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Razones y proporciones 1.
Razón
Es una comparación entre 2 cantidades homogéneas. Dicha comparación puede hacerse por diferencia o por cociente, denominándose razón aritmética o geométrica respectivamente.
r = a – b Razón Aritmética
Razón Geométrica
Consecuente Antecedente
q
a b
Simbólicamente: Se lee:
2.1.
Proporción discreta:
Cuando sus 4 términos son diferentes:
a c ad bc b d Cualquiera de los 4 términos es la cuarta proporcional de los otros tres.
La expresión:
2.
Proporción
Es el resultado de tener dos razones iguales. De acuerdo a su relevancia, sólo estudiaremos las proporciones geométricas, las que pueden ser a su vez, discretas o continuas.
Profesor: Javier Trigoso T.
a es a b como c es a d
A los números a y d se los denomina extremos. A los números b y c se los denomina medios.
Antecedente Consecuente
a 2 , puede representar b 5 el mismo significado con diferentes enunciados: - Dos números son entre sí como 2 es a 5. - Dos números están en la relación de 2 a 5. - La razón geométrica de dos números es 2/5.
a c b d
Ejemplo: 2.2.
15 30 3 6
Proporción continua:
Cuando los términos medios son iguales:
a b b2 a c b b c Ejemplo:
ac
12 36 36 108
Al término b se le llama media proporcional.
Razonamiento Matemático
2 3.
Propiedades
Si:
*
a c , se cumple que: b d
a b cd b d
*
a b c d b d
*
a b cd a b c d
… PARA LA CLASE
01. A. 7 C. 14
Si:
2 x , calcula “x” 3 21 B. 12 D. 18
a b c k 4 6 9 se cumple: a + b + c - k = 54 Calcula: a – b + c A. 3 B. 12 C. 21 D. 57 02.
En la serie:
03. Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Halla el mayor: A. 20 B. 40 C. 50 D. 70 04. En una razón el antecedente es 8 y su valor es 0, 25. Determina el antecedente. A. 2 B. 4 C. 16 D. 32
Profesor: Javier Trigoso T.
05. En una proporción geométrica continua el producto de los extremos es 144. Halla la media proporcional. A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 06. Determina el consecuente de una razón cuyo valor es 5/8 sin su antecedente es 4/9. A. 32/45 B. 45/32 C. 18/15 E. 8/25 07. Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10 : 3. Si entre ambos tienen 78 años, ¿cuántos años más tiene el padre que el hijo? A. 18 B. 36 C. 42 D. 60 08. Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6? A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
Razonamiento Matemático
3 09. En una proporción geométrica continua, los términos extremos son entre si como 4 es a 25. Si la suma de A. 25 B. 50 C. 125 D. 150 10. El producto de los 3 términos diferentes de una proporción geométrica continua es 5 832. Si uno de los términos extremos es 6, hallar el otro extremo. A. 54 B. 36 C. 27 D. 18 11. En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombres y 8 mujeres la
los 4 términos de la proporción es 245, hallar uno de los extremos. nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas personas había inicialmente en la reunión? A. 12 B. 20 C. 32 D. 36
a c b d
12.
Dada la proporción:
Si:
a2 c 84 , halla a b 2 a b b d
A. 1,25 C. 1,5
B. 0,8 D. 0,75
… PARA LA CASA 01. La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Halla el menor: A. 300 B. 350 C. 630 D. 680 02. Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. halla el menor: A. 40 B. 48 C. 120 D. 280 03. Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años? A. 34 B. 51 C. 60 D. 75
Profesor: Javier Trigoso T.
04. Dos amigos deben repartirse $ 27 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor? A. $ 21 000 B. $ 18 000 C. $ 9 000 D. $ 3 000 05. La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 2 : 3 si la velocidad del tren es de 600 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión? A. 300 km/h B. 400 km/h C. 600 km/h D. 900 km/h 06. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo? A. 20 cm B. 35 cm C. 70 cm D. 90 cm Razonamiento Matemático
4 07. El perímetro de un rectángulo es 256 cm y la razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcula el área. a) 3 840 cm2 b) 3 640 cm2 c) 3 440 cm2 d) 800 cm2 08. Los capitales de 2 personas están en la razón de 12 : 7. Si una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor? A. $ 1 090 B. $ 1 190 C. $ 1 120 D. $ 1 990 09. En un salón de clase por cada 5 alumnos hay una alumna. Si en total hay 72 alumnos, ¿cuántos alumnos más que alumnas hay? A. 12 B. 60 C. 48 D. 54 10. ¿Dentro de cuántos años las edades de 2 personas estarán en la relación de 9 a 11, si sus edades actuales son 28 y 36 años? A. 5 años B. 6 años C. 7 años D. 8 años 11. Mario tiene 38 años y Jessica 24 años, ¿hace cuántos la edad de Mario fue el doble de la de Jessica? A. 12 años B. 10 años C. 8 años D. 6 años 12. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 5, 8 y 2. ¿Cuál es la medida de ángulo mayor? A. 36º B. 72º C. 90º D. 96º
Profesor: Javier Trigoso T.
13. En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto azules, ¿cuántas bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancos por cada 6 bolas azules? A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 14. En una fiesta el número de hombres es al de mujeres como 5 es a 8. A las 2 de la mañana se retiran un cuarto de las mujeres y un quinto de los hombres ¿Cuál es la nueva relación del número de hombres y mujeres? A. 6/7 B. 4/5 C. 2/3 D. 11/13 15. Dos números son proporcionales a 2 y 5 si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales ¿Cuál es el menor? A. 100 B. 80 C. 60 D. 40 16. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales: a b c , si 3a - 5b + 2c = 245. 5 8 15 Halla a + b + c A. 686 B. 1 029 C. 1 372 D. 2 058 17. Si en la razón geométrica de 2 números cuyo producto es 96, al menor se le suma 4 y al mayor se le resta 4, la razón se invierte. Halla la suma de dichos números. A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
Razonamiento Matemático
5 18. En una reunión el número de extranjeros es al número de peruanos como 2 es a 7. Si entre los peruanos hay hombres, mujeres y niños que están en relación entre sí como 8, 4 y 3, halla la relación en la que se encuentran el número de extranjeros con respecto a la diferencia entre el número de mujeres y niños. A. 7/30 B. 4/15 C. 15/4 D. 30/7 19. En un salón de clases, antes del recreo el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres menos y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4, halla cuántas mujeres había antes del recreo. A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 20. En una lista el número de hombres es al de mujeres como 7 es a 8 y el número de niños es al total como 1 es a 6 ¿Cuál es la relación entre el número de hombres y el de niños? A. 1 es a 8 B. 7 es a 3 C. 2 es a 5 D. 5 es a 7 21. En una proporción geométrica continua el producto de sus 4 términos es 1 296 y la media proporcional es el triple de la tercera proporcional. Halla
la diferencia entre los extremos de dicha proporción. A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 22. Si a los números 15, 27, 51, 81 se les añade a todos una misma cantidad, formarían una proporción geométrica. Halla la razón de esta proporción. A. 3/2 B. 2/3 C. 3/4 D. 3/5 23. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua, si la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3? A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 24. Halla k A. 2 C. 1/2
Si:
a b c ab 1 . k y b c d cd 16 B. 4 D. 1/4
25. En una proporción geométrica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. Si el producto de los términos medios es 5 400. Halla el mayor de los términos. A. 100 B. 120 C. 180 D. 240
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Profesor: Javier Trigoso T.
Razonamiento Matemático