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PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial.
La programación lineal es una herramienta que ha permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el mundo empresarial o de los negocios, pues en esencia permite asignar recursos limitados entre actividades competitivas en forma óptima o de la mejor manera posible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por escasos recursos necesarios para realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos que consumirá cada una de las actividades elegidas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la producción de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la ganancia óptima hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; también tiene aplicación en diferentes campos de la sociedad, como en los aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseño de una terapia de radiación, por ejemplo. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles óptimos de las mismas. Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.
UN POCO DE HISTORIA A lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboración entre científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla. Es por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigación Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.
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2 En 1503, Leonardo Da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas. Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se debe a F. W. Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las fuerzas opositoras y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales, la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison también hizo uso de la Investigación Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus grandes ideas, como la protección anti-torpedos para los barcos. Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada Investigación Operativa o Investigación de Operaciones hasta la II Guerra Mundial, durante la atalla de Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es decir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los británicos a un duro ataque aéreo ya que estos tenían una capacidad aérea pequeña, aunque experimentada en el combate. El gobierno británico, buscando algún método para defender su país, convocó a varios científicos de diversas disciplinas para tratar de resolver el problema de sacar el máximo beneficio de los radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la efectividad del sistema de defensa aérea. El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.
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1. GRÁFICA DE INECUACIONES 1.1. Regiones del plano determinadas por rectas La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos regiones: una formada por los puntos que satisfacen la inecuación y < ax + b, y otra formada por los puntos que satisfacen la inecuación y > ax + b.
Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye a los puntos de la recta que limitan al semiplano. Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la recta también son soluciones de la inecuación.
1.2. Gráfica de una inecuación lineal A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una inecuación lineal en el plano cartesiano: Se traza la recta de la ecuación y = ax + b Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se comprueba si verifican la inecuación dada Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la inecuación
Ejemplo 1 Traza la gráfica de la inecuación: x + y ≤ -2 Solución: Trazamos la gráfica de la ecuación x + y = -2 , hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = -2 Si y = 0 x = -2
La recta la trazamos continua porque forma parte de la solución. Ahora sustituyendo los valores de las coordenadas del origen en la inecuación
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se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2 es falso, por lo que se concluye que el origen de coordenadas no pertenece al conjunto solución como tampoco el semiplano que lo contiene, entonces sombreamos el semiplano inferior.
4 Ejemplo 2 Traza la gráfica de la inecuación: 3y – 2x < 6
(0; 0) se encuentra en el semiplano inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6 es verdadero, por lo tanto, sombreamos el semiplano inferior.
Solución: Trazamos la gráfica de la ecuación 3y – 2x = 6, hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = 2 Si y = 0 x = -3
La recta la trazamos punteada porque no forma parte de la solución. El punto
1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas .
Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
x 2y 3 2x y 1 Solución: Trazamos la gráfica de cada una de las ecuaciones; para lo cual calculamos los valores de las coordenadas de dos de sus puntos:
x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0) 2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y > 3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo que la solución para esta inecuación es
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el conjunto de puntos del semiplano que no incluye al origen. Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y > 1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que la solución para esta inecuación es el conjunto de puntos del semiplano que incluyen al origen. El conjunto solución del sistema es la intersección de los semiplanos – solución hallados individualmente (la región sombreada)
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Ejemplo 4 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
x 3y 7 3x 2y 1 4x y 17 Solución: Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de cada una de las ecuaciones. Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos para cada una de ellas:
x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0) 3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0) 4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)
El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:
x 3y 7 x 3y 7 3x 2y 1 4x y 17
3x 2y 1 4x y 17
Para el primer sistema la solución es (1; 2), para el segundo (4; 1) y para el tercero (3; 5). La solución del sistema de inecuaciones es, en resumen, el interior del triángulo, cuyos vértices son los puntos (1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno de los tres lados del triángulo.
2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la economía, la estrategia militar, y en otras áreas, en las que se presentan situaciones donde se exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas situaciones. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos a continuación la aplicación de la programación lineal a diversas situaciones.
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6 2.1. Programación lineal bidimensional La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
2.2. Conjunto de restricciones lineales El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema asociadas a un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 7 2x y 10 x 0 y 0
2.3. Región factible
La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no. Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones. La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto (< o >).
Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representada en la gráfica.
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7 2.4. Función objetivo La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by Ejemplo Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función f(x;y) = 30x + 20y
2.5. Solución óptima La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.
“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse en uno de los vértices de la región factible” Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo cada uno de los vértices de la región factible. Ejemplo Continuando con el mismo ejemplo: O (0; 0) f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0 A (5; 0) f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150 B (3; 4) f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo C (0; 7) f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140 La solución óptima es B (3; 4)
Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0 Prácticamente en todos los problemas de programación lineal se exige que las variables x e y sean mayores o iguales que cero; en estos casos, la región factible se dibuja directamente en el 1 er cuadrante.
… PARA LA CLASE Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones: 1. 2. 3.
x3 3 x 5
4.
y5 5 y 3
5.
y 3x 4
6.
x 2y 3
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7.
x y 1 x y 1
8 y x 1 8. y x 2 y0 9. Representa gráficamente la región factible determinada por las siguientes desigualdades: xy5 4x 3y 30 x0 y0 Calcula la solución que hace mínima la función objetivo f(x; y) = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.
3.
RESOLUCIÓN
DE
10. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: 2x y 1000 x 1,5y 750 x0 y0 A. Represéntalo gráficamente. B. Halla sus vértices. C. Obtén el valor máximo de la función f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior, así como el punto en que lo alcanza.
PROBLEMAS
DE
PROGRAMACIÓN
LINEAL 3.1. Procedimiento de resolución Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:
Se Se Se Se
hace una tabla con los datos del problema. representa la región factible. calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. escribe la solución.
3.2. Tabla con los datos del problema
En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones. En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las variables. En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a una restricción, es decir, a una inecuación. En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se trata de maximizar o minimizar.
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9 Ejemplo 1 Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 E y las de montaña a 150 E, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? Solución 1) Tabla con los datos del problema. B. de paseo
B. de montaña
Restricciones
x x 3x 200x
y 2y 2y 150y
x ≥ 0; y ≥ 0 x + 2y ≤ 80 3x + 2y ≤ 120 f(x; y) = 200x + 150y
Nº de bicicletas Acero Aluminio Beneficio 2) Región factible. Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O (0; 0) f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 A (40; 0) f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 800 B (20; 30) f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850 Máximo C (0; 40) f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600 4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas de montaña. Ejemplo 2 Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?
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10 Solución 1) Tabla con los datos del problema.
Nº de aviones Personas Equipaje Costo
Tipo A
Tipo B
Restricciones
x 200x 6x 40 000x
y 100y 15y 10 000y
0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8 200x + 100y ≥ 1 600 6x + 15y ≥ 96 f(x; y) = 40 000x + 10 000y
2) Región factible. Es el gráfico del margen. 3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000 B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000 C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 Mínimo 4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B
… PARA LA CLASE Ejercicio 1 Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que la de un vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia. Ejercicio 2 Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos factorías y cada una de ellas produce los dos bienes en las cantidades por hora siguientes:
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La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los costos de funcionamiento de las dos factorías son: S/.100 por hora para la factoría 1 y S/.80 por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costos de la empresa y satisfacer el pedido? Ejercicio 3 Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y 80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de
11 Alianza de bolsillo, que vende a S/.10.¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedor para maximizar su ganancia cuando los haya vendido todos? Ejercicio 4 Un comerciante acude a cierto supermercado a comprar naranjas con S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las
de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo dispone en su camioneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo B a S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener el máximo beneficio?, ¿Cuál será el máximo beneficio?
… PARA LA CASA Determina gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas: 1.
y 2x 2
2.
4x 3y 2
3.
y x 2
4.
x y 3 2x y 4
5.
x y 3 2 x 4
x 3y 15 4x y 16 6. x0 y0 7. Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x 3 y 8xy y x 3 x0 y0
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Encuentra los vértices de dicha región 8. Dada la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones xy8 3x 2y 12 x0 y0 minimiza en dicha región el valor de la función: f(x, y) = 15x + 10y 9. Dada la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones xy4 x 2y 10 x0 y0 minimiza en dicha región el valor de la función: f(x, y) = 12x + 19y 10. Dada la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones x y 6 xy x0 y0
12 maximiza en dicha región el valor de la función: f(x, y) = 7x + 11y 11. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 27 x 12 y6 A. Represéntalo gráficamente. B. Determina los vértices de ese recinto. C. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función f(x;y) = 90x + 60y en el recinto anterior? D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores? 12. Dada la función objetivo f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones siguientes: 3x y 10 x 2y 8 x0 y0 A. Representa la región factible. B. Halla los valores de x e y que hacen máxima la función objetivo. C. Determina los valores x e y que minimizan la función objetivo.
II. La región admisible es un polígono de cuatro lados. III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen a la región admisible. 14. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x 2y 10 x6 y8 x0 y0 A. Represéntalo gráficamente. B. Calcula sus vértices. C. Calcula el máximo de la función f(x, y) = 20x + 60y
13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R
15. Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 5x 2y 10 3x 4y 20 x y 2 x0 y0 A. Dibuja dicho recinto y determina sus vértices. B. Determina en qué punto de ese recinto alcanza la función f(x; y) = 4x + 3y el máximo valor.
sujeto a las siguientes condiciones: 2x 3y 6 2x y 6 y4 x0 y0 Identifica la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. El valor óptimo es 5.
16. Un taller dispone semanalmente de 24 kg de algodón y 15 kg de lana para la producción de dos tipos de tapices decorativos A y B, según los siguientes requerimientos: Tapiz A: 200 g de algodón y 100 g de lana. Tapiz B: 200 g de algodón y 300 g de
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13 lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el tapiz B a S/.60, determina cuántos tapices de cada clase se deben vender para obtener el máximo ingreso. 105 de A y 15 de B 17. Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S1 y S2 . La fábrica cuenta con dos secciones; carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería, mientras que uno de tipo S2 requiere 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. El personal de tapicería ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de los almacenes para obtener el mínimo costo? Determina dicho costo mínimo. 105 de A y 15 de B 18. Una fábrica prepara salsas para tallarines Extra y Gourmet. La primera contiene 200 g de tomate y 25 g de carne por lata, la segunda 150 g de tomate y 50 g de carne. Si se abastecen de 4 toneladas de tomates y 1,25 toneladas de carne, ¿cuántas latas deben fabricar de cada tipo para obtener la máxima utilidad, ganando en la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30 respectivamente? 2 000 Extra y 24 000 Gourmet 19. La editorial Matetextos produce dos libros de Matemática: Álgebra y Geometría. La utilidad por unidades es de S/. 7 para el libro de Álgebra y de S/. 10 para el libro de
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Geometría. El libro de Álgebra requiere de 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El libro de Geometría requiere de 5 horas para imprimirse y de 3 horas para ser encuadernado. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 240 horas para encuadernar, calcula la máxima utilidad que se puede obtener. S/. 400 20. Una empresa fabrica dos clases de cuadernos. Los rayados a S/. 2 la unidad y los cuadriculados a S/. 1.5 la unidad. En la producción diaria se sabe que el número de cuadernos cuadriculados no supera en 1000 unidades al número de cuadernos rayados, entre las dos clases no superan a 3000 unidades, y los cuadernos cuadriculados no bajan de 1000 unidades. Halle el costo máximo y mínimo de la producción diaria. 5 500 y 1 500
21. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transportes tiene 8 buses de 40 asientos disponibles y 10 buses de 50 asientos disponibles, pero solo dispone de nueve conductores. El alquiler de un bus grande cuesta S/. 80 y el de uno pequeño, S/. 60. Calcula cuantos buses de cada tipo hay que alquilar para que los gastos sean mínimos para la escuela. 4 grandes y 5 pequeños
14 22. Un granjero tiene 480 hectáreas en las que puede sembrar ya sea maíz o trigo. Calcula que dispondrá de 800 horas de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad para cada uno de los productos son S/.40 por hectárea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra del maíz son 2 horas por hectárea y para el trigo, 1 hora por hectárea. ¿Cuál es la utilidad máxima? S/.19 200 23. Ricardo y Martín ganan 10 millones de nuevos soles en la Tinka y les aconsejan que los inviertan en la bolsa en dos tipos de acciones, A y B. Las de ti po A tienen más riesgo pero producen un beneficio anual del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% anual. Después de varias deliberaciones ellos deciden invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, deciden que lo invertido en las acciones de tipo A sea, por lo menos igual a lo invertido en las de tipo B. ¿Cómo deberán invertir los 10 millones de nuevos soles para que el beneficio anual sea máximo? 24. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almacenes ,A y B. Los almacenes A y B venden el aceite a 2000 y 3 000 soles por tonelada, respectivamente Cada almacén le vende un
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mínimo de dos toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo al almacén A el doble de aceite que al almacén B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de los almacenes para obtener el mínimo costo? Determina dicho costo mínimo. S/. 14 000 25. Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de «Consumo razonable» y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de sol por cada mensaje SMS y 25 céntimos de sol por cada minuto de conversación incluyendo el costo de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: A. El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni menor que el número de mensajes disminuido en 3. B. Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio máximo? 26. Cada mes una empresa puede gastar, como máximo, 10 000 soles en salarios y 1 800 soles en energía (electricidad y gasolina). La empresa solo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 0,8 soles; y, por cada unidad de B, gana 0,5 soles. El costo salarial y
15 energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y de una unidad del producto B aparece en la siguiente tabla:
Costo salarial Costo energético
Producto A
Producto B
2 0,1
1 0,3
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. 2 400 de A y 5 200 de B 27. Un ganadero tiene que elaborar alimento para su ganado a partir de dos ingredientes nutritivos: A y B. Los mínimos que necesita son 30 unidades de A y 32 unidades de B. En el mercado se venden sacos de dos marcas que contienen A y B, cuyos contenidos y precios se dan en la siguiente tabla: Marca
Unidades de A
Unidades de B
Precio del saco
I II
3 1
1 4
S/.9 S/.12
¿Cuántos sacos de cada marca tiene que comprar el ganadero para elaborar este alimento con el mínimo costo? 8 unidades de A y 6 de B
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28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dos razas, A y B. Dispone de 9 000 nuevos soles para invertir y de un espacio con una capacidad limitada para 7 000 pollos. Cada pollo de la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con él un beneficio de 1 sol, y cada pollo de la raza B le cuesta 2 soles y el beneficio es de 1,4 soles por unidad. Si por razones comerciales el número de pollos de la raza B no puede ser superior a los de la raza A, determina, justificando la respuesta: A. ¿Qué cantidad de ambas razas debe comprar el granjero para obtener un beneficio máximo? B. ¿Cuál será el valor de dicho beneficio? 5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles 29. Una fábrica produce cámaras fotográficas convencionales y digitales. Se obtiene un ingreso de S/.450 por cada cámara convencional y S/.600 por cada digital. En un día no se pueden fabricar más de 400 cámaras convencionales ni más de 300 digitales y tampoco pueden producirse más de 500 cámaras en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción del día, ¿cuál es el número de cámaras de cada clase que conviene fabricar para obtener un ingreso máximo?, ¿Cuál debería ser la producción para obtener máximo ingreso si se obtuvieran S/.600 por cada cámara convencional y S/.450 por cada cámara digital?
16 30. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías por cada 100 gramos de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de grasas y 100 kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 soles por cada 100 g del ingrediente A y de 2 soles por cada 100 g del ingrediente B. El menú que hay que diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y, al menos 110 kilocalorías por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de
cada uno de los ingredientes que se emplearán en el menú, de manera que su coste sea lo más reducido posible. A. Indica la expresión de las restricciones y la función objetivo del problema. B. Representa gráficamente la región delimitada por las restricciones. C. Calcula el porcentaje óptimo de cada uno de los ingredientes que se incluirán en el menú. f(x;y) = 1,5x + 2y 35x + 15y ≤ 30; 150x + 100y ≥ 110; x ≥ 0; y ≥ 0 11,5 gr de A y 0 gr de B
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PROFESOR: Javier Trigoso T.