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¿Qué es una función?
Así como los números surgen de la necesidad de contar, las funciones surgen a partir de la observación de la relación existente entre cantidades que varían, una en dependencia de otras. Cuando realizamos mediciones de magnitudes físicas observamos que existen muchas situaciones en las que una cantidad depende de otra. Por ejemplo: la estatura de una persona depende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo, de su peso. Todos estos son ejemplos de funciones, decimos que la estatura es una función de la edad y que el costo de enviar un paquete por correo es una función de la masa del paquete.
Profesor: Javier Trigoso T.
El término “función” es utilizado en obras de matemáticos como Leibnitz (en sus trabajos durante los años 1673 a 1694) y Leonhard Euler en Introductio in Analysin Infinitorum. Ambos coincidían en definirla como: “Una función de cantidad variable es una expresión analítica en general compuesta por esa cantidad variable y por algunos números o cantidades constantes”.
Estatura (en metros)
Las funciones numéricas proporcionan una manera de cuantificar y descubrir la dependencia entre variables y también un modelo para el estudio del comportamiento de la situación analizada. Una función, que resulte de la modelación de un hecho, posibilita hacer previsiones y tomar las precauciones necesarias cuando la magnitud que se estudia se acerca a valores que se consideran críticos. Es por eso que resulta muy importante hacer un análisis de las características globales de la función: dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace, dónde toma valores extremos, qué valor toma en cada punto, etc.
Importante
1,8 1,5 1,2 0,9 0,6 0
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10 15 20 25 Edad (en años)
La estatura es una función de la edad
Costo (en S/.)
Una función es, en matemáticas, el término usado para indicar la relación de correspondencia o dependencia entre dos o más cantidades. Como dependencia, se entiende la conexión entre las características de las cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto en las otras. Este es un elemento muy importante en la noción de función.
50 40 30 20 10 0
50 100 150 200 250 Masa (en g)
El costo es una función de la masa
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2 Aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad, sí existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su masa (de hecho, ésta es la que utiliza la oficina de correos).
Definición de términos básicos Es importante que definamos de manera precisa cada uno de los siguientes términos:
Interesante
• Relación: es la correspondencia entre dos conjuntos, de modo que a cada miembro del conjunto de partida le correspondan uno o más miembros del conjunto de llegada. • Función: dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama función de A en B a aquel conjunto de pares ordenados (x; y) tales que a cada elemento x є A le debe corresponder un único elemento y є B.
El matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de “variable’’ y “función’’, al realizar una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.
En términos formales: Si (x; y) f (x; z) f y z
• Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes, está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. • Rango: llamado también conjunto de imágenes, está formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
• Variable independiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del dominio. • Variable dependiente: se refiere a la variable que representa a los posibles valores del rango.
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Notación de una función Si f es una función definida en A con valores en B, que a cualquier x A pone en correspondencia un y B cualquiera, se simboliza por: f: A x
B y f(x)
Donde la ecuación y = f(x) se denomina REGLA DE CORRESPONDENCIA entre x e y, además: A: Conjunto de partida B: Conjunto de llegada x: pre-imagen de y o variable independiente y: imagen de x o variable dependiente:
Evaluación de una función Dada la función f : A
B / y f(x)
Evaluar la función f significa obtener el valor de y mediante su regla de correspondencia, luego de asignarle un cierto valor a x. Por ejemplo, para x = a, el valor de la función llamado también IMAGEN, que le corresponde será f(a), con lo cual se dice que el par (a; f(a)) pertenece a la función f. En la definición de función la variable independiente x desempeña el papel de “marcador de posición”. Por ejemplo la función f(x) 3x2 2x 5 se puede considerar como: f(....) 3(....)2 2(....) 5
Es útil considerar una función como una máquina (ver figura). Así cuando se introduce x en la máquina, es aceptada como una entrada y la máquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función.
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… PARA LA CLASE 01.
Halla a - b, si F es una función
4 ;a 3, 4 ;5 a , a ;b, b;a
F A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
02. Halla la suma de los elementos del dominio de la siguiente función: F 6 ; 25, m ; 4, 5 ; 8, 6 ; m2
A. -15 C. -6 03.
B. -10 D. 4 Dada la siguiente función
f 2;5 , 1; 3 , 2;2a b , 1;b a ,
a b ;a
Halla la suma de los valores del rango A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Dada la función
F 3a ;5 , 11;b , c;10 con regla de
correspondencia F(x) = x – 2a. Halla M = a + b + c A. 5 B. 16 D. 19 E. 26 05.
F
x ; x 0 Dada la función f(x) x ; x 0 Señala el valor de: 07.
E f(2) f(3) f(8 f(7))
A. 4 C. 7
B. 6 D. 8
08.
Dadas las funciones: f(x) ax 3
y g(x) bx a . Si f(2) = g(1) = 13
2
04.
f(1)
f(3) f(4) Hallar E f(5) A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
Dadas las funciones
a ; 19, 1;b y G(x) = 7x – 3. Si
sabemos que G(h) = F(h) + 2 para todo valor de h. Halla a + b A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 06. Dada la función f (1,2) ;(3, 6) ;(4,8) ;(5, 7)
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Halla ab. A. 5 C. 13
B. 8 D. 40
09. Sean dos funciones reales tales que f(x) mx 1 y g(x) 4x b , si además f(3) = g(-2) y f(-2) = g(3). Halla P f(2) g(3) A. -4 C.-2
B. -3 D. -1
10. Si f(x) es una función definida por f(x) ax2 bx c , tal que: f(0) = 3, f(1) = 8 y f(–1) = 2. A3 C.5 11.
Calcular f(–2). B. 4 D. 6
La función f(x) ax2 bx a b
tiene valores: f(0) = 12 y f(–1) = 14. Calcular f(2) A. 30 B. 40 C.50 D. 60
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… PARA LA CASA 01.
Halla a/b, si f es una función
f 2;a 1 , 2;b 2 , 5;2a b , 5;a 2
A. -1/2 C. 3/5 02.
B. -1/5 D. -5/2
El conjunto
08.
por:
F
B. -6 D. 9
05.
f
B. 8 D. 14 Dada la siguiente función
4 ;k , 2;5k , 7 ;2k 1, 4 ;2k 1 2
Halla el valor de k A. 1 C. 3
f 1;5 , a ;6 , 3;a2 , 3;2a 3
A. 8 D. 12
B. 9 E. 13
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Dado el conjunto A 1; 2;3;4 ,
F 1;k , 2;5 , 1;3 , p;k , 3;5
y
G(x) = kx + 2p. Halla la suma de todos los elementos del rango de G A. 46 B. 48 C. 60 D. 62 10.
Si el conjunto de pares ordenados: a2 b2 c2 f 1;a , 2; , 3;a b , bc ac ab
3; c
B. 2 D. 4
06. Halla la suma de los elementos del rango de la siguiente función:
se definen las funciones F y G con dominio en A, tales que:
f 2;4 , 3;x y , 5;6 , 3;8 , 2;x y
A. 6 C. 12
por: f 2;a , b;2 y g(x) = 3x +
09.
04. Calcula xy para que el conjunto de pares ordenados sea una función:
B. 13 D. 32
1. Si se sabe que f(x) + 2 = g(x), halla el valor de a + b A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2;5 ;3;a ; 2;a b ; 3;4 ; b;5
A.-9 C. 6
Sean f y g dos funciones definidas
en
Halla a – b , siendo la función F 2
1;a b
f 1;mm , 2; mm , 1;4 , m;3b a ,
A. 8 C. 18
es una función. Halla: a2 b2 A. 25 B. 29 C. 34 D. 36
definida en
Dada la función
Calcula el valor de P am bm
f 2;3 , 5;a b , 2;a b , 5;7
03.
07.
representa una función, calcula el valor de f (2) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.
Si f(x) ax b ; a < 0; f(0) = 2;
f(f(1)) = 5. Halla f(-2) Matemática 1
6 A. -8 D. 2
B. -2 D. 8
Si (2; 17) pertenece a la función f y además f(3) = g(-1). Halla el valor de a - b + c. A. -30 B.-29 C. -28 D.-27
12. Si f(x + 1) = mx - 2 y además f(1) + f(2) - f(-1) = 7. Halla f(5) A. 6 B. 8 C.10 D. 12 13.
18. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) 2x 5 y g(x) 3x a Si
g f(x) f g(x) , ¿cuál es el valor de a?
Señala el valor de:
E f(3) f(2) f(f(0)) , si:
A.-10 C. -8
2x 3 ; x 1 f(x) 4x 3 ; x 1 A. 5 B. 7 C. 9 D. 18
19.
15.
Halla « a », si f(a) g( 8) A.-3 D. 2
B.63 D. 68 Dadas las funciones f(x) 3x 2
y g(x) x2 2x 4 . Halla « a », si f(a 1) g(a) 3 A. -4 C.-2 16.
Si f(x) ax2 b .
Además f(f(x)) 8x4 24x2 c Halla el valor de: E = a + b + c A. 24 B.26 C. 28 D. 29
Dada una función f(x) mx b
definida mediante la siguiente tabla: X 1 2 3 f(x) 8 11 14 Halla f(-4) A.-9 B. -7 C. -5 D. -3
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B. -2 E. 3
20. Sean f y g dos funciones definidas por: f(x) = 3x + b y g(x) = x - 1. Si (2, y) pertenece a ambas funciones; calcula f (-2) A. -11 B. -5 C. 5 D. 11 21.
B. -3 D. -1
17. Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) ax2 5 ; g(x) bx c
Sabiendo que f(x) x2 2x 2 y
g(x) 2x 33 3 x 3x 1 .
2x 5 ; x 2 14. Si F(x) x 1 ; 2 x 5 2 3 x x ; x 5 Calcula: P F(5) F(3) F(8) A. 58 C. 65
B.- 9 D.-7
22. Sea f una función definida en R con regla de correspondencia f(x) = x. Si f(a - b) = 5 y además f(a + b) = 3; entonces el valor de f(a2 b2 ) es: A. 15 C. 17
B. 16 D. 18
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