1
INTERVALOS Los intervalos son sub – conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
Clases de intervalos Intervalo Abierto: a<x<b x a, b ó x ]a, b[
–
a
b
+
a
b
+
Intervalo Cerrado: axb Para representar intervalos, se usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b[ . La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.
x [a, b]
–
Intervalo Semi – abierto o Semi – cerrado: Por la izquierda: a<xb x a, b] ó x ]a, b] Por la derecha: ax<b x [a, b ó x [a, b[
– 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
–
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Intervalos al infinito x<a x ]–, a[ xa x [a, +[
Profesor: Javier Trigoso T.
a
b
+
a
b
+
b a b d c a d d e b
b a b d c a d d e b
a
– 21. 22. 23. 24. 25. 26. – 27. 31. 28. 32. 29. 33. 30. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
b a b d c a d b d a e b b d c a d d e b
a
+
+
Matemática 1
2
INECUACIONES Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.
INECUACIONES DE 1° GRADO Para resolver una inecuación lineal o de primer grado debemos usar las propiedades de las desigualdades además de tener en cuenta los siguientes casos: Caso 1 Resolver:
4
– 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.
b a b d c a d d e b
–
+
–3x 15 3x –15 x –5
–5 b a b d c a d d e b
–6x < –18 6x > 18
3
– 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
b a b d c a d d e b
+
x 3;
SISTEMAS DE INECUACIONES
x 4;
Caso 2 Resolver:
51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
2x > 8 x>4
Caso 3 Resolver:
x ; 5
Profesor: Javier Trigoso T.
La solución de un sistema de inecuaciones supone la solución de cada una de las inecuaciones dadas, siendo el conjunto solución, la intersección de todas las soluciones obtenidas. Ejemplo:
2x 1 x 2 Resolver: 3x 4 2x 9 +
2x 1 x 2 x 3 3x 4 2x 9 x 5
–
71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.
3 b a b d c a d d e b
5
+
x 3;5 Matemática 1
3
… PARA LA CLASE 01. Resolver: 2 2x 1 3 3x – 4 – 6 4 – 3x – 3 A. x –11, + C. x [–11, + 02.
Resolver :
A. x , C. x
36 5
36 , 5
B. x –, 11 D. x [–, 11
2x 6 x 5 3 4 B. x –1, 1 D. x 1,
36 5
03. Resolver: x 1 x 3 – x 8 x – 6 6 x 7 1 A. x ; 2
B. x 2;
C. x 2;
D. x ;2
04.
Resolver:
A. x ;3 C. x 3;
2x 5x 7x 77 3 6 12 B. x ; 3 D. x 3;
05. Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación: 2x 1 3x 2 2x 1 2 5 6 2 3 A. -17 B. -18 C. -16 D. -15 06. Halla el menor valor entero de x que satisface a la siguiente desigualdad: 2x 5 x 3 3x 7 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Profesor: Javier Trigoso T.
07.
Resolver: 2x 6 3x 12 5x 15 4x 28 A. x , 7 B. x 7, C. x , 7
D. x 7,
08. La suma de los enteros que verifican simultáneamente las inecuaciones: 4x 5 x 3 7 , es: 3x 8 2x 5 4 A. -36 B. -25 C. -21 D. -18 09.
Resuelve para valores enteros: 5x 3y 2 2x y 11 y 3
A. x = 3; y = 2 C. x = 4; y = 6
B. x = 4; y = 2 D. x = 3; y = 4
10. El valor entero de x que satisface al siguiente sistema de inecuaciones es: x y 76 x y 10 x 2y 112 A. 35 C. 43
B. 42 D. 44
Matemática 1
4 11.
A. 2 C. 16
Sí J, R, T
14. Si al doble de un número entero se le disminuye 5, no resulta más que 28 y si al triple del número se le aumenta 7, no resulta menos que 53. Halla el número y da como respuesta la suma de sus cifras. A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
. halla R.T en:
J R T 8 J R T 4 T R 1 R4 B. 15 D. 21
12. Halla un número tal que su quíntuplo, aumentado en 8 es mayor que 213, y su triplo disminuido en 1 es menor que 128. A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 13. Si se duplica la edad de Carlos, esta resulta menor que 84. Pero si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
15. Javier tenía cierto número de cigarrillos. Triplicó esta cantidad, luego vendió 100 y le quedaron menos de 82. Luego, le regalaron 13 y posteriormente vendió la tercera parte de los que tenía, quedándose con más de 60. ¿Cuántos cigarrillos tenía inicialmente? A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
… PARA LA CASA 01.
Resolver: 2 1 – x +3 2 – 5x – 9
A. x ; 1
B. x ;1
C. x 1;
D. x 1;
02.
Resolver:
x – 2 x – 3 x – 5 x
03.
B. x 5;
C. x ;5
D. x 5;
Profesor: Javier Trigoso T.
4x – 3 3x – 2 2
A. x –5, + C. x [–5, +
7 2 x – 3
A. x ; 5
Resolver :
2
04.
Resolver:
2
x 7x – 13
B. x –3, + D. x [–3, + 11 x 1 4
A. x ;3
13 2 B. x ; 3
C. x 3;
D. x 3;
Matemática 1
5 05.
Halla el menor valor entero de 2x 5 "x" en : 7 2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 06.
Halla el mayor valor entero de 2x 3 5 x "x" en : 5 2 A. -20 B. -19 C. -18 D. -17 07.
Resolver: x 2 5(x 7) 7 x 3 4 2 A. x –11, + B. x –, 11 C. x [–11, + D. x [–, 11 08.
Resolver: x 3 3 2x x 8 2 5 10 30 A. x ;59 B. x 59; C. x ; 59
D. x 59;
09. Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación: 2x 1 3x 2 2x 1 2 5 6 2 3 A. -18 B. -16 C. 16 D. 18 10.
11. Halla el valor entero de « x » que satisface el siguiente sistema: x 2........(1) x 11.........(2) x 5..........(3) x 15.........(4) x 9..........(5) x 15.......(6) x 20........(7) A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 12. Halla la suma de los valores enteros de « x » que satisfacen al siguiente sistema de inecuaciones: 5x 1 0...........(1) 3x 11 0...........(2) 7x 23 0.........(3) 24x 5 0..........(4) 2x 15 0.........(5) 8x 3 0............(6) 6x 1 0...........(7) 8x 53 0..........(8)
A. 1 C. 6
B. 3 D. 10
13. ¿Cuántos números naturales satisfacen el sistema de inecuaciones? 12 6x 6 3x 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 14.
Resolver : 2x + 1 3x + 4 < 6x + 8 A. x 1, + B. x [3, 5 4 C. x 3, + D. x , 3 15.
Resolver:
5 3 1 12x 18 10 20x 22 99x 7 6 5 11
A. x ;2
B. x 2;
C. x 2;
D. x 2;
Profesor: Javier Trigoso T.
Resuelve: 5 7x 4 2x x 1 3 5 2 y señala el mayor valor entero que puede tomar “x” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Matemática 1
6 16. Señala el mayor valor entero que satisface: 13x 5 1 8 5x 4x 3 2 6 A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 17. Señala el menor valor entero que se obtiene al resolver: 2x 3 3x 1 1 2x 3 2 4 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 Resolver: 2x 2 5 2x 1 5 3 x 2 2x 3 3 3 4 4 A. x ;84 B. x 84;
C. 3
21. ¿Cuántos números reales satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones? 2x 1 x 3 2 3 6x 1 x 14 2 5 A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 22.
18.
C. x 84;
D. x 84;
19. La suma de los valores enteros de x que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones: 13x 5 3x 8 2x 7 1 2 5 3 , es: 3x 1 1 x 1 x 5 2 7 A. 5 B. 9 C. 14 D. 20 20. ¿Cuántos números enteros mayores o iguales a -7 satisfacen el siguiente sistema? 7x 5 3x 3 2 x 6 x 2 1 5x 2 5 A. 1
D. 4
Resuelve para valores enteros: 2x 5y 30 x 3y 22 y 8
A. x = 2; y = -7 D. x = -7; y = 2 23.
B. x = -2; y = 7 E. x = -2; y = -7
Resuelve en 5x 3y 2 2x y 11 y 3
Y señala el valor de P x2 y2 A. 1 C. 3 24.
B. 2 D. 4 Resuelve para valores enteros: 2y x 4y 7z x 4 2z
Y da como respuesta « x + y + z » A. 5 B. 6 D. 8 E. 9
B. 2
Profesor: Javier Trigoso T.
Matemática 1
7 25.
Resuelve para valores enteros: x y z 8 x y z 4 zy 0 z5
Y da como respuesta « x + y + z » A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 26. Siendo: x, y, z los valores enteros que satisfacen el sistema: x y z 14 x y z 6 yz z7 Halla y.z A. 5 C. 25
B. 15 D. 30
27. Siendo x, y, z los valores enteros positivos que satisface el siguiente sistema de inecuaciones: 2x 3y 5z 23 2x y 5z 13 y z 1 y4 halla el valor de « x » A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 28. Una compañía arrendadora cobra $ 15 por el alquiler de una sierra eléctrica más $ 2 por hora. Pedro no puede gastar más de $ 35 en cortar algunos troncos de su jardín. ¿Cuántas horas como máximo puede alquilar la silla eléctrica? A. 10 B. 11 C. 12 E. 13
Profesor: Javier Trigoso T.
29. Tengo cierto número de cuadernos. Si regalara los 3/5 de mis cuadernos, me quedarían más de 20, pero si regalara solo la mitad, me quedarían menos de 60. ¿Cuántos valores podría tomar el número de cuadernos que tengo? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 30. Carlitos tiene cierta cantidad de caramelos; se come 5 y le restan más de la tercera parte, luego se compra 10 más, con lo que tiene ahora menos de 14 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía inicialmente? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 31. El dinero de Juan es el triple del dinero del dinero de Pedro, aumentado en 6; además, el quíntuplo del dinero de Pedro, más el cuádruple del dinero de Juan es mayor que 500. ¿Cuánto tiene como mínimo Pedro? (considera una cantidad entera de soles) A. S/.26 B. S/.27 C. S/.28 D. S/.29 32. A una reunión asistieron 200 personas. se sabe que el doble del número de damas no excede al triple del número de caballeros asistentes. Calcula el mayor número de damas que podría haber en dicha reunión. A. 80 B. 120 C. 140 D. 200
Matemática 1
8 33. Carmen tenía cierto número de monedas de S/.1, cuadruplica este número y le presta S/.200 a Luis, quedándole menos de 104 monedas. Después le presta S/.50 a Patty, quedándole más de S/.42. ¿Cuántas monedas tenía Carmen al inicio, sabiendo que era un número impar? A. 71 B. 73 C. 75 D. 77 34. Después de un partido de futbol, un futbolista empezó comiendo un cierto número de naranjas, después compró 3 más, también se las comió, resultando que había comido menos de 10 naranjas. Compró 8 naranjas más y, al comérselas observó que había comido en total, menos del triple de naranjas que comió la primera vez. El
número total de naranjas que comió fue: A. 14 B. 16 D. 17 E. 18 35. Se tiene una fracción cuyo denominador es menor en una unidad que el cuadrado del numerador. Si añadimos 2 unidades al numerador y al denominador, el valor de la fracción será mayor que 1/3. Si del denominador y el numerador se restan 3 unidades, la fracción sigue siendo positiva, pero será menor que 1/10. calcular la suma del numerador y denominador de la fracción original. A. 13 B. 15 C. 17 E. 19
www.issuu.com/sapini/docs/
Profesor: Javier Trigoso T.
Matemática 1