Matrices
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Javier Trigoso T.
1
2
4
1
Matrices Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo: Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres. Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres. Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres.
Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular. La fila indica el almacén y la columna el artículo.
2
Almacén 1
12
1 8
5
Almacén 2
20
18
9
Almacén 3
2
3
15
34
29
29
¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
C
I
E
4
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.
2
Matrices 1. Introducción Una matriz es un arreglo rectangular ordenado de números dispuestos en filas y columnas, encerradas entre corchetes o paréntesis. C1
C2
C3
a11
a12
a13 …… a1n
Fila 0100 2 a1011 a22 0011 0010 1010 1101 0001 21
a23 23 …… a2n
Fila 1
……
Cn
Fila 3
a31
a32
a33 …… a3n
……
……
……
……
…… ……
……
……
……
……
…… ……
Fila m
1
2
4
am1 am2 am3 …… amn
a23 representa al elemento que está en la segunda fila (2) y en la tercera columna (3).
3
Matrices Ejemplos
Estas son las columnas 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Columna 3
Columna 2
Columna 1
Estas son las filas
1
2
Fila 1
4
Fila 2
4
Matrices Ejemplos
tiene 2 filas y 3 columnas 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Es una matriz
2x3
tiene 3 filas y 2 columnas
1
Es una matriz
2
4
3x2
En general, si una matriz tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es mxn (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el número de filas y en segundo lugar el de columnas. 5
Matrices A veces, tenemos que hacer referencia a una entrada especĂfica, para ello existe un "etiquetado" especial. EstĂĄ basado en filas y columnas:
Es la entrada en la fila
y la columna
Ejemplo 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
es la entrada es la entrada es la entrada es la entrada es la entrada
es la entrada
1
2
4
6
Matrices 2. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales.
3 8 3 8 A 2 a ; B 2 7 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 b 6 5 6
1
2
4
Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.
7
Matrices 3. Clases de matrices
Atendiendo a la forma
Matriz fila
Matriz columna
Matriz cuadrada
Matriz rectangular
Tiene una fila y n columnas
Tiene m filas y una columna
Tiene el mismo número de filas y columnas
Tiene distinto número de filas y columnas
Ejemplo:
Ejemplo:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ejemplo: F 1 2 3 4
Matriz de 1x4
Ejemplo: 1 C 2 3
Matriz de 3x1
1 2 A 4 5 7 8
1
2
4
3 6 9
Matriz de 3x3
2 2 0 B 3 5 1
Matriz de 2x3 8
Matrices 3. Clases de matrices
Atendiendo a los elementos
Matriz nula
Matriz diagonal
Tiene todos sus elementos iguales a cero.
Todos los elementos que no están en la 0011 0010 1010 1101 0001diagonal 0100 1011 principal son 0. Ejemplo: 0 0 0 N 0 0 0
Ejemplo: 1 0 0 D 0 6 0 0 0 3
Matriz escalar
Matriz unidad
Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.
Ejemplo:
Ejemplo:
1
2
4
3 0 0 E 0 3 0 0 0 3
1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1 9
Matrices 3. Clases de matrices
Atendiendo a los elementos
Matriz triangular Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 diagonal principal son cero. Ejemplos:
1
2
4
1 2 3 1 0 0 A 0 6 4 ; B 2 6 0 0 0 5 3 4 5
10
Matrices 3. Operaciones con matrices Al culminar las olimpiadas deportivas organizadas en centro educativo escolar, se presentó en matrices la información acerca de la cantidad de alumnos de primaria y de secundaria que habían participado en dicho certamen: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Primaria
Varones
Damas
Futbol
85
74
Básquet
52
47
Vóleibol
61
46
1
2
Secundaria Varones Damas Futbol Básquet Vóleibol
76 41 53
4
Si quisiéramos saber cuántos alumnos varones de primaria participaron en básquet, bastaría con ubicar en la matriz de primaria la fila de básquet y la columna de varones; es decir 52 alumnos.
61 35 40
11
Matrices 3. Operaciones con matrices
Suma y diferencia de matrices
Considerando el ejemplo anterior, si nos piden el total de alumnos varones que participaron en básquet en todo el colegio, tendríamos que sumar las cantidades que se encuentran en la fila básquet y columnas varones en ambas matrices, es decir: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
52 + 41 = 93 alumnos
1
2
4
Para sumar dos o más matrices es necesario que estas sean del mismo orden, de modo que se puedan sumar los elementos correspondientes de cada una. 12
Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą
Suma y diferencia de matrices
Ejemplo 1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
13
Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą
Suma y diferencia de matrices
Ejemplo 2
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
14
Matrices 3. Operaciones con matrices
Producto de un número por una matriz
Ejemplo 1
Dada la matriz 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Halla 2.A
1
2
4
Para multiplicar un número real por una matriz cualquiera, se multiplica el número por cada elemento de dicha matriz.
15
Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą
Producto de un nĂşmero por una matriz
Ejemplo 2
Dada las matrices Halla 3.B - A
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
16
Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą
Producto de dos matrices
Ejemplo 1
Dada las matrices 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
Halla B.A
4
Para multiplicar dos matrices, el nĂşmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nĂşmero de filas de la segunda. El producto es otra matriz que se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz. 17
Matrices
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
18
Matrices
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
19
Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą
Producto de dos matrices
Ejemplo 2
Dada las matrices
1
2
Halla A.B
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
4
20
Matrices
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Javier Trigoso T.
1
2
4
21