visto que 1 kilogramo de azúcar cuesta 2 soles. Las magnitudes "número de kilogramos" y "precio" son directamente proporcionales. Si llamamos x al número de kilogramos e y al precio en soles, la relación y = 2x es la ecuación asociada a la proporcionalidad anterior.

Tabla de valores Kilogramos

Precio (S/.)

1 2 3 4

2 4 6 8

Gráfica

Las gráficas de las funciones de la forma y = mx son rectas que pasan por el origen de coordenadas. Funciones del tipo y = mx + b En Perú la temperatura se mide en grados Centígrados (ºC), mientras que en Estados Unidos se utiliza la escala Fahrenheit (ºF). La fórmula que permite obtener la temperatura en ºF conociendo la temperatura en ºC es y = 1,8x + 32, donde x es la temperatura en grados Centígrados e y la temperatura en grados Fahrenheit.

Tabla de valores Centígrados (°C)

Fahrenheit (ºF)

0 1 2 3

32 33,8 35,6 37,4

Gráfica

Las gráficas de las funciones de la forma y = mx + b son rectas que no pasan por el origen de coordenadas.

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2 Pendiente y ordenada en el origen Tanto en las funciones de la forma y = mx como en las funciones de la forma y = mx + b, el valor de m (es decir, del coeficiente de la x) recibe el nombre de pendiente. La pendiente mide la inclinación de la recta con respecto al eje de abcisas. Así, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada está la recta. En las funciones de la forma y = mx + b, el valor de b recibe el nombre de ordenada en el origen, b es la ordenada del punto en el que la recta y = mx + b corta al eje OY, es decir, aquel que tiene por abcisa x = 0.

Observa estos ejemplos:

Ecuación

y = 2x - 2

y = -3x + 1

Tabla

-2 -1 0 1 2

-6 -4 -2 0 2

X -2 -1 0 1 2

Y 7 4 1 -2 -5

Gráfica

Pendiente

Ordenada en el origen

m = 2

b = -2

m = -3

b = 1

En el primer ejemplo, la recta es creciente. Observa que a medida que aumentan los valores de x aumentan también los valores de y, es decir, a medida que se

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3 avanza en la horizontal se produce un aumento de la vertical, siendo entonces la pendiente positiva. Por el contrario, en el último ejemplo, la recta es decreciente. En este caso, a medida que aumentan los valores de x disminuyen los valores de y, es decir, a medida que se avanza en la horizontal se produce una disminución de la vertical, siendo entonces la pendiente negativa. Si la pendiente de una recta es positiva, la función es creciente. Si la pendiente de una recta es negativa, la función es decreciente.

Rectas paralelas y secantes A las 10:30 de la mañana salió de Lima un ave con destino al Callao a 300 km/h; a las 11 sale otra ave con el mismo destino y velocidad. ¿Cómo son las gráficas que representan el espacio recorrido por cada ave desde las 11 de la mañana? Formamos las tablas de valores y representamos gráficamente los datos:

Tiempo en horas 11 12 13

Espacio recorrido por el ave de las 11:00 en km 0 300 600

Tiempo en horas

Espacio recorrido por el ave de las 10:30 en km

11 12 13

150 450 750

Ambas rectas son paralelas. ¿Tendrán sus expresiones algebraicas algo en común? Las expresiones del espacio recorrido en función del tiempo son: y = 300 x ave de las 11 h → → y = 300 x + 150 ave de las 10:30 h Las dos rectas tienen el mismo coeficiente de la x, es decir, la misma pendiente.

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4 A las 9 de la mañana salió un tren de cercanías a 100 km/h. ¿Cómo será su gráfica si la comparamos con la del ave de las 11? Hacemos una tabla de valores y representamos gráficamente los datos: Tiempo en horas

Espacio recorrido por el tren de las 9:00 en km

11 12 13

200 300 600

Ambas rectas son secantes, pues a las 12 de la mañana ambos trenes han recorrido la misma distancia, 300 km. Las expresiones algebraicas de la espacio recorrido en función del tiempo son: ave de las 11 h → y = 300 x Tren de cercanías → y = 100 x + 200 Las rectas tienen distinto coeficiente de la x, es decir, distinta pendiente.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas.

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… PARA LA CLASE 01. La gráfica de la función lineal f(x) = 3x + 5 no pasa por él: A. III cuadrante B. IV cuadrante C. II cuadrante D. I cuadrante 02. Si f(x) = mx + b es una función lineal tal que f(0) = 7 y f(1) = 11, halla m – b. A.-3 B. -2 C. 0 D. 3 03. Sea la función lineal f(x) = mx + b cuyos pares ordenados son: (5; 12) y (2; 3). Halla f(-1) A. -9 B. -6 C. -3 D. 0 04. Si f es una función lineal tal que f(2) = 2f(1) + 2 si además f(5) = 3f(-1) + 5, halla f(8) A. -4 B.-1 C. 3 D. 5 05. Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje Y, 5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1). A.0 B. 10 C.15 D. 18 06. Si f es una función lineal que pasa por los puntos (1; -2), (-1; 8) y (3; a). Señala el valor de “a” A.-12 B. -9 C. 9 D. 12

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07. Halla el área de la región limitada por la recta 2x - y = 12 y los ejes de coordenadas cartesianas. A. 12 u2 B. 18 u2 C. 24 u2 D.36 u2 08. Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la pendiente y la ordenada en el origen. A. 3/2; -4 B.-3/2; 4 C. 2/3; -4 D. -2/3; 4 09. Halla el área de la región triangular limitada por las funciones: f(x) = -x + 11; g(x) = x - 3 y el eje de ordenadas. A. 28 u2 B. 32 u2 2 C. 40 u D.49 u2 10. Dada la siguiente gráfica de una función f, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La pendiente es negativa. II. Si f(x) = mx + b, entonces b = 3 III. f(0) = 4 A. Solo I B. Solo II C. I y II D. Todas

EL MODELO MATEMÁTICO Y LAS FUNCIONES Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de la Matemática, de una situación del mundo real en la que se involucren magnitudes, como por ejemplo: el crecimiento de la población en función del tiempo, el costo de los arbitrios municipales en función del costo real del inmueble, el costo del agua en función del volumen consumido, la subida de peso en función de las calorías consumidas al día, la talla de las personas en función de la edad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente la situación real y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. A través del modelo matemático de una situación real se pueden obtener relaciones funcionales expresadas en forma algebraica, con la posibilidad de generalizar lo observado en otras situaciones similares. EJEMPLO 1 Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de $10 por todas las pólizas más 1,5 dólares por cada mil dólares del importe de la póliza. Por ejemplo, una póliza de 20 000 dólares costará $10 por el cargo fijo más $30, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. Si p es la prima anual en dólares y x denota el valor nominal de la póliza (expresado en miles de dólares), determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales. Determina el importe de la prima anual si la póliza es de 250 000 dólares.

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Solución: Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas. Se cobra 1,5 dólares por cada mil del importe de la póliza. Sea x = el valor nominal de la póliza. El importe de la prima anual de la póliza está en función de x, es decir, en función del valor nominal de la póliza. Entonces denotamos como P(x) Como hay que multiplicar 1,5 por cada mil del importe de la póliza, entonces debemos dividir X entre 1000 y luego multiplicarlo por 1,5. Lo que nos da la siguiente función:  x  P(x)  1.5    10  1000  Esta es la función para determinar el importe de la prima anual de la póliza. Ahora determinemos el valor de la prima anual cuando la póliza es de 250 000 dólares.

7  250000  P(250000)  1.5    10  1000  P(250000)  1.5 250   10 P(250000)  375  10 P(250000)  385

El valor anual de la prima de una póliza de 250 000 dólares será de 385 dólares. EJEMPLO 2 El departamento de policía de una pequeña ciudad estudia la compra de un carro de patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro, completamente equipado, es de 18 000 dólares. Han estimado un costo promedio de operaciones de 0,40 dólares por kilómetro. a) Determina la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra. b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 kilómetros en su vida útil. c) Si recorre 100 000 kilómetros. Solución: a) Determina la función matemática que represente el costo total de la obtención y operación del carro

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patrulla, en términos del número de millas x que recorra. Como lo que queremos determinar es una función en x, primero definimos quien es x. x = es el total de millas recorridas. Entonces la función del costo la denotaremos con la letra C y estará en función de x, es decir, el costo estará en función del total de kilómetros recorridos. C(x) Y como el costo promedio por kilómetro es de 0.40, entonces tenemos: C(x) = 0.40x Y ahora debemos agregarle el total del costo del carro, que son 18, 000 dólares. Por lo cual la función nos queda: C(x) = 0.40x + 18000 b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 kilómetros en su vida útil. Pues tendremos que evaluar C(50 000) = 0.40(50 000) + 18 000 C(50 000) = 20 000 + 18 0000 C(50 000) = 38 000 El costo proyectado del carro si recorre 50 000 kilómetros será de 38 000 dólares. c) Si recorre 100 000 millas. C(100 000) = 0.40(100 000) + 18 000 C(100 000) = 40 000 + 18 0000 C(100 000) = 58 000

8 El costo proyectado por el carro cuando recorra 100 000 kilómetros

será de 58 000 dólares.

… PARA LA CLASE

11. El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 140 km pagamos 17 €, y si recorre 360 km, cuesta 39 €. Escribe la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x, con el precio del billete, y. A.y = 0,1x + 3 B. y = 0,3x + 1 C. y = 0,1x – 3 D. y = 0,3x – 1 12. Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $2 000 aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que a los 15 años valdrá $2 300. Escribe la fórmula que expresa el valor V de la pulsera en función del tiempo y determinar al cabo de cuánto tiempo se duplicará el valor inicial de la pulsera. A. V(t) = 20t B. V(t) = t + 2 000 C.V(t) = 20t + 2 000 D. V(t) = 20t + 2 300

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13. Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0,30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. A. y = 0,3x - 100 B.y = 0,3x + 100 C. y = 100x + 0,3 D. y = 100x - 0,3 14. Durante 48 días se realizó un experimento con pollitos. Se determinó que durante ese lapso, el peso promedio es una función lineal del número de días transcurridos. Sabiendo que el peso promedio al inicio del experimento fue de 45 gramos y que 26 días después fue de 227 gramos. Determina la fórmula de dicha función lineal. A. P(t) = 7t - 45 B.V(t) = 7t + 45 C. V(t) = 45t + 7 D. V(t) = 45t – 7 15. En el problema anterior, ¿cuál es el peso promedio de los pollitos a los 35 días? A. 250 g B. 270 g C. 275 g D.290 g

… PARA LA CASA 01. La gráfica de la función de lineal f(x) = -x + 5 no pasa por el: A. I cuadrante B. II cuadrante C. III cuadrante D. IV cuadrante 02. A.

x 1 2 x C. y   2 2 x D. y   1 2

07. Encuentra la pendiente de la función lineal f(x), si se sabe que: f(2) = 7 y f(-3) = -8 A.-3 B. -1 C. 1 D. 3

B. y 

Graficar: f(x) = 5x + 1 B. y y

06. Encuentra la ecuación de la recta que se muestra en la figura: x A. y   2 2

03. Encuentra el área de la región triangular limitada por la función f(x) = 2x – 8 y los ejes de coordenadas cartesianas. A. 4 u2 B. 8 u2 C. 12 u2 D.16 u2 04. Si f es una función lineal de pendiente 8 e intercepto con el eje Y, 5. Halla el valor de f(-1) + f(0) + f(1). A.0 B. 10 C. 15 D. 18 05. Si f es una función lineal tal que f(1) = 17 y f(–1) = –5. Halla la pendiente de dicha función. A. 5 B. 6 C. 11 D. 12

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08. Sea la función lineal f(x) cuyos pares ordenados son: (5; 12) y (2; 3). Halla f(-1) A. -9 B.-6 C. -3 D. 0 09. Halla la función lineal f(x), tal que f(0) + f(1) = 0 y f(-1) = 3. A.-2x + 1 B. -x + 1 C. x + 1 D. 2x + 1 10. Halla la función lineal que pasa por los puntos (-1; 3) y (2; 0) A. -2x + 2 B.-x + 2 C. x + 2 D. 2x + 2 11. Sea f una función lineal afín de pendiente -3 que pasa por el punto (4;-1). Determina f(-2).f(0) A. 11 B. 17 C. 187 D. 178

10 12. Si 3x + 2y – 8 = 0, representa una función lineal. Halla la pendiente y la ordenada en el origen. A. 3/2; -4 B.-3/2; 4 C. 2/3; -4 D. -2/3; 4 13. Sean f y g dos funciones lineales afines, tales que f(x) = ax + 3 y g(x) = bx + a. Si f(2) = 13 y g(1) = 8 Encuentra el punto de intersección de ambas rectas. A. (-1; 8) B.(1; 8) C. (1; -8) D. (8; 1) 14. Si f(x) es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5; g(4)), siendo g(x) = 2x + 2. Halla el punto de intersección de f(x) y g(x) A. (3; 5) B. (7; 16) C. (8; 10) D. (9; 15) 15. Si f(x) = mx + b es una función para la cual se cumple: I. f(3) – f(1) = 1 II. Su gráfica pasa por el punto (2; -1) Halla m + b A. -1 B.-1/2 C. -3/2 D. 2

16. Halla el área de la región limitada por las rectas x + y = 11; x – y = 3 y el eje de ordenadas. A. 25 u2 B. 30 u2 C. 35 u2 D.40 u2 17. Encuentra una función lineal f(x) tal que f(1) = 0 y además f(f(4)) = 4 4 4 4 4 A. f(x)  x  B. f(x)  x  3 3 3 3

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C. f(x) 

4 x 1 3

D. f(x) 

4 x 1 3

18. La función lineal f(x) = mx + b, corta a los ejes coordenados formando en el segundo cuadrante un triángulo de área 3u2. Si f(3) = 4, calcula el valor de m - b A. -4/3 B. -3/2 C. 3/2 D. 4/3 19. La factura de energía eléctrica de una familia ha sido en el mes de noviembre S/.95 por 375 kW h de consumo, y en enero S/.130,4 por 552 kW h. Si el pago depende linealmente de la cantidad de energía consumida, ¿cuánto tendrá que pagar si consumen 420 kW h? A. S/.100 B.S/.104 C. S/.114 D. S/.140

20. En una heladería, A, venden el helado a S/.5 el litro y cobran S/. 1 por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería, B, cobran S/. 0,5 por un envase y S/. 6 por ca da litro de helado. Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa si compramos más de medio litro de helado. A. Heladería A B. Heladería B C. Cualquiera de las dos D. Ninguna

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11 21. En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de 1 000 €. B: Sueldo fijo mensual de 800 € más el 20% de las ventas que haga. ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? A. 500 € B. 750 € C.1 000 € D. 1 250 € 22. El precio del pasaje en una empresa de transporte depende linealmente de los kilómetros recorridos. Por 57 km he pagado 32 soles, y por 168 km, 87,5 soles. Calcula el precio del pasaje para una distancia de 100 km. A. S/.28,50 B. S/.34,50 C. S/.43, 50 D.S/.53,50 23. La dosis en miligramos (mg) de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40 mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcula la función que da la dosis de medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg? A. 167,5 mg B. 162,5 mg C. 157,5 mg D.152,5 mg

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24. Un auto comprado hoy en $8 000 disminuye su valor lineal mente a lo largo del tiempo transcurrido a partir de su compra. Si al cabo de 2 años de su uso su precio será de $6 500. ¿A cuánto podrá venderlo luego de 5 años de uso? A. $ 4 750 B.$ 4 250 C. $ 4 150 D. $ 4 050

25. A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 km es 10°C, expresa la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en kilómetros). (suponga que la relación entre T y h es lineal) A. T(h) = -10h B. T(h) = 10h - 20 C.T(h) = -10h + 20 D. T(h) = -10h - 20 26. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que s u crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2,5 cm. Establece una función lineal que dé la altura de la planta en función del tiempo. A.y = 0,5x + 2 B. y = 0,5x – 2 C. y = 2x + 0,5 D. y = 2x - 0,5

Matemática 1

12 27. Esta tabla muestra lo que cuesta imprimir una hoja publicitaria en una imprenta: N° de ejemplares Costo ($)

A. 11,5 C.12,5

100

200

500

2,25

4,5

Halla la expresión analítica de la función número de ejemplarescosto. A. y = 0,15x + 1,5 B.y = 0,015x + 1,5 C. y = 15x + 0,015 D. y = 1,5x + 0,15 28. Algunos científicos opinan que la temperatura superficial promedio del mundo está aumentando en forma constante. La temperatura superficial promedio se expresa mediante: T  0, 02t  8,50 Donde T es la temperatura en °C y t es años desde 1 900. Utiliza la fórmula para predecir la temperatura promedio superficial del mundo en 2 100.

B.12 D.13

29. La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit (°F) y en grados Celsius (°C) está dada por la función lineal TF = a.TC + b. La temperatura de solidificación del agua es TF = 32° y TC = 0°. Su temperatura de ebullición es TF = 212° y TC = 100°. ¿Cuántos grados Fahrenheit equivalen a 20°C? A. 28°F B. 48°F C.68°F D. 58°F 30. El consumo de gas domiciliario tenía en el año 2 008 la siguiente tarifa bimestral: cargo fijo $7,30 y $0,12 por metro cúbico consumido. En el año 2 009 hubo un incremento del 30% en el cargo fijo y de un 25% en el costo por metro cúbico. Determina cuanto debe abonar una familia que en el tercer bimestre del 2 009 consumió 112 metros cúbicos. A. $9,49 B. 16,8 C.$26,29 D. $35,78

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