Matrices 1

Matrices

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Javier Trigoso T.

1

2

4

1

Matrices Al realizar el inventario en los tres almacenes de una tienda se obtuvo: Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres.  Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres.  Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres. 

Organizamos los datos, en filas y columnas formando un arreglo rectangular.

La fila indica el almacén y la columna el artículo.

2

Almacén 1

12

1 8

5

Almacén 2

20

18

9

Almacén 3

2

3

15

34

29

29

¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

C

I

E

4

En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.

2

Matrices 1. Introducción Una matriz es un arreglo rectangular ordenado de números dispuestos en filas y columnas, encerradas entre corchetes o paréntesis.

C1

C2

C3

a11

a12

a13 …… a1n

Fila 0100 2 a1011 a22 0011 0010 1010 1101 0001 21

a23 23 …… a2n

Fila 1

……

Cn

Fila 3

a31

a32

a33 …… a3n

……

……

……

……

…… ……

……

……

……

……

…… ……

Fila m

1

2

4

am1 am2 am3 …… amn

a23 representa al elemento que está en la segunda fila (2) y en la tercera columna (3).

3

Matrices Ejemplos

Estas son las columnas 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Columna 3

Columna 2

Columna 1

Estas son las filas

1

2

Fila 1

4

Fila 2

4

Matrices Ejemplos

tiene 2 filas y 3 columnas 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Es una matriz

2x3

tiene 3 filas y 2 columnas

1

Es una matriz

2

4

3x2

En general, si una matriz tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es mxn (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el número de filas y en segundo lugar el de columnas.

5

Matrices A veces, tenemos que hacer referencia a una entrada especĂ­fica, para ello existe un "etiquetado" especial.

EstĂĄ basado en filas y columnas:

Es la entrada en la fila

y la columna

Ejemplo 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

es la entrada es la entrada es la entrada es la entrada es la entrada

es la entrada

1

2

4

6

Matrices 2. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales.

 3 8 3 8     A  2 a ; B  2 7 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 b 6 5 6    

1

2

4

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

7

Matrices 3. Clases de matrices 

Atendiendo a la forma

Matriz fila

Matriz columna

Matriz cuadrada

Matriz rectangular

Tiene una fila y n columnas

Tiene m filas y una columna

Tiene el mismo número de filas y columnas

Tiene distinto número de filas y columnas

Ejemplo:

Ejemplo:

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplo: F  1 2 3 4 

Matriz de 1x4

Ejemplo: 1    C  2  3  

Matriz de 3x1

1 2  A  4 5 7 8 

1

2

4

3  6 9 

Matriz de 3x3

 2 2 0 B     3 5  1  

Matriz de 2x3 8

Matrices 3. Clases de matrices 

Atendiendo a los elementos

Matriz nula

Matriz diagonal

Tiene todos sus elementos iguales a cero.

Todos los elementos que no están en la 0011 0010 1010 1101 0001diagonal 0100 1011 principal son 0.

Ejemplo:  0 0 0 N    0 0 0  

Ejemplo: 1 0 0    D  0 6 0  0 0 3  

Matriz escalar

Matriz unidad

Matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.

Ejemplo:

Ejemplo:

1

2

4

3 0 0   E   0 3 0  0 0 3  

1 0 0    I3   0 1 0   0 0 1   9

Matrices 3. Clases de matrices 

Atendiendo a los elementos

Matriz triangular Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 diagonal principal son cero.

Ejemplos:

1

2

4

1 2 3  1 0 0      A   0 6 4 ; B  2 6 0   0 0 5  3 4 5    

10

Matrices 3. Operaciones con matrices Al culminar las olimpiadas deportivas organizadas en centro educativo escolar, se presentó en matrices la información acerca de la cantidad de alumnos de primaria y de secundaria que habían participado en dicho certamen: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 Primaria

Varones

Damas

Futbol

85

74

Básquet

52

47

Vóleibol

61

46

1

2

Secundaria Varones Damas Futbol Básquet Vóleibol

76 41 53

4

Si quisiéramos saber cuántos alumnos varones de primaria participaron en básquet, bastaría con ubicar en la matriz de primaria la fila de básquet y la columna de varones; es decir 52 alumnos.

61 35 40

11

Matrices 3. Operaciones con matrices 

Suma y diferencia de matrices

Considerando el ejemplo anterior, si nos piden el total de alumnos varones que participaron en básquet en todo el colegio, tendríamos que sumar las cantidades que se encuentran en la fila básquet y columnas varones en ambas matrices, es decir: 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

52 + 41 = 93 alumnos

1

2

4

Para sumar dos o más matrices es necesario que estas sean del mismo orden, de modo que se puedan sumar los elementos correspondientes de cada una.

12

Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą

Suma y diferencia de matrices

Ejemplo 1

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

4

13

Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą

Suma y diferencia de matrices

Ejemplo 2

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

4

14

Matrices 3. Operaciones con matrices 

Producto de un número por una matriz

Ejemplo 1

Dada la matriz 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Halla 2.A

1

2

4

Para multiplicar un número real por una matriz cualquiera, se multiplica el número por cada elemento de dicha matriz.

15

Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą

Producto de un nĂşmero por una matriz

Ejemplo 2

Dada las matrices Halla 3.B - A

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

4

16

Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą

Producto de dos matrices

Ejemplo 1

Dada las matrices 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

Halla B.A

4

Para multiplicar dos matrices, el nĂşmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nĂşmero de filas de la segunda. El producto es otra matriz que se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.

17

Matrices

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

4

18

Matrices

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

1

2

4

19

Matrices 3. Operaciones con matrices ď ą

Producto de dos matrices

Ejemplo 2

Dada las matrices

1

2

Halla A.B

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

4

20

Matrices

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Javier Trigoso T.

1

2

4

21